文档内容
（北师大版）七年级上册数学《第 4 章 基本平面图形》
4.2 角
角的概念、表示方法
知识点一
◆1、角的概念：
静态定义：有公共端点的两条射线组成的图形，叫做角.
动态定义：如图（1）角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转所形成的图形.
①如图（2），当射线旋转到起始位置OA与终止位置OB在一条直线上时，形成平角；
②如图（3），继续旋转，OB与OA重合时，又形成周角；
◆2、角的表示方法：
角的几何符号为“∠”，角的表示方法有以下四种：
记作：（1）∠AOB （2） ∠O （3）∠1 （4） ∠α
1表示方法 温馨提示
（1）用三个大写字母表示 表示顶点的字母必须写在中间 .
（2）用一个大写字母表示 以这个字母为顶点的角只有一个.
（3）用一个 阿拉伯数字表示 在靠近顶点处画上弧线，并写上数字.
（4）用一个小写希腊字母表示. 在靠近顶点处画 弧线，并写上希腊字母.
角的度量单位及换算方法
知识点二
◆1、角的度量单位是：度、分、秒.
我们常用量角器量角，度、分、秒是常用的角的度量单位. 把一个周角 360 等分，每一
份就是 1 度的角，记作 1°；把 1 度的角 60 等分，每一份叫做 1 分的角，记作 1′；
把 1 分的角 60 等分，每一份叫做 1 秒的角，记作 1″.
◆2、角度制：以度、分、秒为单位的角的度量制.
◆3、平角与周角的概念
平角：一条射线绕着它的端点旋转,当终边与始边成一条直线时,所成的角叫作平角；
周角：一条射线绕着它的端点旋转,当终边与始边重合时,所成的角叫作周角.
1周角＝360 ° 1平角＝180°
◆4、度、分、秒是角的基本度量单位，它们的换算关系如下：
1 1
1°＝ 60 ′ 1′＝ ° 1′＝ 60 ″ 1″＝ ′
60 60
角的比较与运算
知识点三
◆1、角的比较有两种方法：
方法一：度量法，测量度数大的那个角就大，反之，度数小的那个角就小 .
方法二：叠合法：利用尺规作图把其中的一条边重合，通过观察另一条边的位置作比较
2①若边OB在∠A'O'B'内部，则∠AOB ＜ ∠A'O'B'
②若边OB与O'B'
重合，则∠AOB ＝∠A'O'B'
③若边OB在∠A'O'B'外部，则∠AOB ＞ ∠A'O'B'
◆2、角的平分线：
一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做
这个角的平分线.
因为 OC 是∠AOB 的平分线，
1
所以∠AOC＝∠BOC＝ ∠AOB，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC.
2
◆3、角的和、差
∠AOC 是∠AOB 与∠BOC的和 ，记作∠AOC = ∠AOB +∠BOC；
∠AOB 是∠AOC与∠BOC的差，记作∠AOB = ∠AOC－∠BOC；
类似地，∠AOC－∠AOB= ∠AOC
用尺规作一个角等于已知角
知识点四
◆作一个角等于已知角.
已知：∠AOB，求作∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB.
3题型一 角的定义及角的表示方法
解题技巧提炼
（1）角的定义：有公共端点是两条射线组成的图形叫做角，其中这个公共端点
是角的顶点，这两条射线是角的两条边．
（2）角的表示方法：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表
示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处
的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．角还可以用一个
希腊字母（如∠α，∠β，∠γ、…）表示，或用阿拉伯数字（∠1，∠2…）表
示．
（3）平角、周角：角也可以看作是由一条射线绕它的端点旋转而形成的图形，
当始边与终边成一条直线时形成平角，当始 边与终边旋转重合时，形成周角．
1．（2023春•肥城市期中）如图所示，下列说法错误的是（ ）
A．∠DAO可用∠DAC表示 B．∠COB也可用∠O表示
4C．∠2也可用∠OBC表示 D．∠CDB也可用∠1表示
【分析】根据角的表示方法进行判断．
【解答】解：A、∠DAO可用∠DAC表示，本选项说法正确；
B、∠COB不能用∠O表示，本选项说法错误；
C、∠2也可用∠OBC表示，本选项说法正确；
D、∠CDB也可用∠1表示，本选项说法正确；
故选：B．
【点评】本题考查的是角的概念，角的表示方法：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母
表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个
角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．
2．（2024春•聊城月考）下列说法中正确的是（ ）
A．直线是平角
B．角的大小与角的两边长有关
C．角的两边是两条射线
D．用放大镜看一个角，角的度数变大了
【分析】分析题意，根据“有公共端点的两条射线组成的图形叫做角”即可判断A、C选项的正误；放
大镜是将物体整体放大，但不改变角的大小；角的大小只与它的两边张开的大小有关据此解答．
【解答】解：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，故A错误，不符合题意，C正确，符合题意；
角的大小与边的长短无关，只与它的两边张开的大小有关，故B错误，不符合题意；
放大镜是将物体整体放大，所以不改变角的大小，故D错误，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了角的概念，关键是角的概念的熟练应用．
3．下列关于角的说法中，正确的个数为（ ）
①两条有公共点的射线组成的图形叫做角；②角是由一个端点引出的两条射线所组成的图形；③两条
射线，它们的端点重合时，可以形成角；④角的大小与边的长短有关．
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】首先正确理解角的概念：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，注意不要忽略“公共端
点”，还应注意角的大小与边的长短无关，与度数的大小一致；然后结合角的定义的理解，对选项进行
一一分析，排除错误答案即可．
【解答】解：角是由有公共端点的两条射线所构成的图形，故①③正确，②错误；
角的大小与边的长短无关，只与两条边张开的角度有关，故④错误．
5故选：C．
【点评】本题主要考查的是角的知识，熟练掌握角的定义是解题的关键．
4．（2023秋•晋江市期末）如图，下列说法不正确的是（ ）
A．∠BAC和∠DAE是同一个角
B．∠ABC和∠ACB不是同一个角
C．∠ABC可以用∠B表示
D．∠AED可以用∠E表示
【分析】根据角的定义解答即可．
【解答】解：A、∠BAC和∠DAE是同一个角，正确，不合题意；
B、∠ABC和∠ACB不是同一个角，正确，不合题意；
C、∠ABC可以用∠B表示，正确，不合题意；
D、∠AED可不以用∠E表示，不正确，符合题意；
故选：D．
【点评】此题考查的是角的定义，有公共端点是两条射线组成的图形叫做角，其中这个公共端点是角的
顶点，这两条射线是角的两条边．
5．（2023秋•唐县期末）下列四个图中，能用∠1、∠AOB、∠O三种方法表示同一个角的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据角的表示方法和图形选出即可．
【解答】解：A、图中的∠AOB不能用∠O表示，故本选项错误；
B、图中的∠1和∠AOB不是表示同一个角，故本选项错误；
C、图中的∠1和∠AOB不是表示同一个角，故本选项错误；
6D、图中∠1、∠AOB、∠O表示同一个角，故本选项正确；
故选：D．
【点评】本题考查了角的表示方法的应用，主要考查学生的理解能力和观察图形的能力．
6．（2024春•淄川区期末）下列图中的∠1也可以用∠O表示的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据顶点只有一个角时可用一个大写字母表示角，所以可判定答案．
【解答】解：选项A：∠1的顶点处只有一个角（小于平角），可用∠O表示，符合题意；
选项B：∠1顶点处有三个角（小于平角），不能用∠O表示，不符合题意；
选项C：∠1顶点处有2个角（小于平角），不能用∠O表示，不符合题意；
选项D：∠1顶点处有4个角（小于平角），不能用∠O表示，不符合题意．
故选：A．
【点评】此题主要考查了角的概念，关键是掌握角的表示方法．
题型二 角的换算
解题技巧提炼
角的度量：度、分、秒是常用的角的度量单位．1度＝60分，即1°＝60′，1
分＝60秒，即1′＝60″．
