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专题 05 平面解析几何
x2 y2 1
1．【2022年全国甲卷】已知椭圆C: + =1(a>b>0)的离心率为 ，A ,A 分别为C
a2 b2 3 1 2
→ →
的左、右顶点，B为C的上顶点．若BA ⋅BA =-1，则C的方程为( )
1 2
x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2
A． + =1 B． + =1 C． + =1 D． + y2=1
18 16 9 8 3 2 2
【答案】B
【解析】
【分析】
根据离心率及⃑BA ⋅⃑BA =-1，解得关于a2,b2的等量关系式，即可得解.
1 2
【详解】
c √ b2 1 b2 8 8
解：因为离心率e= = 1- = ，解得 = ，b2= a2 ，
a a2 3 a2 9 9
A ,A 分别为C的左右顶点，则A (-a,0),A (a,0)，
1 2 1 2
B为上顶点，所以B(0,b).
所以⃑BA =(-a,-b),⃑BA =(a,-b)，因为⃑BA ⋅⃑BA =-1
1 2 1 2
8
所以-a2+b2=-1，将b2= a2 代入，解得a2=9,b2=8，
9
x2 y2
故椭圆的方程为 + =1.
9 8
故选：B.
x2 y2
2．【2022年全国甲卷】椭圆C: + =1(a>b>0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，
a2 b2
1
且关于y轴对称．若直线AP,AQ的斜率之积为 ，则C的离心率为( )
4√3 √2 1 1
A． B． C． D．
2 2 2 3
【答案】A
【解析】
【分析】
y ❑ 2 1
设P(x ,y )，则Q(-x ,y )，根据斜率公式结合题意可得 1 = ，再根据
1 1 1 1 -x ❑ 2+a2 4
1
x ❑ 2 y ❑ 2
1 + 1 =1，将y 用x 表示，整理，再结合离心率公式即可得解.
a2 b2 1 1
【详解】
解：A(-a,0)，
设P(x ,y )，则Q(-x ,y )，
1 1 1 1
y y
则k = 1 ,k = 1 ，
AP x +a AQ -x +a
1 1
y y y ❑ 2 1
故k ⋅k = 1 ⋅ 1 = 1 = ，
AP AQ x +a -x +a -x ❑ 2+a2 4
1 1 1
x ❑ 2 y ❑ 2 b2(a2-x ❑ 2)
又 1 + 1 =1，则y ❑ 2= 1 ，
a2 b2 1 a2
b2(a2-x
❑
2)
1 b2 1
所以 a2 1，即 = ，
= a2 4
-x ❑ 2+a2 4
1
c √ b2 √3
所以椭圆C的离心率e= = 1- = .
a a2 2
故选：A.
3．【2022年全国乙卷】设F为抛物线C:y2=4x的焦点，点A在C上，点B(3,0)，若
|AF|=|BF|，则|AB|=( )
A．2 B．2√2 C．3 D．3√2
【答案】B【解析】
【分析】
根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点A的横坐标，进而求得点A坐标，
即可得到答案.
【详解】
由题意得，F(1,0)，则|AF|=|BF|=2，
即点A到准线x=-1的距离为2，所以点A的横坐标为-1+2=1，
不妨设点A在x轴上方，代入得，A(1,2)，
所以|AB|=√(3-1) 2+(0-2) 2=2√2.
故选：B
4．【2022年全国乙卷】(多选)双曲线C的两个焦点为F ,F ，以C的实轴为直径的圆记为
1 2
3
D，过F 作D的切线与C的两支交于M，N两点，且cos∠F N F = ，则C的离心率为
1 1 2 5
( )
√5 3 √13 √17
A． B． C． D．
2 2 2 2
【答案】AC
【解析】
【分析】
依题意不妨设双曲线焦点在x轴，设过F 作圆D的切线切点为G，利用正弦定理结合三角
1
变换、双曲线的定义得到2b=3a或a=2b，即可得解，注意就M,N在双支上还是在单支
上分类讨论.
【详解】
解：依题意不妨设双曲线焦点在x轴，设过F 作圆D的切线切点为G，
1
若M,N分别在左右支，
3
因为OG⊥N F ，且cos∠F N F = >0，所以N在双曲线的右支，
1 1 2 5
又|OG|=a，|OF |=c，|GF |=b，
1 1
设∠F N F =α，∠F F N=β，
1 2 2 1|N F | |N F | 2c
在△F N F 中，有 2 = 1 = ，
1 2 sinβ sin(α+β) sinα
|N F |-|N F | 2c a c
故 1 2 = 即 = ，
sin(α+β)-sinβ sinα sin(α+β)-sinβ sinα
a c
所以 = ，
sinαcosβ+cosαsinβ-sinβ sinα
3 a b 4
而cosα= ，sinβ= ，cosβ= ，故sinα= ，
5 c c 5
b 3
代入整理得到2b=3a，即 = ，
a 2
c √ b2 √13
所以双曲线的离心率e= = 1+ =
a a2 2
若M,N均在左支上，|N F | |N F | 2c b
同理有 2 = 1 = ，其中β为钝角，故cosβ=- ，
sinβ sin(α+β) sinα c
|N F |-|N F | 2c a c
故 2 1 = 即 = ，
sinβ-sin(α+β) sinα sinβ-sinαcosβ-cosαsinβ sinα
3 a 4 a 1
代入cosα= ，sinβ= ，sinα= ，整理得到： = ，
5 c 5 4b+2a 4
故a=2b，故e=
√
1+
(b) 2
=
√5
，
a 2
故选：AC.
5．【2022年北京】若直线2x+ y-1=0是圆(x-a) 2+ y2=1的一条对称轴，则a=( )
1 1
A． B．- C．1 D．-1
2 2
【答案】A
【解析】
【分析】
若直线是圆的对称轴，则直线过圆心，将圆心代入直线计算求解．
【详解】
由题可知圆心为(a,0)，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即2a+0-1=0，解
1
得a= ．
2故选：A．
6．【2022年新高考1卷】(多选)已知O为坐标原点，点A(1,1)在抛物线
C:x2=2py(p>0)上，过点B(0,-1)的直线交C于P，Q两点，则(
)
A．C的准线为y=-1 B．直线AB与C相切
C．|OP|⋅|OQ|>|OA| 2 D．|BP|⋅|BQ|>|BA|2
【答案】BCD
【解析】
【分析】
求出抛物线方程可判断A，联立AB与抛物线的方程求交点可判断B，利用距离公式及弦长
公式可判断C、D.
