文档内容
（北师大版）七年级上册数学《第 4 章 基本平面图形》
4.2 角
角的概念、表示方法
知识点一
◆1、角的概念：
静态定义：有公共端点的两条射线组成的图形，叫做角.
动态定义：如图（1）角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转所形成的图形.
①如图（2），当射线旋转到起始位置OA与终止位置OB在一条直线上时，形成平角；
②如图（3），继续旋转，OB与OA重合时，又形成周角；
◆2、角的表示方法：
角的几何符号为“∠”，角的表示方法有以下四种：
记作：（1）∠AOB （2） ∠O （3）∠1 （4） ∠α
1表示方法 温馨提示
（1）用三个大写字母表示 表示顶点的字母必须写在中间 .
（2）用一个大写字母表示 以这个字母为顶点的角只有一个.
（3）用一个 阿拉伯数字表示 在靠近顶点处画上弧线，并写上数字.
（4）用一个小写希腊字母表示. 在靠近顶点处画 弧线，并写上希腊字母.
角的度量单位及换算方法
知识点二
◆1、角的度量单位是：度、分、秒.
我们常用量角器量角，度、分、秒是常用的角的度量单位. 把一个周角 360 等分，每一
份就是 1 度的角，记作 1°；把 1 度的角 60 等分，每一份叫做 1 分的角，记作 1′；
把 1 分的角 60 等分，每一份叫做 1 秒的角，记作 1″.
◆2、角度制：以度、分、秒为单位的角的度量制.
◆3、平角与周角的概念
平角：一条射线绕着它的端点旋转,当终边与始边成一条直线时,所成的角叫作平角；
周角：一条射线绕着它的端点旋转,当终边与始边重合时,所成的角叫作周角.
1周角＝360 ° 1平角＝180°
◆4、度、分、秒是角的基本度量单位，它们的换算关系如下：
1 1
1°＝ 60 ′ 1′＝ ° 1′＝ 60 ″ 1″＝ ′
60 60
角的比较与运算
知识点三
◆1、角的比较有两种方法：
方法一：度量法，测量度数大的那个角就大，反之，度数小的那个角就小 .
方法二：叠合法：利用尺规作图把其中的一条边重合，通过观察另一条边的位置作比较
2①若边OB在∠A'O'B'内部，则∠AOB ＜ ∠A'O'B'
②若边OB与O'B'
重合，则∠AOB ＝∠A'O'B'
③若边OB在∠A'O'B'外部，则∠AOB ＞ ∠A'O'B'
◆2、角的平分线：
一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做
这个角的平分线.
因为 OC 是∠AOB 的平分线，
1
所以∠AOC＝∠BOC＝ ∠AOB，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC.
2
◆3、角的和、差
∠AOC 是∠AOB 与∠BOC的和 ，记作∠AOC = ∠AOB +∠BOC；
∠AOB 是∠AOC与∠BOC的差，记作∠AOB = ∠AOC－∠BOC；
类似地，∠AOC－∠AOB= ∠AOC
用尺规作一个角等于已知角
知识点四
◆作一个角等于已知角.
已知：∠AOB，求作∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB.
3题型一 角的定义及角的表示方法
解题技巧提炼
（1）角的定义：有公共端点是两条射线组成的图形叫做角，其中这个公共端点
是角的顶点，这两条射线是角的两条边．
（2）角的表示方法：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表
示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处
的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．角还可以用一个
希腊字母（如∠α，∠β，∠γ、…）表示，或用阿拉伯数字（∠1，∠2…）表
示．
（3）平角、周角：角也可以看作是由一条射线绕它的端点旋转而形成的图形，
当始边与终边成一条直线时形成平角，当始 边与终边旋转重合时，形成周角．
1．（2023春•肥城市期中）如图所示，下列说法错误的是（ ）
A．∠DAO可用∠DAC表示 B．∠COB也可用∠O表示
4C．∠2也可用∠OBC表示 D．∠CDB也可用∠1表示
2．（2024春•聊城月考）下列说法中正确的是（ ）
A．直线是平角
B．角的大小与角的两边长有关
C．角的两边是两条射线
D．用放大镜看一个角，角的度数变大了
3．下列关于角的说法中，正确的个数为（ ）
①两条有公共点的射线组成的图形叫做角；②角是由一个端点引出的两条射线所组成的图形；③两条
射线，它们的端点重合时，可以形成角；④角的大小与边的长短有关．
A．0 B．1 C．2 D．3
4．（2023秋•晋江市期末）如图，下列说法不正确的是（ ）
A．∠BAC和∠DAE是同一个角
B．∠ABC和∠ACB不是同一个角
C．∠ABC可以用∠B表示
D．∠AED可以用∠E表示
5．（2023秋•唐县期末）下列四个图中，能用∠1、∠AOB、∠O三种方法表示同一个角的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024春•淄川区期末）下列图中的∠1也可以用∠O表示的是（ ）
