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专题 04 立体几何
1．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱
锥.以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上
的高与底面正方形的边长的比值为
A． B． C． D．
2．【2020年高考全国Ⅱ卷理数】如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中
对应的点为 ，在俯视图中对应的点为 ，则该端点在侧视图中对应的点为
A． B． C． D．
3．【2020年高考全国II卷理数】已知△ABC是面积为 的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若
球O的表面积为16 ，则O到平面ABC的距离为A． B． C．1 D．
4．【2020年高考全国Ⅲ卷理数】如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是
A．6+4 B．4+4
C．6+2 D．4+2
5．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知 为球 的球面上的三个点，⊙ 为 的外接圆，若⊙
的面积为 ， ，则球 的表面积为
A． B．
C． D．
6．【2020年高考天津】若棱长为 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为
A． B．
C． D．
7．【2020年高考北京】某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为A． B．
C． D．
8．【2020年高考浙江】某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积(单位：cm3)是
A． B．
C．3 D．6
9．【2020年高考浙江】已知空间中不过同一点的三条直线l，m，n．“l ，m，n共面”是“l ，m，n两
两相交”的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件10．【2020年新高考全国Ⅰ卷】日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面
的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平
面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所
在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为
A．20° B．40°
C．50° D．90°
11．【2020年高考全国Ⅱ卷理数】设有下列四个命题：
p：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．
1
p：过空间中任意三点有且仅有一个平面．
2
p：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．
3
p：若直线l 平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l．
4
则下述命题中所有真命题的序号是__________．
① ② ③ ④
12．【2020年高考全国Ⅲ卷理数】已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体
积为_________．
13．【2020年高考浙江】已知圆锥的侧面积(单位：cm2)为 ，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆
锥的底面半径(单位：cm)是_______．
14．【2020年高考江苏】如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面
正六边形边长为2 cm，高为2 cm，内孔半轻为0.5 cm，则此六角螺帽毛坯的体积是 ▲ cm.15．【2020年新高考全国Ⅰ卷】已知直四棱柱ABCD–ABC D 的棱长均为2，∠BAD=60°．以 为球心，
1 1 1 1
为半径的球面与侧面BCC B 的交线长为________．
1 1
16．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】如图， 为圆锥的顶点， 是圆锥底面的圆心， 为底面直径，
． 是底面的内接正三角形， 为 上一点， ．
(1)证明： 平面 ；
(2)求二面角 的余弦值．
17．【2020年高考全国Ⅱ卷理数】如图，已知三棱柱ABC-ABC 的底面是正三角形，侧面BBC C是矩形，
1 1 1 1 1
M，N分别为BC，BC 的中点，P为AM上一点，过BC 和P的平面交AB于E，交AC于F．
1 1 1 1(1)证明：AA∥MN，且平面AAMN⊥平面EBC F；
1 1 1 1
(2)设O为△ABC 的中心，若AO∥平面EBC F，且AO=AB，求直线BE与平面AAMN所成角的正
1 1 1 1 1 1 1
弦值．
18．【2020年高考全国Ⅱ卷理数】如图，在长方体 中，点 分别在棱 上，且
， ．
(1)证明：点 在平面 内；
