文档内容
专题 36 二项式定理（理科）
（核心考点精讲精练）
1. 近几年真题考点分布
概率与统计近几年考情
考题示例 考点分析 关联考点
2022年全国乙（文科），第4题,5分 茎叶图计算平均数、中位数、概率
2022年全国乙（文科），第14题,5分 计数原理、排列、组合与概率
2022年全国乙（理科），第10题,5分 互斥事件、独立事件求概率
2022年全国乙（理科），第13题,5分 计数原理、排列、组合与概率
（1）求平均数；
2022年全国乙（理科），第19题,12分
（2）求相关系数
2022年全国乙（文科），第19题,12分
（3）估算样本量
（1）求概率；
2022年全国甲（文科），第17题,12分
（2）独立性检验
2022年全国甲（文科），第6题,5分 古典概型
（1）求概率；
2022年全国甲（理科），第19题,12分
（2）离散型随机变量的分布列与数学期望
2022年全国甲（理科），第15题,5分 古典概型 立体几何
2022年全国甲（理科），第2题,5分 众数、平均数、中位数比较，求极差、方差、
2022年全国甲（文科），第2题,5分 标准差
2023年全国乙（文科），第9题,5分 计数原理、排列、组合与概率
2023年全国乙（理科），第5题,5分
几何概型 圆环面积
2023年全国乙（文科），第7题,5分
2023年全国乙（理科），第9题,5分 计数原理与排列、组合
2023年全国乙（理科），第17题,12分 （1）求样本平均数，方差；
2023年全国乙（文科），第17题,12分 （2）统计新定义
2023年全国甲（文科），第4题,5分 计数原理、排列、组合与概率
2023年全国甲（理科），第6题,5分 条件概率
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】2023年全国甲（理科），第9题,5分 计数原理与排列、组合
（1）离散型随机变量的分布列与数学期望；
2023年全国甲（理科），第19题,12分
（2）独立性检验
（1）求样本平均数；
2023年全国甲（文科），第20题,12分
（2）独立性检验
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】1.二项式定理描述了两个数之和的整数次幂的展开式，通项公式为 Tr+1=Cnrb(n-r)a(r)，其中
为从0到 的整数，Cnr为组合数；
2.二项式系数是二项式定理的核心，反映了组合数与幂的规律。可能会测试二项式系数的性
质，例如对称性、递推关系和组合恒等式等；
3. 二项式展开式是二项式定理的核心，反映了两个幂的和的整数次幂的结构。可能会测试二
项式展开式的结构和各项之间的关系；
4.二项式定理的特殊情况和实例也是命题的热点。二项式定理在组合数学、概率论和微积分
等领域的应用，以及二项式定理的逆定理等；
5.二项式定理的证明和推导方法也是命题的重点。数学归纳法、归纳法和组合数学等方法的
应用；
【备考策略】1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理；
2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题；
【命题预测】1.二项式定理的展开式是关键，因为它描述了每个项的系数和指数。展开式的形式和项数需
要考虑二项式的次数、系数和指数的规律；
2.二项式定理的系数和指数具有特定的性质，对称性、递归关系等。这些性质可能需要对二
项式的特征进行深入分析；
3.二项式定理在各种数学问题中都有应用，组合数学、概率论、微积分等。应用方面需要对
各种数学领域有一定的了解，以及对二项式定理本身的各种特性的理解；
4.二项式定理的证明和推导方法多种多样，归纳法、数学归纳法、组合数学等。可能的证明
和推导方法需要对数学基础和二项式定理本身有深入的理解；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】知识讲解
一、二项式定理
1.二项式定理: .
2.通项公式:T = Cr a n- r b r ,它表示第 项.
r+1 n
3.二项式系数:二项展开式中各项的二项式系数为C0 ,C1 ,…,Cn
.
n n n
二、二项式系数的性质
1.当
时,Cr 与Cn-r
的关系是
Cr =Cn-r
.
n n n n
2.二项式系数先增后减,中间项最大.
n
C2
当 为偶数时,第 项的二项式系数最大,最大值为 n ;当 为奇数时,第 项和 项的二项式
n-1 n+1
系数最大,最大值为 C 2 或C 2 .
n n
三、各二项式系数和
C0 C1 C2 Cn
1. 展开式的各二项式系数和: n+ n+ n+…+ n= 2 n .
2.偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和,即C0 +C2 +C4 +…=C1 +C3 +C5 +…= 2 n- 1 .
n n n n n n
1.掌握二项展开式 的三个重要特征
(1)字母 的指数按降幂排列由 到0.
(2)字母 的指数按升幂排列由0到 .
(3)每一项字母 的指数与字母 的指数的和等于 .
2.关注三个易错点
(1)在二项式定理中,通项公式为 是展开式的第 项,不是第 项.