【详解】
1
将点A的代入抛物线方程得1=2p，所以抛物线方程为x2= y，故准线方程为y=- ，A错
4
误；
1-(-1)
k = =2，所以直线AB的方程为y=2x-1，
AB 1-0
联立¿，可得x2-2x+1=0，解得x=1，故B正确；
设过B的直线为l，若直线l与y轴重合，则直线l与抛物线C只有一个交点，
所以，直线l的斜率存在，设其方程为y=kx-1，P(x ,y ),Q(x ,y )，
1 1 2 2
联立¿，得x2-kx+1=0，
所以¿，所以k>2或k<-2，y y =(x x ) 2=1，
1 2 1 2
又|OP|=√x2+ y2=√y + y2，|OQ|=√x2+ y2=√y + y2，
1 1 1 1 2 2 2 2
所以|OP|⋅|OQ|=√y y (1+ y )(1+ y )=√kx ×kx =|k|>2=|OA|2 ，故C正确；
1 2 1 2 1 2
因为|BP|=√1+k2|x |，|BQ|=√1+k2|x |，
1 2
所以|BP|⋅|BQ|=(1+k2 )|x x |=1+k2>5，而|BA|2=5，故D正确.
1 2
故选：BCD7．【2022年新高考2卷】(多选)已知O为坐标原点，过抛物线C:y2=2px(p>0)焦点F
的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点M(p,0)，若|AF|=|AM|，则
( )
A．直线AB的斜率为2√6 B．|OB|=|OF|
C．|AB|>4|OF| D．∠OAM+∠OBM<180°
【答案】ACD
【解析】
【分析】
3p √6p
由|AF|=|AM|及抛物线方程求得A( , )，再由斜率公式即可判断A选项；表示出
4 2
p √6p
直线AB的方程，联立抛物线求得B( ,- )，即可求出|OB|判断B选项；由抛物线的
3 3
25p
定义求出|AB|= 即可判断C选项；由⃑OA⋅⃑OB<0，⃑MA⋅⃑MB<0求得∠AOB，
12
∠AMB为钝角即可判断D选项.
【详解】
p
对于A，易得F( ,0)，由|AF|=|AM|可得点A在FM的垂直平分线上，则A点横坐标为
2
p
+p
2 3p，
=
2 43p 3 3p √6p
代入抛物线可得y2=2p⋅ = p2 ，则A( , )，则直线AB的斜率为
4 2 4 2
√6p
2
=2√6，A正确；
3p p
-
4 2
1 p
对于B，由斜率为2√6可得直线AB的方程为x= y+ ，联立抛物线方程得
2 √6 2
1
y2- py-p2=0，
√6
2
√6 √6 √6p ( √6p)
设B(x ,y )，则 p+ y = p，则y =- ，代入抛物线得 - =2p⋅x ，
1 1 2 1 6 1 3 3 1
p p √6p
解得x = ，则B( ,- )，
1 3 3 3
√ (p) 2 ( √6p) 2 √7p p
则|OB|= + - = ≠|OF|= ，B错误；
3 3 3 2
3p p 25p
对于C，由抛物线定义知：|AB|= + +p= >2p=4|OF|，C正确；
4 3 12
3p √6p p √6p 3p p √6p ( √6p) 3p2
对于D，⃑OA⋅⃑OB=( , )⋅( ,- )= ⋅ + ⋅ - =- <0，
4 2 3 3 4 3 2 3 4
则∠AOB为钝角，
又
p √6p 2p √6p p ( 2p) √6p ( √6p) 5p2
⃑MA⋅⃑MB=(- , )⋅(- ,- )=- ⋅ - + ⋅ - =- <0，
4 2 3 3 4 3 2 3 6
则∠AMB为钝角，
又∠AOB+∠AMB+∠OAM+∠OBM=360∘，则∠OAM+∠OBM<180∘，D正确.
故选：ACD.
8．【2022年全国甲卷】设点M在直线2x+ y-1=0上，点(3,0)和(0,1)均在⊙M上，则
⊙M的方程为______________．【答案】(x-1) 2+(y+1) 2=5
【解析】
【分析】
设出点M的坐标，利用(3,0)和(0,1)均在⊙M上，求得圆心及半径，即可得圆的方程.
【详解】
解：∵点M在直线2x+ y-1=0上，
∴设点M为(a,1-2a)，又因为点(3,0)和(0,1)均在⊙M上，
∴点M到两点的距离相等且为半径R，
∴√(a-3) 2+(1-2a) 2=√a2+(-2a) 2=R，
a2-6a+9+4a2-4a+1=5a2，解得a=1，
∴M(1,-1)，R=√5，
⊙M的方程为(x-1) 2+(y+1) 2=5.
故答案为：(x-1) 2+(y+1) 2=5
x2 y2
9．【2022年全国甲卷】记双曲线C: - =1(a>0,b>0)的离心率为e，写出满足条件
a2 b2
“直线y=2x与C无公共点”的e的一个值______________．
【答案】2(满足10,b>0)，所以C的渐近线方程为y=± x,
a2 b2 a
b b2
结合渐近线的特点，只需0< ≤2，即 ≤4，
a a2
可满足条件“直线y=2x与C无公共点”c √ b2
所以e= = 1+ ≤√1+4=√5，
a a2
又因为e>1，所以10)的渐近线与圆x2+ y2-4 y+3=0相切，
m2
则m=_________．
√3
【答案】
3
【解析】
【分析】
首先求出双曲线的渐近线方程，再将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，依
题意圆心到直线的距离等于圆的半径，即可得到方程，解得即可．
【详解】
x2 x
解：双曲线y2- =1(m>0)的渐近线为y=± ，即x±my=0，
m2 m
不妨取x+my=0，圆x2+ y2-4 y+3=0，即x2+(y-2) 2=1，所以圆心为(0,2)，半径r=1，
|2m|
依题意圆心(0,2)到渐近线x+my=0的距离d= =1，
√1+m2
√3 √3
解得m= 或m=- (舍去)．
3 3
√3
故答案为： ．
3
11．【2022年全国乙卷】过四点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为
____________．
【答案】(x-2) 2+(y-3) 2=13或(x-2) 2+(y-1) 2=5或 ( x- 4) 2 + ( y- 7) 2 = 65 或
3 3 9( x- 8) 2 +(y-1) 2= 169 ；
5 25
【解析】
【分析】
设圆的方程为x2+ y2+Dx+Ey+F=0，根据所选点的坐标，得到方程组，解得即可；
【详解】
解：依题意设圆的方程为x2+ y2+Dx+Ey+F=0，
若过(0,0)，(4,0)，(-1,1)，则¿，解得¿，
所以圆的方程为x2+ y2-4x-6 y=0，即(x-2) 2+(y-3) 2=13；
若过(0,0)，(4,0)，(4,2)，则¿，解得¿，
所以圆的方程为x2+ y2-4x-2y=0，即(x-2) 2+(y-1) 2=5；
若过(0,0)，(4,2)，(-1,1)，则¿，解得¿，
所以圆的方程为x2+ y2- 8 x- 14 y=0，即 ( x- 4) 2 + ( y- 7) 2 = 65 ；
3 3 3 3 9
若过(-1,1)，(4,0)，(4,2)，则¿，解得¿，
所以圆的方程为x2+ y2- 16 x-2y- 16 =0，即 ( x- 8) 2 +(y-1) 2= 169 ；
5 5 5 25
故答案为：(x-2) 2+(y-3) 2=13或(x-2) 2+(y-1) 2=5或 ( x- 4) 2 + ( y- 7) 2 = 65 或
3 3 9
( x- 8) 2 +(y-1) 2= 169 ；
5 25
12．【2022年新高考1卷】写出与圆x2+ y2=1和(x-3) 2+(y-4) 2=16都相切的一条直线
的方程________________．
3 5 7 25
【答案】y=- x+ 或y= x- 或x=-1
4 4 24 24
【解析】
【分析】先判断两圆位置关系，分情况讨论即可.