5A． B．
C． D．
题型二 角的换算
解题技巧提炼
角的度量：度、分、秒是常用的角的度量单位．1度＝60分，即1°＝60′，1
分＝60秒，即1′＝60″．
1．（2024春•张店区校级月考）把2.36°用度、分、秒表示，正确的是（ ）
A．2°21′36′′ B．2°18′36′′ C．2°30′50′′ D．2°3′6′′
2．（2023秋•新乐市期末）若∠ ＝5.12°，则∠ 用度、分、秒表示为（ ）
A．5°12' B．5°7'12α'' Cα．5°7'2'' D．5°10'2''
3．（2023秋•永年区期中）下列各式中，正确的是（ ）
A．35.5°＝35°50′ B．15°12′36″＝15.48°
C．28°18′18″＝28.33° D．65.25°＝65°15′
4．下列式子中错误的是（ ）
A．38.78°＝38°46′48″
B．50°42'＝50.7°
C．98°45'+2°35'＝101°20'
D．108°18'﹣57°23'＝51°55'
5．（2024春•张店区校级月考）1.16°＝ ° ′ ″；45°57′18″＝ °
6．计算：
（1）8.76°＝ ° ′ ″；
（2）540″＝ °．
题型三 角度的运算
6解题技巧提炼
1、度、分、秒的加减运算．在进行度分秒的加减时，要将度与度，分与分，秒
与秒相加减，分秒相加，逢60要进位，相减时，要借1化60．
2、度、分、秒的乘除运算．①乘法：度、分、秒分别相乘，结果逢60要进位．
②除法：度、分、秒分别去除，把每一次的余数化作下一级单位进一步去除．
1．（2024春•坊子区校级月考）计算：
（1）47°53′43″+53°47′42″；
（2）92°56′3″﹣46°57′54″．
2．（2023秋•孝南区期末）计算：
（1）48°39'+67°31'；
（2）23°53'×2﹣17°43'．
3．（2023春•谯城区校级期末）计算：
（1）89°35'+20°25'（结果用度、分、秒表示）．
（2）123°24'﹣60°36'（结果用度表示）．
4．如图，AB是一条直线，如果∠1＝65°15′，∠2＝78°35′，且∠1+∠2+∠3＝180°，求∠3的度数．
75．（2023秋•罗山县校级月考）计算：
①180°﹣18°15'×6；
②90°﹣（78°36'﹣13°10'÷4）．
6．计算．（1）56°18'+61°35'
（2）19°26'﹣7°33'
（3）78°14'+25°46'
（4）108°11'5'﹣22°38'26″
7．计算：
（1）51°37′11″﹣30°30′30″+12°25′40″；
（2）13°53′×3﹣32°5′31″．
题型四 钟表中的角度问题
8解题技巧提炼
1、钟面一周平均分60格，相邻两格刻度之间的时间间隔是1分钟，时针1分钟
1
走 格，分针1分钟走1格．钟面上每一格的度数为360°÷12＝30°．
12
2、计算钟面上时针与分针所成角的度数，一般先从钟面上找出某一时刻分针与
时针所处的位置，确定其夹角，再根据表面上每一格30°的规律，计算出分针
与时针的夹角的度数．
3、钟面上的路程问题
分针：60分钟转一圈，每分钟转动的角度为：360°÷60＝6°
时针：12小时转一圈，每分钟转动的角度为：360°÷12÷60＝0.5°．
1．（2023秋•梁山县期末）钟表8时30分时，时针与分针所成的角的度数为（ ）
A．110° B．75° C．105° D．90°
2．（2023秋•西山区期末）从下午13：00到当天下午13：30，时钟的分针转过的角度度数是（ ）
A．90° B．120° C．180° D．150°
3．（2024春•泰山区期中）如图，1时30分的时候，钟表的时针与分针所组成的小于平角的角的度数是（
）
A．120° B．125° C．135° D．150°
4．（2023秋•乌鲁木齐期末）钟表上的分针和时针经过40分钟，分针和时针旋转的角度分别
是（ ）
A．40°和20° B．240°和20° C．240°和40° D．40°和40°
5．（2023秋•金台区校级月考）当时针指向上午10：15时，时针与分针的夹角是 °．
6．知识的迁移与应用
问题一：甲、乙两车分别从相距180km的 A、B两地出发，甲车速度为36km/h，乙车速度为24km/h，两
车同时出发，同向而行（乙车在前甲车在后）， 后两车相距120km？
问题二：将线段弯曲后可视作钟表的一部分，如图，在一个圆形时钟的表面上，OA表示时针，OB表示
9分针（O为两针的旋转中心）．下午3点时，OA与OB成直角．
（1）3：40时，时针与分针所成的角度 ；
（2）分针每分钟转过的角度为 ，时针每分钟转过的角度为 ；
（3）在下午3点至4点之间，从下午3点开始，经过多少分钟，时针与分针成60°角？
题型五 角的计数与规律探究
解题技巧提炼
数角的个数的方法类似于数线段的方法,当∠AOB内部有n条射线时，射线的总
（n+1）(n+2)
数就有（n+2）条，共有 个角.
