专题20解析几何中的范围、最值和探索性问题（练）原卷版_2.2025数学总复习_2023年新高考资料_二轮复习_备战2023年高考数学二轮复习考点精讲练（新教材·新高考）

第一篇 热点、难点突破篇 专题20 解析几何中的范围、最值和探索性问题（练） 【对点演练】 一、单选题 1．（2023秋·江苏扬州·高三扬州中学校考阶段练习）在平面直角坐标系xOv中，M为双曲线 右支 上的一个动点，若点M到直线 的距离大于m恒成立，则实数m的最大值为（ ） A．1 B． C．2 D．2 2．（2023·全国·高三专题练习）已知点P在抛物线 上，且 ，则 的最小值为（ ）． A．2 B． C．3 D．4 3．（2023秋·河南信阳·高三信阳高中校考期末）已知点 是抛物线 上任意一点，则点 到抛物线 的准线和直线 的距离之和的最小值为（ ） A． B．4 C． D．5 4．（2022·全国·高三专题练习）已知圆 ，若抛物线 上存在点 ，过点 作 圆 的两条切线，切点 满足 ，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（2023秋·山东枣庄·高三统考期末）已知椭圆 ， ， 是其左、右焦点， 点 在椭圆上且满足 .若 到直线 的距离为 ，则 的最小值 为______.6.（2022秋·安徽·高三校联考开学考试）已知抛物线 的焦点为 ，圆 ，过 的 直线 与 交于 两点，与 交于 两点，且 在同一象限，则 的最小值为_____． 7．（2022·湖南·模拟预测）已知 ，点P满足 ，动点M，N满足 ， ， 则 的最小值是____________． 三、解答题 8．（2023·四川成都·统考一模）已知椭圆 的左，右焦点分别为 ，上顶点为 ，且 为等边三角形．经过焦点 的直线 与椭圆 相交于 两点， 的周长为8． (1)求椭圆 的方程； (2)求 的面积的最大值及此时直线 的方程． 9．（2023·陕西渭南·统考一模）“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远 流长.某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图） 步骤1：设圆心是E，在圆内异于圆心处取一点，标记为F ； 步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点F ； 步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕； 步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕. 已知这些折痕所围成的图形是一个椭圆.若取半径为6的圆形纸片，设定点F 到圆心E的距离为4，按上述方法 折纸. (1)以点F 、E所在的直线为x轴，建立适当的坐标系，求折痕围成的椭圆的标准方程；Q1,0 y l C M N x Tt,0 (2)若过点 且不与 轴垂直的直线 与椭圆 交于 ， 两点，在 轴的正半轴上是否存在定点 ， 使得直线TM ，TN斜率之积为定值？若存在，求出该定点和定值；若不存在，请说明理由. 10．（江西省上饶市六校2023届高三第一次联考数学（理）试题）已知点 在椭圆 上，且长轴长为4. (1)求椭圆C的方程： (2)过点 的直线 与椭圆C相交于 、 两点，点 关于 轴的对称点为 ，直线 与 轴相交于点 .求 的面积的取值范围. 【冲刺提升】 一、单选题 1．（2022秋·四川成都·高三石室中学校考阶段练习）已知抛物线 ： 的焦点为 ，圆 ： ，过点 的直线 与抛物线 交于 ， 两点，与圆 交于 ， 两点，且点 ， 在同一 象限，则 的最小值为（ ） A．8 B．12 C．16 D．20 二、多选题 2．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 ： 的左、右焦点为 ， ，点 ， ， 为 椭圆 上一动点，过点 的直线 交椭圆于 ， 两点，则下列说法正确的有（ ） A．若 的垂直平分线过点 ，则 B． 的最小值为C．若 ，则 的面积的最大值为 D．若 的面积取最大值时的直线 不唯一，则 三、填空题 3．