【详解】
圆x2+ y2=1的圆心为O(0,0)，半径为1，圆(x-3) 2+(y-4) 2=16的圆心O 为(3,4)，半径
1
为4，
两圆圆心距为√32+42=5，等于两圆半径之和，故两圆外切，
如图，
4 3 3
当切线为l时，因为k = ，所以k =- ，设方程为y=- x+t(t>0)
OO 1 3 l 4 4
|t|
d= =1 5 3 5
O到l的距离 √ 9 ，解得t= ，所以l的方程为y=- x+ ，
1+ 4 4 4
16
当切线为m时，设直线方程为kx+ y+p=0，其中p>0，k<0，
7 25
由题意¿，解得¿，y= x-
24 24
当切线为n时，易知切线方程为x=-1，
3 5 7 25
故答案为：y=- x+ 或y= x- 或x=-1.
4 4 24 24
x2 y2
13．【2022年新高考1卷】已知椭圆C: + =1(a>b>0)，C的上顶点为A，两个焦点
a2 b21
为F ，F ，离心率为 ．过F 且垂直于AF 的直线与C交于D，E两点，|DE|=6，则
1 2 2 1 2
△ADE的周长是________________．
【答案】13
【解析】
【分析】
x2 y2
利用离心率得到椭圆的方程为 + =1，即3x2+4 y2-12c2=0，根据离心率得到
4c2 3c2
直线AF 的斜率，进而利用直线的垂直关系得到直线DE的斜率，写出直线DE的方程：
2
x=√3 y-c，代入椭圆方程3x2+4 y2-12c2=0，整理化简得到：13 y2-6√3cy-9c2=0，
13 13
利用弦长公式求得c= ，得a=2c= ，根据对称性将△ADE的周长转化为△F DE
8 4 2
的周长，利用椭圆的定义得到周长为4a=13.
【详解】
c 1
∵椭圆的离心率为e= = ，∴a=2c，∴b2=a2-c2=3c2，∴椭圆的方程为
a 2
x2 y2
+ =1，即3x2+4 y2-12c2=0，不妨设左焦点为F ，右焦点为F ，如图所示，
4c2 3c2 1 2
π
∵AF =a，OF =c，a=2c，∴∠AF O= ，∴△AF F 为正三角形，∵过F 且
2 2 2 3 1 2 1
垂直于AF 的直线与C交于D，E两点，DE为线段AF 的垂直平分线，∴直线DE的斜率
2 2
√3
为 ，斜率倒数为√3， 直线DE的方程：x=√3 y-c，代入椭圆方程
3
3x2+4 y2-12c2=0，整理化简得到：13 y2-6√3cy-9c2=0，
判别式∆=(6√3c) 2+4×13×9c2=62×16×c2，
√∆ c
∴|CD|=√1+(√3) 2 |y - y |=2× =2×6×4× =6，
1 2 13 13
13 13
∴ c= ， 得a=2c= ，
8 4∵DE为线段AF 的垂直平分线，根据对称性，AD=DF ，AE=EF ，∴△ADE的周
2 2 2
长等于△F DE的周长，利用椭圆的定义得到△F DE周长为
2 2
|DF |+|EF |+|DE|=|DF |+|EF |+|DF |+|EF |=|DF |+|DF |+|E.F |+|EF |=2a+2a=4a=13
2 2 2 2 1 1 1 2 1 2
故答案为：13.
14．【2022年新高考2卷】设点A(-2,3),B(0,a)，若直线AB关于y=a对称的直线与圆
(x+3) 2+(y+2) 2=1有公共点，则a的取值范围是________．
[1 3]
【答案】 ,
3 2
【解析】
【分析】
首先求出点A关于y=a对称点A'的坐标，即可得到直线l的方程，根据圆心到直线的距离小
于等于半径得到不等式，解得即可；
【详解】
解：A(-2,3)关于y=a对称的点的坐标为A'(-2,2a-3)，B(0,a)在直线y=a上，
a-3
所以A'B所在直线即为直线l，所以直线l为y= x+a，即(a-3)x+2y-2a=0；
-2
圆C:(x+3) 2+(y+2) 2=1，圆心C(-3,-2)，半径r=1，|-3(a-3)-4-2a|
依题意圆心到直线l的距离d= ≤1，
√(a-3) 2+22
1 3 [1 3]
即(5-5a) 2≤(a-3) 2+22，解得 ≤a≤ ，即a∈ , ；
3 2 3 2
[1 3]
故答案为： ,
3 2
x2 y2
15．【2022年新高考2卷】已知直线l与椭圆 + =1在第一象限交于A，B两点，l与x
6 3
轴，y轴分别交于M，N两点，且|MA|=|NB|,|MN|=2√3，则l的方程为
___________．
【答案】x+√2y-2√2=0
【解析】
【分析】
1
令AB的中点为E，设A(x ,y )，B(x ,y )，利用点差法得到k ⋅k =- ，设直线
1 1 2 2 OE AB 2
AB:y=kx+m，k<0，m>0，求出M、N的坐标，再根据|MN|求出k、m，即可得解；
【详解】
解：令AB的中点为E，因为|MA|=|NB|，所以|ME|=|NE|，
x ❑ 2 y ❑ 2 x ❑ 2 y ❑ 2
设A(x ,y )，B(x ,y )，则 1 + 1 =1， 2 + 2 =1，
1 1 2 2
6 3 6 3
x ❑ 2 x ❑ 2 y ❑ 2 y ❑ 2 (x -x )(x +x ) (y + y )(y - y )
所以 1 - 2 + 1 - 2 =0，即 1 2 1 2 + 1 2 1 2 =0
6 6 3 3 6 3
(y + y )(y - y ) 1 1
所以 1 2 1 2 =- ，即k ⋅k =- ，设直线AB:y=kx+m，k<0，m>0，
(x -x )(x +x ) 2 OE AB 2
1 2 1 2
m ( m ) ( m m)
令x=0得y=m，令y=0得x=- ，即M - ,0 ，N(0,m)，所以E - , ，
k k 2k 2
m
2 1 √2 √2
即k× =- ，解得k=- 或k= (舍去)，
m 2 2 2
-
2k又|MN|=2√3，即|MN|=√m2+(√2m) 2=2√3，解得m=2或m=-2(舍去)，
√2
所以直线AB:y=- x+2，即x+√2y-2√2=0；
2
故答案为：x+√2y-2√2=0
x2 √3
16．【2022年北京】已知双曲线y2+ =1的渐近线方程为y=± x，则m=__________．
m 3
【答案】-3
【解析】
【分析】
首先可得m<0，即可得到双曲线的标准方程，从而得到a、b，再跟渐近线方程得到方程，
解得即可；
【详解】
x2 x2
解：对于双曲线y2+ =1，所以m<0，即双曲线的标准方程为y2- =1，
m -m
x2 √3
则a=1，b=√-m，又双曲线y2+ =1的渐近线方程为y=± x，
m 3
a √3 1 √3
所以 = ，即 = ，解得m=-3；
b 3 √-m 3
故答案为：-3
x2 y2 b
17．【2022年浙江】已知双曲线 - =1(a>0,b>0)的左焦点为F，过F且斜率为
a2 b2 4a的直线交双曲线于点A(x ,y )，交双曲线的渐近线于点B(x ,y )且x <00)的焦点为F，点D(p,0)，过F的直
线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，|MF|=3．
(1)求C的方程；
(2)设直线MD,ND与C的另一个交点分别为A，B，记直线MN,AB的倾斜角分别为α,β．当α-β取得最大值时，求直线AB的方程．
【答案】(1)y2=4x；
(2)AB:x=√2y+4.