(2)二项式系数与展开式中项的系数是两个不同的概念,在 中, 是该项的二项式系数,
该项的系数还与 , 有关.
(3)二项式系数的最值与指数 的奇偶性有关.当 为偶数时,中间一项的二项式系数最大;当 为奇数时,
中间两项的二项式系数相等,且同时取得最大值.
求形如(a+b)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量(常数项、参数值、特定项等)的步骤:
第一步,利用二项式定理写出二项展开式的通项公式T =Ckan-k bk,常把字母和系数分离开来(注意符号
k+1 n
不要出错);
第二步,根据题目中的相关条件(如常数项要求指数为零,有理项要求指数为整数),先列出相应方程(组)或
不等式(组),解出k;
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】第三步,把k代入通项公式中,即可求出T ,有时还需要先求 ,再求k,才能求出T 或者其他量.
k+1 k+1
1.“赋值法”普遍适用于恒等式,是一种重要的方法,对形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m (a,b∈R)的式子求其展开
式的各项系数之和,常用赋值法.
2.若 ,则 展开式中各项系数之和为 ,奇数项系数之和为
,偶数项系数之和为 .
1.二项式系数最大项的确定方法:当 为偶数时,展开式中第 项的二项式系数最大,最大值为 ;
当 为奇数时,展开式中第 项和第 项的二项式系数最大,最大值为 或 .
2.求二项展开式项的系数的最大值时,先求系数为正数时项的系数的最大值,令第(r+1)项的系数最大,则
{ T 的系数≥T 的系数,
r+1 r
满足 进而解不等式组即可.注意当系数为负数时,可以求解对应的系数的最小
T 的系数≥T 的系数,
r+1 r+2
值.
对于几个多项式积的展开式中的特定项问题,一般都可以根据因式连乘的规律,结合组合思想求解,但要
注意适当地运用分类方法,以免重复或遗漏.
求形如 的展开式中与特定项相关的量的步骤
第一步,把三项的和 看成是 与 两项的和;
第二步,根据二项式定理写出 的展开式的通项;
第三步,对特定项的次数进行分析,弄清特定项是由 的展开式中的哪些项和 相乘得到的;
第四步,把相乘后的项合并即可得到所求特定项的相关量.
二项式定理应用的题型及解法
(1)在证明整除问题或求余数问题时要进行合理地变形,使被除式(数)展开后的每一项都含有除式的因式.
(2)二项式定理的一个重要用途是做近似计算:当 不是很大, 比较小时, .
考点一、通项公式的应用
1．求 的展开式．
【答案】
【分析】根据二项式定理展开即可.
【详解】
所以 的展开式为
2．（2023年湖南省联考数学试题）下列不属于 的展开式的项的是（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A． B． C． D．
【答案】B
【分析】按照二项式定理直接展开判断即可.
【详解】由二项式定理可知， ，故 不是展开式的项.
3．（2023届江苏省模拟数学试题）已知 的展开式中各项系数和为243，则展开式中常数项为（
）
A．60 B．80 C． D．
【答案】B
【分析】根据各项系数和求出 ，再由二项展开式通项公式求解即可.
【详解】当 时， ，解得 ，
则 的展开式第 项 ，
令 ，解得 ，所以 .
4．（2023届福建省模拟数学试题）在 的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中
含 项的系数为 .
【答案】
【分析】先由二项式系数最大确定 ,再由通项公式求含 项的系数即可.
【详解】由只有第5项的二项式系数最大可得： .
∴通项公式 ，
令 ，解得 .
∴展开式中含 项的系数为 .
1．求 的展开式．
【答案】
【分析】利用二项式定理展开即可
【详解】根据二项式定理得
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】2．（2023年江苏省质量调研（三）数学试题） 的展开式中常数项为 .
【答案】60
【分析】根据题意结合二项展开式的通项公式分析运算.
【详解】∵ 展开式第 项 ，
∴当 时， ，
故展开式中常数项为 .
3．从 的展开式各项的系数中任取两个，其和为奇数的概率是 .
【答案】
【分析】首先写出二项式的展开式，即可得到各项系数有4个奇数、2个偶数，再根据古典概型的概率公
式计算可得；
【详解】解： 展开式的通项为 ，所以
，即 的展开式各项的系数中，有4个奇数、2个偶数，现从
中任取两个一共有 种取法，其和为奇数的有 种结果；
故其和为奇数的概率 .
考点二、二项式系数与系数
1．若 ，则 （ ）
A．-448 B．-112 C．112 D．448
【答案】C
【分析】 ，然后根据二项式展开式项的系数计算即可.
【详解】 ， .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】2．（2022年北京市高考数学试题）若 ，则 （ ）
A．40 B．41 C． D．
【答案】B
【分析】利用赋值法可求 的值.