1．（2024春•张店区校级月考）把2.36°用度、分、秒表示，正确的是（ ）
A．2°21′36′′ B．2°18′36′′ C．2°30′50′′ D．2°3′6′′
【分析】利用度分秒之间的换算关系进行计算即可求解．
【解答】解：2.36°＝2°+0.36×60′＝2°21′+0.6×60″＝2°21′36″，
故选：A．
【点评】此题主要考查度、分、秒的转化运算，进行度、分、秒的转化运算，注意以60为进制．
2．（2023秋•新乐市期末）若∠ ＝5.12°，则∠ 用度、分、秒表示为（ ）
α α
7A．5°12' B．5°7'12'' C．5°7'2'' D．5°10'2''
【分析】利用度分秒之间的换算关系进行计算即可求解．
【解答】解：∠ ＝5.12°＝5°+0.12×60′＝5°+7′+0.2×60″＝5°7′12″．
故选：B． α
【点评】此题主要考查了度分秒的换算，解题的关键是掌握1°＝60′，1′＝60″．
3．（2023秋•永年区期中）下列各式中，正确的是（ ）
A．35.5°＝35°50′ B．15°12′36″＝15.48°
C．28°18′18″＝28.33° D．65.25°＝65°15′
【分析】按照角的度量单位进行转化即可判断．
【解答】解：A．35.5°＝35°30′，不符合题意；
B．15°12′36″＝15.21°，不符合题意；
C．28°18′18″＝28.305°，不符合题意；
D．65.25°＝65°15′，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了角的单位转化，解题关键是明确1°＝60′，1′＝60″．
4．下列式子中错误的是（ ）
A．38.78°＝38°46′48″
B．50°42'＝50.7°
C．98°45'+2°35'＝101°20'
D．108°18'﹣57°23'＝51°55'
【分析】根据“1度＝60分，即1°＝60′，1分＝60秒，即1′＝60″”进行度分秒的换算和度分秒间的
加减计算．
【解答】解：A、38.78°＝38°46′48''，计算正确，故本选项不符合题意．
B、50°42'＝50.7°，计算正确，故本选项不符题意．
C、98°45'+2°35'＝（98°+2°）+（45′+35′）＝100°+80′＝101°20'，计算正确，故本选项不符合题意．
D、108°18'﹣57°23'＝（107°﹣57°）+（78′﹣23′）＝50°55'，计算错误，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】考查了度分秒的换算，角的度量单位度、分、秒之间是 60进制，将高级单位化为低级单位时，
乘以60，反之，将低级单位转化为高级单位时除以60．同时，在进行度、分、秒的运算时也应注意借位
和进位的方法．
85．（2024春•张店区校级月考）1.16°＝ ° ′ ″；45°57′18″＝ °
【分析】度、分、秒之间是60进制，将高级单位化为低级单位时，乘以60，反之，将低级单位转化为
高级单位时除以60．
【解答】解：①∵0.16°＝0.16×60′＝9.6′，0.6′＝0.6×60″＝36″，
∴1.16°＝1°9′36″；
②∵18″＝18÷60＝0.3′，57.3′＝57.3÷60＝0.955°，
∴45°57′18″＝45.955°；
故答案为：1，9，36；45.955．
【点评】本题考查了度、分、秒之间的换算，掌握相关运算是解题的关键．
6．计算：
（1）8.76°＝ ° ′ ″；
（2）540″＝ °．
【分析】（1）根据1°＝60'，1'＝60''进行换算即可；
（2）根据1°＝3600''进行换算即可．
【解答】解：（1）0.76°×60＝45.6'，0.6'×60＝36''，
所以8.76°＝8°45'36''，
故答案为：8，45，36；
（2）540''÷3600＝0.15°，
故答案为：0.15．
【点评】本题考查了度分秒的换算，熟练掌握单位之间的换算关系是解题的关键．
题型三 角度的运算
解题技巧提炼
1、度、分、秒的加减运算．在进行度分秒的加减时，要将度与度，分与分，秒
与秒相加减，分秒相加，逢60要进位，相减时，要借1化60．
2、度、分、秒的乘除运算．①乘法：度、分、秒分别相乘，结果逢60要进位．
②除法：度、分、秒分别去除，把每一次的余数化作下一级单位进一步去除．
1．（2024春•坊子区校级月考）计算：
（1）47°53′43″+53°47′42″；
（2）92°56′3″﹣46°57′54″．
【分析】（1）先度分秒分别相加，再根据满60进1的原则求出即可；
9（2）先进行单位的换算，再度分秒分别相减即可．
【解答】解：（1）47°53′43″+53°47′42″
＝100°100′85″
＝101°41′25″；
（2）92°56′3″﹣46°57′54″
＝91°+115′+63″﹣46°﹣57′﹣54″
＝45°+58′+9″
＝45°58′9″．
【点评】本题考查了度分秒之间的换算，掌握1°＝60′，1′＝60″是解题的关键．
2．（2023秋•孝南区期末）计算：
（1）48°39'+67°31'；
（2）23°53'×2﹣17°43'．
【分析】（1）根据度分秒的进制进行计算，即可解答；
（2）根据度分秒的进制进行计算，即可解答．
【解答】解：（1）48°39'+67°31'
＝115°70′
＝116°10′；
（2）23°53'×2﹣17°43'
＝46°106′﹣17°43′
＝29°63′
＝30°3′．
【点评】本题考查了度分秒的换算，熟练掌握度分秒的进制是解题的关键．
3．（2023春•谯城区校级期末）计算：
（1）89°35'+20°25'（结果用度、分、秒表示）．
（2）123°24'﹣60°36'（结果用度表示）．
【分析】（1）根据度分秒的进制进行计算，即可解答；
（2）根据度分秒的进制进行计算，即可解答．
【解答】解：（1）89°35'+20°25'
＝109°60′
＝110°；
10（2）123°24'﹣60°36'
＝123.4°﹣60.6°
＝62.8°．
【点评】本题考查了度分秒的换算，熟练掌握度分秒的进制是解题的关键．
4．如图，AB是一条直线，如果∠1＝65°15′，∠2＝78°35′，且∠1+∠2+∠3＝180°，求∠3的度数．
【分析】根据已知条件可得∠3＝180°﹣∠1﹣∠2；接下来将∠1与∠2的度数，代入计算，即可解答．
【解答】解：∵∠1＝65°15′，∠2＝78°35′，且∠1+∠2+∠3＝180°，
∴∠3＝180°﹣∠1﹣∠2
＝180°﹣65°15′﹣78°35′
＝36°10′．
故∠3的度数是36°10′．
【点评】本题侧重考查度分秒的换算．掌握度、分、秒之间的进率和计算方法是解题的关键．
5．（2023秋•罗山县校级月考）计算：
①180°﹣18°15'×6；
②90°﹣（78°36'﹣13°10'÷4）．
【分析】①先计算乘法，再计算减法即可；
②先计算除法和括号内的减法，再计算减法即可．
【解答】解：①180°﹣18°15'×6
＝180°﹣109°30'
＝70°30'；
②90°﹣（78°36'﹣13°10'÷4）
＝90°﹣（78°36'﹣3°17'30″）
＝90°﹣75°18'30″
＝14°41'30″．
【点评】此类题考查了度、分、秒的换算，是角度计算中的一个难点，注意以60为进制即可．
6．计算．（1）56°18'+61°35'
（2）19°26'﹣7°33'
11（3）78°14'+25°46'
（4）108°11'5'﹣22°38'26″
【分析】利用度分秒的进制，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）56°18'+61°35'＝117°53'；
（2）19°26'﹣7°33'＝18°86'﹣7°33'＝11°53'；
（3）78°14'+25°46'＝103°60'＝104°；
（4）108°11'5″﹣22°38'26″＝107°70'65″﹣22°38'26″＝85°32'39″．
【点评】本题考查了度分秒的换算，熟练掌握度分秒的进制是解题的关键．
7．计算：
（1）51°37′11″﹣30°30′30″+12°25′40″；
（2）13°53′×3﹣32°5′31″．
【分析】（1）先进行度、分、秒的除法计算，再算加法．
（2）先进行度、分、秒的乘法计算，再算减法．
【解答】解：（1）51°37′11″﹣30°30′30″+12°25′40″
＝51°37′11″+12°25′40″﹣30°30′30″
＝63°62′51″﹣30°30′30″
＝33°32′21″；
（2）13°53′×3﹣32°5′31″
＝39°159′﹣32°5′31″
＝7°153′29″．
＝9°33′29″．
【点评】此类题是进行度、分、秒的混合运算，是角度计算中的一个难点，注意以 60为进制即可．计算
除法时，度的余数化为分，分的余数化为秒再计算．计算乘法时，秒满 60时转化为分，分满60时转化为