【解析】
【分析】
p
(1)由抛物线的定义可得|MF|=p+ ，即可得解；
2
(2)设点的坐标及直线MN:x=my+1，由韦达定理及斜率公式可得k =2k ，再由差角
MN AB
√2
的正切公式及基本不等式可得k = ，设直线AB:x=√2y+n，结合韦达定理可解.
AB 2
(1)
p
抛物线的准线为x=- ，当MD与x轴垂直时，点M的横坐标为p，
2
p
此时|MF|=p+ =3，所以p=2，
2
所以抛物线C的方程为y2=4x；
(2)
y2 y2 y2 y2
设M( 1,y ),N( 2,y ),A( 3,y ),B( 4,y )，直线MN:x=my+1，
4 1 4 2 4 3 4 4
x=my+1
由{ 可得y2-4my-4=0，Δ>0,y y =-4，
y2=4x 1 2
y - y 4 y - y 4
k = 1 2 = k = 3 4 =
由斜率公式可得 MN y2 y2 y + y ， AB y2 y2 y + y ，
1- 2 1 2 3- 4 3 4
4 4 4 4
x -2 4(x -2)
直线MD:x= 1 ⋅y+2，代入抛物线方程可得y2- 1 ⋅y-8=0，
y y
1 1
Δ>0,y y =-8，所以y =2y ，同理可得y =2y ，
1 3 3 2 4 1
4 4 k
所以k = = = MN
AB y + y 2(y + y ) 2
3 4 1 2
又因为直线MN、AB的倾斜角分别为α,β，
k tanα
所以k =tanβ= MN = ，
AB 2 2π
若要使α-β最大，则β∈(0, )，
2
设k =2k =2k>0，则
MN AB
tanα-tanβ k 1 1 √2
tan(α-β)= = = ≤ =
1+tanαtanβ 1+2k2 1
+2k
2
√1
⋅2k
4 ，
k k
1 √2
当且仅当 =2k即k= 时，等号成立，
k 2
√2
所以当α-β最大时，k = ，设直线AB:x=√2y+n，
AB 2
代入抛物线方程可得y2-4√2y-4n=0，
Δ>0,y y =-4n=4 y y =-16，所以n=4，
3 4 1 2
所以直线AB:x=√2y+4.
【点睛】
关键点点睛：解决本题的关键是利用抛物线方程对斜率进行化简，利用韦达定理得出坐标
间的关系.
19．【2022年全国乙卷】已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过
(3 )
A(0,-2),B ,-1 两点．
2
(1)求E的方程；
(2)设过点P(1,-2)的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点
T，点H满足⃑MT=⃑TH．证明：直线HN过定点．
y2 x2
【答案】(1) + =1
4 3
(2)(0,-2)
【解析】
【分析】
(1)将给定点代入设出的方程求解即可；
(2)设出直线方程，与椭圆C的方程联立，分情况讨论斜率是否存在，即可得解.
(1)(3 )
解：设椭圆E的方程为mx2+n y2=1，过A(0,-2),B ,-1 ，
2
1 1
则¿，解得m= ，n= ，
3 4
y2 x2
所以椭圆E的方程为： + =1.
4 3
(2)
3 2
A(0,-2),B( ,-1)，所以AB:y+2= x，
2 3
x2 y2
①若过点P(1,-2)的直线斜率不存在，直线x=1.代入 + =1，
3 4
2√6 2√6 2
可得M(1, )，N(1,- )，代入AB方程y= x-2，可得
3 3 3
2√6 2√6
T(√6+3, )，由⃑MT=⃑TH得到H(2√6+5, ).求得HN方程：
3 3
2√6
y=(2- )x-2，过点(0,-2).
3
②若过点P(1,-2)的直线斜率存在，设kx- y-(k+2)=0,M(x ,y ),N(x ,y ).
1 1 2 2
联立¿得(3k2+4)x2-6k(2+k)x+3k(k+4)=0，
可得¿，¿，
-24k
且x y +x y = (*)
1 2 2 1 3k2+4
3 y
联立¿可得T( 1+3,y ),H(3 y +6-x ,y ).
2 1 1 1 1
y - y
可求得此时HN:y- y = 1 2 (x-x )，
2 3 y +6-x -x 2
1 1 2
将(0,-2)，代入整理得2(x +x )-6(y + y )+x y +x y -3 y y -12=0，
1 2 1 2 1 2 2 1 1 2
将(*)代入，得24k+12k2+96+48k-24k-48-48k+24k2-36k2-48=0,
显然成立，
综上，可得直线HN过定点(0,-2).
