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专题16 抛物线的焦点弦、中点弦、弦长问题
限时：120分钟 满分：150分
一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要
求的.
1．已知抛物线 的焦点为 ，则过点 且斜率为 的直线 截抛物线 所得弦长为（ ）
A． B． C． D．
2．设 为抛物线 的焦点，过点 的直线 交 于 两点，若 ，则
（ ）
A．8 B．12 C．16 D．24
3．过抛物线 的焦点 的直线 交 于 两点，若直线 过点 ，且 ，则
抛物线 的准线方程是（ ）
A． B． C． D．
4．过点 作抛物线 的弦AB，恰被点Q平分，则弦AB所在直线的方程为 （ ）
A． B．
C． D．
5．已知直线 与抛物线 ： 交于 ， 两点，过 ， 分别作 的切线交于点 ，
若 的面积为 ，则 （ ）
A．1 B． C． D．2
6．已知抛物线 ： 的焦点为F，过F且斜率大于零的直线l与 及抛物线 ： 的所有公共点从右到左分别为点A，B，C，则 （ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
7．已知斜率为 的直线过抛物线C： 的焦点F且与抛物线C相交于A，B两点，过A，B分
别作该抛物线准线的垂线，垂足分别为 ， ，若 与 的面积之比为3，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知抛物线 的焦点 与 的一个焦点重合，过焦点 的直线与 交于 ，
两不同点，抛物线 在 ， 两点处的切线相交于点 ，且 的横坐标为4，则弦长 （ ）
A．16 B．26 C．14 D．24
二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符
合题目要求的.
9．已知 是抛物线 内一动点，直线 过点 且与抛物线 相交于 两点，则下列说法正确
的是（ ）
A． 时， 的最小值为
B． 的取值范围是
C．当点 是弦 的中点时，直线 的斜率为
D．当点 是弦 的中点时， 轴上存在一定点 ，都有
10．已知A，B是抛物线 ： 上两动点， 为抛物线 的焦点，则（ ）
A．直线AB过焦点F时， 最小值为4
B．直线AB过焦点F且倾斜角为 时，
C．若AB中点M的横坐标为2，则 最大值为5D．
11．过抛物线 上一点 作两条相互垂直的直线，与 的另外两个交点分别为 ，则
（ ）
A． 的准线方程是
B．过 的焦点的最短弦长为2
C．直线 过定点
D．若直线 过点 ，则 的面积为24
12．已知 是抛物线 的焦点， ， 是抛物线 上的两点， 为坐标原点，则（ ）
A．抛物线 的准线方程为
B．若 ，则 的面积为
C．若直线 过焦点 ，且 ，则 到直线 的距离为
D．若 ，则
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．抛物线 截直线 所得弦长等于 .
14．若抛物线 的弦被点 平分，则此弦所在直线的斜率为 ．
15．已知斜率为 的直线过抛物线 的焦点 ，与抛物线 交于 两点（ 在 的左
侧），又 为坐标原点，点 （异于 ）也为抛物线 上一点，且 ，则实数 的
值为 .
16．已知抛物线 的焦点为 ，准线与 轴的交点为 ，过点 的直线与抛物线交于点， ， ， 且 ，则 .
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知抛物线 的焦点为 ，斜率为 的直线 与 交于 两点，与 轴交点为P.
(1)若 ，求 的方程；
(2)若 ，求 .
18．已知直线 与抛物线 相交于 、 两点.
(1)若直线 过点 ，且倾斜角为 ，求 的值；
(2)若直线 过点 ，且弦 恰被 平分，求 所在直线的方程.
19．已知直线 轴，垂足为x轴负半轴上的点E，点E关于原点O的对称点为F，且 ，直线
，垂足为A，线段AF的垂直平分线与直线 交于点B，记点B的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)已知点 ，不过点P的直线l与曲线C交于M，N两点，以线段MN为直径的圆恒过点P，点P关
于x轴的对称点为Q，若 的面积是 ，求直线 的斜率.20．设抛物线C： 的焦点为F，P是抛物线外一点，直线PA，PB与抛物线C切于A，B两点，过点
P的直线交抛物线C于D，E两点，直线AB与DE交于点Q.
(1)若AB过焦点F，且 ，求直线AB的倾斜角；
(2)求 的值.
21．已知 是抛物线 的焦点，过点 的直线交抛物线 于 两点，当 平行于 轴
时， .
(1)求抛物线 的方程；
(2)若 为坐标原点，过点 作 轴的垂线交直线 于点 ，过点 作直线 的垂线与抛物线 的另一
交点为 的中点为 ，证明： 三点共线.22．已知抛物线 ： 上一点 到焦点的距离为2.
(1)求抛物线 的方程；
(2)过点 的直线交抛物线 于 ， 两点，点 ，连接 交抛物线 于另一点 ，连接 交
抛物线 于另一点 ，且 与 的面积之比为 ，求直线 的方程.