度．两个度数相加，度与度，分与分对应相加，分的结果若满60，则转化为度．两个度数相减，被减数
可借1°转化为60′，借一分转化为60″，再计算．
题型四 钟表中的角度问题
12解题技巧提炼
1、钟面一周平均分60格，相邻两格刻度之间的时间间隔是1分钟，时针1分钟
1
走 格，分针1分钟走1格．钟面上每一格的度数为360°÷12＝30°．
12
2、计算钟面上时针与分针所成角的度数，一般先从钟面上找出某一时刻分针与
时针所处的位置，确定其夹角，再根据表面上每一格30°的规律，计算出分针
与时针的夹角的度数．
3、钟面上的路程问题
分针：60分钟转一圈，每分钟转动的角度为：360°÷60＝6°
时针：12小时转一圈，每分钟转动的角度为：360°÷12÷60＝0.5°．
1．（2023秋•梁山县期末）钟表8时30分时，时针与分针所成的角的度数为（ ）
A．110° B．75° C．105° D．90°
【分析】根据时钟上一大格是30°进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
1
2×30°+ ×30°
2
＝60°+15°
＝75°，
∴钟表8时30分时，时针与分针所成的角的度数为75°．
故选：B．
【点评】本题考查了钟面角，熟练掌握时钟上一大格是30°是解题的关键．
2．（2023秋•西山区期末）从下午13：00到当天下午13：30，时钟的分针转过的角度度数是（ ）
A．90° B．120° C．180° D．150°
【分析】根据时钟上一大格是30°进行计算，即可解答．
【解答】解：由题意得：6×30°＝180°，
∴从下午13：00到当天下午13：30，时钟的分针转过的角度度数是180°，
故选：C．
【点评】本题考查了钟面角，熟练掌握时钟上一大格是30°是解题的关键．
3．（2024春•泰山区期中）如图，1时30分的时候，钟表的时针与分针所组成的小于平角的角的度数是（
）
13A．120° B．125° C．135° D．150°
【分析】根据时钟上一大格是30°进行计算，即可解答．
【解答】解：由题意得：4.5×30°＝135°，
∴1时30分的时候，钟表的时针与分针所组成的小于平角的角的度数是135°，
故选：C．
【点评】本题考查了钟面角，熟练掌握时钟上一大格是30°是解题的关键．
4．（2023秋•乌鲁木齐期末）钟表上的分针和时针经过40分钟，分针和时针旋转的角度分别
是（ ）
A．40°和20° B．240°和20° C．240°和40° D．40°和40°
【分析】画出图形，利用钟表表盘的特征解答．
【解答】
解：如图，从6：50到7：30，钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°，钟表上的分针经过40
1
分钟旋转的角度是30°×8＝240°，钟表上的时针经过40分钟旋转的角度是240°× =20度．
12
故选：B．
【点评】本题考查钟表时针与分针的夹角．在钟表问题中，常利用时针与分针转动的度数关系：分针每
1
转动1°时针转动（ ）°；两个相邻数字间的夹角为30°，每个小格夹角为6°，并且利用起点时间时针和
12
分针的位置关系建立角的图形．
5．（2023秋•金台区校级月考）当时针指向上午10：15时，时针与分针的夹角是 °．
【分析】根据时针一分钟转360°÷12÷60＝0.5°，分钟一分钟转360°÷60＝6°，求出从10：00到10：15，
14时针和分针所走的度数，进行求解即可．
【解答】解：∵时针一分钟转360°÷12÷60＝0.5°，分钟一分钟转360°÷60＝6°，
∴从10：00到10：15，时针转过的度数为：15×0.5°＝7.5°，分针转过的度数为15×6°＝90°，
∵十点时，时针与分针的夹角为60°，
∴时针与分针的夹角是90°+60°﹣7.5°＝142.5°；
故答案为：142.5．
【点评】本题考查钟面角，解题的关键是理解时针一分钟转360°÷12÷60＝0.5°，分钟一分钟转360°÷60＝
6°．
6．知识的迁移与应用
问题一：甲、乙两车分别从相距180km的 A、B两地出发，甲车速度为36km/h，乙车速度为24km/h，两
车同时出发，同向而行（乙车在前甲车在后）， 后两车相距120km？
问题二：将线段弯曲后可视作钟表的一部分，如图，在一个圆形时钟的表面上，OA表示时针，OB表示
分针（O为两针的旋转中心）．下午3点时，OA与OB成直角．
（1）3：40时，时针与分针所成的角度 ；
（2）分针每分钟转过的角度为 ，时针每分钟转过的角度为 ；
（3）在下午3点至4点之间，从下午3点开始，经过多少分钟，时针与分针成60°角？
【分析】问题一：分两种情况解答：①乙车在前甲车在后，②甲车在前乙车在后；列出方程求解即可；
问题二：（1）根据钟面的特点，平均分成12份，可得每份30°，根据时针与分针相距的份数乘以每份的
度数，可得答案．
1 1
（2）钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份，每一份是30°，分针每分钟转过的角是 分，即 ×
5 5
30°＝6°；时钟的时针每小时转过的角是一份，即30°，可得时针每分钟转过的角度为0.5°；
（3）分①当分针在时针上方时②当分针在时针下方时两种情况列出方程解答即可．
【解答】解：问题一：设xh后两车相距120km，
若相遇前，则36x﹣24x＝180﹣120，
解得x＝5，
若相遇后，则36x﹣24x＝180+120，
15解得x＝25．
故两车同时出发，同向而行（乙车在前甲车在后），5或25后两车相距120km；
40
（1）30°×（5− ）＝130°．
60
故3：40时，时针与分针所成的角度130°；
（2）分针每分钟转过的角度为6°，时针每分钟转过的角度为0.5°；
（3）设在下午3点至4点之间，从下午3点开始，经过x分钟，时针与分针成60° 角．
①当分针在时针上方时，
x
由题意得：（3+ ）×30﹣6x＝60，
60
60
解得：x= ；
11
②当分针在时针下方时，
x
由题意得：6x﹣（3+ ）×30＝60
60
300
解得：x= ．
11
60 300
答：在下午3点至4点之间，从下午3点开始，经过 或 分钟，时针与分针成60° 角．
11 11
故答案是：5或25；130°；6°；0.5°．
【点评】问题一：考查了一元一次方程的应用，主要利用了相遇问题等量关系，追及问题等量关系，熟
练掌握行程问题的等量关系是解题的关键，难点在于分情况讨论．
问题二：考查了钟面角，时针与分针相距的份数乘以每份的度数．
题型五 角的计数与规律探究
解题技巧提炼
数角的个数的方法类似于数线段的方法,当∠AOB内部有n条射线时，射线的总
（n+1）(n+2)
数就有（n+2）条，共有 个角.
2
1．（2023秋•青龙县期中）如图所示，图中共有多少个小于平角的角（ ）
16A．10个 B．9个 C．8个 D．4个
【分析】根据角的定义即可解决．
【解答】解：图中小于平角的角∠AOD，∠AOC，∠AOE，∠DOC，∠DOE，∠DOB，∠COE，
∠COB，∠EOB，∠AOB共10个．
故选：A．
【点评】本题考查了角的概念，是基础题，难点在于计算角的个数时要分单个的角与复合角两个部分查
出．
2．（2023秋•兴城市期末）如图①，若在∠AOB的内部以O为端点做一条射线OA ，得到3个角；如图
1
②，若在∠AOB的内部以O为端点做两条射线OA 和OA ，得到6个角……，以此类推，如果在∠AOB
1 2
的内部以O为端点做n条射线，则图③中角的个数为（ ）
(n+1)(n+2)
A．n（n+1） B．
2
n(n+1) n(n−1)
C． D．
2 2
【分析】根据角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形，根据图①，图②得出规律，即可．
【解答】解：图①：有3条射线，组成1+2个角；
图②：有4条射线，组成1+2+3个角；
1
∴当有a条射线，组成1+2+3+⋯+(a−1)= ×a×(a−1)个角；
2
∵图③有n+2条射线，即a＝n+2，
1 (n+1)(n+2)
∴组成 ×(n+2)×(n+1)= 个角．
2 2
17故选：B．
【点评】本题考查角的定义，解题的关键是理解角的定义，观察上述图形，找出规律．
3．（2023秋•泗县期末）如图，已知∠MON，在∠MON内逐一画射线，下面三个图中分别有3个、6个、
10个角（不大于平角的角）．当∠MON内有n条射线时，角的个数为（ ）
n2 n(n+1)
A． B．
2 2
n(n−1) (n+1)(n+2)
C． D．
2 2
【分析】画1条、2条、3条射线时可以数出角的个数分别有3个、6个、10个角，当画n条时，由规律
得到角的个数的表达式．
【解答】解：画n条射线所得的角的个数为：
(n+1)(n+2)
1+2+3+…+（n+1）= ．
2
故选：D．
【点评】本题考查了对角的概念的应用，关键是能根据求出结果得出规律．
4．（2023秋•连城县期末）在锐角∠AOB内部，画出1条射线，可以画出3个锐角；画出2条不同的射
