文档内容
第 4 讲 抛物线
目录
第一部分：知识强化
第二部分：重难点题型突破
突破一：抛物线定义
突破二：抛物线标准方程
突破三：抛物线弦长
突破四：抛物线中点弦
突破五：抛物线上点到定点（定直线）最值
突破六：抛物线中定点，定值问题
突破七：抛物线中定直线问题
第三部分：冲刺重难点特训
第一部分：知识强化
1、抛物线的定义
（1）抛物线的定义：平面内与一个定点 和一条定直线 （其中定点 不在定直线 上）的距离相等的点
的轨迹叫做抛物线，定点 叫做抛物线的焦点，定直线 叫做抛物线的准线．
（2）抛物线的数学表达式： ( 为点 到准线 的距离).
2、抛物线的简单几何性质
y 2 =2px （ y 2 =−2px （ x 2 =2py x 2 =−2py （
标准方程
） ） （ ） ）
图形
，
范围 ， ， ，
对称轴 轴 轴 轴 轴
p p p p
焦点坐标 F( ,0) F(− ,0) F(0, ) F(0,− )
2 2 2 2p p
p p
准线方程
x=− x= y=− y=
2 2 2 2
顶点坐标
离心率
通径长
3、直线与抛物线的位置关系
设直线 : ,抛物线:
y 2 =2px
（ ）,将直线方程与抛物线方程联立整理成关于 的方程
(1)若 ,当 时,直线与抛物线相交,有两个交点;
当 时,直线与抛物线相切,有一个切点;
当 时,直线与抛物线相离,没有公共点.
(2)若 ,直线与抛物线有一个交点,此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.因此直线与抛物
线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件.
4、直线和抛物线
（1）抛物线的通径(过焦点且垂直于轴的弦)长为 .
（2）抛物线的焦点弦
过抛物线
y 2 =2px
（ ）的焦点 的一条直线与它交于两点 ， ，则
① ， ；② ；③ .
说明：抛物线的焦半径公式如下：（ 为焦准距）
（1）焦点 在 轴正半轴，抛物线上任意一点 ，则 ；
（2）焦点 在 轴负半轴，抛物线上任意一点 ，则 ；
（3）焦点 在 轴正半轴，抛物线上任意一点 ，则 ；
（4）焦点 在 轴负半轴，抛物线上任意一点 ，则 .
第二部分：重难点题型突破
突破一：抛物线定义
1．（2022·福建·莆田第六中学高二阶段练习）已知点 是抛物线 上的动点，点A的坐标为 ，则点 到点A的距离与到 轴的距离之和的最小值为（ ）
A．13 B．12 C．11 D．
【答案】B
【详解】如图， ⊥ 轴，连接 ，
由抛物线定义得：抛物线 的准线方程为 ，焦点坐标为 ，
故 ，
则点 到点A的距离与到 轴的距离之和 ，
连接 ，与抛物线交于点 ，此时 ，
故点 到点A的距离与到 轴的距离之和的最小值为 ，
其中 ，故最小值为 .
故选：B
2．（2022·重庆市育才中学高三阶段练习）已知过抛物线 的焦点 且倾斜角为 的直线交 于
两点， 为弦 的中点， 为 上一点，则 的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【详解】抛物线 ，焦点 ，准线 ，直线AB的方程为 ，
由 消去y并整理得： ，设 ， ，则 ，
弦 中点Q的横坐标 ，过点 作准线l的垂线，垂足为点 ，如图，令 交抛物线于点 ，在抛物线上任取点 ，过 作 于点 ，连接 ，
即有 ， ，
当且仅当点 与P重合时取等号，
所以 的最小值为 .
故选：A.
3．（2022·河南·民权县第一高级中学模拟预测（文））已知抛物线 的焦点为
为该抛物线上一点，且 （点 为坐标原点），则 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．8
【答案】C
【详解】当 时， ，解得 ，故 ，
， ， 其邻角的余弦值为 ，
所以 ，化简得 ，解得 （负舍）
故选：C.
4．（2022·广西·高二阶段练习）已知抛物线 的焦点为 ，点 在抛物线上，点 在圆
上，则 的最小值为（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
【答案】C
【详解】由题意知，圆心 ，半径 ，抛物线的焦点 ，准线 .如图，作 于 ，因为 在抛物线上，所以 .
因为， ，当 三点共线时，取等号.
又 ，则当 三点共线时，取等号.
过点 ，作 ，垂足为 ， 交圆于 点，交抛物线于 ，
此时，有 四点共线，则上述两式可同时取等号.
所以有， .
所以， 的最小值为8.
故选：C.
5．（2022·湖南·湘府中学高二阶段练习）设F为抛物线 的焦点，点M在C上，点N在准线l
上，满足 ， ，则 （ ）
A． B． C．2 D．
【答案】C
【详解】由题， ，抛物线焦点 为 ，准线 为 ，
设准线 与 轴交点为 ，如图所示，
由题知 ，由定义可知 ，
因为 ，所以 是正三角形，则对 ，因为 ，所以 ，
所以 ，
故选：C
6．（2022·四川·南江中学高三阶段练习（理））已知抛物线C： 的焦点为F，点N是抛物线C的对
称轴与它的准线的交点，点M是抛物线上的任意一点，则 的最大值为_____________．
【答案】
【详解】如图所示，过 作准线的垂线，垂足记为 .