【详解】令 ，则 ，
令 ，则 ，
故 .
3． 的展开式中 的系数是（ ）
A．60 B．80 C．84 D．120
【答案】D
【解析】 的展开式中 的系数是 ，借助组合公式：
，逐一计算即可.
【详解】 的展开式中 的系数是
因为 且 ，所以 ，
所以 ，
以此类推， .
【点睛】本题关键点在于使用组合公式： ，以达到简化运算的作用.
4．若 （ ），则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据赋值法分别令 、 ，然后可得.
【详解】令 ，则 ，再令 ，则 ，
∴ .
5．若 ，则 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】243/
【分析】根据二项展开式可得 ，令 ，即可得解.
【详解】解： 的展开式得通项为 ，
则 ，
令 ，则 ，即 .
1．（2023年湖南省模拟数学试题）已知 ，则
（ ）
A． B．2 C．4 D．12
【答案】C
【分析】令 ，直接根据二项式定理求解即可.
【详解】令 ，则 ，
故 ，
中 得系数为 ， 中 得系数为 ，
所以 .
2．若 ，且 ，
则实数 的值可以为（ ）
A．1或 B． C． 或3 D．
【答案】A
【分析】利用赋值法，分别令 ，和 ，
，
，
再根据 ，求得 的值．
【详解】在 中，
令 可得 ，即 ，
令 ，可得 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】∵ ，
∴ ，
∴ ，
整理得 ，
解得 ，或 ．
3．若 ，则 =（ ）
A．244 B．1 C． D．
【答案】D
【分析】分别令 代入已知关系式，再两式求和即可求解.
【详解】根据 ，
令 时，整理得：
令x = 2时，整理得:
由①+②得， ，所以 .
4．已知 ，若 的展开式的第2项的二项式系数与第4项的二项式系
数相等，则 =（ ）
A．32 B．64 C．128 D．256
【答案】D
【分析】由题可得 ，再利用赋值法即得.
【详解】由题意可得 ，
∴ ．
令 ，得 ，
∴ ．
5．若 ，则 的值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【分析】分别把 与 代入题干所给的式子中，再求出 的系数，即可得到答案.
【详解】令 ，得 ；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】令 ，得 ；
展开式中 的系数为2，故 .
所以 .
考点三、多项展开式问题
1． 的展开式中， 的系数（ ）
A． B．5 C．35 D．50
【答案】A
【分析】利用展开式的通项公式即求.
【详解】 的展开式第 项 ，
当 时， ；当 时， ，
∴ ，∴ 的系数为 .
2．（2023届广东省模拟数学试题）已知 的展开式中 的系数是20，则实数 .
【答案】2
【分析】根据二项展开式可得 ，则可得展开式中
的系数，列方程即可得实数 的值.
【详解】解：因为
则展开式中 的系数是 ，求得 .
3．（2023届江苏省模拟数学试题） 展开式中含 项的系数为 ．
【答案】－60
【分析】根据二项式的通项公式进行求解即可.
【详解】 ，
设该二项式的通项公式为 ，
因为 的次数为 ，所以令 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】二项式 的通项公式为 ，
令 ，
所以 项的系数为 .
1． 的展开式中 的系数为（ ）
A．60 B．24 C． D．
【答案】B
【分析】首先写出 展开式通项，再考虑通项与 相乘得到含 的项，即可得系数.
【详解】由 的展开式通项为 ，
所以 的展开式 项为 ，
故系数为 .
2． 的展开式中 的系数是12，则实数a的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【分析】利用二项式定理将式子展开即可求解.
【详解】利用二项式定理展开得
则 的系数为 .
3． 的展开式中， 的系数为（ ）
A．80 B．40 C． D．
【答案】D
【分析】利用二项展开式的通项公式求解.
【详解】 的展开式中含 的项为 ，
的展开式中含 的项为 ，
所以 的展开式中， 的系数为 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】考点四、整除或余数问题
1．若 是9的倍数，则自然数n为（ ）
A．4的倍数 B．3的倍数 C．奇数 D．偶数
【答案】C
【分析】将 化简为 ，由此可得选项.
【详解】因为
，
又 是9的倍数，∴ 为偶数，即 为奇数．
2．设 ，且 ，若 能被13整除，则a等于（ ）
A．0 B．1 C．11 D．12
【答案】B
【分析】由 且 可以被13整除，即其展开式中不含 的项为余项，该余项与a的和能被
13整除，即可得参数值.
【详解】由 ，展开式通项为 ，又 可以被13整除，
所以展开式 中 的项均可被13整除，余项为 ，
要使 能被13整除，且 ，则 .
