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专题 03 导数及其应用
1．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】函数 的图像在点 处的切线方程为
A． B．
C． D．
2．【2020年高考全国III卷理数】若直线l与曲线y= 和x2+y2= 都相切，则l的方程为
A．y=2x+1 B．y=2x+
C．y= x+1 D．y= x+
3．【2020年高考北京】为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达
标的企业要限期整改、设企业的污水摔放量W与时间t的关系为 ，用 的大小评
价在 这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的
关系如下图所示.
给出下列四个结论：
①在 这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②在 时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
③在 时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；
④甲企业在 这三段时间中，在 的污水治理能力最强．
其中所有正确结论的序号是____________________．
4．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数 .
(1)当a=1时，讨论f(x)的单调性；
(2)当x≥0时，f(x)≥ x3+1，求a的取值范围.
5．【2020年高考全国Ⅱ卷理数】已知函数 ．
(1)讨论f(x)在区间(0，π)的单调性；
(2)证明： ；
(3)设 ，证明： ．
6．【2020年高考全国Ⅲ卷理数】设函数 ，曲线 在点( ，f( ))处的切线与y轴
垂直．
(1)求B．
(2)若 有一个绝对值不大于1的零点，证明： 所有零点的绝对值都不大于1．
7．【2020年高考天津】已知函数 ， 为 的导函数．
(Ⅰ)当 时，
(i)求曲线 在点 处的切线方程；
(ii)求函数 的单调区间和极值；(Ⅱ)当 时，求证：对任意的 ，且 ，有 ．
8．【2020年高考北京】已知函数 ．
(Ⅰ)求曲线 的斜率等于 的切线方程；
(Ⅱ)设曲线 在点 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 ，求 的最小值．
9．【2020年高考浙江】已知 ，函数 ，其中e=2.71828…是自然对数的底数．
(Ⅰ)证明：函数 在 上有唯一零点；
(Ⅱ)记x 为函数 在 上的零点，证明：
0
(ⅰ) ；
(ⅱ) ．
10．【2020年高考江苏】某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O在水平
线MN上，桥AB与MN平行， 为铅垂线( 在AB上)．经测量，左侧曲线AO上任一点D到MN
的距离 (米)与D到 的距离a(米)之间满足关系式 ；右侧曲线BO上任一点F到MN的距
离 (米)与F到 的距离b(米)之间满足关系式 .已知点B到 的距离为40米．
(1)求桥AB的长度；
(2)计划在谷底两侧建造平行于 的桥墩CD和EF，且CE为80米，其中C，E在AB上(不包括端
点)．.桥墩EF每米造价k(万元)、桥墩CD每米造价 (万元)(k>0)，问 为多少米时，桥墩CD与
EF的总造价最低？11．【2020年高考江苏】已知关于x的函数 与 在区间D上恒有
．
(1)若 ，求h(x)的表达式；
(2)若 ，求k的取值范围；
(3)若
求证： ．
12．【2020年新高考全国Ⅰ卷】已知函数 ．
(1)当 时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
(2)若f(x)≥1，求a的取值范围．
1．【2020·湖北省高三其他(理)】已知函数 ，对任意 ， ，
，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是
A． ， B． ，
C． ， D．2．【2020·四川省南充高级中学高三月考(理)】已知 是曲线 ： 上任意一点，点 是曲线 ：
上任意一点，则 的最小值是
A． B．
C．2 D．
3．【2020·河南省高三月考(理)】设函数 是函数 的导函数，当 时，
，则函数 的零点个数为
A． B．
C． D．
4．【2019·河北省高三月考(理)】若函数 有两个不同的极值点，则实数 的取值
范围是
A． B．
C． D．
5 ． 【 黑 龙 江 省 2020 届 高 三 理 科 5 月 数 学 模 拟 试 卷 】 已 知 定 义 域 为 R 的 函 数 f(x) 满 足
，其中f′(x)为f(x)的导函数，则不等式f(sinx)﹣cos2x≥0的解集为
A． B．C． D．
6．【2020届四川省宜宾市高三高考适应性考试(三诊)数学(理科)试题】已知函数 ，则
关于 的方程 ( )的实根个数为
A． B． 或
C． 或 D． 或
7．【湖北省武汉市部分学校2020届高三上学期起点质量监测(理)】已知 ， ，
，则 ， ， 的大小关系是
A． B．
C． D．
8．【甘肃省天水市一中2020届高三第一次模拟考试(理)】设定义在 上的函数 的导函数为 ，
若 ， ，则不等式 (其中 为自然对数的底数)的解
集为
A． B．
C． D．
9．【2020届山西省高三高考考前适应性测试数学(理)试题】已知函数 (其中 且
)有零点，则实数 的最小值是______.
10．【2020·湖北省高三其他(理)】函数 (其中 )的图象在 处的切线方程是
_____．11．【2020·广西壮族自治区高三其他(理)】函数 在 处的切线在 轴上的截距为
____________．
12．【2019·天津市静海区大邱庄中学高三月考】已知 ，则方程 恰有2个
不同的实根，实数 取值范围__________________.
13．【2020·天津市武清区杨村第一中学高三开学考试】已知函数 ，
(1)当 时，求 的单调区间；
(2)当 ，讨论 的零点个数；
14．【2020·福建省福州第一中学高三其他(理)】已知函数 ， .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若存在直线 ，使得对任意的 ， ，对任意的 ，
，求 的取值范围.
15．【2020·广西壮族自治区高三其他(理)】设函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)若 存在极值，对于任意 ，都有 恒成立，求 的取值范围．
16．【2020·南昌市八一中学高三三模(理)】已知函数 ， .(1)当 时，总有 ，求 的最小值；
(2)对于 中任意 恒有 ，求 的取值范围.
17．【2020·河北省衡水中学高三其他(理)】已知函数 且 .
(1)求a；
(2)证明： 存在唯一的极大值点 ，且 .
18．【2019·山东省实验中学高三月考】已知函数：
(I)当 时，求 的最小值；
(II)对于任意的 都存在唯一的 使得 ，求实数a的取值范围．
19．【2020·河北新乐市第一中学高三其他】设函数 ，其中e为自然对数的底数．
(1)若曲线 在y轴上的截距为 ，且在点 处的切线垂直于直线 ，求实数a，b的值；
(2)记 的导函数为 ，求 在区间 上的最小值 ．
20．【2020·山东省高三其他】已知函数 .
(1)若 ， ，求 的最大值；
(2)当 时，讨论 极值点的个数.
21．【2020·宜宾市叙州区第一中学校高三一模(理)】设函数 ， ，其中 ，
是自然对数的底数．
(1)若 在 上存在两个极值点，求 的取值范围；
(2)若 ， ，函数 与函数 的图象交于 ， ，且 线段的中点为 ，证明： ．
22．【山东师范大学附属中学2020届高三年级学习质量评估考试数学试题】已知函数
.
(1 )若b=0，曲线f(x)在点(1, f(1)) 处的切线与直线y= 2x平行,求a的值;
(2)若b=2，且函数f(x)的值域为 求a的最小值.
23．【2020届河南省开封市第五中学高三第四次教学质量检测数学(理)试卷】已知函数
， 的最大值为 ．
(1)求实数b的值；
(2)当 时，讨论函数 的单调性；
(3)当 时，令 ，是否存在区间 ， ，使得函数
在区间 上的值域为 ？若存在，求实数k的取值范围；若不存在，请
说明理由．