【点睛】
求定点、定值问题常见的方法有两种：
①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.
x2 y2
20．【2022年新高考1卷】已知点A(2,1)在双曲线C: - =1(a>1)上，直线l交C
a2 a2-1
于P，Q两点，直线AP,AQ的斜率之和为0．
(1)求l的斜率；
(2)若tan∠PAQ=2√2，求△PAQ的面积．
【答案】(1)-1；
16√2
(2) ．
9
【解析】
【分析】
(1)由点A(2,1)在双曲线上可求出a，易知直线l的斜率存在，设l:y=kx+m，
P(x ,y ),Q(x ,y )，再根据k +k =0，即可解出l的斜率；
1 1 2 2 AP BP
(2)根据直线AP,AQ的斜率之和为0可知直线AP,AQ的倾斜角互补，再根据
tan∠PAQ=2√2即可求出直线AP,AQ的斜率，再分别联立直线AP,AQ与双曲线方程求
出点P,Q的坐标，即可得到直线PQ的方程以及PQ的长，由点到直线的距离公式求出点A
到直线PQ的距离，即可得出△PAQ的面积．
(1)
x2 y2 4 1
因为点A(2,1)在双曲线C: - =1(a>1)上，所以 - =1，解得a2=2，即双
a2 a2-1 a2 a2-1
x2
曲线C: - y2=1
2
易知直线l的斜率存在，设l:y=kx+m，P(x ,y ),Q(x ,y )，
1 1 2 2
联立¿可得，(1-2k2)x2-4mkx-2m2-2=0，
4mk 2m2+2
所以，x +x =- ,x x = ，
1 2 2k2-1 1 2 2k2-1
Δ=16m2k2+4(2m2+2)(2k2-1)>0⇒m2-1+2k2>0．y -1 y -1
所以由k +k =0可得， 2 + 1 =0，
AP BP x -2 x -2
2 1
即(x -2)(kx +m-1)+(x -2)(kx +m-1)=0，
1 2 2 1
即2kx x +(m-1-2k)(x +x )-4(m-1)=0，
1 2 1 2
2m2+2 ( 4mk )
所以2k× +(m-1-2k) - -4(m-1)=0，
2k2-1 2k2-1
化简得，8k2+4k-4+4m(k+1)=0，即(k+1)(2k-1+m)=0，
所以k=-1或m=1-2k，
当m=1-2k时，直线l:y=kx+m=k(x-2)+1过点A(2,1)，与题意不符，舍去，
故k=-1．
(2)
不妨设直线PA,PB的倾斜角为α,β(α<β)，因为k +k =0，所以α+β=π，
AP BP
因为tan∠PAQ=2√2，所以tan(β-α)=2√2，即tan2α=-2√2，
即√2tan2α-tanα-√2=0，解得tanα=√2，
于是，直线PA:y=√2(x-2)+1，直线PB:y=-√2(x-2)+1，
3
联立¿可得，
x2+2(1-2√2)x+10-4√2=0，
2
10-4√2 4√2-5
因为方程有一个根为2，所以x = ，y = ，
P 3 P 3
10+4√2 -4√2-5
同理可得，x = ，y = ．
Q 3 Q 3
5 16
所以PQ:x+ y- =0，|PQ|= ，
3 3
| 5|
2+1-
点A到直线PQ的距离 3 2√2，
d= =
√2 3
1 16 2√2 16√2
故△PAQ的面积为 × × = ．
2 3 3 9
x2 y2
21．【2022年新高考2卷】已知双曲线C: - =1(a>0,b>0)的右焦点为F(2,0)，渐
a2 b2近线方程为y=±√3x．
(1)求C的方程；
(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点P(x ,y ),Q(x ,y )在C上，且
1 1 2 2
x >x >0,y >0．过P且斜率为-√3的直线与过Q且斜率为√3的直线交于点M.从下面
1 2 1
①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：
①M在AB上；②PQ∥AB；③|MA|=|MB|．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
y2
【答案】(1)x2- =1
3
(2)见解析
【解析】
【分析】
(1)利用焦点坐标求得c的值，利用渐近线方程求得a,b的关系，进而利用a,b,c的平方关系
求得a,b的值，得到双曲线的方程；
(2)先分析得到直线AB的斜率存在且不为零，设直线AB的斜率为k, M(x ,y ),由③|AM|=|
0 0
8k2
BM|等价分析得到x +k y = ；由直线PM和QM的斜率得到直线方程，结合双曲线
0 0 k2-3
3x
的方程，两点间距离公式得到直线PQ的斜率m= 0 ，由②PQ//AB等价转化为
y
0
k y =3x ，由①M在直线AB上等价于k y =k2 (x -2)，然后选择两个作为已知条件一个
0 0 0 0
作为结论，进行证明即可.
(1)
b
右焦点为F(2,0)，∴c=2,∵渐近线方程为y=±√3x，∴ =√3，∴b=√3a，∴
a
c2=a2+b2=4a2=4，∴a=1，∴b=√3．
y2
∴C的方程为：x2- =1；
3
(2)由已知得直线PQ的斜率存在且不为零，直线AB的斜率不为零，
若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线AB的斜率存在且不为零；
若选①③推②，则M为线段AB的中点，假若直线AB的斜率不存在，则由双曲线的对称性
可知M在x轴上，即为焦点F,此时由对称性可知P、Q关于x轴对称，与从而x =x ，已知
1 2
不符；
总之，直线AB的斜率存在且不为零.
设直线AB的斜率为k,直线AB方程为y=k(x-2),
则条件①M在AB上，等价于y =k(x -2)⇔k y =k2 (x -2)；
0 0 0 0
两渐近线的方程合并为3x2- y2=0,
联立消去y并化简整理得：(k2-3)x2-4k2x+4k2=0
设A(x ,y ),B(x ,y ),线段中点为N(x ,y ),则
3 3 3 4 N N
x +x 2k2 6k
x = 3 4= ,y =k(x -2)= ,
N 2 k2-3 N N k2-3
设M(x ,y ),
❑0 0
则条件③|AM|=|BM|等价于(x -x ) 2+(y - y ) 2=(x -x ) 2+(y - y ) 2 ,
0 3 0 3 0 4 0 4
移项并利用平方差公式整理得：
(x -x )[2x -(x +x )]+(y - y )[2y -(y + y )]=0，
3 4 0 3 4 3 4 0 3 4
y - y
[2x -(x +x )]+ 3 4[2y -(y + y )]=0,即x -x +k(y - y )=0,
0 3 4 x -x 0 3 4 0 N 0 N
3 4
8k2
即x +k y = ；
0 0 k2-3
由题意知直线PM的斜率为-√3, 直线QM的斜率为√3,
∴由y - y =-√3(x -x ),y - y =√3(x -x ),
1 0 1 0 2 0 2 0
∴y - y =-√3(x +x -2x ),
1 2 1 2 0y - y √3(x +x -2x )
所以直线PQ的斜率m= 1 2=- 1 2 0 ,
x -x x -x
1 2 1 2
直线PM:y=-√3(x-x )+ y ,即y= y +√3x -√3x,
0 0 0 0
代入双曲线的方程3x2- y2-3=0,即(√3x+ y)(√3x- y)=3中，
得：(y +√3x )[2√3x-(y +√3x )]=3,
0 0 0 0
1 3
解得P的横坐标： x 1 = 2√3 ( y +√3x + y 0 +√3x 0 ) ,
0 0
1 3
同理：x =- ( + y -√3x ) ，
2 2√3 y -√3x 0 0
0 0
1 ( 3 y ) 3x
∴x -x = 0 + y ,x +x -2x =- 0 -x ,
1 2 √3 y2-3x2 0 1 2 0 y2-3x2 0
0 0 0 0
3x
∴m= 0
,
y
0
∴条件②PQ//AB等价于m=k⇔k y =3x ，
0 0
综上所述：
条件①M在AB上，等价于k y =k2 (x -2)；
0 0
条件②PQ//AB等价于k y =3x ；
0 0
8k2
条件③|AM|=|BM|等价于x +k y = ；
0 0 k2-3
选①②推③:
2k2 8k2
由①②解得：x = ,∴x +k y =4x = ,∴③成立；
0 k2-3 0 0 0 k2-3
选①③推②：
2k2 6k2
由①③解得：x = ，k y = ，
0 k2-3 0 k2-3∴k y =3x ，∴②成立；
0 0
选②③推①：
2k2 6k2 6
由②③解得：x = ，k y = ，∴x -2= ，
0 k2-3 0 k2-3 0 k2-3
∴k y =k2 (x -2)，∴①成立.