由已知得 ， ，根据抛物线的定义知，点M到焦点F的距离等于点M到准线的距离
．故 ．在直角△MNH中， 表示 的倒数，故求 的最大值转化为求
的最小值，此时， 也最小值．而 的最小值就是曲线 在点M处切线
过N点时的斜率．由 得 ，故曲线 在点 处的方程为：
．而点 在此切线上，故有 ，则 ，取 ，此时切
线斜率为： ．故切线的倾斜角为45°，即 ．∴ ，故所求的最大值为 ．
故答案为：
7．（2022·四川·树德中学高二期中（理））已知M为抛物线 上一点，过抛物线C的焦点F作直
线 的垂线，垂足为N，则 的最小值为______．
【答案】 ##
【详解】由 知，焦点 ，准线 的方程为 ，
由 可得 ，
由 解得 ，即直线恒过定点 ，
设 中点为 ，则 ，由题意知 ，
所以 的轨迹为以 为直径的圆，
则圆的方程为 ，
过 作 于 ，则 ，
所以由图知，当 运动到 时， 运动到 ， 共线时，
的最小值为圆 上动点 到准线的距离的最小值，即 .
故答案为：
8．（2022·河南·郑州外国语学校高二期中）若点 满足方程 ，则点
P的轨迹是______.（填圆锥曲线的类型，填方程不给分）
【答案】抛物线
【详解】由 ，得 ，所以等式左边表示点 到点 的距离，右边表示点 到直线 的距离，即点
到点 的距离与到直线 的距离相等，
又因为点 不在直线 上，由抛物线的定义知，点 的轨迹是以 为焦点，直线
为准线的抛物线.
故答案为：抛物线.
突破二：抛物线标准方程
1．（2022·云南·玉溪市民族中学模拟预测（文））已知抛物线 的焦点为F，点M在抛物
线C的准线l上，线段 与y轴交于点A，与抛物线C交于点B，若 ，则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【详解】设l与x轴的交点为H，由O为 中点，知点A为 的中点，
因为 ，所以 ．
过点B作 ，垂足为Q，则由抛物线的定义可知 ，
所以 ，则 ，所以 ．
故选：C
2．（2022·全国·高三专题练习）设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以
MF为直径的圆过点（0，2），则C的方程为（ ）
A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8x
C．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x
【答案】C
【详解】由 可得 ，
设 ，则 ，则 ，
设以 为直径的圆上任一点 ，
则 ， ，则 ，
所以以 为直径的方程为 ，
将 代入得： ，因为 ，
即 ，解得： ，
由 得： ，
解得： 或 ，则方程为 或 ，
故选：C
3．（2022·全国·模拟预测（文））已知抛物线 的焦点为F，点M在抛物线上且
（0为坐标原点），过点M且与抛物线相切的直线与y轴相交于点N，若 ，则抛物线的方程为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意， ，不妨设 ，则 ， 化简为 所以
，则直线 的斜率为： ，所以 所在直线方程为：
，令 得 ．则 ，所以
所以抛物线的方程为 ．
故选：C．
4．（2022·北京市第二十二中学高二期中）以 轴为对称轴，顶点为坐标原点，焦点到准线的距离为4的
抛物线方程是（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】C
【详解】依题意设抛物线方程为 ．
因为焦点到准线的距离为4，
所以 ，所以 ，
所以抛物线方程为 或 ．
故选：C．
5．（2022·四川·阆中中学高二阶段练习（理））已知抛物线 的焦点是 ， 是 的准线上一点，线段 与 交于点 ，与 轴交于点 ，且 ， （ 为原点），则 的方
程为___________.
【答案】
【详解】过点 作抛物线 准线的垂线，垂足为 ，由抛物线的定义知， ，
又 ，所以 ，所以 ，
所以 .又 ，所以 ，
所以 ，则 ，
所以抛物线 的方程为 .
故答案为： .
6．（2022·全国·高二课时练习）设抛物线 的顶点在坐标原点，焦点 在坐标轴上，点 在抛物线 上，
，若以线段 为直径的圆过坐标轴上距离原点为1的点，试写出一个满足题意的抛物线 的方程
为______．
【答案】 （答案不唯一）
【详解】由题意，若抛物线的焦点 在 轴正半轴上，则可设抛物线方程为 （ ），
， ，由焦半径公式可知 ，圆的半径为 ，
得 ，并且线段 中点的纵坐标是 ，所以以线段 为直径的圆与 轴相切，切点坐标
为 或 ，所以 ，
即点 的坐标为 ，代入抛物线方程 （ ）得 ，解得 或 ，即
当点 在 轴正半轴上时，抛物线方程是 或 .
同理，当点 在 轴负半轴时，抛物线方程为 或 ，当点F在 轴正半轴时，抛物线方程为 或 ，当点 在 轴负半轴时，抛物线方程为 或 ．
故答案为： （答案不唯一）.