3．已知 ，则 除以10所得的余数是（ ）
A．2 B．3 C．6 D．8
【答案】D
【分析】依题意 ，再根据 的展开式即可判断；
【详解】解：
，
所以 除以10的余数为8．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】4．（2023届辽宁省教学质量监测（一）数学试题）若 ，则
被5除的余数是 ．
【答案】4
【分析】分别取 ，两式相加可求得 ，进而根据二项式定理展开，判断被5除
的余数.
【详解】由题知， 时， ①，
时， ②，
由①＋②得， ，
故
，所以 被5除的余数是4.
5． 被 除所得的余数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】 ，而 的展开式中除最后一项外，其它项均能被8整除，所以将其
最后一项加上10，再除以8可得结果
【详解】 ，
其中所有含有 的项都能被 整除，只剩下 ，
被 除所得的余数是 ，
6．（2023届浙江省模拟数学试题） 除以100的余数是 ．
【答案】1
【分析】将 化为 ，利用二项定理将其展开，即可求得答案.
【详解】
，
,
由于 是100的倍数，
故 除以100的余数等于 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】1．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设a，b， 为整数，若a
和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为 ．若
， ，则b的值可以是（ ）
A．2022 B．2021 C．2020 D．2019
【答案】B
【分析】利用二项式定理可得 ，再利用二项式定理展开即可得解.
【详解】因为
,
四个选项中，只有 时，除以10余数是1．
2．设 ，且 ，若 能被13整除，则 （ ）
A．0 B．1 C．11 D．12
【答案】D
【分析】转化为 ，利用二项式定理求解.
【详解】
因为 能被13整除，所以 能被13整除
因为 ，且 ，所以 ，
3． 除以78的余数是（ ）
A． B．1 C． D．87
【答案】B
【分析】根据二项式定理将已知合并得原式等于 ，再结合 展开整理即可得答案.
【详解】因为
所以 ，除了第一项之外，其余每一项都含有 的倍数，
所以原式除以 的余数为1.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】4．（2023年上海市模拟数学试题） 被9除所得的余数为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
【答案】D
【分析】由题意可得： ，结合二项展开式分析求解.
【详解】由题意可得： ，
可知 的展开式为 ，
当 时， 均可被9整除；
当 时， 被9除所得的余数为7；
综上所述： 被9除所得的余数为7.
5．（2023年山西省模拟数学试题） 除以8，所得余数为 .
【答案】7
【分析】由 ，运用二项式定理，结合整除的性质，即可求解.
【详解】依题意，
因为56能被8整除，所以 除以8，
所得的余数为： .
考点五、二项式的应用
1．在 的展开式中，下列结论正确的是（ ）
A．第6项和第7项的二项式系数相等 B．奇数项的二项式系数和为256
C．常数项为86 D．有理项有2项
【答案】B
【分析】根据二项式展开式的特征，即可结合选项逐一求解.
【详解】 的展开式中共有10项，
由二项式系数的性质可得展开式中的第5项和第6项的二项式系数相等，故A错误；
由已知可得二项式系数之和为 ，
且展开式中奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以奇数项的二项式系数和为 ，故B正确；
展开式的通项为 ，令 ，解得 ．
故常数项为 ，故C不正确；
有理项中x的指数为整数，故 ，2，4，6，8，
故有理项有5项，故D错误．
2．关于 的展开式，下列判断错误的是( )
A．展开式共有8项 B．展开式的各二项式系数的和为128
C．展开式的第7项的二项式系数为49 D．展开式的各项系数的和为
【答案】C
【分析】根据二项式定理的性质逐项判断即可．
【详解】展开式共有 项，故A正确．
展开式的各二项式系数的和为 ，故B正确．
展开式的第7项的二项式系数为 ，故C错误．
展开式的各项系数的和为 ，故D正确．
3．某公司2021年实现利润100万元，计划在以后5年中每年比一年利润增长8%，则2026年的利润是
万元.（结果精确到1万元）
【答案】147
【分析】根据题意得出含指数的利润表达式，利用二项式定理求近似值即可，
【详解】由题意可知，
(万元)，
即2026年的利润大约是147万元.
4．（2023届东北三省联合模拟考试数学试题）杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有
《详解九章算法》《日用算法》和《杨辉算法》.杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古
代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.杨辉三角本身包含了很多有趣的性质，利用这些性质，可以解决
很多数学问题，如开方、数列等.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】我们借助杨辉三角可以得到以下两个数列的和.
；
若杨辉三角中第三斜行的数：1，3，6，10，15，…构成数列 ，则关于数列 叙述正确的是（ ）
A． B．
C．数列 的前n项和为 D．数列 的前n项和为
【答案】A
【分析】确定 ，计算 ，得到A正确B错误，取特殊值排除CD得到答案.
【详解】 .