0 0
x2 y2
22．【2022年北京】已知椭圆：E: + =1(a>b>0)的一个顶点为A(0,1)，焦距为
a2 b2
2√3．
(1)求椭圆E的方程；
(2)过点P(-2,1)作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x
轴交于点M，N，当|MN|=2时，求k的值．
x2
【答案】(1) + y2=1
4
(2)k=-4
【解析】
【分析】
(1)依题意可得¿，即可求出a，从而求出椭圆方程；
(2)首先表示出直线方程，设B(x ,y )、C(x ,y )，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达
1 1 2 2
定理，由直线AB、AC的方程，表示出x 、x ，根据|MN|=|x -x |得到方程，解得即
M N N M
可；
(1)
解：依题意可得b=1，2c=2√3，又c2=a2-b2，
x2
所以a=2，所以椭圆方程为 + y2=1；
4
(2)
解：依题意过点P(-2,1)的直线为y-1=k(x+2)，设B(x ,y )、C(x ,y )，不妨令
1 1 2 2
-2≤x 0，解得k<0，
16k2+8k 16k2+16k
所以x +x =- ，x ⋅x = ，
1 2 1+4k2 1 2 1+4k2
y -1 x
直线AB的方程为y-1= 1 x，令y=0，解得x = 1 ，
x M 1- y
1 1
y -1 x
直线AC的方程为y-1= 2 x，令y=0，解得x = 2 ，
x N 1- y
2 2
| x x |
所以|MN|=|x -x |= 2 - 1
N M 1- y 1- y
2 1
| x x |
= 2 - 1
1-[k(x +2)+1] 1-[k(x +2)+1]
2 1
| x x |
= 2 + 1
-k(x +2) k(x +2)
2 1
|(x +2)x -x (x +2)|
= 2 1 2 1
k(x +2)(x +2)
2 1
2|x -x |
= 1 2 =2，
|k|(x +2)(x +2)
2 1
所以|x -x |=|k|(x +2)(x +2)，
1 2 2 1
即√(x +x ) 2-4x x =|k|[x x +2(x +x )+4]
1 2 1 2 2 1 2 1
√
(
16k2+8k) 2 16k2+16k [16k2+16k
(
16k2+8k) ]
即 - -4× =|k| +2 - +4
1+4k2 1+4k2 1+4k2 1+4k2
即8 √(2k2+k) 2 -(1+4k2)(k2+k)= |k| [16k2+16k-2(16k2+8k)+4(1+4k2)]
1+4k2 1+4k2
整理得8√-k=4|k|，解得k=-4
x2
23．【2022年浙江】如图，已知椭圆 + y2=1．设A，B是椭圆上异于P(0,1)的两点，
12
( 1) 1
且点Q 0, 在线段AB上，直线PA,PB分别交直线y=- x+3于C，D两点．
2 2
(1)求点P到椭圆上点的距离的最大值；
(2)求|CD|的最小值．
12√11
【答案】(1) ；
11
6√5
(2) ．
5
【解析】
【分析】
(1)设Q(2√3cosθ,sinθ)是椭圆上任意一点,再根据两点间的距离公式求出|PQ|2，再根
据二次函数的性质即可求出；
1 1
(2)设直线AB:y=kx+ 与椭圆方程联立可得x x ,x +x ，再将直线y=- x+3方程与
2 1 2 1 2 2
PA、PB的方程分别联立，可解得点C,D的坐标，再根据两点间的距离公式求出|CD|，
3√5 √16k2+1
最后代入化简可得|CD|= ⋅ ，由柯西不等式即可求出最小值．
2 |3k+1|(1)
设Q(2√3cosθ,sinθ)是椭圆上任意一点,P(0,1),则
|PQ|2=12cos2θ+(1-sinθ) 2=13-11sin2θ-2sinθ=-11 ( sinθ+ 1 ) 2 + 144 ≤ 144 ，
11 11 11
1 12√11
当且仅当sinθ=- 时取等号，故|PQ|的最大值是 .
11 11
(2)
设直线AB:y=kx+ 1 ,直线AB方程与椭圆 x2 + y2=1联立,可得 ( k2+ 1 ) x2+kx- 3 =0,设
2 12 12 4
A(x ,y ),B(x ,y )，所以¿，
1 1 2 2
y -1 1
因为直线PA:y= 1 x+1与直线y=- x+3交于C,
x 2
1
4x 4x 4x 4x
则x = 1 = 1 ,同理可得,x = 2 = 2 .则
C x +2y -2 (2k+1)x -1 D x +2y -2 (2k+1)x -1
1 1 1 2 2 2
√ 1 √5| 4x 4x |
|CD|= 1+ |x -x |= 1 - 2
4 C D 2 (2k+1)x -1 (2k+1)x -1
1 2
| x -x | | x -x |
=2√5 1 2 =2√5 1 2
[(2k+1)x -1][(2k+1)x -1] (2k+1) 2x x -(2k+1)(x +x )+1
1 2 1 2 1 2
√ 9 √ ( 3 ) 2
√16k2+1 +1 4k× +1×1
3√5 √16k2+1 6√5 16 6√5 4 6√5，
= ⋅ = ⋅ ≥ × =
2 |3k+1| 5 |3k+1| 5 |3k+1| 5
3 6√5
当且仅当k= 时取等号，故|CD|的最小值为 .