7．（2022·全国·高二单元测试）已知抛物线 过点 ，则其准线方程为___________.
【答案】 ##x+1=0
【详解】解： 抛物线 经过点 ，
，
解得： ，
抛物线 的准线方程为 ，
故答案为： ．
突破三：抛物线弦长
1．（2022·云南·玉溪市民族中学模拟预测（文））已知抛物线 的焦点为F，点M在抛物
线C的准线l上，线段 与y轴交于点A，与抛物线C交于点B，若 ，则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【详解】设l与x轴的交点为H，由O为 中点，知点A为 的中点，
因为 ，所以 ．
过点B作 ，垂足为Q，则由抛物线的定义可知 ，
所以 ，则 ，所以 ．
故选：C
2．（2022·全国·高三专题练习）设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以
MF为直径的圆过点（0，2），则C的方程为（ ）
A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8x
C．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x
【答案】C
【详解】由 可得 ，设 ，则 ，则 ，
设以 为直径的圆上任一点 ，
则 ， ，
则 ，
所以以 为直径的方程为 ，
将 代入得： ，因为 ，
即 ，解得： ，
由 得： ，
解得： 或 ，则方程为 或 ，
故选：C
3．（2022·全国·模拟预测（文））已知抛物线 的焦点为F，点M在抛物线上且
（0为坐标原点），过点M且与抛物线相切的直线与y轴相交于点N，若 ，则抛物线的方程为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意， ，不妨设 ，则 ， 化简为 所以
，则直线 的斜率为： ，所以 所在直线方程为：
，令 得 ．则 ，所以
所以抛物线的方程为 ．
故选：C．
4．（2022·北京市第二十二中学高二期中）以 轴为对称轴，顶点为坐标原点，焦点到准线的距离为4的
抛物线方程是（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】C
【详解】依题意设抛物线方程为 ．因为焦点到准线的距离为4，
所以 ，所以 ，
所以抛物线方程为 或 ．
故选：C．
5．（2022·四川·阆中中学高二阶段练习（理））已知抛物线 的焦点是 ， 是 的准线
上一点，线段 与 交于点 ，与 轴交于点 ，且 ， （ 为原点），则 的方
程为___________.
【答案】
【详解】过点 作抛物线 准线的垂线，垂足为 ，由抛物线的定义知， ，
又 ，所以 ，所以 ，
所以 .又 ，所以 ，
所以 ，则 ，
所以抛物线 的方程为 .
故答案为： .
6．（2022·全国·高二课时练习）设抛物线 的顶点在坐标原点，焦点 在坐标轴上，点 在抛物线 上，
，若以线段 为直径的圆过坐标轴上距离原点为1的点，试写出一个满足题意的抛物线 的方程
为______．
【答案】 （答案不唯一）
【详解】由题意，若抛物线的焦点 在 轴正半轴上，则可设抛物线方程为 （ ），
， ，由焦半径公式可知 ，圆的半径为 ，
得 ，并且线段 中点的纵坐标是 ，所以以线段 为直径的圆与 轴相切，切点坐标为 或 ，所以 ，
即点 的坐标为 ，代入抛物线方程 （ ）得 ，解得 或 ，即
当点 在 轴正半轴上时，抛物线方程是 或 .
同理，当点 在 轴负半轴时，抛物线方程为 或 ，当点F在 轴正半轴时，抛物线方程
为 或 ，当点 在 轴负半轴时，抛物线方程为 或 ．
故答案为： （答案不唯一）.
7．（2022·全国·高二单元测试）已知抛物线 过点 ，则其准线方程为___________.
【答案】 ##x+1=0
【详解】解： 抛物线 经过点 ，
，
解得： ，
抛物线 的准线方程为 ，
故答案为： ．
突破四：抛物线中点弦
1．（2022·全国·高三专题练习）已知A，B在抛物线 上，且线段AB的中点为M(1，1)，则|AB|＝
（ ）
A．4 B．5
C． D．
【答案】C
【详解】由题意，设
线段AB的中点为M(1，1)
故
且
两式相减得：
故
故直线AB的方程为： ，即
将直线与抛物线联立：
即则
故选：C
2．（2022·宁夏六盘山高级中学高二阶段练习（理））直线 与抛物线 交于 两点，且线
段 中点的横坐标为1，则 的值为（ ）
A． 或 B． C． D．
【答案】B
【详解】解：设 ，由 ，
消去y得 ，
由题意得 ，
∴ ， .
故选：B
3．（2022·黑龙江·绥棱县第一中学高三阶段练习）斜率为k的直线l与抛物线y2=4x相交于A，B两点，与
圆（x-5）2+y2 =9相切于点M，且M为线段AB的中点，则k=（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】设A（x，y），B（x，y），M（x，y），则 又 两式相减得
1 1 2 2 0 0
，则 .设圆心为C（5，0），则kOM= ，因为直
线l与圆相切，所以 ，解得 ，代入 得 ，故
选A.
