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专题 9 利用函数思想求圆锥曲线中的最值与范围问题
一、考情分析
与圆锥曲线有关的范围、最值问题,在高考中常以解答题形式考查,且难度较大,它能综合应用函数、三角、
不等式等有关知识,因而备受命题者青睐.解题时要紧紧抓住圆锥曲线的定义与性质进行转化,充分展现数形
结合、函数与方程、化归转化等数学思想在解题中的应用,其中把问题转化为函数求最值与值域是最常用的
方法之一．
二、解题秘籍
(一) 利用函数思想最值与范围问题求解方法与策略
1.解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面
(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系,从而确定参数的取值范围；
(2)利用已知参数的范围,求新参数的范围,解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
(3)利用隐含的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围；
(4)利用已知的不等关系构造不等式,从而求出参数的取值范围；
(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数,求其值域,从而确定参数的取值范围．
2.利用函数思想求圆锥曲线中的最值或范围,首先要把待求量用某个（些）量来表示,然后把待求量看作关于
这个量的函数,再结合函数性质求最值与范围,其中利用二次函数配方求最值是最常用的方法,有时也可利用
导数研究函数单调性求最值.
【例1】（2023届四川省成都市高三上学期10月月考）已知点 是抛物线 与椭圆
的公共焦点,椭圆上的点 到点 的最大距离为3.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点 作 的两条切线,记切点分别为 ,求 面积的最大值.
【解析】（1）抛物线 的焦点为 ,即 ,
椭圆上的点 到点 的最大距离为 ,所以 , ,
所以椭圆方程为 .
（2）抛物线 的方程为 ,即 ,
对该函数求导得 ,设点 , , ,
直线 的方程为 ,
即 ,即 ,
同理可知,直线 的方程为 ,
由于点 为这两条直线的公共点,则 ,
所以点 , 的坐标满足方程 ,
所以直线 的方程为 ,
联立 ,可得 ,
由韦达定理可得 , ,
所以 ,
点 到直线 的距离为 ,
所以 ,
因为 ,
由已知可得 ,
所以当 时, 面积的最大值为 .
【例2】（2023届新高考高中毕业班“启航”适应性练习）在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线M：．P,Q,R为M上相异的三点,且 , 与 负半轴交于点A,RQ,PQ分别与 正半轴交于点
B,C,记点 ．
(1)证明： ；
(2)若B为M的焦点,当 最大时,求 的值．
【解析】（1）证明：因为 ,所以直线OP和OQ斜率之积为－1,
设PQ： ,且 , ,
联立 ,得 ,且 恒成立,
所以 , ,
记直线OP、OQ的斜率分别为 , ,
所以 ,即 ,所以 ,
设 ： ,且 ,
联立 ,得 ,且 恒成立,
得 ,
同理设 ： ,得 ,
所以 ,
即 ；
（2）因为B为M的焦点,所以 ,且 , ,,
又 ,不妨设 , ,
则 ,
记 , ,则 ,
,
令 ,则 ,且 在 上单调递增,在 上单调递减,
且 在 上单调递增,所以当 ,
即 时, 最大, 最大．
(二) 利用距离公式把距离问题转化为二次函数求最值
与距离或线段长度有关的最值与范围问题通常是把相关距离或线段长度利用距离公式表示成一个变量的函
数,若被开放式为二次函数类型,可通过配方求最值与范围.
【例3】（2023届湖北省腾云联盟高三上学期10月联考）已知椭圆 经过点 ,
且离心率为 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)设过点 的直线 与椭圆 交于 , 两点,设坐标原点为 ,线段 的中点为 ,求 的最大值.
【解析】（1） 椭圆 经过点 ,其离心率为 ．
, , , ,故椭圆 的方程为： ；
（2）当直线 斜率不存在时,M与O重合,不合题意,
当直线 斜率存在时,设 , , ,
则有 , ,直线 的斜率为 ,
, 两点在椭圆上,有 , ,
两式相减, ,即 ,
得 ,化简得 ,
,∴当 时,
的最大值为
(三)把面积问题转化为二次函数最值问题
该类问题求解的基本思路通常是把面积用另一个量（如点的横坐标、纵坐标,直线的斜率等）,把求面积最
值与范围问题转化为求函数最值或值域,若函数式可转化为二次函数类型,可利用二次函数性质求最值.
【例4】已知椭圆 经过点 ,其右焦点为 .
