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专题 09 导数及其应用
1． （全国甲卷数学（文））曲线 在 处的切线与坐标轴围成的面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（全国甲卷数学（理））设函数 ，则曲线 在 处的切线与两坐标轴围成
的三角形的面积为（ ）
A． B． C． D．
3．（新课标全国Ⅰ卷）（多选）设函数 ，则（ ）
A． 是 的极小值点 B．当 时，
C．当 时， D．当 时，
4．（新课标全国Ⅱ卷）（多选）设函数 ，则（ ）
A．当 时， 有三个零点
B．当 时， 是 的极大值点
C．存在a，b，使得 为曲线 的对称轴
D．存在a，使得点 为曲线 的对称中心
5．（新课标全国Ⅰ卷）若曲线 在点 处的切线也是曲线 的切线，则
.6．（全国甲卷数学（文））曲线 与 在 上有两个不同的交点，则 的取值
范围为 ．
7．（新课标全国Ⅰ卷）已知函数
(1)若 ，且 ，求 的最小值；
(2)证明：曲线 是中心对称图形；
(3)若 当且仅当 ，求 的取值范围．
8．（新课标全国Ⅱ卷）已知函数 ．
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若 有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围．
9．（全国甲卷数学（文））已知函数 ．
(1)求 的单调区间；
(2)若 时，证明：当 时， 恒成立．
10．（全国甲卷数学（理））已知函数 ．
(1)当 时，求 的极值；
(2)当 时， 恒成立，求 的取值范围．
11．（新高考北京卷）已知 在 处切线为l．
(1)若 ，求 单调区间；
(2)证明：切线l不经过 ；
(3)已知 ， ， ， ，其中 ，切线l与y轴交于点B时．当，符合条件的A的个数为？
（参考数据： ， ， ）
12．（新高考天津卷）设函数 ．
(1)求 图象上点 处的切线方程；
(2)若 在 时恒成立，求 的取值范围；
(3)若 ，证明 ．
13．（新高考上海卷）对于一个函数 和一个点 ，令 ，若
是 取到最小值的点，则称 是 在 的“最近点”．
(1)对于 ，求证：对于点 ，存在点 ，使得点 是 在 的“最近点”；
(2)对于 ，请判断是否存在一个点 ，它是 在 的“最近点”，且直线 与
在点 处的切线垂直；
(3)已知 在定义域R上存在导函数 ，且函数 在定义域R上恒正，设点
， ．若对任意的 ，存在点 同时是 在 的“最近
点”，试判断 的单调性．
一、单选题
1．（2024·湖南长沙·三模）斜率为1的直线 与曲线 和圆 都相切，则实数 的值为
（ ）A．0或2 B． 或2 C． 或0 D．0或1
2．（2024·海南海口·二模）已知函数 的定义域为 ， 是偶函数，当 时，
，则曲线 在点 处的切线斜率为（ ）
A． B． C．2 D．
3．（2024·浙江金华·三模）若存在直线与曲线 ， 都相切，则a的范围为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·河北保定·三模）曲线 在点 处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为
（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·广西来宾·模拟预测）曲率是数学上衡量曲线弯曲程度的重要指标，对于曲线 ，其在点
处的曲率 ，其中 是 的导函数， 是 的导函数．则抛物线
上的各点处的曲率最大值为（ ）
A． B．p C． D．
6．（2024·浙江·模拟预测）函数 的极小值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·江西南昌·三模）已知函数 的定义域为 ，且 ，对任意 ， ，
则不等式 的解集是（ ）A． B． C． D．
8．（2024·湖南长沙·二模）已知 ， ，直线 与曲线 相切，则
的最小值是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
9．（2024·河北秦皇岛·三模）已知0是函数 的极大值点，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
10．（2023·江西萍乡·二模）已知 ，则这三个数的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
11．（2024·广东广州·模拟预测）已知直线 恒在曲线 的上方，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
12．（2024·河北衡水·三模）已知函数 ， 是函数 的一个极值点，则下列说法正确的
是（ ）
A． B．函数 在区间 上单调递减
C．过点 能作两条不同直线与 相切 D．函数 有5个零点
13．（2024·湖北·二模）已知 ，则下列不等式正确的有（ ）
A． B．C． D．
14．（2024·重庆·三模）已知 ，则（ ）
A． B． 在 上单调递增
C． ，使 D． ，使
15．（2024·广东广州·二模）已知函数 ，则（ ）
A． 的定义域为 B． 的图像在 处的切线斜率为
C． D． 有两个零点 ，且
16．（2024·山东泰安·模拟预测）已知函数 ，则（ ）
A． 是 上的增函数 B．函数 有且仅有一个零点
C．函数 的最小值为 D． 存在唯一个极值点
17．（2024·河北·三模）已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，记 ，若
为偶函数， 为奇函数，则下列结论正确的是（ ）
A． 的图象关于直线 对称． B． 的图象关于点 对称．
C． D．
三、填空题
18．（2024·江西·模拟预测）在平面直角坐标系 中，已知曲线 的一条切线 与 轴、
轴分别交于 ， 两点，则 的面积的最大值为 ．
19．（2024·四川遂宁·三模）曲线 在点 处切线的斜率为3，则实数 ．20．（2024·重庆·模拟预测）已知 ，若实数m，n满足 ，则 的
最小值为
21．（2024·贵州贵阳·三模）已知函数 ，若函数 的最小值恰好为0，则实数
的最小值是 .
22．（2024·山东临沂·二模）若直线 与曲线 相切，则 的取值范围为 .
23．（2024·河北·三模）已知 对任意 恒成立，则实数 的取值范围是
．
四、解答题
24．（2024·北京·三模）已知 ．
(1)若 ，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若函数 存在两个不同的极值点 ，求证： ．
25．（2024·江西·模拟预测）已知函数 ．
(1)若 ，求 的极值；
(2)若 ，求 的最大值．
26．（2024·江西赣州·二模）给出以下三个材料：
①若函数 的导数为 ， 的导数叫做 的二阶导数，记作 .类似地，二阶导数
的导数叫做 的三阶导数，记作 ，三阶导数 的导数叫做 的四阶导数…，一般地，n
－1阶导数的导数叫做 的n阶导数，即 ， ；
②若 ，定义 ；③若函数 在包含 的某个开区间 上具有n阶的导数，那么对于 有
，我们将 称为
函数 在点 处的n阶泰勒展开式.例如， 在点 处的n阶泰勒展开式为
.根据以上三段材料，完成下面的题目：
(1)若 ， 在点 处的3阶泰勒展开式分别为 ， ，求出 ， ；
(2)比较（1）中 与 的大小；
(3)证明： .
27．（2024·山东威海·二模）已知函数 ．
(1)求 的极值；
(2)证明： ．
28．（2024·江西·二模）已知函数
(1)当 时，求函数 的极值；
(2)设函数 有两个极值点 ，且 ，若 恒成立，求 最小值．
29．（2024·安徽·三模）已知函数 .
(1)求曲线 在 处的切线方程；
(2)若 ，求函数 在 上的最值.
30．（2024·四川眉山·三模）已知函数 .(1)若过点 可作曲线 两条切线，求 的取值范围；
(2)若 有两个不同极值点 .
①求 的取值范围；
②当 时，证明： .