4．（2022·北京二中高三阶段练习）已知A，B是抛物线 上的两点，线段AB的中点为 ，
则直线AB的方程为__________．
【答案】【详解】依题意，设 ，
若 ，则直线 ，由抛物线的对称性可知，线段AB的中点为 ，显然不符合题意，故
，
因为A，B是抛物线 上的两点，
所以 ，两式相减得， ，整理得 ，
因为线段AB的中点为 ，
所以 ，即 ，
又 ，所以 ，
所以直线AB的方程为 ，即 .
故答案为： .
5．（2022·河南·濮阳南乐一高高二阶段练习（文））直线AB过抛物线 的焦点F，且与抛物线交于
A、B两点，且线段AB的中点的横坐标是3，则直线AB的斜率是_____________.
【答案】1或
【详解】因为直线AB过抛物线 的焦点F 且与抛物线交于A、B两点，
所以斜率不为0，
设直线AB方程为 ，
与抛物线方程联立得： ，
由韦达定理得： ，
所以 ，
解得
所以直线的方程为 ，
所以 .
故答案为：1或
6．（2022·河南省浚县第一中学高二阶段练习）已知抛物线 上的点 （点 位于
第四象限）到焦点F的距离为5.
(1)求p，m的值；
(2)过点 作直线l交抛物线C于A，B两点，且点 是线段 的中点，求直线l的方程.
【答案】(1) ，
(2)【详解】（1）因为抛物线 过点 ，且点 到焦点F的距离为5，由抛物线
的定义可得： ，解得： ，
所以抛物线方程为： ，将点 代入可得： ，
因为点 位于第四象限，所以 ，
所以 ， .
（2）设 ，因为 在抛物线 上，
则 ，两式作差可得： ，
所以直线 的斜率 ，
因为点 是线段 的中点，所以 ，则直线 的斜率 ，
所以直线 的方程为 ，也即 （经检验，所求直线符合条件）.
7．（2022·江苏·连云港市赣马高级中学高一期末）已知抛物线 的焦点为F，点 在抛
物线C上.
(1)求点F的坐标和抛物线C的准线方程；
(2)过点F的直线l交抛物线C于A、 两点，且线段AB的中点为 ，求直线l的方程及 .
【答案】(1) 的坐标为 ，准线方程为
(2) ，
【详解】（1） 点 在抛物线 上， ， ，
的坐标为 ，抛物线C的准线方程为 .
（2）由题可知，直线l经过 与 ，
的斜率 ， 直线l的方程为 ，
设A，B的坐标分别为 ， ，
则由抛物线的定义可知 ，
又AB的中点为 ， ，
8．（2022·江苏·连云港市赣马高级中学高二期末）已知抛物线 的焦点为 ，直线 与C交于A，
B两点．
(1)若 的倾斜角为 且过点F，求 ；(2)若线段AB的中点坐标为 ，求 的方程．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为 的倾斜角为 ， ，
所以直线 的方程为 ，
联立 可得 ，
设 ，则 ，
所以 ；
（2）设 ，则 ，
所以 ，
因为线段AB的中点坐标为 ，所以 ，
所以 ，所以 的斜率为 ，
所以 的方程为 ，即 .
突破五：抛物线上点到定点（定直线）最值
1．（2022·福建·莆田第六中学高二阶段练习）已知点 是抛物线 上的动点，点A的坐标为 ，
则点 到点A的距离与到 轴的距离之和的最小值为（ ）
A．13 B．12 C．11 D．
【答案】B
【详解】如图， ⊥ 轴，连接 ，
由抛物线定义得：抛物线 的准线方程为 ，焦点坐标为 ，
故 ，
则点 到点A的距离与到 轴的距离之和 ，
连接 ，与抛物线交于点 ，此时 ，
故点 到点A的距离与到 轴的距离之和的最小值为 ，
其中 ，故最小值为 .故选：B
2．（2022·陕西·西安市第三中学高二期中）已知抛物线 ： 的焦点为 ，圆 ： ，
过点 的直线 与抛物线 交于 ， 两点，与圆 交于 ， 两点，且点 ， 在同一象限，则
的最小值为（ ）
A．8 B．12 C．16 D．20
【答案】B
【详解】由已知 得 ．显然，直线 不与 轴垂直．
圆 ： 的圆心为 ,半径为3,
设直线 ： ．联立 ，得 ， ．
设 ， ， ，则 ，得 ，
所以 ，
当且仅当 ， 时等号成立，故 的最小值为12，
故选：B
3．（2022·全国·高三专题练习）已知 为抛物线 上的动点， 为直线 上的动点，
过点 作圆 的切线，切点为 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设 ，则 ，
，，
，
则当 时， ，即 的最小值为 .
故选：C.
4．（2022·江西·南昌十五中高二阶段练习（理）） 的最小值为（ ）
A． B． C． D．5
【答案】B
【详解】设 ，则
表示点 到点 和 到点 的距离之和，
因为点 在抛物线 上，且F为C的焦点，准线为 ，
并且，由于 ，所以点 在抛物线内，
作图如下：
，
过P点作准线的垂线，垂足为 ，根据抛物线的性质有 ，
过A点作准线的垂线，垂足为B，与抛物线C交于H点，显然当P点与H点重合时， 最小，最小值= ；
故选：B.
5．（2022·江苏南通·高三阶段练习）已知 是抛物线 上一点，则 的最小
值为______.