(1)求椭圆 的离心率；
(2)若点 在椭圆 上,右顶点为 ,且满足直线 与 的斜率之积为 .求 面积的最大值.
【解析】（1）依题可得, ,解得 ,
所以椭圆 的方程为 .所以离心率 .
（2）易知直线 与 的斜率同号,所以直线 不垂直于 轴,
故可设 ,
由 可得, ,
所以 ,
,而 ,即 ,
化简可得 ,
,
化简得 ,
所以 或 ,
所以直线 或 ,
因为直线 不经过点 ,
所以直线 经过定点 .
设定点,
因为 ,所以 ,
设 ,
所以 ,
当且仅当 即 时取等号,即 面积的最大值为 .
(四) 与斜率有关的最值与范围问题
与斜率有关的最值与范围问题的思路一是设出动点.是利用斜率定义表示出斜率,然后利用函数知识求解,二
是设出直线的点斜式或斜截式方程,利用根与系数之间的关系或题中条件整理关于斜率的等式,再利用函数
思想求解.
【例5】已知椭圆 ,过点 作椭圆的两条切线,且两切线垂直.
(1)求 ；
(2)已知点 ,若存在过点 的直线与椭圆交于 ,且以 为直径的圆过点 （
不与 重合）,求直线 斜率的取值范围.
【解析】（1）由题可知,切线斜率存在,则设切线 ,
联立得 ,即 ,
相切得： ,即 ,所以
由两切线垂直得：
（2）由（1）得,椭圆方程为由题可知,直线 的斜率存在,设 ,联立得
设 ,由韦达定理得：
由题意 为直径的圆过点 , ①
又
代入①式得：
或 （舍去）,所以 过定点 ,
, 随 的增大而增大,
,
即直线 斜率范围
(五)通过换元把问题转化为二次函数问题
该类问题通常是所得结果比较复杂,通过换元把问题转化为二次函数求解.
【例6】已知椭圆C： 的离心率为 , , 分别为椭圆C的左、右焦点,过 且与x
轴垂直的直线与椭圆C交于点A,B,且 的面积为 ．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设直线l与椭圆C交于不同于右顶点P的M,N两点,且 ,求 的最大值．
【解析】（1）因为椭圆C的离心率为 ,所以 ①．
将 代入 ,得 ,所以 ,
则 ,即 ②．
由①②及 ,得 , ,
故椭圆C的标准方程为 ．
（2）由题意知,直线l的斜率不为0,则不妨设直线l的方程为 ．
联立得 消去x得 ,
,化简整理,得 ．
设 , ,则 , ．
因为 ,所以 ．
因为 ,所以 , ,
得 ,
将 , 代入上式,得 ,
得 ,
解得 或 （舍去）,
所以直线l的方程为 ,则直线l恒过点 ,
所以 ．
设 ,则 , ,易知 在 上单调递增,
所以当 时, 取得最大值,为 ．
又 ,
所以 ．
(六) 把问题转化为函数问题后再借助导数求最值或范围
该类问题通常是所得函数为分式函数或高次函数,又不具备使用均值不等式的条件,只能借助导数求最值或
范围.
【例7】（2023届云南省昆明市第一中学高三上学期第二次检测）已知椭圆 四个顶
点的四边形为菱形,它的边长为 ,面积为 ,过椭圆左焦点 与椭圆C相交于M,N两点（M,N两点不在x
轴上）,直线l的方程为： ,过点M作 垂直于直线l交于点E．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)点O为坐标原点,求 面积的最大值．
【解析】（1）由题意可得： ,解得
椭圆C的标准方程为
（2）由（1）可得： ,即
由题意可设直线 ,则
联立方程 ,消去x可得：
∴ ,则∴直线 的斜率 ,则直线 的方程为
令 ,则可得
即直线 过定点
∴ 面积为
令 ,则
令 ,则 当 时恒成立
∴ 在 单调递减,则 ,即
∴ 面积的最大值为
(七) 利用椭圆的参数方程把把问题转化为三角函数求最值与范围
此类问题通常是把椭圆 上的动点设为 ,再利用辅助角公式及弦函数的
有界性或单调性求最值与范围.
