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人教A版数学--高考解析几何复习专题六
知识点一 根据焦点或准线写出抛物线的标准方程,抛物线中的三角形或四边形面积问
题
典例1、已知抛物线C： 的焦点为F，点 在抛物线C上，且
．
（1）求抛物线C的方程；（2）直线FM与抛物线C交于A点，O为坐标原点，求
面积．
随堂练习：已知抛物线 的焦点为 ，O为坐标原点．
（1）求抛物线方程；（2）斜率为1的直线过点F，且与抛物线交于A，B两点，求
的面积．典例2、已知动点 到定点 的距离比 到直线 的距离小2，设动点 的轨迹
为曲线 .
（1）求曲线 的方程；
（2）设 是 轴上的点，曲线 与直线 交于 ，且 的面积为 ，求点
的坐标.
随堂练习：已知动点M到点 的距离等于它到直线 的距离，记动点M的轨迹为
曲线C.（1）求动点M的轨迹方程C；（2）已知 ，过点 的直线l斜率存在且不为
0，若l与曲线C有且只有一个公共点P，求 的面积.
典例3、已知抛物线 ，过其焦点F的直线与C相交于A，B两点，分别以A，B
为切点作C的切线，相交于点P．
（1）求点P的轨迹方程；（2）若PA，PB与x轴分别交于Q，R两点，令 的面积为
，四边形PRFQ面积为 ，求 的最小值．随堂练习：已知抛物线 的焦点为F，且F与圆 上点的距离的
最大值为5.
（1）求抛物线C的方程；
（2）若点P在圆M上，PA，PB是抛物线C的两条切线，A，B是切点，求 面积的最
大值.
知识点二 求双曲线中三角形（四边形）的面积问题,根据韦达定理求参数
典例4、已知双曲线W： 的左、右焦点分别为 、 ，点 ，右
顶点是M，
且 ， ．
（1）求双曲线的方程；
（2）过点 的直线l交双曲线W的右支于A、B两个不同的点（B在A、Q之间），
若点 在以线段AB为直径的圆的外部，试求△AQH与△BQH面积之比λ的取值
范围．随堂练习：在一张纸上有一圆 ： ，定点 ，折叠纸片使圆C上某
一点 恰好与
点M重合，这样每次折叠都会留下一条直线折痕PQ，设折痕PQ与直线 的交点
为T.
（1）求证： 为定值，并求出点 的轨迹 方程；
（2）曲线 上一点P，点A､B分别为直线 ： 在第一象限上的点与 ： 在
第四象限上的点，若 ， ，求 面积的取值范围.典例5、已知双曲线 的焦距为 ，且过点 ，直线 与
曲线 右支相切（切点不为右顶点），且 分别交双曲线 的两条渐近线与 、 两
点， 为坐标原点.
（1）求双曲线 的方程；（2）求证： 面积为定值，并求出该定值.典例6、已知两定点 ,满足条件 的点P的轨迹是曲线E,
直线y=kx-1
与曲线E交于A,B两点,
(1)求k的取值范围;
(2)如果 ,且曲线E上存在点C,使 ,求m的值和 的面积S．人教A版数学--高考解析几何复习专题六
典例1、答案: （1） （2）
解：（1） ， 又点 在抛物线C上，
根据抛物线的定义， ， 所以 ， 所以 ，
所以 ，
代入 得， ， 所以 ， 所以抛物线C： .
（2）根据题意，F坐标为 ， ， 所以直线 .
联立 和 ，所以 ，
所以 所以 ， 所以
随堂练习：答案： （1） （1）
解：（1） ，则由抛物线性质得 ， ∴ ，∴ ，
即抛物线的标准方程是 .（2）由题意得，抛物线的焦点为 ， ∴斜率为1的直线 的方程为 ，
， ，
， 所以 ， ，
∴ 原点 到直线 的距离为
，
所以 的面积
典例2、答案：（1） （2） 或
解：依题意动点 到定点 的距离等于动点 到直线 的距离，
由抛物线的定义可知，动点 的轨迹是以点 为焦点，直线 为准线的抛物线，
所以曲线 的方程为 .
（2）联立方程 ，整理得 ,
设 ，则有 , 于是 ,
设 到直线 的距离为 ，因为 ，
由点到直线的距离公式得 ,
又 ，所以 ， 于是 ，解得 或 .故点 的坐标为 或 .