（2022·全国·高三专题练习）已知点 为抛物线 的焦点，过 作直线 与抛物线交于 两点， 以 为切点作两条切线交于点 ，则 的面积的最小值为___________. 4．（2023秋·山东德州·高三统考期末）如图所示，已知 、 分别为双曲线 的左、右焦点，过 的直线与双曲线的右支交于 、 两点，则 的取值范围为______；记 的内切圆 的面积为 ， 的内切圆 的面积为 ，则 的取值范围是______． 5．（2022秋·湖南株洲·高三校联考阶段练习）已知抛物线E： 的焦点为F，过点F的直线l与 抛物线交于A，B两点，与准线交于C点， 为 的中点，且 ，则 _____________；设点 是抛 物线 上的任意一点，抛物线 的准线与 轴交于 点，在 中 ， ，则 的最大值为 _____________． 四、解答题4．（2023·贵州·校联考一模）已知椭圆C: x2  y2 1(a0,b0)过点    1, 2 6  ，且离心率为 2 ． a2 b2   2 (1)求椭圆C的方程； l: ymx2 MPMQ MPMQ (2)已知直线 与椭圆交于不同的两点P，Q，那么在x轴上是否存在点M，使 且 ， 若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由． x2 y2 2 Γ:  1(ab0) 5．（2023·福建·统考一模）已知椭圆 a2 b2 的离心率为 2 ，其左焦点为F(2,0)． 1 (1)求Γ的方程； (2)如图，过 Γ 的上顶点 P 作动圆 F 1的切线分别交 Γ 于 M,N 两点，是否存在圆 F 1使得 PMN 是以 PN 为斜边的 F 直角三角形？若存在，求出圆 1的半径；若不存在，请说明理由． C y2 2pxp0 P0,4 l C 6．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线 ： 的焦点为F，过点 的直线 与 相交 于A，B两点.当直线l经过点F 时，点A恰好为线段PF的中点. (1)求C的方程；   TATB (2)是否存在定点T，使得 为常数?若存在，求出点T的坐标及该常数﹔若不存在，说明理由. 7．（2023秋·内蒙古包头·高三统考期末）已知点 ， ，动点 满足直线 与 的斜率 之积为 ，记 的轨迹为曲线 . (1)求 的方程，并说明 是什么曲线； (2)过坐标原点的直线交C于A，B两点，点A在第一象限， 轴，垂足为 ，连接 并延长交 于点 .（i）证明：直线 与 的斜率之积为定值； （ii）求 面积的最大值. 8．（2023秋·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）已知椭圆 的离心率为 ，且点 在椭圆上. (1)求椭圆的方程； (2)过椭圆右焦点 作两条互相垂直的弦AB与CD，求 的取值范围. 9．（2023·安徽淮南·统考一模）已知椭圆 的左焦点为F，C上任意一点M到F的距离 最大值和最小值之积为3，离心率为 . (1)求C的方程； (2)若过点 的直线l交C于A，B两点，且点A关于x轴的对称点落在直线 上，求n的值及 面积的最大值. 10．（2023秋·河北石家庄·高三石家庄精英中学校考阶段练习）已知点 在双曲线 ： 上，右焦点坐标为 . (1)求双曲线E的方程； (2)点 ， ， 在双曲线E上，满足 为等腰直角三角形，求 的面积的最小值. 11．（2022秋·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）如图，已知椭圆 与等轴双曲线 共顶点 ，过椭圆 上一点P（2，－1）作两直线与椭圆 相交于相异的两点A，B，直线PA、PB 的倾斜角互补，直线AB与x，y轴正半轴相交，分别记交点为M，N.(1)求直线AB的斜率； (2)若直线AB与双曲线 的左，右两支分别交于Q，R，求 的取值范围. 12．（2021·上海闵行·上海市七宝中学校考模拟预测）如图，椭圆 、双曲线 中心为坐标原点 ，焦点在 轴上，且有相同的顶点 ， ， 的焦点为 ， ， 的焦点为 ， ，点 ， ， ， ， 恰为线段 的六等分点，我们把 和 合成为曲线 ，已知 的长轴长为4. (1)求曲线 的方程； (2)若 为 上一动点， 为定点，求 的最小值； (3)若直线 过点 ，与 交于 ， 两点，与 交于 ， 两点，点 、 位于同一象限，且直线 ，求直线 的方程.