【例8】已知椭圆 过点 ．
(1)求椭圆C的方程；
(2)在椭圆C的第四象限的图象上有一个动点M,连接动点M与椭圆C的左顶点A与y的负半轴交于点E,连
接动点M与椭圆的上顶点B,与x的正半轴交于点F,记四边形 的面积为 , 的面积为 , ,
求 的取值范围．【解析】（1）依题意 ,得 ,
故C的方程为 ．
（2）依题意, ,设 ,则 ,
所以直线 ,令 ,
则 ．
直线 ,令 ．
则 ,
又易知 ,所以四边形 的面积
．
由题意可知 的直线方程为 ,
再设椭圆的参数方程为 为参数,
则动点M到直线 的距离 , ,化简得 ．
∵ ,
∴ ,
的面积 ,∴ ．
∵ ,∴ ,
即 ．
三、跟踪检测
1.（2023届重庆市第八中学校高三上学期月考）已知双曲线E： （ , ）一个顶点为
,直线l过点 交双曲线右支于M,N两点,记 , , 的面积分别为S, , .当l
与x轴垂直时, 的值为 .
(1)求双曲线E的标准方程；
(2)若l交y轴于点P, , ,求证： 为定值；
(3)在（2）的条件下,若 ,当 时,求实数m的取值范围.
【解析】（1）由题意得 , ,
则当l与x轴垂直时,不妨设 ,
由 ,得 ,将 代入方程 ,得 ,解得 ,
所以双曲线E的方程为 ．
（2）设 , , ,
由 与 ,得 ,
即 , ,将 代入E的方程得： ,
整理得： ①,
同理由 可得 ②．
由①②知, , 是方程 的两个不等实根．
由韦达定理知 ,所以 为定值．
（3）又 ,即 ,
整理得： ,
又 ,不妨设 ,则 ,
整理得 ,又 ,故 ,
而由（2）知 , ,故 ,
代入 ,
令 ,得 ,由双勾函数 在 上单调递增,得 ,
所以m的取值范围为 ．
.
2．（2023届陕西省咸阳市武功县高三上学期质量检测）已知椭圆 ： 的左、右焦点
分别为 、 , 是椭圆 上一动点, 的最大面积为 , .
(1)求椭圆 的方程；
(2)若直线 与椭圆 交于 、 两点, 、 为椭圆 上两点,且 ,求 的最大值.
【解析】（1）设椭圆 的半焦距为 , , ,
的最大面积为 , ,
,
,
椭圆 的方程为 ；
（2）由题知 ,设直线 的方程为 , , ,
联立 ,消去 并整理得： ,∴ ,得 ,
, ,
∴ ,
设 , ,
由复合函数的单调性知：
在 上单调递增,在 单调递减,
∴当 时, ,
故 .
3．已知椭圆 的离心率为 ,其左焦点到点 的距离为 ．
(1)求椭圆的方程；
(2)直线 与椭圆相交于 两点,求 的面积关于 的函数关系式,并求面积最大时直线 的
方程．
【解析】（1）由题意得： ,且 ,
解得： ,
所以 ,
所以椭圆方程为 ；
（2）联立 与椭圆方程 可得：,
由 ,解得： ；
设 ,
则 , ,
由弦长公式可得： ,
点 到直线 的距离为 ,
则 的面积为 ,
其中 ,
令 , ,
则 ,
由于 ,所以 , ,
令 得： ,
令 得： ,
即 在 上单调递增,
在 上单调递减,
所以 在 处取得极大值,也是最大值,
,所以当 时,面积取得最大值,此时直线 的方程为 ．
4．如图所示, 、 分别为椭圆 的左、右顶点,离心率为 .
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过 点作两条互相垂直的直线 , 与椭圆交于 , 两点,求 面积的最大值.
【解析】（1）由已知可得： ,解得： , ,
∴椭圆的方程为： .
（2）∵ ,
设 的直线方程为： , , ,
联立方程： ,
整理得： ,
∴ , ,
∵ , ,
,
即 ,,
,
,
整理得 ,解得 或 （舍去）,
∴ ,
,
∴ ,
令 ,
则 ,
由对勾函数单调性知, ,
所以 ,当且仅当 时,即 时等号成立,
此时 最大值为 .
5．已知椭圆 的离心率为 ,椭圆上一动点 与左､右焦点构成的三角形面积最大值
为 .
(1)求椭圆 的方程；(2)设椭圆 的左､右顶点分别为 ,直线 交椭圆 于 两点,记直线 的斜率为 ,直线 的斜率为
,已知 .