对选项A： ，正确；
对选项B： ，错误；
对选项C：当 时， ，错误；
对选项D：当 时， ，错误；
1．已知二项式 的展开式中各项系数之和是 ，则下列说法正确的有（ ）
A．展开式共有7项 B．二项式系数最大的项是第4项
C．所有二项式系数和为128 D．展开式的有理项共有3项
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】C
【分析】运用代入法，结合二项式系数和公式、通项公式以及二项式系数性质逐一判断即可.
【详解】因为二项式 的展开式中各项系数之和是 ，
所以令 可得： .
A：因为 ，所以展开式共有 项，因此本选项说法不正确；
B：因为 ，所以二项式系数最大的项是第4项和第 项，
因此本选项说法不正确；
C：因为 ，所以所有二项式系数和为 ，所以本选项说法正确；
D：由B可知： ，当 时，对应的项是有理项，
故本选项说法不正.
2．（2023届山东省适应性检测数学试题）在 的展开式中,下列说法正确的是( )
A．常数项是- B．第四项和第六项的系数相等
C．各项的二项式系数之和为 D．各项的系数之和为
【答案】C
【分析】根据二项式定理, 的通项公式为 ,对于A,令 进行判断;对于B,令
和 计算判断即可;对于C,因为 ,所以各项的二项式系数之和为 可进行判断;对于D,令
即可进行判断.
【详解】根据二项式定理, 的通项公式为 ,
对于A,常数项为 ,故A错误;
对于B,第四项的系数为 ,第六项的系数为 ,故B错误;
对于C,因为 ,所以各项的二项式系数之和为 ,故C正确;
对于D,令 ,各项的系数之和为 ,故D错误.
3．（2023年山东省联考数学试题）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开
式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是
（ ）
杨辉三角
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．在第10行中第5个数最大
B．第2023行中第1011个数和第1012个数相等
C．
D．第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于9行的第8个数
【答案】D
【分析】A、B选项由二项式系数的增减性即可判断；C选项，由 及
即可判断；D选项，由 及 即可判
断.
【详解】A选项，第10行，10是偶数，所以在 时取得最大值，也就是在第10行中第6个数最大，故选
项A错误；
B选项，第2023行是奇数，中间两项最大，即 和 ，也就是第2023行中第1012个数和第1013个
数相等，故选项B错误；
C选项，由 可得
，故选项C错误；
D选项， ，故选项D正确.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【基础过关】
1．已知 ，若 ，则 （ ）
A．992 B．－32 C．－33 D．496
【答案】D
【分析】先由 求得 ，再通过赋值法令 和 求得 即可.
【详解】由题意知： ，则 ，解得 ；令 ，则
，
令 ，则 ，两式相加得 ，则
.
2．已知 ，若 的展开式的第2项的二项式系数与第4项的二项式系
数相等，则 =（ ）
A．32 B．64 C．128 D．256
【答案】D
【分析】由题可得 ，再利用赋值法即得.
【详解】由题意可得 ，
∴ ．
令 ，得 ，
∴ ．
3．（2023届江苏省联考数学试题）已知 ，则 的值
为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】B
【分析】根据 ，结合二项式定理求解即可.
【详解】因为 ， 展开式第 项 ，
当 时， ，当 时， ，
故 ，即 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】4． 的展开式中 的系数为（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
【答案】C
【分析】先求出项式 的展开式的通项为 ，进而可以求出 的展开式中含 的项，
由此即可求出结果.
【详解】因为二项式 的展开式的通项为 ，所以 的展开式中含 的项为
，所以 的系数为 .
5．已知2×1010＋a(0≤a<11)能被11整除，则实数a的值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【分析】根据二项式定理将多项式进行展开，利用整除的性质即可得到结论.
【详解】
，
∵ 能被11整除，
∴要使 能被11整除，则 能被11整除，
∵ ，∴ ，则 ，解得 .
6． 的展开式中，下列结论正确的是 .
①．展开式共6项 ②．常数项为64
③．所有项的系数之和为729 ④．所有项的二项式系数之和为64
【答案】③④
【分析】利用二项展开式的特点判断①；求出指定项判断②；利用赋值法求出展开式系数和判断③；利用
二项式系数的性质判断④作答.
【详解】 展开式的总项数是7，①不正确；
展开式的常数项为 ，②不正确；
取 得 展开式的所有项的系数之和为 ，③正确；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由二项式系数的性质得 展开式的所有项的二项式系数之和为 ，④正确.
故选：③④
7．二项式 ，则该展开式中的常数项是 .
【答案】180
【解析】求得二项展开式的通项 ，令 ，即可求解展开式的常数项，得到答案.
【详解】由题意，二项式 的展开式的通项为 ，
令 ，可得 ，即展开式的常数项是 .