(2)若 ， ， ，求二面角 的正弦值．
19．【2020年高考江苏】在三棱柱ABC－ABC 中，AB⊥AC，BC⊥平面ABC，E，F分别是AC，BC的
1 1 1 1 1
中点．
(1)求证：EF∥平面ABC ；
1 1
(2)求证：平面ABC⊥平面ABB．
1 1
20．【2020年高考浙江】如图，在三棱台ABC—DEF中，平面ACFD⊥平面ABC，∠ACB=∠ACD=45°，DC =2BC．
(Ⅰ)证明：EF⊥DB；
(Ⅱ)求直线DF与平面DBC所成角的正弦值．
21．【2020年高考天津】如图，在三棱柱 中， 平面 ，
，点 分别在棱 和棱 上，且 为棱 的中点．
(Ⅰ)求证： ；
(Ⅱ)求二面角 的正弦值；
(Ⅲ)求直线 与平面 所成角的正弦值．
1．【2020·广东省高三一模(理)】已知直三棱柱 的体积为 ，若 分别在 上，且 ，则四棱锥 的体积是
A． B．
C． D．
2．【2020·全国高三(理)】在正方体 中，点E是棱 的中点，点F是线段 上的一
个动点．有以下三个命题：
①异面直线 与 所成的角是定值；
②三棱锥 的体积是定值；
③直线 与平面 所成的角是定值．
其中真命题的个数是
A．3 B．2
C．1 D．0
3．【2020·六盘山高级中学高三其他(理)】已知点 在同一个球面上，
，若四面体 体积的最大值为 10，则这个球的表面积是
A． B．
C． D．4．【2020·六盘山高级中学高三其他(理)】对于直线 ， 和平面 ， ， 的一个充分条件是
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
5．【2020·河南省南阳中学高三月考(理)】某简单几何体的三视图(俯视图为等边三角形)如图所示(单位：
cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)为
A．18 B．
C． D．
6．【2020·福建省福州第一中学高三其他(理)】已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A． B．
C． D．
7．【2020·广西壮族自治区高三其他(理)】三个几何体组合的正视图和侧视图均为如下图所示，则下列图
中能作为俯视图的个数为
A．1 B．2
C．3 D．4
8．【2020·辽宁省高三二模(理)】已知一个圆柱的侧面积等于表面积的一半，且其轴截面的周长是18，则
该圆柱的体积是______．
9．【2020·重庆南开中学高三期中(理)】正三棱柱 中， ， ， 为棱
的中点，则异面直线 与 成角的大小为_______．
10．【2020·四川省高三三模(理)】如图，平行六面体 中， ， ， ，
， ，则 的长为_____．
11．【2020·六盘山高级中学高三其他(理)】如图，在四棱锥中 ， 平面 ， ，
，且 ， ，(1)求证： ；
(2)在线段 上，是否存在一点 ，使得二面角 的大小为 ，如果存在，求 与
平面 所成的角的正弦值，如果不存在，请说明理由．
12．【2020·辽河油田第二高级中学高三月考(理)】如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上除A，B外的
一个动点，DC垂直于半圆O所在的平面，DC∥EB，DC＝EB＝1，AB＝4.
(1)证明：平面ADE⊥平面ACD；
(2)当C点为半圆的中点时，求二面角D﹣AE﹣B的余弦值.
13．【2020·湖北省高三其他(理)】如图所示，多面体是由底面为 的直四棱柱被截面 所截而
得到的，该直四棱柱的底面为菱形，其中 ， ， ， ．(1)求 的长；
(2)求平面 与底面 所成锐二面角的余弦值．
14．【2020·广东省高三其他(理)】已知几何体 中， ， ， ，
面 ， ， .
(1)求证：平面 平面 ；
(2)求二面角E－BD－F的余弦值.
15．【2020·福建省福州第一中学高三其他(理)】如图，组合体由半个圆锥 和一个三棱锥
构成，其中 是圆锥 底面圆心， 是圆弧 上一点，满足 是锐角，
.
(1)在平面 内过点 作 平面 交 于点 ，并写出作图步骤，但不要求证明；
(2)在(1)中，若 是 中点，且 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.16．【2020·广西壮族自治区高三其他(理)】如图，直三棱柱 中，底面 为等腰直角三
角形， ， ， 是侧棱 上的点．
(1)若 ，证明： 是 的中点；
(2)若 ，求二面角 的余弦值．
17．【2020·四川省阆中中学高三二模(理)】如图所示，直三棱柱 的各棱长均相等，点 为
的中点.
(1)证明： ；
(2)求二面角 的余弦值.
18．【2020·宜宾市叙州区第二中学校高三一模(理)】如图，已知三棱柱 中，侧棱与底面垂直，且 ， ， 、 分别是 、 的中点，点 在线段 上，
且 .
(1)求证：不论 取何值，总有 ；
(2)当 时，求平面 与平面 所成二面角的余弦值.
19．【2020·辽宁省高三三模(理)】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠DAB
＝60°，AD⊥PD，点F为棱PD的中点．
(1)在棱BC上是否存在一点E，使得CF∥平面PAE，并说明理由；
(2)若AC⊥PB，二面角D﹣FC﹣B的余弦值为 时，求直线AF与平面BCF所成的角的正弦值．
20．【2020·山东省高三三模】已知直三棱柱 ， ， ， ， 分别为
， ， 的中点，且 ．(1)求证： 平面 ；
(2)求 ；
(3)求二面角 的余弦值．
