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专题 05 数列
一、单选题
1．（全国甲卷数学（文））等差数列 的前 项和为 ，若 ， （ ）
A． B． C．1 D．
2．（全国甲卷数学（理））等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
3．（新高考北京卷）记水的质量为 ，并且d越大，水质量越好．若S不变，且 ， ，
则 与 的关系为（ ）
A．
B．
C．若 ，则 ；若 ，则 ；
D．若 ，则 ；若 ，则 ；
二、填空题
4．（新课标全国Ⅱ卷）记 为等差数列 的前n项和，若 ， ，则 .
5．（新高考上海卷）无穷等比数列 满足首项 ，记 ，若对
任意正整数 集合 是闭区间，则 的取值范围是 ．
三、解答题6．（新课标全国Ⅰ卷）设m为正整数，数列 是公差不为0的等差数列，若从中删去两项 和
后剩余的 项可被平均分为 组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列 是
可分数列．
(1)写出所有的 ， ，使数列 是 可分数列；
(2)当 时，证明：数列 是 可分数列；
(3)从 中一次任取两个数 和 ，记数列 是 可分数列的概率为 ，证
明： ．
7．（新课标全国Ⅱ卷）已知双曲线 ，点 在 上， 为常数， ．按照
如下方式依次构造点 ，过 作斜率为 的直线与 的左支交于点 ，令 为 关于 轴
的对称点，记 的坐标为 .
(1)若 ，求 ；
(2)证明：数列 是公比为 的等比数列；
(3)设 为 的面积，证明：对任意的正整数 ， .
8．（全国甲卷数学（文））已知等比数列 的前 项和为 ，且 .
(1)求 的通项公式；
(2)求数列 的通项公式.
9．（全国甲卷数学（理））记 为数列 的前 项和，且 ．(1)求 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和为 ．
10．（新高考北京卷）设集合 ．对于给定
有穷数列 ，及序列 ， ，定义变换 ：将数列 的第
项加1，得到数列 ；将数列 的第 列加 ，得到数列 …；重复上述操作，
得到数列 ，记为 ．
(1)给定数列 和序列 ，写出 ；
(2)是否存在序列 ，使得 为 ，若存在，写出一个符
合条件的 ；若不存在，请说明理由；
(3)若数列 的各项均为正整数，且 为偶数，证明：“存在序列 ，使得 为常数列”的
充要条件为“ ”．
11．（新高考天津卷）已知数列 是公比大于0的等比数列．其前 项和为 ．若 ．
(1)求数列 前 项和 ；
(2)设 ， ，其中 是大于1的正整数．
（ⅰ）当 时，求证： ；
（ⅱ）求 ．
12．（新高考上海卷）若 ．(1) 过 ，求 的解集；
(2)存在 使得 成等差数列，求 的取值范围．
一、单选题
1．（2024·重庆·三模）已知数列 的前 项和为 （ ）
A．276 B．272 C．268 D．266
2．（2024·河北张家口·三模）已知数列 的前n项和为 ，且满足 ，则
（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·山东日照·三模）设等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 （ ）
A． B．36 C． D．18
4．（2024·湖北武汉·二模）已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 （ ）
A．288 B．144 C．96 D．25
5．（2024·江西赣州·二模）在等差数列 中， ， 是方程 的两根，则 的前6项和
为（ ）
A．48 B．24 C．12 D．8
6．（2024·湖南永州·三模）已知非零数列 满足 ，则 （ ）
A．8 B．16 C．32 D．64
7．（2024·浙江绍兴·二模）汉诺塔（Tower of Hanoi），是一个源于印度古老传说的益智玩具. 如图所示，
有三根相邻的标号分别为A、B、C的柱子， A柱子从下到上按金字塔状叠放着 个不同大小的圆盘，要把所有盘子一个一个移动到柱子B上，并且每次移动时，同一根柱子上都不能出现大盘子在小盘子的上方，
请问至少需要移动多少次？记至少移动次数为 ，例如： ， ，则下列说法正确的是
（ ）
A． B． 为等差数列
C． 为等比数列 D．
8．（2024·云南曲靖·二模）已知 是等比数列 的前 项和，若 ，则数列 的公比是
（ ）
A． 或1 B． 或1 C． D．
9．（2024·四川·模拟预测）已知数列 为等差数列，且 ，则 （ ）
A．33 B．44 C．66 D．88
10．（2024·北京东城·二模）设无穷正数数列 ，如果对任意的正整数 ，都存在唯一的正整数 ，使
得 ，那么称 为内和数列，并令 ，称 为 的伴随数列，则（ ）
A．若 为等差数列，则 为内和数列
B．若 为等比数列，则 为内和数列
C．若内和数列 为递增数列，则其伴随数列 为递增数列
D．若内和数列 的伴随数列 为递增数列，则 为递增数列11．（2024·广东茂名·一模）已知 为正项数列 的前 项的乘积，且 ，则 （ ）
A．16 B．32 C．64 D．128
12．（2024·湖南常德·一模）已知等比数列 中， ， ，则公比 为（ ）
A． B．2 C． D．4
二、多选题
13．（2024·湖南长沙·三模）设无穷数列 的前 项和为 ，且 ，若存在 ，使
成立，则（ ）
A．
B．
C．不等式 的解集为
D．对任意给定的实数 ，总存在 ，当 时，
14．（2024·山东泰安·模拟预测）已知数列 的通项公式为 ，前 项和为 ，则下列
说法正确的是（ ）
A．数列 有最大项
B．使 的项共有 项
C．满足 的 值共有 个
D．使 取得最小值的 值为4
15．（2024·山东临沂·二模）已知 是等差数列， 是其前n项和，则下列命题为真命题的是（ ）
A．若 ， ，则 B．若 ，则C．若 ，则 D．若 和 都为递增数列，则
16．（2024·山东泰安·二模）已知等差数列 的前 项和为 ， ， ，则下列说法正确的是
（ ）
A． B．
C． 为递减数列 D． 的前5项和为
17．（2024·江西·三模）已知数列 满足 ，则（ ）
A．数列 是等比数列 B．数列 是等差数列
C．数列 的前 项和为 D． 能被3整除
18．（2024·湖北·二模）无穷等比数列 的首项为 公比为q，下列条件能使 既有最大值，又有最小
值的有（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
三、填空题
19．（2024·山东济南·三模）数列 满足 ，若 ， ，则数列 的前20项的和为
．
20．（2024·云南·二模）记数列 的前 项和为 ，若 ，则
.