线，可以画出6个锐角；画出3条不同的射线，可以画出10个锐角．照此规律，画19条不同的射线，可
以画出锐角的个数为（ ）
A．165 B．186 C．199 D．210
【分析】分别找出各图形中锐角的个数，找出规律解题．
【解答】解：∵在锐角∠AOB内部，画1条射线，可得1+2＝3个锐角；
18在锐角∠AOB内部，画2条射线，可得1+2+3＝6个锐角；
在锐角∠AOB内部，画3条射线，可得1+2+3+4＝10个锐角；
…
∴从一个角的内部引出n条射线所得到的锐角的个数是
1
1+2+3+…+（n+1）= ×（n+1）×（n+2），
2
1
∴画19条不同射线，可得锐角 ×（19+1）×（19+2）＝210．
2
故选：D．
【点评】此题考查了角的概念，解决改题的关键是找到规律，从一个角的内部引出n条射线所得到的锐角
1
的个数是 ×（n+1）×（n+2）．
2
5．观察如图，回答下列问题：
（1）在∠AOB内部画1条射线OC，则图中有 个不同的角；
（2）在∠AOB内部画2条射线OC，OD，则图中有 个不同的角；
（3）在∠AOB内部画3条射线OC，OD，OE，则图中有 个不同的角；
（4）在∠AOB内部画10条射线OC，OD，OE…则图中有 个不同的角；
（5）在∠AOB内部画n条射线OC，OD，OE…则图中有 个不同的角．
【分析】（1）根据图形数出即可；
（2）根据图形数出即可；
（3）根据图形数出即可；
（4）有1+2+3+…+9+10+11＝66个角；
（5）求出1+2+3+…+n+（n+1）的值即可．
【解答】解：（1）在∠AOB内部画1条射线OC，则图中有3个不同的角，
故答案为：3．
（2）在∠AOB内部画2条射线OC，OD，则图中有6个不同的角，
19故答案为：6．
（3）在∠AOB内部画3条射线OC，OD，OE，则图中有10个不同的角，
故答案为：10．
（4）在∠AOB内部画10条射线OC，OD，OE，…，则图中有1+2+3+…+10+11＝66个不同的角，
故答案为：66．
(n+1)(n+2)
（5）在∠AOB内部画n条射线OC，OD，OE，…，则图中有1+2+3+…+n+（n+1）= 个不
2
同的角，
(n+1)(n+2)
故答案为： ．
2
【点评】本题考查了角的有关概念的应用，关键是能根据题意得出规律．
题型六 角的比较
解题技巧提炼
角的大小比较
（1）比较角的大小有两种方法：
①测量法，即用量角器量角的度数，角的度数越大，角越大．
②叠合法，即将两个角叠合在一起比较，使两个角的顶点及一边重合，观察另一
边的位置．
1．（2023春•岱岳区期末）在∠AOB内取一点C，作射线OC，则一定成立（ ）
A．∠AOC＝∠BOC B．∠AOC＞∠BOC C．∠BOC＞∠AOC D．∠AOB＞∠AOC
【分析】由角的大小比较方法，即可判断．
【解答】解：A、只有OC平分∠AOB时，∠AOC＝∠BOC，故A不符合题意；
B、∠AOC不一定大于∠BOC，故B不符合题意；
C、∠BOC不一定大于∠AOC，故C不符合题意；
D、∠AOB＞∠AOC，正确，故D符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查角的大小比较，关键是掌握角的大小比较方法．
2．（2023秋•呼和浩特期末）如图所示，正方形网格中有∠ 和∠ ，如果每个小正方形的边长都为1，估
测∠ 与∠ 的大小关系为（ ） α β
α β
20A．∠ ＜∠ B．∠ ＝∠ C．∠ ＞∠ D．无法估测
【分析α】将∠β 平移，让∠ α与∠ β两个角的顶点重合α ，即β可解答．
【解答】解：α将∠ 平移，α使∠ β与∠ 两个角的顶点重合，
可得：∠ 在∠ 的α内部， α β
所以∠ ＜α∠ ，β
故选：αA． β
【点评】本题考查了角的大小比较，利用平移的方法是解题的关键．
3．（2023秋•渠县校级期末）如图，射线 OC，OD分别在∠AOB的内部、外部，下列结论错误的是（
）
A．∠AOB＜∠AOD B．∠BOC＜∠AOB C．∠COD＞∠AOD D．∠AOB＞∠AOC
【分析】依据叠合法，将两个角叠合在一起比较，使两个角的顶点及一边重合，观察另一边的位置，即
可得出结论．
【解答】解：A．由题可得，∠AOB＜∠AOD，故本选项正确；
B．由题可得，∠BOC＜∠AOB，故本选项正确；
C．由题可得，∠COD＜∠AOD，故本选项错误；
D．由题可得，∠AOB＞∠AOC，故本选项正确；
故选：C．
【点评】本题主要考查了角的大小比较，关键是掌握叠合法判断角的大小关系．
4．（2023秋•红桥区期末）如图，用同样大小的三角板比较∠A和∠B的大小，下列判断正确的
是（ ）
21A．∠A＞∠B
B．∠A＜∠B
C．∠A＝∠B
D．没有量角器，无法确定
【分析】由图知/A∠45°，∠B＞45°，故可比较大小．
【解答】解：∵图中三角尺为等腰直角三角形，
∴∠A＜45°，＜B＞45°，
∴∠A＜∠B，
故选：B．
【点评】本题主要考查角的大小比较，掌握利用中间角比较角的大小是关键．
5．（2023秋•长安区期末）∠A＝40.4°，∠B＝40°4'，关于两个角的大小，下列正确的是（ ）
A．∠A＞∠B B．∠A＜∠B C．∠A＝∠B D．无法确定
【分析】先换算单位，再进行比较．
【解答】解：∵40.4°＝40°24′，
∴40°24′＞40°4'，
∴∠A＞∠B．
故选：A．
【点评】本题主要考查角的大小比较，解决本题的关键是熟练掌握度分秒的换算．
6．（2024春•莘县期末）若∠1＝25°12′，∠2＝25.12°，∠3＝25.2°，则下面说法正确的是（ ）
A．∠1＝∠2 B．∠2＝∠3
C．∠1＝∠3 D．∠1，∠2，∠3互不相等
【分析】据观察题中的角表示方法，只要把∠1转化为度的形式，即可比较三个角的大小．
12
【解答】解：∵∠1＝25 °＝25.2°，
60
∴∠1＝∠3．
故选：C．
【点评】本题主要考查比较的大小，把∠1转化为度的形式是解本题的关键．
227．（2023春•莱西市期中）如图所示，由正方形组成的网格中，点A，B，C，D，O是网格线交点，那么
∠AOB与∠COD的大小关系是∠AOB ∠COD．（填“＞”，“＜”或“＝”）
【分析】连接OE，根据题意可得：∠COE＝∠AOB，然后进行比较即可解答．
【解答】解：如图：连接OE，
由题意得：∠COE＝∠AOB，
∵∠COE＞∠COD，
∴∠AOB＞∠COD，
故答案为：＞．
【点评】本题考查了角的大小比较，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
题型七 角的和、差、倍、分
解题技巧提炼
角的和、差、倍、分
①∠AOB 是 ∠ AOC 和 ∠ BOC 的 和 ， 记 作 ： ∠ AOB ＝
∠AOC+∠BOC．∠AOC 是∠AOB 和∠BOC 的差，记作：
∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC．
1
②若射线OC是∠AOB的三等分线，则∠AOB＝3∠BOC或∠BOC= ∠AOB．
3
1．（2023秋•驻马店期末）如图，下列结论中，不能说明射线OC平分∠AOB的是（ ）
A．∠AOC＝∠BOC B．∠AOB＝2∠BOC
C．∠AOB＝2∠AOC D．∠AOC+∠BOC＝∠BOA
【分析】根据角平分线的性质，可得答案．
【解答】解：A、∵∠AOC＝∠BOC，∴OC平分∠AOB，故A正确；
23B、∵∠AOB＝2∠BOC，∠AOB＝∠AOC+∠BO，C∴∠AOC＝∠BOC，故B正确；
C、∵∠AOB＝2∠BOC，∠AOB＝∠AOC+∠BOC，∴∠AOC＝∠BOC，故C正确；
D、∵∠AOC+∠BOC＝∠AOB，∠AOC不一定等于∠BOC，故D错误；
故选：D．
【点评】本题考查了角平分线的定义，利用了角平分线的性质．
2．（2023春•阳谷县期中）如图∠AOB，以OB为边作∠BOC，使∠BOC＝2∠AOB，那么下列说法正确
的是（ ）
A．∠AOC＝3∠AOB
B．∠AOC＝∠AOB
C．∠AOC＞∠BOC
D．∠AOB＝∠AOC或∠AOC＝3∠AOB
【分析】一种可能OA是∠COB的角平分线，另一种可能是OA在∠COB的外边．
【解答】解：如图：有两种可能：
①
；
②
；
∠AOC＝3∠AOB不一定，故A选项错误，不符合题意；
∠AOC＝∠AOB不一定，故B选项错误，不符合题意；
24∠AOC可能等于∠BOC，故C选项错误，不符合题意；
D选项正确，符合题意；
故选：D．
【点评】本题关键考虑到两种可能的情况，再对选项一一判断．
3．（2023秋•雁塔区校级期中）如图，OB平分∠AOC，则∠AOD﹣∠BOC等于（ ）
A．∠BOD B．∠DOC C．∠AOB D．∠AOC
【分析】根据角平分线的定义以及图形中角的和差关系进行解答即可．
【解答】解：∵OB平分∠AOC，
∴∠AOB＝∠BOC，
∴∠AOD﹣∠BOC＝∠AOD﹣∠AOB＝∠BOD，
故选：A．
【点评】本题考查角平分线，理解角平分线的定义，掌握图形中角的和差关系是正确解答的前提．