①求证：直线 恒过定点；
②设 和 的面积分别为 ,求 的最大值.
【解析】（1）由题意 ,解得 ,所以椭圆C的方程为 ．
（2）①依题意 ,设 ,
若直线 的斜率为0则P,Q关于y轴对称,必有 ,不合题意．
所以直线 斜率必不为0,设其方程为 ,
与椭圆C联立 ,整理得： ,
所以 ,且
因为 是椭圆上一点,即 ,
所以 ,则 ,即
因为,
所以 ,此时 ,
故直线 恒过x轴上一定点 ．
②由①得： ,
所以
,
而 ,当 时 的最大值为 ．
6．（2023届北京市第四中学高三上学期测试）已知中心在原点,焦点在 轴上的椭圆 过点 ,离心率
为 ,点 为其右顶点.过点 作直线 与椭圆 相交于 、 两点,直线 、 与直线 分别交
于点 、 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)求 的取值范围.
【解析】（1）由题意设椭圆的标准方程为 （ ）,
由题意,得 ,解得 , ,即椭圆 的标准方程为 .
（2）由（1）得 ,
设 , , ,
联立 ,得 ,
即 ,则 , ,
直线 , 的方程分别为 , ,
令 ,则 , ,
则 ,
,
所以
因为 ,所以 , ,
即 的取值范围为 .7．（2022届上海市行知中学高三上学期考试）已知曲线 上一动点 到两定点 , 的距离之
和为 ,过点 的直线 与曲线 相交于点 , ．
(1)求曲线 的方程；
(2)动弦 满足： ,求点 的轨迹方程；
(3)求 的取值范围．
【解析】（1）因为动点 到两定点 , 的距离之和为 ,
所以曲线 是以 , 为焦点的椭圆, , ,
所以 , ,所以曲线 的方程为 ；
（2）因为 ,所以 为 中点,设 ,
当 的斜率存在且不为0时,将 , 代入椭圆方程中得： 两式相减
得 ,故 故得 ,
所以 ,所以 ,整理得 ；
当 的斜率不存在或为0时, 或 ,出满足 ；
所以点 的轨迹方程是 ；
（3） ,
其中 , , 分别为点 到直线 ： 的距离,
因为点 的轨迹方程为 ,设 , ,则可设 ,
所以
,其中 ,
所以 ．
8．（2023届河南省名校联盟高三上学期9月联考）已知椭圆 的离心率为 ,左､右
焦点分别为 是椭圆上关于原点对称的两点, .
(1)求椭圆C的方程；
(2)椭圆左顶点为A,上顶点为B,直线 且交椭圆于P,Q,求 的面积最大时,l的方程.
【解析】（1）由题意得 ,
化简得 ,则 .
根据对称性得 ,故 ,即 ,
所以 ,
故椭圆C的方程为 .
（2）由（1）得 ,设 ,l的方程为 ,代入椭圆方程 ,
整理得 ,则 ,
,解得 且 .故 ,
点 到直线l的距离为 ,
则 .
令 ,则 .
当t变化时, 的变化情况如下表：
t
+ - + -
比较 与 知,当 时, 面积取最大,
此时,l的方程为 .
9．已知一条动直线 ,直线l过动直线的定点P,且直线l与x轴、y轴的正半轴
分别交于A,B两点,O为坐标原点．
(1)是否存在直线l满足下列条件：① AOB的周长为12；② AOB的面积为6．若存在,求出直线l的方程；
若不存在,请说明理由． △ △
(2)当 取得最小值时,求直线l的方程．
【解析】（1） ,即 ,由 ,解得 ,故动直线过定点 ．
设直线l的方程为 ,
将 代入得 ．①
由A（a,0）,B（0,b）, AOB的周长为12,面积为6,得 ,
△
令a＋b＝t,则 ,所以 ,即 ,化简得24t＝168,解得t＝7,
所以有 ,解得 或 ．
其中 不满足①, 满足①．
所以存在直线l的方程为 ,即3x＋4y－12＝0满足条件．
（2）由（1）可知直线l过定点 ,直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点,所以直线l的倾斜
角 ,
所以 , ,
所以 ,②
令 ,因为 ,所以 ,所以 ,
所以 ．
则 ,
因为 在 上为减函数,所以 在 上为增函数,
故当 ,即 时, 取得最小值 ．
此时直线l的方程为 ,即3x＋3y－10＝0．
10．如图,已知点 为抛物线 的焦点．过点F的直线交抛物线于A,B两点,点A在第一
象限,点C在抛物线上,使得 的重心G在x轴上,直线 交x轴于点Q,且Q在点F的右侧,记 ,
的面积分别为 , ．
(1)求p的值及抛物线的准线方程；
(2)设A点纵坐标为 ,求 关于t的函数关系式；
(3)求 的最小值及此时点G的坐标．【解析】（1）因为点 为抛物线 的焦点,
所以 ,即 ,准线方程 .