16 5
【点睛】
本题主要考查最值的计算，第一问利用椭圆的参数方程以及二次函数的性质较好解决，第
二问思路简单，运算量较大，求最值的过程中还使用到柯西不等式求最值，对学生的综合
能力要求较高，属于较难题．1．(2022·全国·模拟预测)设M是椭圆C： 的上顶点，P是C上的一个动
点，当P运动到下顶点时， 取得最大值，则C的离心率的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
设 ，由 ，求出 消元可得，
，再根据 以及二次函数的性质可知，
，即可解出．
【详解】
设 ， ，因为 ， ，
所以 ， ，
由题意知当 时， 取得最大值，所以 ，可得 ，即 ．
故选：C．
2．(2022·福建·三明一中模拟预测)已知圆 ，圆 ，若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，使得 ，则实数
的取值范围是( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意求出 的距离，得到 P 的轨迹，再由圆与圆的位置关系求得答案．
【详解】
由题可知圆O 的半径为 ，圆M上存在点P，过点P作圆 O 的两条切线，
切点分别为A，B，使得 ，则 ，
在 中， ，
所以点 在圆 上，
由于点 P 也在圆 M 上，故两圆有公共点.
又圆 M 的半径等于1，圆心坐标 ，
，
∴ ，
∴ .
故选：D.
3．(2022·全国·模拟预测(文))已知双曲线 ( ， )一个虚轴的顶点为 ，
右焦点为 ，分别以 ， 为圆心作圆与双曲线的一条斜率为正值的渐近线相切于 ，
两点，若 ，则该渐近线的斜率为( )A． B．1 C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据渐近线倾斜角的正切值表达出 ，再化简得到 求解即
可
【详解】
由题意，如图，设 ，则因为该渐近线的斜率为 ，故 ，
， ，又因为圆与渐近线相切，故 ，
，故 ， ,所以 ，
即 ，所以 ，即 ，故 ，
即 ，故该渐近线的斜率为
故选：A
4．(2022·河南·开封市东信学校模拟预测(理))已知 分别为双曲线 的左焦点和右焦点，过 的直线l与双曲线的右支交于A，B两点， 的内切圆半径为 ，
的内切圆半径为 ，若 ，且直线l的倾斜角为 ，则 的值为( )
A．2 B．3 C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据内切圆的性质及双曲线的定义求出两内切圆圆心的横坐标，由正切函数求解即可.
【详解】
记 的内切圆圆心为C，边 上的切点分别为M，N，E，
则C，E横坐标相等，则 ，
由 ，即 ，得 ，即
，记C的横坐标为 ，则 ，
于是 ，得 ，同理 的内心D的横坐标也为a，则有 轴，由直线的倾斜角为 ，则 ， ，
在 中， ，可得 ，
在 中， ，可得 ，
可得 ．
故选：B
5．(2022·贵州·贵阳一中模拟预测(文))已知双曲线 的左､右焦点分别为 过左
焦点 作斜率为2的直线与双曲线交于A，B两点，P是AB的中点，O为坐标原点，若直
线OP的斜率为 ，则b的值是( )
A．2 B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用点差法设 、 ，作差即可得到 ，再根据斜率公式，
从而得到 ，即可得解；
【详解】
解：设 、 ，则 ， ，两式相减可得 ，
为线段 的中点， ， ，
，又 ， ，
，即 ， ，
故选：D.
6．(2022·全国·模拟预测(理))已知双曲线 的左、有焦点分别为 ，
，实轴长为4，离心率 ，点Q为双曲线右支上的一点，点 ．当 取
最小值时， 的值为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意求得a,b,c,即可得双曲线的方程，结合双曲线的定义确定当 取最小值时Q
点的位置，利用方程组求得Q点坐标，再利用两点间的距离公式求得答案.
【详解】
由题意可得 ，又 ，故 ，
所以 ，则双曲线方程为 ，结合双曲线定义可得 ，
如图示，连接 ,交双曲线右支于点M，即当 三点共线，
即Q在M位置时， 取最小值，
此时直线 方程为 ，联立 ，
解得点Q的坐标为 ,( Q为双曲线右支上的一点)，
故 ，
故选：B
7．(2022·上海市七宝中学模拟预测)若双曲线 和双曲线
的焦点相同，且 给出下列四个结论：
① ；
② ；
③双曲线 与双曲线 一定没有公共点；④ ；
其中所有正确的结论序号是( )
A．①② B．①③ C．②③ D．①④
【答案】B
【解析】
【分析】
对于①，根据双曲线的焦点相同，可知焦距相同，可判断 ；对于②，举反
例可说明 ；对于③，根据 可推得 ，继而推得 ，可判断双曲
线 与双曲线 一定没有公共点；对于④，举反例可判断.
【详解】
对于①：∵两双曲线的焦点相同，∴焦距相同，
∴ ，即 ，故①正确；
对于②：若 ， ， ， ，则 ，故②错误；
对于③：∵ ，∴ ，∴ ，即 ，
即 ，双曲线 与双曲线 一定没有公共点，故③正确；
对于④：∵ ，∴ ，
∵ 且 ，∴ ，
若 ， ， ， ，则 ，故④错误.
故选：B8．(2022·陕西·宝鸡中学模拟预测(理))已知双曲线 的左､右焦点分别
为 ， 为双曲线右支上的一点，若 在以 为直径的圆上，且 ，
则该双曲线离心率的取值范围为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由 可得 、 ，由双曲线定义可构造方程
得到 ；由正弦型函数值域的求法可求得离心率的取值范围.
【详解】
在以 为直径的圆上， ，
， ， ， ，
由双曲线定义知： ，即 ，
；
， ， ，
则 ， ，
即双曲线离心率的取值范围为 .故选：D.
9．(2022·河南·通许县第一高级中学模拟预测(文))已知双曲线 的
左、右焦点分别为 ，过点 的直线 与 的左、右两支分别交于点 ，若 是
边长为 的等边三角形，则 的离心率为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由双曲线定义可推导得 ，求得 ；在 中，利用余弦定理可求得
，进而得到 ，由 可求得离心率.
【详解】
， ，
又 ， ，解得： ， ，
在 中，由余弦定理得： ，
解得： ，即 ， ，
双曲线 的离心率 .故选：B.
10．(2022·四川省泸县第二中学模拟预测(文))已知椭圆 的左右焦点
为 ，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得 为等腰三角形，则椭圆C的离心
率的取值范围是( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由题可知六个 点，有两个是短轴端点，因此在四个象限各一个，设 是第一象限内
的点，分 或 ，列方程组求得 点横坐标 ，由 可得离心率
范围；或结合椭圆的性质列出不等关系即得．
【详解】
法一：显然， 是短轴端点时， ，满足 为等腰三角形，因此由对称性，
还有四个点在四个象限内各有一个，
设 是第一象限内使得 为等腰三角形的点，
若 ，则 ，又 ，
消去 整理得： ，
解得 (舍去)或 ，由 得 ，
所以 ，即 ，
若 ，则 ，又 ，
消去 整理得： ，
解得 或 ， 舍去．
所以 ，
所以 ，即 ，
时， ， 是等边三角形， 只能是短轴端点，只有2个，不合题意．
综上， 的范围是 ．
法二：①当点 与短轴的顶点重合时， 构成以 为底边的等腰三角形，此种情况
有2个满足条件的 ；
②当 构成以 为一腰的等腰三角形时，根据椭圆的对称性，只要在第一象限内的
椭圆上恰好有一点 满足 为等腰三角形即可，则 或
当 时，则 ，即 ，则 ，
当 时，则有 ，则 ，综上所述，椭圆的离心率取值范围是 .