21．（2024·上海·三模）数列 满足 （ 为正整数），且 与 的等差中项是5，则首项
22．（2024·河南·三模）数列 满足 ， ，其中 为函数的极值点，则 .
23．（2024·上海·三模）已知两个等差数列2，6，10，…，202和2，8，14，…，200，将这两个等差数列
的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的各项之和为 ．
24．（2024·湖南长沙·三模）已知数列 为正项等比数列，且 ，则 的最小值为 .
四、解答题
25．（2024·黑龙江·三模）已知等差数列 的公差 ， 与 的等差中项为5，且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 求数列 的前20项和 .
26．（2024·湖南长沙·三模）若各项均为正数的数列 满足 （ 为常数），则
称 为“比差等数列”.已知 为“比差等数列”，且 .
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
27．（2024·山东潍坊·三模）已知正项等差数列 的公差为2，前 项和为 ，且 成等
比数列.
(1)求数列 的通项公式 ；
(2)若 求数列 的前 项和.
28．（2024·上海·三模）已知等比数列 的公比 ，且 ， ．(1)求 的通项公式；
(2)若数列 满足 ，且 是严格增数列，求实数 的取值范围．
29．（2024·山东泰安·模拟预测）在足球比赛中，有时需通过点球决定胜负．
(1)扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门
将(也称为守门员)也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正
确也有 的可能性扑不到球．不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑到点球的个数 的
分布列和期望；
(2)好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲､乙､丙三名前锋队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，
等可能地随机传向另外 人中的 人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外 人中的 人，如此不停地
传下去，假设传出的球都能接住．记第 次传球之前球在甲脚下的概率为 ，易知 ．
① 试证明： 为等比数列；
② 设第 次传球之前球在乙脚下的概率为 ，比较 与 的大小．
30．（2024·湖南邵阳·三模）高中教材必修第二册选学内容中指出：设复数 对应复平面内的点 ，
设 ， ，则任何一个复数 都可以表示成： 的形式，这种形式
叫做复数三角形式，其中 是复数 的模， 称为复数 的辐角，若 ，则 称为复数 的辐角主值，
记为 .复数有以下三角形式的运算法则：若 ，则：
，特别地，如果
，那么 ，这个结论叫做棣莫弗定理.
请运用上述知识和结论解答下面的问题：
(1)求复数 ， 的模 和辐角主值 （用 表示）；(2)设 ， ，若存在 满足 ，那么这样的 有多少个？
(3)求和：
31．（2024·湖南长沙·二模）集合论在离散数学中有着非常重要的地位.对于非空集合 和 ，定义和集
，用符号 表示和集 内的元素个数.
(1)已知集合 ， ， ，若 ，求 的值；
(2)记集合 ， ， ， 为 中所有元素之和， ，求
证： ；
(3)若 与 都是由 个整数构成的集合，且 ，证明：若按一定顺序排列，
集合 与 中的元素是两个公差相等的等差数列.
32．（2024·山东泰安·模拟预测）已知数列 是斐波那契数列，其数值为： .这一
数列以如下递推的方法定义： .数列 对于确定的正整数 ，若存在
正整数 使得 成立，则称数列 为“ 阶可分拆数列”.
(1)已知数列 满足 .判断是否对 ，总存在确定的正整数 ，使得数列
为“ 阶可分拆数列”，并说明理由.
(2)设数列 的前 项和为 ，
（i）若数列 为“ 阶可分拆数列”，求出符合条件的实数 的值；
（ii）在（i）问的前提下，若数列 满足 ， ，其前 项和为 .证明：当 且 时，
成立.