【点睛】本题主要考查了二项式定量的应用，其中解答中熟记二项展开式的通项，准确运算是解答的关键，
着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
8．若二项武 的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值是 ．
【答案】7
【分析】写出二项展开式的通项，令 的指数为0，进而可得结果.
【详解】 的展开式的通项 ，
令 ，得 ，因为 ，所以当 时， 有最小值为7.
9．在二项式 的展开式中，若前三项的系数成等差数列，则实数 .
【答案】 或
【分析】结合二项式展开式的通项公式和等差中项的性质列方程，化简求得 .
【详解】二项式 的展开式的通项公式为 ，
前三项的系数 成等差数列，
所以 ，即 ，解得 或 .
10．（2023届广东省调研数学试题） 的展开式中 的系数为 （用数字做答）．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】－10
【分析】利用二项展开式的通项公式求解.
【详解】解： 的展开式的通项公式为 ，
令 ，
则 的展开式中 的系数为 .
11．若 ，则 的值 .
【答案】
【分析】根据赋值法分别令 、 ，然后可得.
【详解】令 ，得 ，令 ，得 ，所以
12．（2023届湖北省调研数学试题） 的展开式中含 项的系数为 ．
【答案】
【分析】利用二项式定理即可求解.
【详解】 的通项公式为 ，
所以 的展开式中含 项为 ，
所以 展开式中含 项的系数为 ．
13． 的展开式的常数项是 ．
【答案】70
【分析】利用通项公式求解，常数项由三种情况合并而成，分别求解即可.
【详解】 的通项公式为 ；
当 时， 中的常数项为 ；
当 时， 中的常数项为 ；
当 时， ；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 的展开式的常数项为 ；
14．组合数 被9除的余数是 ．
【答案】8
【分析】先求出 ，再利用二项式定理得到
，求出组合数被 除的余数是 .
【详解】∵ ，
∴
，其中 ；
∴该组合数被 除的余数是8．
15．设 ，则 除以9所得的余数为 ．
【答案】8
【分析】根据已知条件将a写为 ，即 ，展开后观察式子即可得到结果.
【详解】因为 ，
所以 ， ，
所以 除以9所得的余数为8．
16．在 的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式中含 项的系数为 ．
【答案】
【分析】首先根据题意，可得 ，进而可得其二项式展开式的通项，令x的指数为3，可得r的值，最
后将r的值代入通项可得其展开式中的 项，即可得答案．
【详解】由题知 ，则 ，
令 ，得 ，所以展开式中 的系数为 .
17．（2023届湖南省联考数学试题）已知 的展开式中第3项与第8项的二项式系数相等，则展开
式中的常数项为 .
【答案】
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】求出展开式有几项，并写出 的展开式的通项，即可得到展开式中的常数项.
【详解】由题意，
在 中，展开式中第3项与第8项的二项式系数相等，
∴ ，解得： ，
因此 的展开式的通项为： ，
故 的展开式中的常数项为 .
【能力提升】
1．（2023届浙江省原创预测卷一（全国1卷））若二项式 的展开式中只有第7项的二
项式系数最大，若展开式的有理项中第 项的系数最大，则 （ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】A
【分析】根据条件可得 .写出展开式的通项 ，则当 是偶数时，该项为有理项，求
得所有的有理项的系数，可解出 的值.
【详解】由已知可得， .根据二项式定理，知展开式的通项为
，显然当 是偶数时，该项为有理项，
时， ； 时， ；
时， ； 时， ；
时， ； 时， ；
时， .
经比较可得， ，即 时系数最大，即展开式的有理项中第5项的系数最大．
2．已知 的展开式共有13项，则下列说法中正确的有 .
①．所有奇数项的二项式系数和为 ②．所有项的系数和为
③．二项式系数最大的项为第6项或第7项 ④．有理项共5项
【答案】②④
【分析】根据展开式的通向公式以及二项式系数的的性质求解判断.
【详解】因为 ，所以 ，所有奇数项的二项式系数和为 ，故①错误，
令 ，得所有项的系数和为 ，故②正确，
由二项式系数的性质可知二项式系数最大的项为第7项，故③错误，
因为 展开式通项为 ，
当 为整数时， ，3，6，9，12，共有5项，故④正确．故选：②④．
3．已知 的展开式中第5项与第7项的二项数系数相等，且展开式的各项系数之和为
1024，则下列说法错误的是（ ）
A．展开式中奇数项的二项式系数和为256
B．展开式中第6项的系数最大
C．展开式中存在常数项
D．展开式中含 项的系数为45
【答案】A
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】由二项式的展开式中第5项与第7项的二项数系数相等可知 ,由展开式的各项系数之和为
1024可得 ,则二项式为 ,易得该二项式展开式的二项式系数与系数相同,利用二
项式系数的对称性判断A,B；根据通项判断C,D即可.