故选：A.
11．(2022·内蒙古·海拉尔第二中学模拟预测(文))已知椭圆 的两个焦
点分别为 和 ，椭圆 上一点到 和 的距离之和为 ，且椭圆 的离心率为 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)过左焦点 的直线 交椭圆于 、 两点，线段 的中垂线交 轴于点 (不与 重合)，
是否存在实数 ，使 恒成立？若存在，求出 的值；若不存在，请说出理由.
【答案】(1)
(2)存在，
【解析】
【分析】
(1)由椭圆的定义可求得 的值，根据椭圆的离心率求得 的值，再求出 的值，即可得出
椭圆 的方程；
(2)分析可知，直线 不与 轴垂直，分两种情况讨论，一是直线 与 轴重合，二是直线
的斜率存在且不为零，设出直线 的方程，与椭圆方程联立，求出 、 ，即可求得
的值.
(1)
解：由椭圆的定义可得 ，则 ，因为 ， ，则 ，因此，椭圆 的方程为 .
(2)
解：若直线 与 轴垂直，此时，线段 的垂直平分线为 轴，不合乎题意；
若直线 与 轴重合，此时，线段 的垂直平分线为 轴，则点 与坐标原点重合，
此时， ；
若直线 的斜率存在且不为零时，设直线 的方程为 ，设点 、
，
联立 可得 ，
，
由韦达定理可得 ， ，
则 ，
所以，线段 的中点为 ，
所以，线段 的垂直平分线所在直线的方程为 ，
在直线方程 中，令 可得 ，
故点 ，所以， ，由弦长公式可得 ，
因此， .
综上所述，存在 ，使得 恒成立.
【点睛】
方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：
(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
12．(2022·黑龙江·鸡西市第四中学三模(理))已知抛物线C： ，圆O：
.
(1)若抛物线C的焦点F在圆O上，且A为C和圆O的一个交点，求 ；
(2)若直线l与抛物线C和圆O分别相切于点M，N，求 的最小值及相应p的值.
【答案】(1)
(2)最小值为 ，
【解析】
【分析】
(1)由 得出抛物线方程，并与圆方程联立，求出 ，最后由抛物线定义得出 ；
(2)由导数的几何意义得出切线l的方程，由点 到切线 的距离等于 结合勾股定理得出
，再由基本不等式得出 的最小值及相应p的值.
(1)由题意，得 ，从而C： .
解方程组 ，整理得， ，解得
所以 .
(2)
设 ，由 得 ，故切线l的方程为 ，
注意到 ，故整理得
由 且 ，即点 到切线 的距离等于 得
所以 ，
整理，得 且 ，
所以
，
当且仅当 时等号成立.
所以 的最小值为 ，此时 .
13．(2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测(文))生活中，椭圆有很多光学性质，如从椭圆的
一个焦点出发的光线射到椭圆镜面后反射，反射光线经过另一个焦点.现椭圆C的焦点在y
轴上，中心在坐标原点，从下焦点 射出的光线经过椭圆镜面反射到上焦点 ，这束光线的总长度为4，且反射点与焦点构成的三角形面积最大值为 ，已知椭圆的离心率e .
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若从椭圆C中心O出发的两束光线OM、ON，分别穿过椭圆上的A、B点后射到直线
上的M、N两点，若AB连线过椭圆的上焦点 ，试问，直线BM与直线AN能交于一
定点吗？若能，求出此定点：若不能，请说明理由.
【答案】(1)
(2)能，定点为(0， )
【解析】
【分析】
(1)由条件列方程求 可得椭圆方程；
(2)联立方程组，利用设而不求法结论完成证明.
(1)
由已知可设椭圆方程为 ，
则 ， ，
又
所以 ，
故椭圆C的标准方程为
(2)设AB方程为 ，由 ，得 ，
设 ，则 ..
由对称性知，若定点存在，则直线BM与直线AN交于y轴上的定点，
由 得 ，则直线BM方程为 ，
令 ，则
又 ，
则 ，
所以，直线BM过定点(0， )，同理直线AN也过定点 .
则点(0， )即为所求点.
【点睛】
解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、
弦长、斜率、三角形的面积等问题．14．(2022·山西·太原五中二模(文))已知椭圆 ，过原点的两条直线 和 分别与椭
圆交于 和 ，记得到的平行四边形 的面积为 ．
(1)设 ，用 的坐标表示点 到直线 的距离，并证明 ；
(2)请从①②两个问题中任选一个作答
①设 与 的斜率之积 ，求面积 的值．
②设 与 的斜率之积为 ．求 的值，使得无论 与 如何变动，面积 保持不变．
【答案】(1)距离为 ，证明见解析；
(2)见解析
【解析】
【分析】
(1)讨论 和 ，分别写出直线 的方程，由距离公式即可求得点 到直线 的距离，
由面积公式即可证明 ；
(2)若选①，设出直线 和 的方程，联立椭圆求出 的坐标，结合(1)中面积公式求解即
可；若选②，设出直线 和 的方程，联立椭圆求出 的坐标，结合(1)中面积公式得到
的表达式，平方整理，由含 的项系数为0即可求解.
(1)
当 时，直线 的方程为： ，则点 到直线 的距离为；
当 时，直线 的方程为： ，则点 到直线 的距离为 ，也满足
，
则点 到直线 的距离为 ；因为 ，
则 ；
(2)
若选①，设 ，设 ，直线 与椭圆联立
可得 ，
同理直线 与椭圆联立可得 ，不妨令 ，则
，
，
则 ；若选②，设 ，设 ，直线 与椭圆联立 可
得 ，则 ，
同理可得 ，则
，两边平方整理得
，
由面积 与 无关，可得 ，解得 ，故 时，无论 与
如何变动，面积 保持不变．
15．(2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测(理))已知椭圆C： 的
离心率为 ，且经过 ，经过定点 斜率不为0的直线l交C于E，F两点，
A，B分别为椭圆C的左，右两顶点.(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线AE与BF的斜率分别为 ， ，求 的值；
(3)设直线AE与BF的交点为P，求P点的轨迹方程.
【答案】(1)
(2)
(3)P点的轨迹方程为
【解析】
【分析】
(1)根据题意可得 求解即可；(2)根据方程先求 ，再结合韦达定理求
；(3)联立直线方程结合 求点P的横坐标．
(1)
根据题意可得 ，解得
∴求椭圆C的方程为
(2)
根据题意可得 ，设直线l： ，直线BE的斜率为 ，则
∵ ，整理得 ，则
联立方程 ，消去 得
∴
∴
(3)
根据题意可得直线AE： ，BF：
联立方程 ，解得
∴P点的轨迹方程为