【答案】
【详解】如下图示，过抛物线 上的动点 作直线 的垂线交直线于 ，过点
作 轴的垂线交 轴于Q，交准线于G点，F为抛物线焦点.
则 ，动点 到 轴的距离为 .
，当且仅当 三点共线时，
有最小值，即 （ 为点 到直到 的距离）.
而 到直线 距离为： .
，
.
最小值为： .
故答案为： .6．（2022·新疆维吾尔自治区喀什第二中学高二期末（理））已知P为抛物线y2＝4x上的一个动点，直线
l：x＝－1，l：x＋y＋3＝0，则P到直线l，l 的距离之和的最小值为_______
1 2 1 2
【答案】
【详解】将P点到直线l： 的距离转化为点P到焦点F(1，0)的距离，过点F作直线l 的垂线，交抛
1 2
物线于点P，此即为所求最小值点，
∴P到两直线的距离之和的最小值为 ＝2 ，
故答案为： .
7．（2022·全国·高二课时练习）过抛物线 焦点F作斜率分别为 、 的两条直线 、 ，其中
交抛物线C于A、B两点， 交抛物线C于D、E两点，若 ，则 的最小值为______．
【答案】24
【详解】由题意得： ，
则直线 为： ，与 联立得： ，
设 ，
则 ， ， ，
则 ，
同理可求得： ，
所以 ，当且仅当 时，等号成立，
故答案为：24
8．（2022·四川·宜宾市叙州区第一中学校三模（文））已知 是抛物线 的焦点， 为抛物线上的
动点，且点 的坐标为 ，则 的最大值是_______.
【答案】3【详解】 ，由抛物线的定义知 等于 到准线 的距离，
记直线 与准线的夹角为 ，可得 ，
①若 斜率不存在，则原式 ，
②若 斜率存在，当PA与抛物线相切时， 最小，
设 的直线方程为 ，联立 得
，由 得 ，即 ，
故 ，此时
故答案为：3
9．（2022·河南·郑州市回民高级中学高二期中）已知P为抛物线 上任意一点，则点P到y轴的距离
与点P到直线 的距离之和的最小值为___________.
【答案】
【详解】抛物线 的焦点 ，准线 ，抛物线 上的点P到y轴的距离等于它到准线
距离 减去1的差，
由抛物线定义知， ，令点P到直线 的距离为 ，
于是得点P到y轴的距离与点P到直线 的距离之和为 ，
过P作 于M，连PF，MF，过点F作 于Q，交抛物线 于点 ，如图，
显然， ，当点P与点 不重合时，有：
，
则当点P是过焦点F作直线l的垂线与抛物线交点时，点P到y轴的距离与点P到直线 的
距离之和取得最小值，此最小值为 .
故答案为：
突破六：抛物线中定点，定值问题
1．（2022·全国·高三阶段练习）已知抛物线 的准线与x轴的交点为H，直线过抛物线C
的焦点F且与C交于A，B两点， 的面积的最小值为4．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若过点 的动直线l交C于M，N两点，试问抛物线C上是否存在定点E，使得对任意的直线l，
都有 ，若存在，求出点E的坐标；若不存在，则说明理由．
【答案】(1)
(2)存在定点
【详解】（1） 斜率不为零，设 代入 ， ，
设 ，则 ，
，
当 时， 取最小值 ， ， ，抛物线C的方程为： ．
（2）假设存在 ，设 ，由题意， 斜率不为零，
设 的方程为 代入 ，可得 ，
， ， ，
故 ，即 ，即 ，
，解得 ，故存在定点 满足题意．
2．（2022·上海长宁·一模）已知抛物线 的焦点为F，准线为l；
(1)若F为双曲线 的一个焦点，求双曲线C的离心率e；
(2)设l与x轴的交点为E，点P在第一象限，且在 上，若 ，求直线EP的方程；(3)经过点F且斜率为 的直线l'与 相交于A，B两点，O为坐标原点，直线 分别与l相交于
点M，N；试探究：以线段MN为直径的圆C是否过定点；若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由；
【答案】(1)
(2)
(3)以线段MN为直径的圆C过定点 ，理由见详解
【详解】（1）抛物线 的焦点为 ，准线为 ，
双曲线 的方程为双曲线 ，即 ，则 ，
由题意可知： ，则 ，
故双曲线C的离心率 .
（2）由（1）可知： ，
过点P作直线 的垂线，垂足为M，则 ，
∵ ，且 ，
∴ ，
故直线EP的倾斜角 ，斜率 ，
∴直线EP的方程为 ，即 .
（3）以线段MN为直径的圆C过定点 ，理由如下：
设直线 ，
联立方程 ，消去y可得： ，则可得： ，
∵直线 ，当 时， ，
∴ ，
同理可得： ，
∵
，
，
则线段MN为直径的圆C的圆心 ，半径 ，
故圆C的方程为 ，整理得 ，
令 ，则 ，解得 或 ，
故以线段MN为直径的圆C过定点 .