2
1．（2023秋•青龙县期中）如图所示，图中共有多少个小于平角的角（ ）
A．10个 B．9个 C．8个 D．4个
2．（2023秋•兴城市期末）如图①，若在∠AOB的内部以O为端点做一条射线OA ，得到3个角；如图
1
②，若在∠AOB的内部以O为端点做两条射线OA 和OA ，得到6个角……，以此类推，如果在∠AOB
1 2
的内部以O为端点做n条射线，则图③中角的个数为（ ）
10(n+1)(n+2)
A．n（n+1） B．
2
n(n+1) n(n−1)
C． D．
2 2
3．（2023秋•泗县期末）如图，已知∠MON，在∠MON内逐一画射线，下面三个图中分别有3个、6个、
10个角（不大于平角的角）．当∠MON内有n条射线时，角的个数为（ ）
n2 n(n+1)
A． B．
2 2
n(n−1) (n+1)(n+2)
C． D．
2 2
4．（2023秋•连城县期末）在锐角∠AOB内部，画出1条射线，可以画出3个锐角；画出2条不同的射
线，可以画出6个锐角；画出3条不同的射线，可以画出10个锐角．照此规律，画19条不同的射线，可
以画出锐角的个数为（ ）
A．165 B．186 C．199 D．210
5．观察如图，回答下列问题：
11（1）在∠AOB内部画1条射线OC，则图中有 个不同的角；
（2）在∠AOB内部画2条射线OC，OD，则图中有 个不同的角；
（3）在∠AOB内部画3条射线OC，OD，OE，则图中有 个不同的角；
（4）在∠AOB内部画10条射线OC，OD，OE…则图中有 个不同的角；
（5）在∠AOB内部画n条射线OC，OD，OE…则图中有 个不同的角．
题型六 角的比较
解题技巧提炼
角的大小比较
（1）比较角的大小有两种方法：
①测量法，即用量角器量角的度数，角的度数越大，角越大．
②叠合法，即将两个角叠合在一起比较，使两个角的顶点及一边重合，观察另一
边的位置．
1．（2023春•岱岳区期末）在∠AOB内取一点C，作射线OC，则一定成立（ ）
A．∠AOC＝∠BOC B．∠AOC＞∠BOC C．∠BOC＞∠AOC D．∠AOB＞∠AOC
2．（2023秋•呼和浩特期末）如图所示，正方形网格中有∠ 和∠ ，如果每个小正方形的边长都为1，估
测∠ 与∠ 的大小关系为（ ） α β
α β
A．∠ ＜∠ B．∠ ＝∠ C．∠ ＞∠ D．无法估测
3．（202α3秋•渠β 县校级期末）α如图，β射线 OC，OD分α别在β∠AOB的内部、外部，下列结论错误的是（
）
12A．∠AOB＜∠AOD B．∠BOC＜∠AOB C．∠COD＞∠AOD D．∠AOB＞∠AOC
4．（2023秋•红桥区期末）如图，用同样大小的三角板比较∠A和∠B的大小，下列判断正确的
是（ ）
A．∠A＞∠B
B．∠A＜∠B
C．∠A＝∠B
D．没有量角器，无法确定
5．（2023秋•长安区期末）∠A＝40.4°，∠B＝40°4'，关于两个角的大小，下列正确的是（ ）
A．∠A＞∠B B．∠A＜∠B C．∠A＝∠B D．无法确定
6．（2024春•莘县期末）若∠1＝25°12′，∠2＝25.12°，∠3＝25.2°，则下面说法正确的是（ ）
A．∠1＝∠2 B．∠2＝∠3
C．∠1＝∠3 D．∠1，∠2，∠3互不相等
7．（2023春•莱西市期中）如图所示，由正方形组成的网格中，点A，B，C，D，O是网格线交点，那么
∠AOB与∠COD的大小关系是∠AOB ∠COD．（填“＞”，“＜”或“＝”）
题型七 角的和、差、倍、分
13解题技巧提炼
角的和、差、倍、分
①∠AOB 是 ∠ AOC 和 ∠ BOC 的 和 ， 记 作 ： ∠ AOB ＝