【详解】由二项式的展开式中第5项与第7项的二项数系数相等可知 ,
又展开式的各项系数之和为1024,即当 时, ,所以 ,
所以二项式为 ,
则二项式系数和为 ,则奇数项的二项式系数和为 ,故A错误；
由 可知展开式共有11项,中间项的二项式系数最大,即第6项的二项式系数最大,
因为 与 的系数均为1,则该二项式展开式的二项式系数与系数相同,所以第6项的系数最大,故B正确；
若展开式中存在常数项,由通项 可得 ,解得 ,故C正确；
由通项 可得 ,解得 ,所以系数为 ,故D正确,
【点睛】本题考查二项式的定理的应用,考查系数最大值的项,考查求指定项系数,考查运算能力.
4．（2023届湖南省模拟数学试题）若 ，则 被8
整除的余数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【分析】根据题意，给自变量 赋值，取 和 ，两个式子相减，得到 的值，
将 构造成一个新的二项式，根据二项展开式可以看出被8整除的结果，得到余数．
【详解】在已知等式中，取 得 ，
取 得 ，
两式相减得 ，
即 ，
因为
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为 能被8整除，
所以 被8整除的余数为5，
即 被8整除的余数为5.
5．（2023届广东省模拟数学试题）已知 ， 的展开式中存在常数项，写出n的一个值为
.
【答案】3（答案不唯一）
【分析】在二项展开式的通项公式中,令 的幂指数等于0,求出 与 的关系,可得 的值.
【详解】二项式 的展开式的通项为
，
因为二项式 的展开式中存在常数项，所以 有解，
即 ，可得n的一个值为3.
故答案为：3（答案不唯一）
6．（2023届湘豫名校联考理科数学试题）若 的展开式中各项系数之和为 ，则展开式
中 的系数为 .
【答案】
【分析】令 求得 ，写出 的展开式的通顶公式分别求出它的 系数与常数项，再与
的系数相结合即可得 展开式中 的系数.
【详解】因为 的展开式中各项系数之和为 ,
令 ,得 ,所以 6.
因为 展开式的通顶公式为 ,
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】令 ,得 ;令 ,得 ,
所以展开式中 的系数为 .
7．若n是正整数，则 除以9的余数是 .
【答案】0或7
【解析】根据二项式定理可知， ，又
，分n为偶数和奇数两种情况讨论余数即可.
【详解】根据二项式定理可知， ，
又
所以当n为偶数时，除以9的余数为0；当n为奇数时，除以9的余数为7.
故答案为：0或7
【点睛】方法点睛：本题考查二项式定理的整除问题，整除问题和求近似值是二项式定理中两类常见的应
用问题，做题方法：
（1）整除问题中要关注展开式的最后几项，而求近似值则应关注展开式的前几项．
（2）二项式定理的应用基本思路是正用或逆用二项式定理，注意选择合适的形式．
8．已知 ，则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据给定条件结合组合数计算公式变形和式的通项 ，再借助二项式性
质即可得解.
【详解】依题意， ，
当 时，
，
于是得
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】.
9．下列关于多项式 的展开式的结论中，正确的是（ ）
A．各项系数之和为1 B．各项系数的绝对值之和为
C．不存在 项 D．常数项为
【答案】D
【分析】赋值法判断A、B；根据已知多项式，结合二项式定理判断C、D的正误.
【详解】令 得 ，故A 错误﹔
取多项式 ，将代 入多项式可得 ，故B错误﹔
由题设， ，
若要得到含 项，只需 个因式中 个取 ，剩下 个取 ，故C错误;
个因式中 个取 ， 个取 ，剩下 个取 ，得
5个因式中 个取 个取 ，剩下 个取 ，得 ，
5个因式中均取 ，得 .
故常数项为 ，D正确.
10．已知 的展开式中各项系数和为4，则 的系数为（ ）
A．16 B．8 C．0 D．
【答案】D
【分析】根据系数和为4，令x=1代回原式，可求得n值，利用二项式展开式的通项公式，分析计算，即
可得答案.
【详解】因为各项系数和为4，
所以令x=1，代入可得 ，解得 ，
所以原式为 ，
又 展开式的通项公式为 ，
令k=3，则 ，所以可得一个 的系数为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】令k=0，则 ，
又 展开式的通项公式为 ，
令 ， ，所以可得一个 的系数为 ，
令 ， ，所以可得一个 的系数为 ，
令k=1， ，所以可得一个 的系数为 ，
综上： 的系数为 .
【点睛】解题的关键是分析题意，要求 的系数，则 展开式中，需要出现 、 和 的项，
求得这些项的系数，再与 相乘，可求得 的系数，考查分析理解，计算求值的能力，属难题.