3．（2022·广东广州·高二阶段练习）已知抛物线 的焦点为F，过F的直线l与抛物线C
交于A，B两点，B在x轴的上方，且点B到F的距离为5，且B的纵坐标为 ．
(1)求抛物线C的标准方程与点B的坐标；(2)设点M为抛物线C上异于A，B的点，直线MA与MB分别交抛物线C的准线于E，G两点，x轴与准线
的交点为H，求证： 为定值，并求出定值．
【答案】(1) ，
(2)定值为4，证明见解析
【详解】（1）由题意得： ，因为点B到F的距离为5，且B在x 轴的上方，且B的纵坐标为
所以 ，故 ，即 ，因为 得 ，
故抛物线C的方程为： ，此时 .
（2）由（1）得： ， 线方程 ，
直线l的方程： ，
由 ，解得 或 ，于是得 ．
设点 ，又题意 且 ，
所以直线MA： ，即 ，令 ，得 ，即
.
同理直线MB： ，即 ，
令 ，得 ，
即 ，
故 ．
4．（2022·江苏·南京市中华中学高二阶段练习）已知抛物线C：x2＝4y，A，B是抛物线上异于原点的O的
两个动点．
(1)若M点坐标为（0，3），求AM的最小值：
(2)若OA⊥OB，且OH⊥AB于H，问：是否存在定点R，使得RH为定值．若存在，求出R点坐标，若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)存在定点 ，使得RH为定值
（1）
设 ， ，则 ， 时，等号成立；
（2）
由题意可设AB方程为 ， ，
由 ，得 ．
由 得 ， ， ，
∴ （舍去）或
则直线AB过定点
又 ，则H在以ON为直径的圆上（不含y轴交点）
令ON的中点为 ，则 ，
所以，存在定点 ，使得RH为定值。
突破七：抛物线中定直线问题
1．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线 ，圆 ，直线
与抛物线 和圆 同时相切.
（1）求 和 的值；
（2）若点 的坐标为 ，过点 且斜率为 的直线 与抛物线 分别相交于 、 两点（点 在点
的右边），过点 的直线 与抛物线 分别相交于 、 两点，直线 与 不重合，直线 与直线
相交于点 ，求证：点 在定直线上.
【答案】（1） ， ；（2）证明见解析.【详解】（1）圆 的标准方程为 ，可知圆 的圆心为 ，半径为 ，
由直线 与圆 相切，可得 ，解得 或 （舍去），
联立方程 ，消去 后整理为 ，
因为直线与抛物线相切，所以 ，得 ，
故 ， .
（2）证明：直线 的方程为 ，
联立方程 ，解得 或 ，
则点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
设直线 的方程为 ，
点 的坐标为 ，点 的坐标为
联立方程 ，消去 整理为 ，
有 ， ，
，
由 得 或 ，
直线 的斜率为 ，
直线 的斜率为 ，
直线 的方程为 ，化为 ，
直线 的方程为 ，化为 ，
联立直线 、 的方程消去 后得 ，得 ，因为直线 与 不重合，所以 ，所以 ，
故点 在定直线 上.
2．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆 ： 的离心率为 ，且经过点
Ⅰ 求椭圆 的标准方程；
Ⅱ 已知抛物线 的焦点与椭圆 的右焦点重合，过点 的动直线与抛物线 相交于 ， 两个不
同的点，在线段 上取点 ，满足 ，证明：点 总在定直线上． A B
AB Q Q
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）详见解析.
【详解】解： Ⅰ 由题意可知 解得 ， ，
故椭圆的方程为 ．
证明 Ⅱ 由已知可得抛物线 的标准方程为 ，
设点 ， ， 的坐标分别为 ， ， ，
Q A B
由题意知 ，不妨设 在 ， 之间，设 ， ，
A P Q
又点 在 ， 之间，故 ，
Q P B
，
，
由 可得 解得 ， ，
点 在抛物线上，
A
，
即 ， ，由 可得 解得 ， ，
点 在抛物线上，
B
，
即 ， ， ．
由 可得 ，
，
，
点 总在定直线 上
Q
第三部分：冲刺重难点特训
一、单选题
1．（2022·北京·海淀教师进修学校附属实验学校高二阶段练习）抛物线 的焦点到准线的距离为
（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【详解】解：由 可得抛物线标准方程为： ，
所以抛物线的焦点为 ，准线方程为 ，
所以焦点到准线的距离为 ，
故选：B.
2．（2022·河北·涉县第一中学高三期中） 是抛物线 上一点， 是抛物线的焦点，
则 （ ）
A． B．3 C． D．4
【答案】A
【详解】解：因为 是抛物线 上一点，
所以 ，
则抛物线的准线方程为 ，由抛物线的定义可知， ，
故选：A.
3．（2022·湖北·高二阶段练习）已知抛物线 ，则抛物线 的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】已知 ，则标准方程为 ，焦点在x轴上，
所以 ，
所以焦点坐标为 ，
故选：A.