随堂练习：答案： （1） （2）
解：（1）根据抛物线定义得动点M的轨迹为曲线 ..
（2）设过点 的直线l为 ，将其与抛物线方程联立，
得 ，消去 得： ①，
因l与C有且只有一个公共点，则 .
将 代入①得 ，解得 ，代入直线l可得
则直线AP方程为： ，则其与y轴交点为 ，
则由图可得：
典例3、答案：（1） （2）2
解：（1）抛物线 的焦点 .由 得 ，∴ .
设 ， ， ，由导数的几何意义可得： ， ，∴ ，即 ，同理 ．
又P在PA，PB上，则 ，所以 ．
∵直线AB过焦点F，∴ ．所以点P的轨迹方程是 ．
（2）由（1）知 ， ，代入 得 ， 则
，
则 ，
P到AB的距离 ，所以 ，
∵ ，当 时，得 ，
∴ ，∴ ，同理 ， ．
由 得 ，∴四边形PRFQ为矩形，
∵ ，∴ ，
∴ ，当且仅当 时取等号．∴ 的最小值为2．
随堂练习：答案： （1） （2）32解：（1）由题意知， ，设圆 上的点 ，则 .
所以 . 从而有
.
因为 ，所以当 时， .
又 ，解之得 ，因此 . 抛物线C的方程为： .
（2）切点弦方程 韦达定义判别式求弦长求面积法
抛物线C的方程为 ，即 ，对该函数求导得 ，
设点 、 、 ，
直线 的方程为 ，即 ，即
同理可知，直线PB的方程为 ，
由于点P为这两条直线的公共点，则 ，
所以，点A、B的坐标满足方程 ， 所以，直线 的方程为
，
联立 ，可得 ， 由韦达定理可得 ，所以， 点P到直线AB的距离为
，
所以， ，
∵ ，
由已知可得 ，所以，当 时， 的面积取最大值 .
典例4、答案：（1） ；（2） .
解:（1）由已知 ， ， ， ，
∵ ，则 ，∴ ，∴ ，
解得 ， ，∴双曲线的方程为 ．
（2）直线l的斜率存在且不为0，设直线l: ，设 、 ，
由 ，得 ， 则 ，解得 ①，
∵点 在以线段AB为直径的圆的外部，则 ，
，解得 ②，
由①、②得实数k的范围是 .由已知 ，∵B在A、Q之间，则 ，且 ，
∴ ，则 ，∴ ， 则
，
∵ ，∴ ， 解得 ，又 ，∴ ．
故λ的取值范围是 ．
随堂练习：答案： （1）证明见解析， （2）
解：（1）证明：如图，由点 与 关于 对称，
则 ， ，故为定值.
由 ，
由双曲线定义知，点 的轨迹为以 为焦点，实轴长为8的双曲线，
设双曲线 方程为 ，
，所以双曲线方程为 ；
（2）由题意知， 分别为双曲线 的渐近线
设 ，由 ，设 .
，由于P点在双曲线上
又 同理 ，设 的倾斜角为 ，
则 .
由函数的性质可知函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
当 时， ；
当 时， ； .
典例5、答案：（1） ；（2）证明见解析， 面积为 .
解:（1）设双曲线 的焦距为 ，
由题意可得： ，则双曲线 的方程为 ；（2）由于直线 与双曲线 右支相切（切点不为右顶点），则直线 的斜率存在，
设直线 的方程为 ， 则 消 得 ，
，①
设 与 轴交于一点 ， ，
，
双曲线两条渐近线方程为： ，
联立 ，联立 ，
则 （定
值）.
典例6、答案：（1） ；（2） ，面积为 .
解：（1）由双曲线的定义可知，曲线 是以 为焦点的双曲线的左
支，
且 ，得 ， 故曲线 的方程为 ；
设 ，由题意建立方程组 ，
消去 ，得 ，
又直线与双曲线左支交于两点 ，有 ，解得 ，（2）
，
依题意得 ，整理后得 ，
∴ 或 ，但 ∴ ， 故直线 的方程为
，
设 ，由已知 ，得 ，
∴ ，
又 ， ∴点
，
将点 的坐标代入曲线 的方程，得 得 ，
但当 时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意，
∴ ，点的坐标为 ， 到 的距离为 ，
∴ 的面积 .