11．（2023届湖南省模拟数学试题）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋
数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现.如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边
的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和.则下列
命题中正确的是
①．
②．在第2022行中第1011个数最大
③．记“杨辉三角”第 行的第i个数为 ，则
④．第34行中第15个数与第16个数之比为
【答案】①③
【分析】利用二项式定理，结合组合数运算性质逐一判断即可.
【详解】①：
所以①正确；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】②：第2022行是二项式 的展开式的系数，故第2022行中第 个数最大，所以②不
正确；
③：“杨辉三角”第 行是二项式 的展开式系数，
所以 ，
，
因此③正确；
④：第34行是二项式 的展开式系数，
所以第15个数与第16个数之比为 ，因此④不正确，
故选：①③
【真题感知】
1．（2023年新高考天津数学高考真题）在 的展开式中， 项的系数为 ．
【答案】
【分析】由二项式展开式的通项公式写出其通项公式 ，令 确定 的
值，然后计算 项的系数即可.
【详解】展开式的通项公式 ，
令 可得， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则 项的系数为 .
2．（2021年天津高考数学试题）在 的展开式中， 的系数是 ．
【答案】160
【分析】求出二项式的展开式通项，令 的指数为6即可求出.
【详解】 的展开式的通项为 ，
令 ，解得 ，
所以 的系数是 .
3．（2022年全国新高考I卷数学试题） 的展开式中 的系数为 （用数
字作答）．
【答案】-28
【分析】 可化为 ，结合二项式展开式的通项公式求解.
【详解】因为 ，
所以 的展开式中含 的项为 ，
的展开式中 的系数为-28
4．（2021年浙江省高考数学试题）已知多项式 ，则
， .
【答案】 ; .
【分析】根据二项展开式定理，分别求出 的展开式，即可得出结论.
【详解】 ，
，
所以 ，
，
所以 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故答案为： .
5．（2020年浙江省高考数学试题）设 ，则 ；
．
【答案】
【分析】利用二项式展开式的通项公式计算即可.
【详解】 的通项为 ，
令 ，则 ，故 ；
.
故答案为： ； .
【点晴】本题主要考查利用二项式定理求指定项的系数问题，考查学生的数学运算能力，是一道基础题.
6．（2020年北京市高考数学试题）在 的展开式中， 的系数为（ ）．
A． B．5 C． D．10
【答案】C
【分析】首先写出展开式的通项公式，然后结合通项公式确定 的系数即可.
【详解】 展开式的通项公式为： ，
令 可得： ，则 的系数为： .
故选：C.
【点睛】二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定
项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整
数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．
7．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）） 的展开式中x3y3的系数为
（ ）
A．5 B．10
C．15 D．20
【答案】C
【分析】求得 展开式的通项公式为 （ 且 ），即可求得 与 展
开式的乘积为 或 形式，对 分别赋值为3，1即可求得 的系数，问题得解.
【详解】 展开式的通项公式为 （ 且 ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 的各项与 展开式的通项的乘积可表示为：
和
在 中，令 ，可得： ，该项中 的系数为 ，
在 中，令 ，可得： ，该项中 的系数为
所以 的系数为
【点睛】本题主要考查了二项式定理及其展开式的通项公式，还考查了赋值法、转化能力及分析能力，属
于中档题.
8．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ））（1+2x2 ）（1+x）4的展开式中x3的系数为
（ ）
A．12 B．16 C．20 D．24
【答案】A
【分析】本题利用二项展开式通项公式求展开式指定项的系数．
【详解】由题意得x3的系数为 ，故选A．
【点睛】本题主要考查二项式定理，利用展开式通项公式求展开式指定项的系数．
9． 的展开式中 的系数为（ ）
A．60 B．24 C． D．
【答案】B
【分析】首先写出 展开式通项，再考虑通项与 相乘得到含 的项，即可得系数.
【详解】由 的展开式通项为 ，
所以 的展开式 项为 ，故系数为 .
10．（2018年全国卷Ⅲ理数高考试题） 的展开式中 的系数为（ ）
A．10 B．20 C．40 D．80
【答案】C
【详解】分析：写出 ，然后可得结果
详解：由题可得
令 ,则
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以
点睛：本题主要考查二项式定理，属于基础题．
11．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标3卷））( + )(2 - )5的展开式中 3 3
的系数为（ ）
A．-80 B．-40 C．40 D．80
【答案】C
【详解】 ，
由 展开式的通项公式 可得：
当 时， 展开式中 的系数为 ；
当 时， 展开式中 的系数为 ，
则 的系数为 .
【名师点睛】（1）二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的
条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中 和 的隐含条件，即 ，
均为非负整数，且 ，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所
求解的项.
（2）求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