4．（2022·江苏连云港·高二期末）已知点P在抛物线 上．若点P到抛物线焦点的距离为4，则点P
的坐标是（ ）
A． B． C． 或 D．
【答案】C
【详解】对于抛物线 ，准线方程为 ，
设点 ，根据抛物线得定义得：
点P到抛物线焦点的距离等于点P到准线的距离为 ，所以 ，
则 ， ，所以点P的坐标为 或 ；
故选：C．
5．（2022·陕西·乾县第二中学高二阶段练习）已知斜率为正数的直线 过抛物线 的焦点
，且与 的其中一个交点为 ，与 的准线交于点 ，若 ，则直线 的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】依题意，直线 的斜率为正数，倾斜角为锐角，
如图，过点 作 垂直于 的准线，垂足为 ，则根据抛物线定义可知 ，而 ， ．
设直线 的倾斜角为 ，则 ，所以 ，
于是直线 的斜率为 ．
故选：C
6．（2022·上海虹口·一模）已知 是椭圆 与抛物线 的一个共同焦点，
与 相交于A，B两点，则线段AB的长等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】椭圆 的右焦点坐标为 ，
则抛物线 的焦点坐标为 ，
则 ，则 ，抛物线
由 ，解得 或
则
故选：B
7．（2022·福建·厦门外国语学校石狮分校高二期中）已知点 是抛物线 上的动点，焦点为F，点
，则 的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C【详解】∵ ，则 ，
∴焦点 ，准线l方程 ，点 在抛物线上方，
设过A作l的垂线，垂足为E，∴由抛物线的定义知， ，
如图所示，
∴ ，当且仅当B、A、E三点共线时取等号，
当B、A、E三点共线时， ，故 的最小值为 ，
故选：C.
8．（2022·福建·莆田第六中学高二阶段练习）已知点 是抛物线 上的动点，点A的坐标为 ，
则点 到点A的距离与到 轴的距离之和的最小值为（ ）
A．13 B．12 C．11 D．
【答案】B
【详解】如图， ⊥ 轴，连接 ，
由抛物线定义得：抛物线 的准线方程为 ，焦点坐标为 ，
故 ，
则点 到点A的距离与到 轴的距离之和 ，
连接 ，与抛物线交于点 ，此时 ，
故点 到点A的距离与到 轴的距离之和的最小值为 ，
其中 ，故最小值为 .故选：B
9．（2022·江西·南昌二中高二阶段练习）劳动教育是国民教育体系的重要内容，是学生成长的必要途径，
具有树德、增智、强体、育美的综合育人价值．南昌二中作为全国双新示范校，“劳动教育课程”紧跟时
代步伐，特在校园的一角专门开辟了一块劳动基地——心远农场（如图1）．现某社团为农场节水计划设
计了如下喷灌技术，喷头装在管柱OA的顶端A处，喷出的水流在各个方向上呈抛物线状，如图2所示．
现要求水流最高点B离地面4m，点B到管柱OA所在直线的距离为3m，且水流落在地面上以O为圆心，
以7m为半径的圆上，则管柱OA的高度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】以B为坐标原点建立平面直角坐标系如图所示，
记BM⊥OC且垂足为M，AD⊥y轴且垂足为D，
设抛物线方程为 ，
由题意可知： ， ， ，所以 ，
所以 ，代入抛物线方程可得 ，所以 ，
所以抛物线方程为 ，又因为 在抛物线上，所以 ，解得 ，所以 ，
所以 ，所以OA的高度为 ，
故选：B．
10．（2022·四川省岳池中学高三阶段练习（理））椭圆 与抛物线 的公共弦
过公共焦点，且 ，则椭圆离心率 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】抛物线 的焦点为 ，
因为椭圆 与抛物线 的公共弦 过公共焦点，则 、 关于 轴对称，
不妨设点 、 ，所以， ，因为 ，则 ，
从而可知椭圆的下焦点为 ，上焦点为 ，则 ，
由椭圆的定义可得 ，又因为 ，
因此，该椭圆的离心率为 .
故选：C.
二、多选题
11．（2022·江苏连云港·高二期末）下列结论判断正确的是（ ）
A．平面内与一个定点 和一条定直线 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线
B．方程 （ ， ， ）表示的曲线是椭圆
C．平面内到点 ， 距离之差等于 的点的轨迹是双曲线
D．双曲线 与 （ ， ）的离心率分别是 ， ，则
【答案】BD
【详解】对于A，由抛物线定义，直线 不经过点 （当 时，与定点 和一条定直线 的距离相等的
点的轨迹是过点 且与直线 的垂直的直线，不是抛物线），故选项A错误；
对于B，方程 （ ， ， ）可化为 ，且由 ， ， 有或 ，即 是焦点在 轴或焦点在 轴的椭圆的标准方程，故方程
（ ， ， ）表示的曲线是椭圆，选项B正确；
对于C，由双曲线的定义，平面内与两定点 ， 的距离的差的绝对值等于非零常数（小于 ）的点的
轨迹叫作双曲线，所以平面内到点 ， 距离之差等于 （ ）的点的轨迹是双曲线
一支，故选项C错误；
对于D，双曲线 （ ， ）的离心率 ，双曲线 （ ， ）的
离心率 ，故 ，故选项D正确.
故选：BD.