4．（2023秋•肥西县期末）如图，OC是∠AOB的平分线，OD是∠BOC的平分线，那么下列各式中正确
的是（ ）
1 2
A．∠COD= ∠AOB B．∠AOD= ∠AOB
2 3
1 2
C．∠BOD= ∠AOD D．∠BOC= ∠AOD
2 3
【分析】根据角平分线定义，得出角与角的关系．再根据选项选取正确答案．
【解答】解：∵OC是∠AOB的平分线，OD是∠BOC的平分线，
1 1 1
∴∠BOC＝∠AOC= ∠AOB，∠BOD= ∠AOC= ∠BOC，
2 2 2
2
∴∠BOC= ∠AOD，
3
25故选：D．
【点评】根据角平分线定义得出所求角与已知角的关系转化求解．
5．（2023秋•松桃县期末）如图，已知O为直线AB上一点，将直角三角板MON的直角顶点放在点O处，
若OC是∠MOB的平分线，则下列结论正确的是（ ）
A．∠AOM＝3∠NOC B．∠AOM＝2∠NOC
C．2∠AOM＝3∠NOC D．3∠AOM＝5∠NOC
【分析】先求出2∠BON＝180°﹣2∠AOM，利用角平分线的定义再求解，∠AOM＝180°﹣2∠BOC＝180°﹣
2∠BON﹣2∠CON，从而可得答案．
【解答】解：∵∠MON＝90°，
∴∠AOM＝90°﹣∠BON，
∴2∠BON＝180°﹣2∠AOM，
∵OC是∠MOB的平分线，
1
∴∠MOC＝∠BOC= ∠MOB，
2
∴∠AOM＝180°﹣2∠BOC＝180°﹣2∠BON﹣2∠CON，
∴∠AOM＝180°﹣（180°﹣2∠AOM）﹣2∠CON，
∴∠AOM＝2∠NOC，
故选：B．
【点评】本题考查了角的和差运算，角的平分线定义，熟练运用角的和差关系探究角与角之间的关系是
解题的关键．
6．（2023秋•闽清县期末）如图，已知射线OC在∠AOB内部，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，OF平分
1
∠AOB，以下四个结论：①∠DOE= ∠AOB；②2∠DOF＝∠AOF﹣∠COF；
2
1
③∠AOD＝∠BOC；④∠EOF= (∠COF+∠BOF)．其中正确的结论有 （填序号）．
2
261
【分析】①根据OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，OF平分∠AOB，得出∠AOD=∠COD= ∠AOC，
2
1 1 1
∠BOE=∠COE= ∠BOC，∠AOF=∠BOF= ∠AOB，求出∠DOE= ∠AOB，即可得出结论；
2 2 2
1
②根据角度之间的关系得出∠DOF= ∠BOC=∠COE，得出∠AOF﹣∠COF＝∠BOF﹣∠COF＝
2
1
∠BOC，即可得出结论；③无法证明∠AOD＝∠BOC；④根据∠DOF= ∠BOC=∠COE，得出
2
∠EOF＝∠COD，∠COF+∠BOF＝2∠COD，即可得出结论．
【解答】解：①∵OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，OF平分∠AOB，
1 1
∴∠AOD=∠COD= ∠AOC，∠BOE=∠COE= ∠BOC，
2 2
1
∠AOF=∠BOF= ∠AOB，
2
∵∠AOC+∠BOC＝∠AOB，
1
∴∠DOC+∠COE=∠AOD+∠BOE= ∠AOB，
2
1
即∠DOE= ∠AOB，故①正确；
2
②∵∠DOF＝∠DOE﹣∠EOF，
1 1
= ∠AOB−(∠COF+ ∠BOC)
2 2
1 1
= ∠AOB−∠COF− ∠BOC
2 2
1 1
= ∠AOB−(∠BOF−∠BOC)− ∠BOC
2 2
1 1 1
= ∠AOB−( ∠AOB−∠BOC)− ∠BOC
2 2 2
271 1 1
= ∠AOB− ∠AOB+∠BOC− ∠BOC
2 2 2
1
= ∠BOC，
2
∠AOF﹣∠COF＝∠BOF﹣∠COF＝∠BOC，
∴2∠DOF＝∠AOF﹣∠COF，故②正确；
③∠AOD与∠BOC不一定相等，故③错误；
1
④根据解析②可知，∠DOF= ∠BOC=∠COE，
2
∴∠EOF＝∠EOC+∠COF＝∠COF+∠DOF＝∠COD，
∵∠COF+∠BOF＝∠COF+∠AOF＝∠AOC＝2∠COD，
1
∴∠EOF= (∠COF+∠BOF)，故④正确；
2
综上分析可知，正确的有①②④．
故答案为：①②④．
1
【点评】本题主要考查了角平分线的有关计算，根据角度之间的关系得出∠DOF= ∠BOC=∠COE
2
是解题的关键．
题型八 角的平分线的应用
解题技巧提炼
1.角平分线的定义：
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．
2.性质：若OC是∠AOB的平分线：
1
则∠AOC＝∠BOC= ∠AOB或∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC．
2
1．（2024春•潍城区期中）如图，已知OB是∠AOC内部的一条射线，下列说法一定正确的是（ ）
28A．∠AOC＝2∠BOC
B．∠BOC＜∠AOB
C．∠AOC可以用∠O表示
D．∠1与∠AOB表示同一个角
【分析】根据角的大小比较及角的概念进行逐一判断即可．
【解答】解：A．∠AOC≠2∠BOC，故本选项不符合题意；
B．∠BOC可能大于∠AOB，也可能小于∠AOB，也有可能等于∠AOB，故本选项不符合题意；
C．∠AOC不可以用∠O表示，故本选项不符合题意；
D．∠1与∠AOB表示同一个角，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查角的大小比较及角的概念，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
1
2．（2023秋•蚌埠期末）如图，∠AOB，以OA为边作∠AOC，使∠BOC= ∠AOB，则下列结论成立的是（
2
）
A．∠AOC＝∠BOC
B．∠AOC＜∠AOB
C．∠AOC＝∠BOC或∠AOC＝2∠BOC
D．∠AOC＝∠BOC或∠AOC＝3∠BOC
【分析】分两种情况，∠BOC在∠AOB的外部，∠BOC在∠AOB的内部．
【解答】解：分两种情况：
当∠BOC在∠AOB的外部，如图：
291
∵∠BOC= ∠AOB，
2
∴∠AOC＝3∠BOC，
当∠BOC在∠AOB的内部，如图：
1
∵∠BOC= ∠AOB，
2
∴∠AOC＝∠BOC，
故选：D．
【点评】本题考查了角的大小比较，根据题目的已知条件画出图形是解题的关键，同时渗透了分类讨论
的数学思想．
3．（2023•大庆开学）如图，点O在直线AB上，∠COD＝90°，OE是∠BOD的平分线，OC为∠BOE
的平分线，∠BOC＝ ．
【分析】依据题意，设∠BOC＝x°，结合题意，可得∠BOE＝2x°，∠DOE＝90°﹣x°，再由OE是∠BOD
的平分线，即可得解．
【解答】解：由题意，设∠BOC＝x°，
∵OC为∠BOE 的平分线，
∴∠COE＝∠BOC＝x°．
∴∠BOE＝∠COE+∠BOC＝2x°．
30又∵∠COD＝90°，
∴∠DOE＝90°﹣x°．
又OE是∠BOD的平分线，
∴∠BOE＝2x°＝∠DOE＝90°﹣x°．
∴x＝30．
故答案为：30°．
【点评】本题考查了角平分线的定义，解题时要熟练掌握并理解是关键．
4．（2023秋•南明区期末）如图所示，∠AOB＝30°，∠BOC＝40°，∠COD＝26°，OE平分∠AOD，则
∠BOE的大小为 ．
【分析】先根据已知的三个角计算∠AOD的度数，再根据角平分线求得∠AOE的度数，最后根据角的和
差关系计算∠BOE的大小．
【解答】解：∵∠AOB＝30°，∠BOC＝40°，∠COD＝26°，
∴∠AOD＝96°，
∵OE平分∠AOD，
1
∴∠AOE= ×96°＝48°，
2
∴∠BOE＝∠AOE﹣∠AOB＝48°﹣30°＝18°．
故答案为：18°．
【点评】本题主要考查了角平分线的定义，注意：角平分线把角分成相等的两个角，这是解题的主要依
据．
5．（2023秋•碑林区校级期末）已知如图，∠AOB：∠BOC＝5：3，OD是∠BOC的平分线，OE是
∠AOC的平分线，且∠BOE＝16°，求∠DOE的度数．
31【分析】设∠BOC＝x°，则∠AOB＝5x°，∠AOC＝8x°，再根据角平分线的定义用x表示出∠COE，通过
∠BOE＝∠COE﹣∠COB解出值，再根据角的和差关系即可求解问题．
【解答】解：设∠BOC＝3x°，则∠AOB＝5x°，∠AOC＝8x°，
∵OE是∠AOC的平分线，
1
∴∠COE= ∠AOC＝4x°．
2
∵∠BOE＝∠COE﹣∠COB，
∴16°＝4x°﹣3x°，解得x＝16．
∵OD是∠BOC的平分线，
1
∴∠BOD= ∠BOC＝1.5x°＝24°．
2
∴∠DOE＝∠DOB+∠BOE＝24°+16°＝40°．
【点评】本题主要考查了角平分线的定义，分析出角的和差倍分关系是解题的关键．
题型九 角的尺规作图
解题技巧提炼
角的尺规作图是利用直尺和圆规作一个角等于已知角.