∠AOC+∠BOC．∠AOC 是∠AOB 和∠BOC 的差，记作：∠AOC＝∠AOB﹣
∠BOC．
1
②若射线OC是∠AOB的三等分线，则∠AOB＝3∠BOC或∠BOC= ∠AOB．
3
1．（2023秋•驻马店期末）如图，下列结论中，不能说明射线OC平分∠AOB的是（ ）
A．∠AOC＝∠BOC B．∠AOB＝2∠BOC
C．∠AOB＝2∠AOC D．∠AOC+∠BOC＝∠BOA
2．（2023春•阳谷县期中）如图∠AOB，以OB为边作∠BOC，使∠BOC＝2∠AOB，那么下列说法正确
的是（ ）
A．∠AOC＝3∠AOB
B．∠AOC＝∠AOB
C．∠AOC＞∠BOC
D．∠AOB＝∠AOC或∠AOC＝3∠AOB
3．（2023秋•雁塔区校级期中）如图，OB平分∠AOC，则∠AOD﹣∠BOC等于（ ）
A．∠BOD B．∠DOC C．∠AOB D．∠AOC
4．（2023秋•肥西县期末）如图，OC是∠AOB的平分线，OD是∠BOC的平分线，那么下列各式中正确
的是（ ）
141 2
A．∠COD= ∠AOB B．∠AOD= ∠AOB
2 3
1 2
C．∠BOD= ∠AOD D．∠BOC= ∠AOD
2 3
5．（2023秋•松桃县期末）如图，已知O为直线AB上一点，将直角三角板MON的直角顶点放在点O处，
若OC是∠MOB的平分线，则下列结论正确的是（ ）
A．∠AOM＝3∠NOC B．∠AOM＝2∠NOC
C．2∠AOM＝3∠NOC D．3∠AOM＝5∠NOC
6．（2023秋•闽清县期末）如图，已知射线OC在∠AOB内部，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，OF平分
1
∠AOB，以下四个结论：①∠DOE= ∠AOB；②2∠DOF＝∠AOF﹣∠COF；
2
1
③∠AOD＝∠BOC；④∠EOF= (∠COF+∠BOF)．其中正确的结论有 （填序号）．
2
题型八 角的平分线的应用
15解题技巧提炼
1.角平分线的定义：
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．
2.性质：若OC是∠AOB的平分线：
1
则∠AOC＝∠BOC= ∠AOB或∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC．
2
1．（2024春•潍城区期中）如图，已知OB是∠AOC内部的一条射线，下列说法一定正确的是（ ）
A．∠AOC＝2∠BOC
B．∠BOC＜∠AOB
C．∠AOC可以用∠O表示
D．∠1与∠AOB表示同一个角
1
2．（2023秋•蚌埠期末）如图，∠AOB，以OA为边作∠AOC，使∠BOC= ∠AOB，则下列结论成立的是（
2
）
A．∠AOC＝∠BOC
B．∠AOC＜∠AOB
C．∠AOC＝∠BOC或∠AOC＝2∠BOC
D．∠AOC＝∠BOC或∠AOC＝3∠BOC
3．（2023•大庆开学）如图，点O在直线AB上，∠COD＝90°，OE是∠BOD的平分线，OC为∠BOE
的平分线，∠BOC＝ ．
164．（2023秋•南明区期末）如图所示，∠AOB＝30°，∠BOC＝40°，∠COD＝26°，OE平分∠AOD，则
∠BOE的大小为 ．
5．（2023秋•碑林区校级期末）已知如图，∠AOB：∠BOC＝5：3，OD是∠BOC的平分线，OE是
∠AOC的平分线，且∠BOE＝16°，求∠DOE的度数．
题型九 角的尺规作图
解题技巧提炼
角的尺规作图是利用直尺和圆规作一个角等于已知角.