12．（2022·山西·晋城市第二中学校高二阶段练习）已知抛物线C： ，点F是抛物线C的焦点，点
P是抛物线C上的一点，点 ，则下列说法正确的是（ ）
A．抛物线C的准线方程为
B．若 ，则 PMF的面积为2
△
C． |的最大值为
D． PMF的周长的最小值为
【答△案】ACD
【详解】 ， ， ，准线方程为 ，故A正确；
根据抛物线定义得 ， ， ,
轴，当 时， ，
若 点在第一象限时，此时 ,
故 ， 的高为1，故 ，
若点 在第四象限，此时 ，故 ，
的高为1，故 ，故B错误；
， ,故C正确；
（连接 ，并延长交于抛物线于点 ，此时即为 最大值的情况，图对应如下）
过点 作 准线，垂足为点 ，
的周长 ，
若周长最小，则 长度和最小，显然当点 位于同一条直线上时， 的和最小，
此时 ,
故周长最小值为 ，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题
13．（2022·山东·枣庄市第三中学高二阶段练习）抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线
反射之后沿对称轴方向射出.有抛物线 （如图）一条平行 轴的光线射向 上一点 点，
经过 的焦点 射向 上的点 ，再反射后沿平行 轴的方向射出，若两平行线间的最小距离是9，则
的方程是__________.
【答案】【详解】
如图， 为准线，分别作 为 的中位线，
根据抛物线定义有： 当 重合时取等号，此时PQ为平行线
之间的距离，所以
故答案为：
14．（2022·贵州·镇远县文德民族中学校高三阶段练习（文））已知抛物线 的焦点为 ，
准线为 ，直线 交抛物线于 ， 两点，过点 作准线 的垂线，垂足为 ，若等边 的
面积为 ，则 的面积为______.
【答案】
【详解】解：如图，因为 为等边三角形，且面积为 ，
所以， ，解得 ，
因为 ，
所以，
因为由焦半径公式得： ，解得 ，
所以，抛物线 ，直线 的方程为： .
所以，联立方程 得 ，解得 ，
因为 ，
所以
所以故答案为：
四、解答题
15．（2022·四川·成都七中高二阶段练习（理））已知椭圆 的左右焦点分别为 ，
抛物线 与椭圆有相同的焦点，点P为抛物线与椭圆在第一象限的交点，且 ．
(1)求椭圆的方程；
(2)过F作两条斜率不为0且互相垂直的直线分别交椭圆于A，B和C，D，线段AB的中点为M，线段CD
的中点为N，证明：直线 过定点，并求出该定点的坐标．
【答案】(1) ；
(2)证明见解析，定点 .
【详解】（1）抛物线焦点坐标为 ，故 .
设 ，由抛物线定义得：点P到直线 的距离为t.
，由余弦定理，得 .
整理，得 ，解得 或 （舍去）.
由椭圆定义，得 ，
，
∴椭圆的方程为 ；
（2）设 ，
联立 ，即 ，
，代入直线方程得 ，
，
同理可得 ，
，
，
令 ，得 ，
所以直线MN过定点 .
16．（2022·全国·高三阶段练习）已知抛物线 的准线与x轴的交点为H，直线过抛物线C
的焦点F且与C交于A，B两点， 的面积的最小值为4．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若过点 的动直线l交C于M，N两点，试问抛物线C上是否存在定点E，使得对任意的直线l，
都有 ，若存在，求出点E的坐标；若不存在，则说明理由．
【答案】(1)
(2)存在定点
【详解】（1） 斜率不为零，设 代入 ， ，
设 ，则 ，
，
当 时， 取最小值 ， ， ，抛物线C的方程为： ．
（2）假设存在 ，设 ，由题意， 斜率不为零，
设 的方程为 代入 ，可得 ，
， ， ，
故 ，即 ，即 ，，解得 ，故存在定点 满足题意．
17．（2022·上海长宁·一模）已知抛物线 的焦点为F，准线为l；
(1)若F为双曲线 的一个焦点，求双曲线C的离心率e；
(2)设l与x轴的交点为E，点P在第一象限，且在 上，若 ，求直线EP的方程；
(3)经过点F且斜率为 的直线l'与 相交于A，B两点，O为坐标原点，直线 分别与l相交于
点M，N；试探究：以线段MN为直径的圆C是否过定点；若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由；
【答案】(1)
(2)
(3)以线段MN为直径的圆C过定点 ，理由见详解
【详解】（1）抛物线 的焦点为 ，准线为 ，
双曲线 的方程为双曲线 ，即 ，则 ，
由题意可知： ，则 ，
故双曲线C的离心率 .
（2）由（1）可知： ，
过点P作直线 的垂线，垂足为M，则 ，
∵ ，且 ，
∴ ，
故直线EP的倾斜角 ，斜率 ，
∴直线EP的方程为 ，即 .（3）以线段MN为直径的圆C过定点 ，理由如下：
设直线 ，
联立方程 ，消去y可得： ，
则可得： ，
∵直线 ，当 时， ，
∴ ，
同理可得： ，
∵
，
，
则线段MN为直径的圆C的圆心 ，半径 ，
故圆C的方程为 ，整理得 ，令 ，则 ，解得 或 ，
故以线段MN为直径的圆C过定点 .