1．（2023秋•桥西区期末）如图，用尺规作出了∠NCB＝∠AOC，作图痕迹中弧FG是（ ）
A．以点C为圆心，OD为半径的弧
B．以点C为圆心，DM为半径的弧
32C．以点E为圆心，OD为半径的弧
D．以点E为圆心，DM为半径的弧
【分析】运用作一个角等于已知角的方法可得答案．
【解答】解：根据作一个角等于已知角可得弧FG是以点E为圆心，DM为半径的弧．
故选：D．
【点评】本题主要考查了作图﹣基本作图，解题的关键是熟练掌握作一个角等于已知角的方法．
2．（2024春•辽阳期末）如图，点C在∠AOB的OB边上，用尺规作出了∠BCD＝∠AOB．以下是排乱的
作图过程：则正确的作图顺序是（ ）
①以C为圆心，OE长为半径画^MN，交OB于点M．
②作射线CD，则∠BCD＝∠AOB．
③以M为圆心，EF长为半径画弧，交^MN于点D．
④以O为圆心，任意长为半径画^EF，分别交OA，OB于点E，F．
A．①﹣②﹣③﹣④ B．③﹣②﹣④﹣①
C．④﹣①﹣③﹣② D．④﹣③﹣①﹣②
【分析】根据作一个角等于已知角的作图过程即可判断．
【解答】解：根据作一个角等于已知角的过程可知：
④以O为圆心，任意长为半径画^EF，分别交OA，OB于点E，F．
①以C为圆心，OE长为半径画^MN，交OB于点M．
③以M为圆心，EF长为半径画弧，交^MN于点D．
②作射线CD，则∠BCD＝∠AOB．
故选：C．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图，解决本题的关键是掌握作一个角等于已知角的作图过程．
3．（2023秋•裕华区期末）下面是黑板上出示的尺规作图题，需要回答符号代表的内容（ ）
如图，已知∠AOB，求作：∠DEF，使∠DEF＝∠AOB
作法：
33（1）以●为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点P、Q
（2）作射线EG，并以点E为圆心◎长为半径画弧交EG于点D
（3）以点D为圆心 长为半径画弧交（2）步中所画弧于点F
（4）作 ，∠DEF⊙即为所求作的角
⊕
A．●表示点E B．◎表示PQ
C． 表示OQ D． 表示射线EF
【分⊙析】根据尺规作图作一个角等于已知角的方法⊕即可判断．
【解答】解：作法：（1）以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点P、Q；
（2）作射线EG，并以点E为圆心，OP长为半径画弧交EG于点D；
（3）以点D为圆心PQ长为半径画弧交（2）步中所画弧于点F；
（4）作射线EF，∠DEF即为所求作的角．
所以A，B，C选项都错误，D选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一个角等于已知角）是解题的关键．
4．（2024春•芝罘区期末）如图，用尺规作图作出∠OBF＝∠AOB，则作图痕迹弧MN是（ ）
A．以点B为圆心，以OD长为半径的弧
B．以点B为圆心，以DC长为半径的弧
C．以点E为圆心，以OD长为半径的弧
D．以点E为圆心，以DC长为半径的弧
【分析】根据作一个角等于已知角的步骤判断即可．
【解答】解：作∠OBF＝∠AOB的作法：
①以点O为圆心，以任意长为半径画弧，分别交射线OA，OB于点C，D；
②以点B为圆心，以OC为半径画^EF，交射线BO于点E；
34③以点E为圆心，以CD为半径画^MN，交^EF于点N，连接BN即可得出∠OBF，
则∠OBF＝∠AOB．
故选：D．
【点评】本题考查尺规作图，熟知作一个角等于已知角的基本步骤是解答本题的关键．
题型十 三角板中角的计算
解题技巧提炼
三角板中的角的计算主要是利用特殊角 30°，45°，60°，90°进行相关的计
算.
1．（2023秋•广州期末）如图，把一副三角板叠合在一起，则∠AOB的度数是（ ）
A．15° B．20° C．30° D．70°
【分析】因为等腰三角板中的锐角为45°，而直角三角板板中较大的锐角为60°，直接相减就可求得结
果．
【解答】解：由图形可知，∠AOB＝60°﹣45°＝15°．
故选：A．
【点评】此题考查了角的计算，关键是掌握三角板各角的度数，每副三角板中，都有一个等腰直角三角
板和一个直角三角板，再根据角的度数进行计算．
2．（2023秋•金安区校级期末）如图，一副三角板如图摆放，若∠1＝9°，则∠2的度数为（ ）
A．24° B．25° C．26° D．27°
【分析】先利用角的和差关系求出∠ACD，再利用角的和差关系求出∠2．
【解答】解：由直角三角板知∠BCA＝45°，∠DCE＝60°，
35∴∠ACD＝∠ACB﹣∠1
＝45°﹣9°
＝36°．
∴∠2＝∠ECD﹣∠ACD
＝60°﹣36°
＝24°．
故选：A．
【点评】本题考查了角的计算，掌握三角板各个角的度数及角的和差关系是解决本题的关键．
3．（2023春•滕州市校级期末）将一副三角板的直角顶点重合放置于 A处（两块三角板可以在同一平面
内自由转动），下列结论一定成立的是（ ）
A．∠CAE+∠DAB＝90° B．∠BAE﹣∠DAC＝45°
C．∠BAE+∠DAC＝180° D．∠DAC＝2∠BAD
【分析】根据题意，利用角的和差判断正误．
【解答】解：根据题意可知：∠CAE+∠DAC＝90°，∠BAE﹣∠DAB＝90°，∠BAE+∠DAC＝180°，
∠DAC+∠BAD＝90°，
∴A、B、D选项不成立，只有C选项成立，
故选：C．
【点评】本题考查了角的计算，解题的关键是掌握角的和差计算．
4．（2023秋•市北区期末）如图，一副三角板中，将一个三角板60°角的顶点与另一个三角板的直角顶点
重合，如果∠1＝23°，那么∠2的大小是 度．
36【分析】根据∠1可以求出∠EAC，从而求出∠2即可．
【解答】解：∵∠1+∠CAE＝∠BAC＝60°，∠1＝23°，
∴∠CAE＝37°，
又∵∠2+∠CAE＝∠DAE＝90°，
∴∠2＝53°．
故答案为：53．
【点评】本题主要考查了角的计算，合理运用图中各角的数量关系是本题解题的关键．
5．（2023秋•江汉区期末）如图，将三角板的直角顶点O放在直线AB上，OE平分∠AOC，绕点O转动
三角板，若∠BOD＝20°，则∠AOE＝ °．
【分析】由题意可得∠COD＝90°，由补角的定义可求解∠AOC＝70°，再由角平分线的定义即可求∠AOE
的度数．
【解答】解：由题意得：∠COD＝90°，
∵∠BOD＝20°，
∴∠AOC＝180°﹣∠COD﹣∠BOD＝70°，
∵OE平分∠AOC，
1
∴∠AOE= ∠AOC＝35°．
2
故答案为：35．
【点评】本题主要考查补角，角平分线的定义，解答的关键是明确互补的两角之和为180°．
6．（2023秋•荆门期末）如图，将一副三角尺的两个锐角（60°角和45°角）的顶点O叠放在一起，若
∠AOD与∠BOC的和为35°，则∠AOC的度数为（ ）
37A．55° B．65° C．70° D．75°
【分析】根据题意可得：∠AOB＝60°，∠COD＝45°，从而可得∠AOD＝60°﹣∠DOB，∠BOC＝45°﹣
∠DOB，再结合已知可得60°﹣∠DOB+45°﹣∠DOB＝35°，然后求出∠DOB＝35°，从而求出∠BOC＝
10°，最后利用角的和差关系求出∠AOC，即可解答．
【解答】解：由题意得：
∠AOB＝60°，∠COD＝45°，
∴∠AOD＝∠AOB﹣∠DOB＝60°﹣∠DOB，
∠BOC＝∠COD﹣∠DOB＝45°﹣∠DOB，
∵∠AOD+∠BOC＝35°，
∴60°﹣∠DOB+45°﹣∠DOB＝35°，
∴∠DOB＝35°，
∴∠BOC＝10°，
∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝70°，
故选：C．
【点评】本题考查了角的计算，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
题型十一 角度计算的解答题
解题技巧提炼
角度计算的解答题是综合运算角的和差倍分进行相关的计算，有时要用到角分线
的性质。
1．（2023秋•灵宝市期末）如图，点A，O，B在同一条直线上，∠AOC＝∠BOD，OM，ON分别是
∠AOC，∠BOD的平分线．
（1）若∠COD＝80°，求∠MON的度数；