1．（2023秋•桥西区期末）如图，用尺规作出了∠NCB＝∠AOC，作图痕迹中弧FG是（ ）
17A．以点C为圆心，OD为半径的弧
B．以点C为圆心，DM为半径的弧
C．以点E为圆心，OD为半径的弧
D．以点E为圆心，DM为半径的弧
2．（2024春•辽阳期末）如图，点C在∠AOB的OB边上，用尺规作出了∠BCD＝∠AOB．以下是排乱的
作图过程：则正确的作图顺序是（ ）
①以C为圆心，OE长为半径画^MN，交OB于点M．
②作射线CD，则∠BCD＝∠AOB．
③以M为圆心，EF长为半径画弧，交^MN于点D．
④以O为圆心，任意长为半径画^EF，分别交OA，OB于点E，F．
A．①﹣②﹣③﹣④ B．③﹣②﹣④﹣①
C．④﹣①﹣③﹣② D．④﹣③﹣①﹣②
3．（2023秋•裕华区期末）下面是黑板上出示的尺规作图题，需要回答符号代表的内容（ ）
如图，已知∠AOB，求作：∠DEF，使∠DEF＝∠AOB
作法：
（1）以●为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点P、Q
（2）作射线EG，并以点E为圆心◎长为半径画弧交EG于点D
（3）以点D为圆心 长为半径画弧交（2）步中所画弧于点F
（4）作 ，∠DEF⊙即为所求作的角
⊕
18A．●表示点E B．◎表示PQ
C． 表示OQ D． 表示射线EF
4．（2⊙024春•芝罘区期末）如图，用尺规作图作出∠⊕OBF＝∠AOB，则作图痕迹弧MN是（ ）
A．以点B为圆心，以OD长为半径的弧
B．以点B为圆心，以DC长为半径的弧
C．以点E为圆心，以OD长为半径的弧
D．以点E为圆心，以DC长为半径的弧
题型十 三角板中角的计算
解题技巧提炼
三角板中的角的计算主要是利用特殊角 30°，45°，60°，90°进行相关的计
算.
1．（2023秋•广州期末）如图，把一副三角板叠合在一起，则∠AOB的度数是（ ）
A．15° B．20° C．30° D．70°
2．（2023秋•金安区校级期末）如图，一副三角板如图摆放，若∠1＝9°，则∠2的度数为（ ）
19A．24° B．25° C．26° D．27°
3．（2023春•滕州市校级期末）将一副三角板的直角顶点重合放置于 A处（两块三角板可以在同一平面
内自由转动），下列结论一定成立的是（ ）
A．∠CAE+∠DAB＝90° B．∠BAE﹣∠DAC＝45°
C．∠BAE+∠DAC＝180° D．∠DAC＝2∠BAD
4．（2023秋•市北区期末）如图，一副三角板中，将一个三角板60°角的顶点与另一个三角板的直角顶点
重合，如果∠1＝23°，那么∠2的大小是 度．
5．（2023秋•江汉区期末）如图，将三角板的直角顶点O放在直线AB上，OE平分∠AOC，绕点O转动
三角板，若∠BOD＝20°，则∠AOE＝ °．
6．（2023秋•荆门期末）如图，将一副三角尺的两个锐角（60°角和45°角）的顶点O叠放在一起，若
∠AOD与∠BOC的和为35°，则∠AOC的度数为（ ）
20A．55° B．65° C．70° D．75°
题型十一 角度计算的解答题
解题技巧提炼
角度计算的解答题是综合运算角的和差倍分进行相关的计算，有时要用到角分线
的性质。
1．（2023秋•灵宝市期末）如图，点A，O，B在同一条直线上，∠AOC＝∠BOD，OM，ON分别是
∠AOC，∠BOD的平分线．
（1）若∠COD＝80°，求∠MON的度数；
（2）比较∠DOM和∠CON的大小，并说明理由．
2．（2023秋•德惠市期末）如图，OC是∠AOD的平分线，OE是∠BOD的平分线．
（1）如果∠AOB＝130°，那么∠COE是多少度？
（2）在（1）的条件下，如果∠COD＝20°31′，那么∠BOE是多少度？
213．（2023秋•天山区校级期末）如图，已知∠AOB＝120°，∠AOD＝2∠BOD．
（1）求∠AOD的度数；
（2）自O点引射线OC，若∠AOC：∠COB＝1：3，求∠COD的度数．
4．（2024春•莱州市期末）新定义：若∠ 的度数是∠ 的度数的n倍，则∠ 叫做∠ 的n倍角．
（1）若∠M＝10°21′，请直接写出∠Mα的4倍角的度β 数； α β
（2）如图1所示，若∠AOB＝∠BOC＝∠COD，请直接写出图中∠COD的2倍角；
（3）如图2所示，若∠AOC是∠AOB的3倍角，∠COD是∠AOB的4倍角，且∠BOD＝90°，求