（2）设 ,
设直线AB的方程为 ,与抛物线方程 联立可得：
,故： ,
,
设点C的坐标为 ,由重心坐标公式可得：
, ,
令 可得： ,则 .即 ,
由斜率公式可得： ,
直线AC的方程为： ,
令 可得： ,
故 ,
且 ,
由于 ,代入上式可得： ,由 可得 ,则 ,
则 ,
令 ,得 .
即 关于t的函数关系式为 .
（3）设 ,则 ,
当且仅当 ,即 , , 时等号成立,
即 的最小值为 ,
此时 , ,则点G的坐标为 .
11.（2022届河南省中原顶级名校高三上学期1月联考）已知椭圆 的左、右焦点分
别为 , ,过点 的直线 交椭圆 于 , 两点.当直线 的斜率为1时,点 是线段 的
中点.（1）求椭圆 的标准方程；
（2）如图,若过点 的直线 交椭圆 于 , 两点,且 ,求四边形 的面积的最大值.
【解析】（1）设 , .
由题意可得
∴ ,即 ,
∴ .
∵ ,∴ , ,
∴椭圆 的标准方程为 .
（2）根据对称性知 , ,
∴四边形 是平行四边形,又 ,
∴问题可转化为求 的最大值.
设直线 的方程为 ,代入 ,得 .
则 , ,
∴ .
令 ,则 ,且 ,
∴ .
记 ,易知 在 上单调递增.∴ .
∴ .
∴四边形 的面积的最大值是6.
12.（2022届浙江省绍兴市高三上学期12月月考）已知抛物线 的焦点是 ,如图,过点
作抛物线 的两条切线,切点分别是 和 ,线段 的中点为 ．
（1）求抛物线 的标准方程；
（2）求证：直线 轴；
（3）以线段 为直径作圆,交直线 于 ,求 的取值范围．
【解析】（1）设抛物线的方程为 ,
由题意可得 ,所以 ,所以抛物线方程 .
（2）由（1） ,因为 ,设 ,
直线 的方程为 ,直线 的方程为 ,
联立上述两直线方程,得 点坐标 ,
又因为 点为线段 的中点,所以 点坐标 ,因为 ,所以直线 轴：
（3）因为点 ,所以 ,则 ,圆心 ,
直线 的斜率为 ,直线 方程为 ,
,得 , , ,
圆心到直线 的距离为 ,半径 ,
,令 ,
在 时单调递减, ．
13．（2022届广东省华南师范大学附属中学高三上学期综合测试）已知椭圆 经过
点 ,离心率为 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）直线 与椭圆 相交于 两点,求 的最大值.
【解析】（1）由已知得 解得 ,
因此椭圆C的方程为 ；
（2）由 整理得 ,设 ,则 ,
因为
,
所以MA⊥MB,三角形MAB为直角三角形,
设d为点M到直线 的距离,故 ,
又因为 ,
,
所以 ,
设 ,则 ,由于 ,
所以 ,当 ,即k=0时,等号成立.
因此, 的最大值为32.
14．（2022届贵州省遵义市高三上学期联考）已知椭圆 的左､右焦点分别为 和
,且 , , , 四点中恰有三点在椭圆C上.
（1）求椭圆C的标准方程；（2）点P是椭圆C上位于x轴上方的动点,直线 和 与直线 分别交于G和H两点,设直线 和
的斜率分别为 和 ,若线段GH的长度小于 ,求 的最大值.
【解析】（1）由于 , 两点关于y轴对称,故由题设知C经过 , 两点.
又由 ,知C不经过 ,所以点 在C上.
所以 解得
所以椭圆C的标准方程为 ；
（2）设 ,如图,过点P作直线 轴,
分别交x轴和直线 于M,N两点.
易知 ,则 ,即 ,
由 ,得 ,所以 ,
由 ,得 ,从而
所以当 时, ,即 的最大值为 .