38（2）比较∠DOM和∠CON的大小，并说明理由．
1 1
【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠MOC= ∠AOC，∠NOD= ∠BOD，结合图形计算即可；
2 2
（2）根据角的和差关系解答即可．
【解答】解：（1）∵OM，ON分别是∠AOC，∠BOD的平分线，
1 1
∴∠MOC= ∠AOC，∠NOD= ∠BOD，
2 2
1 1 1
∴∠MON= （∠AOC+∠BOD）+∠COD= ×(180°−∠COD)+∠COD= ×100°+80°＝50°+80°＝
2 2 2
130°；
（2）∠DOM＝∠CON，理由如下：
1 1
∵∠MOC= ∠AOC，∠NOD= ∠BOD，∠AOC＝∠BOD，
2 2
∴∠MOC＝∠NOD，
∴∠MON﹣∠NOD＝∠MON﹣∠MOC，
∴∠DOM＝∠CON．
【点评】本题考查的是角的计算，掌握角的和差计算、正确认识图形是解题的关键．
2．（2023秋•德惠市期末）如图，OC是∠AOD的平分线，OE是∠BOD的平分线．
（1）如果∠AOB＝130°，那么∠COE是多少度？
（2）在（1）的条件下，如果∠COD＝20°31′，那么∠BOE是多少度？
1
【分析】（1）由OC是∠AOD的平分线，OE是∠BOD的平分线，可得∠COE= ∠AOB，然后将
2
∠AOB＝130°代入即可；
（2）由∠BOE＝∠EOD＝∠EOC﹣COD，然后将∠COD＝20°31′，∠COE的度数代入即可．
39【解答】解：（1）∵OC是∠AOD的平分线，OE是∠BOD的平分线，
1 1
∴∠COD＝∠AOC= ∠AOD，∠DOE＝∠BOE= ∠BOD，
2 2
∴∠COE＝∠COD+∠DOE
1 1
= ∠AOD+ ∠BOD
2 2
1
= ×(∠AOD+∠BOD)
2
1
= ∠AOB
2
1
= ×130°
2
＝65°；
（2）∵∠COD＝20°31′，∠COE＝65°，∠DOE＝∠COE﹣∠COD，
∴∠DOE＝65°﹣20°31′＝44°29′，
∵∠BOE＝∠DOE，
∴∠BOE＝44°29′．
1
【点评】此题考查了角的计算，解题的关键是：由角平分线的定义得到∠COE= ∠AOB．
2
3．（2023秋•天山区校级期末）如图，已知∠AOB＝120°，∠AOD＝2∠BOD．
（1）求∠AOD的度数；
（2）自O点引射线OC，若∠AOC：∠COB＝1：3，求∠COD的度数．
2
【分析】（1）根据∠AOD＝2∠BOD可得∠AOD= ∠AOB，代入∠AOB＝120°即可求解；
3
40（2）先求出∠COM，再求出∠CON，相加即可求解．
【解答】解：（1）∵∠AOD＝2∠BOD，
2
∴∠AOD= ∠AOB，
3
2 2
∴∠AOD= ∠AOB= ×120°＝80°；
3 3
（2）当OC在∠AOB内时，
∵∠AOC：∠COB＝1：3，
1
∴∠AOC= ∠AOB，
4
∵∠AOB＝120°，
1
∴∠AOC= ×120°＝30°，
4
∴∠COD＝∠AOD﹣∠AOC＝80°﹣30°＝50°；
当OC在∠AOB外时，
∵∠AOC：∠COB＝1：3，
∴∠AOC：∠AOB＝1：2，
∵∠AOB＝120°，
1
∴∠AOC= ×120°＝60°，
2
∴∠COD＝∠AOD+∠AOC＝80°+60°＝140°，
综上所述，∠COD的度数为50°或140°．
【点评】本题考查了角的计算及角平分线，掌握角的特点及比例的意义是解决问题的关键．
4．（2024春•莱州市期末）新定义：若∠ 的度数是∠ 的度数的n倍，则∠ 叫做∠ 的n倍角．
（1）若∠M＝10°21′，请直接写出∠Mα的4倍角的度β 数； α β
（2）如图1所示，若∠AOB＝∠BOC＝∠COD，请直接写出图中∠COD的2倍角；
（3）如图2所示，若∠AOC是∠AOB的3倍角，∠COD是∠AOB的4倍角，且∠BOD＝90°，求
∠BOC的度数．
41【分析】（1）根据题意列式计算即可；
（2）根据题意得出∠AOC＝2∠AOB，∠BOD＝2∠AOB即可；
（3）设∠AOB＝ ，则∠AOC＝3 ，∠COD＝4 ，得到∠BOD＝6 ，∠BOC＝2 ；根据∠BOD＝90°，
求得 ＝15°，于是α结论可得． α α α α
【解答α】解：（1）∵∠M＝10°21′，
∴4∠M＝4×10°21′＝41°24′；
（2）∵∠AOB＝∠BOC＝∠COD，
∴∠AOC＝2∠COD，∠BOD＝2∠COD；
∴图中∠COD的所有2倍角有：∠AOC，∠BOD；
（3）∵∠AOC是∠AOB的3倍角，∠COD是∠AOB的4倍角，
设∠AOB＝ ，
则∠AOC＝α3 ，∠COD＝4 ，
∴∠AOD＝∠αAOC+∠CODα＝7 ，∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝2 ，
∴∠BOD＝∠AOD﹣∠AOB＝6α ， α
∵∠BOD＝90°， α
∴6 ＝90°，
∴ α＝15°，
∴α∠BOC＝2 ＝30°．
【点评】此题α主要考查了角的计算，度分秒的换算，准确理解并熟练应用题干中的定义是解题的关键．
5．（2023秋•江源区期末）如图甲所示，将一副三角尺的直角顶点重合在点O处．
（1）①∠AOD和∠BOC相等吗？说明理由．
②∠AOC和∠BOD在数量上有何关系？说明理由．
（2）若将这副三角尺按左图乙所示摆放，三角尺的直角顶点重合在点O处．
①∠AOD和∠BOC相等吗？说明理由．
②∠AOC和∠BOD的以上关系还成立吗？说明理由．
42【分析】（1）①根据角的和的关系解答，②利用周角的定义解答；
（2）①根据同角的余角相等解答，②根据图象，表示出∠AOC整理即可得到原关系仍然成立．
【解答】解：（1）①∵∠AOD＝90°+∠BOD
∠BOC＝90°+∠BOD，
∴∠AOD和∠BOC相等．
②∵∠AOC+90°+∠BOD+90°＝360°，
∴∠AOC+∠BOD＝180°；
（2）①∵∠AOD＝90°﹣∠BOD，
∠BOC＝90°﹣∠BOD，
∴∠AOD和∠BOC相等．
②成立．
∵∠AOC＝90°+90°﹣∠BOD，
∴∠AOC+∠BOD＝180°．
【点评】本题主要考查角的和、差关系，理清和或是差是解题的关键．
6．（2023秋•斗门区期末）如图①，OC是∠AOE内部的一条射线，OB、OD分别平分∠AOC，∠EOC．
（1）若∠AOE＝140°，∠COD＝30°，求∠BOC＝ ；
（2）∠AOE与∠BOD的大小有什么关系，写出你的结论并说明理由．
（3）如图②，如果OC是∠AOE外部的一条射线，OB、OD分别平分∠AOC，∠EOC．那么（2）中
∠AOE与∠BOD的大小关系还成立吗？请说明理由．
431
【分析】（1）由角平分线的定义得出∠COD+∠COB= ∠AOE，进而即可求得∠BOC；
2
1
（2）由角平分线的定义得出∠COD+∠COB= ∠AOE，即∠AOE＝2∠BOD；
2
1 1
（3）由角平分线的定义得出得出∠AOB=∠BOC= ∠AOC，∠COD=∠EOD= ∠COE，根
2 2
1
据∠AOE＝∠EOC﹣∠AOC，∠BOD=∠COD−∠BOC= (∠EOC−∠AOC)，进而即可求解．
2
【解答】解：（1）∵OB、OD分别平分∠AOC，∠EOC，
1 1
∴∠COD= ∠COE，∠COB= ∠AOC，
2 2
∵∠AOE＝140°，
1
∴∠COD+∠COB= ∠AOE=70°，
2
∵∠COD＝30°，
∴∠BOC＝40°；
故答案为：40°．
（2）∵OB、OD分别平分∠AOC，∠EOC．
1 1
∴∠COD= ∠COE，∠COB= ∠AOC，
2 2
1 1
∴∠COD+∠COB= ∠AOE，即∠BOD= ∠AOE，
2 2
即∠AOE＝2∠BOD，
（3）∠AOE＝2∠BOD成立，理由如下，
∵OB、OD分别平分∠AOC，∠EOC．
1 1
∴∠AOB=∠BOC= ∠AOC，∠COD=∠EOD= ∠COE，
2 2
1
∴∠AOE＝∠EOC﹣∠AOC，∠BOD=∠COD−∠BOC= (∠EOC−∠AOC)，
2
∴∠AOE＝2∠BOD．
【点评】本题考查了角平分线，灵活利用角平分线的定义是解题的关键．
题型十二 角度计算的动态问题
44解题技巧提炼
角度计算的动态问题是化动为静，综合运算角的和差倍分进行相关的计算，有时
要用到方程思想和分类讨论的思想.