∠BOC的度数．
5．（2023秋•江源区期末）如图甲所示，将一副三角尺的直角顶点重合在点O处．
（1）①∠AOD和∠BOC相等吗？说明理由．
②∠AOC和∠BOD在数量上有何关系？说明理由．
（2）若将这副三角尺按左图乙所示摆放，三角尺的直角顶点重合在点O处．
①∠AOD和∠BOC相等吗？说明理由．
②∠AOC和∠BOD的以上关系还成立吗？说明理由．
226．（2023秋•斗门区期末）如图①，OC是∠AOE内部的一条射线，OB、OD分别平分∠AOC，∠EOC．
（1）若∠AOE＝140°，∠COD＝30°，求∠BOC＝ ；
（2）∠AOE与∠BOD的大小有什么关系，写出你的结论并说明理由．
（3）如图②，如果OC是∠AOE外部的一条射线，OB、OD分别平分∠AOC，∠EOC．那么（2）中
∠AOE与∠BOD的大小关系还成立吗？请说明理由．
题型十二 角度计算的动态问题
解题技巧提炼
角度计算的动态问题是化动为静，综合运算角的和差倍分进行相关的计算，有时
要用到方程思想和分类讨论的思想.
1．（2023秋•桥西区期末）已知直角三角形MON的直角顶点O在直线AB上，射线OC平分∠AON．
（1）如图1，若∠MOC＝34°，求∠AOM的度数；
（2）如图2，将三角形MON绕点O逆时针旋转，若∠BON＝100°，求∠AOM的度数；
23（3）如图3，将三角形MON绕点O逆时针旋转，试写出∠BON和∠MOC之间的数量关系，并说明理由．
2．（2023秋•泊头市期末）已知一副直角三角尺 OAB和OCD，∠AOB＝90°，∠B＝45°，∠D＝90°，
∠COD＝30°．
（1）将两个直角三角尺按如图1摆放，点A在边OC上，则∠BOD＝ ；
（2）将直角三角尺 OCD从图1位置绕点O逆时针方向转到图 2位置，使OB恰好平分∠COD，求
∠AOC的度数；
（3）如图3，当三角尺OCD摆放在∠AOB内部时，作射线OM平分∠AOC，射线ON平分∠BOD，若
三角尺OCD在∠AOB内部绕点O任意转动（OC、OD均在∠AOB内部），试判断∠MON的度数是否
会发生变化？通过计算说明理由．
3．（2023秋•德惠市期末）已知∠AOB＝90°，顶点O在直线CD上，∠AOC＜90°，OE，OE是∠BOC的
平分线．
24（1）当点A，B在直线CD的同侧时，如图1：
①若∠AOE＝10°，则∠BOD＝ °；
若∠AOE＝20°，则∠BOD＝ °；
②若∠AOE＝n°（0＜n＜45），则∠BOD＝ °（用n表示）；
（2）当A，B在直线CD的异侧时，如图2：
①猜想∠AOE与∠BOD之间的数量关系，并说明理由；
②若∠BOD＝120°，直接写出∠AOE的度数．
4．（2023秋•曲阜市期末）如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC＝60°，将一直
角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．
25（1）将图1中的三角板绕点O处逆时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部．且恰好平分∠BOC，
求∠CON的度数．
（2）在图3中，延长线段NO得到射线OD，判断OD是否平分∠AOC，请说明理由．
（3）将图1中的三角板绕点O按每秒10°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直
线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为 秒．（直接写出答案）
5．（2023秋•闽清县期末）已知∠AOB．在∠AOB内部画射线 OC，得到三个角，分别为∠AOC，
∠BOC，∠AOB．若这三个角中有一个角是另外一个角的两倍，则称射线OC为∠AOB二倍角线．
26（1）一个角的平分线 这个角的“二倍角线”（填“是”或“不是”）；
（2）如图①，若∠AOB＝90°，∠BOC＜∠AOC，OC为∠AOB的二倍角线，求∠AOC的度数；
（3）如图②，将一块三角板AOB的直角顶点O放在直线MN上，且三角板AOB绕着点O转动，若OC
是∠AOB的二倍角线，OB是∠CON的二倍角线，请直接写出∠BON的度数．
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