1．（2023秋•桥西区期末）已知直角三角形MON的直角顶点O在直线AB上，射线OC平分∠AON．
（1）如图1，若∠MOC＝34°，求∠AOM的度数；
（2）如图2，将三角形MON绕点O逆时针旋转，若∠BON＝100°，求∠AOM的度数；
（3）如图3，将三角形MON绕点O逆时针旋转，试写出∠BON和∠MOC之间的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）根据角的和差及互余的定义求解即可；
（2）根据角的和差求解即可；
（3）根据角平分线定义及邻补角定义求解即可．
【解答】解：（1）∠MOC＝34°，∠MON＝90°，
∴∠NOC＝90°﹣34°＝56°，
又∵OC平分∠AON，
∴∠NOC＝∠AOC＝56°，
∴∠AOM＝∠AOC﹣∠MOC＝56°﹣34°＝22°；
（2）∵∠BON＝100°，
∴∠AON＝180°﹣∠BON＝180°﹣100°＝80°，
∵∠MON＝90°，
∴∠AOM＝90°﹣80°＝10°；
（3）∠BON＝2∠MOC，理由如下：
∵OC平分∠AON，
∴∠AOC＝∠NOC，∠AON＝2∠NOC，
∵∠MON＝90°，
∴∠AOC＝∠NOC＝90°﹣∠MOC，
45∴∠BON＝180°﹣∠AON＝180°﹣2∠NOC＝180°﹣2（90°﹣∠MOC）＝2∠MOC，
即∠BON＝2∠MOC．
【点评】本题考查了余角和补角的概念，角度的计算，以及角平分线的定义，准确识图并熟记概念是解
题的关键．
2．（2023秋•泊头市期末）已知一副直角三角尺 OAB和OCD，∠AOB＝90°，∠B＝45°，∠D＝90°，
∠COD＝30°．
（1）将两个直角三角尺按如图1摆放，点A在边OC上，则∠BOD＝ ；
（2）将直角三角尺 OCD从图1位置绕点O逆时针方向转到图2位置，使OB恰好平分∠COD，求
∠AOC的度数；
（3）如图3，当三角尺OCD摆放在∠AOB内部时，作射线OM平分∠AOC，射线ON平分∠BOD，若
三角尺OCD在∠AOB内部绕点O任意转动（OC、OD均在∠AOB内部），试判断∠MON的度数是否
会发生变化？通过计算说明理由．
【分析】（1）根据∠BOD＝∠AOB﹣∠COD即可得出答案；
（2）根据角平分线性质得∠COB＝15°，再根据∠AOC＝∠AOB﹣∠COB可得出答案；
（3）先求出∠AOC+∠BOD＝60°，再根据角平分线定义得∠MOC+∠NOD＝30°，由此可得∠MON得
度数．
【解答】解：（1）依题意得：∠AOB＝90°，∠COD＝30°，
∴∠BOD＝∠AOB﹣∠COD＝60°，
故答案为：60°；
（2）∵∠AOB＝90°，∠COD＝30°，OB恰好平分∠COD，
1
∴∠COB= ∠COD＝15°，
2
∴∠AOC＝∠AOB﹣∠COB＝90°﹣15°＝75°；
（3）∠MON的度数不发生变化，始终等于60°，理由如下：
∵∠AOB＝90°，∠COD＝30°，
∴∠AOC+∠BOD＝∠AOB﹣∠COD＝60°，
∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，
461 1
∴∠MOC= ∠AOC，∠NOD= ∠BOD，
2 2
1
∴∠MOC+∠NOD= （∠AOC+∠BOD）＝30°，
2
∴∠MON＝∠MOC+∠NOD+∠COD＝30°+30°＝60°．
【点评】此题主要考查了角平分线的定义，角的计算，理解角平分线的定义，熟练掌握角的计算是解决
问题的关键．
3．（2023秋•德惠市期末）已知∠AOB＝90°，顶点O在直线CD上，∠AOC＜90°，OE，OE是∠BOC的
平分线．
（1）当点A，B在直线CD的同侧时，如图1：
①若∠AOE＝10°，则∠BOD＝ °；
若∠AOE＝20°，则∠BOD＝ °；
②若∠AOE＝n°（0＜n＜45），则∠BOD＝ °（用n表示）；
（2）当A，B在直线CD的异侧时，如图2：
①猜想∠AOE与∠BOD之间的数量关系，并说明理由；
②若∠BOD＝120°，直接写出∠AOE的度数．
【分析】（1）∠BOD＝180°﹣∠BOC；
（2）分别写出∠AOE与∠BOD，可得其数量关系．
【解答】解：（1）①∵∠AOE＝10°，∠AOB＝90°，
∴∠BOE＝80°，
∵OE是∠BOC的平分线，
∴∠COE＝∠BOE＝80°，
∴∠BOD＝180°﹣2×80°＝20°，
∵∠AOE＝20°，∠AOB＝90°，
∴∠BOE＝70°，
∵OE是∠BOC的平分线，
47∴∠COE＝∠BOE＝70°，
∴∠BOD＝180°﹣2×70°＝40°，
故答案为：20，40，
②∵∠AOB＝90°，∠AOE＝n°，
∴∠BOE＝∠AOB﹣∠AOE＝90°﹣n°，
∵OE是∠BOC的平分线，
∴∠BOC＝2∠BOE＝180°﹣2n°，
∴∠BOD＝180°﹣（180°﹣2n°）＝2n°，
故答案为：2n；
（2）①∠BOD＝2∠AOE，
∵OE平分∠COB，
1
∴∠COE＝∠BOE= ∠BOC，
2
∵∠AOE＝∠AOC+∠COE＝90°﹣∠BOC+∠COE＝90°﹣∠COE，
∠BOD＝180°﹣∠COB＝180°﹣2∠COE，
∴∠BOD＝2∠AOE，
1
②∠AOE= ∠BOD=60°．
2
【点评】本题考查了角的计算，关键是计算正确．
4．（2023秋•曲阜市期末）如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC＝60°，将一直
角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．
（1）将图1中的三角板绕点O处逆时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部．且恰好平分∠BOC，
求∠CON的度数．
（2）在图3中，延长线段NO得到射线OD，判断OD是否平分∠AOC，请说明理由．
48（3）将图1中的三角板绕点O按每秒10°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直
线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为 秒．（直接写出答案）
【分析】（1）根据题意可求出∠BOC的度数，根据角平分线求出∠COM的度数，把∠COM的度数与
∠MON的度数相加，即可求出∠CON的度数；
（2）根据（1）中的结论可得出∠BON＝30°，根据对顶角相等得出∠AOD＝∠BON＝30°，此时∠AOC＝
2∠AOD，即可推出OD平分∠AOC；
（3）根据题中条件算出旋转到射线ON和射线ON的延长线恰好平分锐角∠AOC时所旋转的度数，再除
以速度即可得t的值．
【解答】解：（1）∵∠AOC＝60°，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝120°，
∵此时OM在∠BOC的内部．且恰好平分∠BOC，
1
∴∠COM＝∠BOM= ∠BOC=60°，
2
根据题意知：∠MON＝90°，
∴∠CON＝∠COM+∠MON＝60°+90°＝150°；
（2）OD是平分∠AOC的，理由如下：
由（1）知，∠BOC＝120°，∠CON＝150°，
∴∠BON＝∠CON﹣∠BOC＝150°﹣120°＝30°，
∵延长线段NO得到射线OD，
∴∠AOD＝∠BON＝30°，
∵∠AOC＝60°，
∴∠AOC＝2∠AOD，
∴OD平分∠AOC；
（3）当直线ON恰好平分锐角∠AOC，
1
此时∠CON= ∠AOC=30°，
2
则从图1中的位置旋转到射线ON恰好平分锐角∠AOC时所旋转的度数为：30°+90°＝120°，
∵速度为每秒10°，
∴t＝120°÷10°＝12；
当射线ON的反向延长线恰好平分∠AOC时，
此时旋转的角度为：120°+180°＝300°，
49∵速度为每秒10°，
∴t＝300°÷10°＝30；
故答案为：12或30．
【点评】本题主要考查了角的运算以及角平分线的定义，解题关键：一是理解角平分线的定义，二是确
定旋转到某一条件时旋转的度数．
5．（2023秋•闽清县期末）已知∠AOB．在∠AOB内部画射线 OC，得到三个角，分别为∠AOC，
∠BOC，∠AOB．若这三个角中有一个角是另外一个角的两倍，则称射线OC为∠AOB二倍角线．
（1）一个角的平分线 这个角的“二倍角线”（填“是”或“不是”）；
（2）如图①，若∠AOB＝90°，∠BOC＜∠AOC，OC为∠AOB的二倍角线，求∠AOC的度数；
（3）如图②，将一块三角板AOB的直角顶点O放在直线MN上，且三角板AOB绕着点O转动，若OC
是∠AOB的二倍角线，OB是∠CON的二倍角线，请直接写出∠BON的度数．
【分析】（1）根据“二倍角线”的定义，即可求解；
（2）根据“二倍角线”的定义，可得∠AOC＝2∠BOC，即可求解；
（3）分9种情况结合“二倍角线”的定义，即可求解．
【解答】解：（1）一个角的平分线是这个角的“二倍角线”；
故答案为：是；
（2）依题意得：∠AOC＝2∠BOC，
∵∠AOC+∠BOC＝∠AOB＝90°，
∴∠AOC＝60°；
（3）当∠AOC＝∠BOC，∠BON＝∠BOC时，
1
∠BON=∠AOC= ∠AOB=45°；
2
当∠AOC＝∠BOC，∠BON＝2∠BOC时，
∠BON＝2∠AOC＝∠AOB＝90°；
当∠AOC＝∠BOC，2∠BON＝∠BOC时，
501 1
∠BON= ∠AOC= ∠AOB=22.5°；
2 4
当∠AOC＝2∠BOC，∠BON＝∠BOC时，
2
∠BON=∠BOC= ∠AOB=60°；
3
当2∠AOC＝∠BOC，∠BON＝∠BOC时，
1
∠BON=∠BOC= ∠AOB=30°；
3
当∠AOC＝2∠BOC，∠BON＝2∠BOC时，
2
∠BON=∠AOC= ∠AOB=60°；
3
当∠AOC＝2∠BOC，2∠BON＝∠BOC时，
1 1
∠BON= ∠AOC= ∠AOB=15°；
4 6
当2∠AOC＝∠BOC，2∠BON＝∠BOC时，
1
∠BON=∠AOC= ∠AOB=30°；
3
当2∠AOC＝∠BOC，∠BON＝2∠BOC时，
4
∠BON=4∠AOC= ∠AOB=120°；
3
终上所述，∠BON的度数为15°或30°或60°或22.5°或45°或90°或120°．
【点评】本题主要考查了有关角平分线的计算，理解新定义是解题的关键．
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