专题4.1成比例线段+4.2平行线分线段成比例+4.3相似多边形（解析版）_北师大初中数学_9上-北师大版初中数学_06专项讲练

专题4.1 成比例线段+4.2 平行线分线段成比例+4.3 相似多边形 【学习目标】 1、理解线段的比及成比例线段的区别与联系； 2、掌握比例的基本性质及应用（黄金分割）； 3、掌握平行线分线段成比例的基本事实及推论，并能熟练运用（长度计算）； 4、了解相似多边形和相似比的概念； 5、会根据条件判断两个多边形是否为相似多边形。 【知识梳理】 1．两条线段的比：在使用同一长度单位的情况下，表示两条线段长度的数值的比，叫做这两 条线段的比. 2．成比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等， 如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 3．比例的基本性质：如果 那么ad=bc. （1）a，b，c，d叫做这个比例的项，a，b叫做比例外项，b，c叫做比例内项. （2）若a:b=b:c，则b2=ac（b称为a,c的比例中项） 4．比例的性质：（1）合分比性质：如果 那么 ； （b+d+……+n≠0），那么 （2）等比性质：如果 5.平行线分线段成比例，一般地，有如下基本事实： 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例. 上 上 上 上 左上 左全 = , = , = 下 下 全 全 右上 右全 (1).对应线段成比例可用下面的语言形象表示： 等等. （2）有推论可以得出以下结论： 平行线分线段成比例及其推论的应用主要是来求线段的长度. 6.相似多边形：各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形.它的符号是“∽”，读作“相似于”. 相似比：相似多边形的对应边的比叫做相似比. （1）相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；（2）“全等”是“相似”的 注意： 一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形是全等.（3）相似多边形的定义 既是判定方法，又是它的性质． 7.黄金分割定义：一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC两段,如果 ,那么 线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比. 51 ≈0.618AB (0.618是黄金分割的近似值， 是黄金分割的准确值). 2 注意:一条线段的黄金分割点有两个. 【高频考点精讲】 【高频考点1】比例的性质 例1.（2022·成都市·九年级期中）如果 (其中 ， )，那么下列式子中不正确的是 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 设 ，则可以变形为 ．分别代入各个选项检验即可得到结论． 【详解】 解：设 ，则可以变形为 ． A、 ， ，该选项正确，故不符合题意； B、 ， ，该选项正确，故不符合题意； C、 ， ，该选项正确，故不符合题意； D、 ， ，该选项错误，故符合题意．故选：D． 【点睛】已知几个量的比值时，常用的解法是：设一个未知数，把题目中的几个量用所设的未知 数表2b 3 a 变式1.（2022·炎陵县·九年级期末）已知 = ，则 = ． 3a−b 4 b 2b 3 3a−b 4 【解题思路】根据 = ，可得 = ，再根据比例的性质即可求解． 3a−b 4 2b 3 2b 3 【解答过程】解：∵ = ， 3a−b 4 3a−b 4 ∴ = ， 2b 3 3a 1 4 ∴ − = ， 2b 2 3 a 11 ∴ = ． b 9 11 故答案为： ． 9 a c e 2 a+c+e 变式2.（2022•梁溪区期末）若 = = = （b+d+f≠0），则 = ． b d f 3 b+d+f 【解题思路】根据已知，用b表示a、c表示d、f表示e，代入分式计算即可． a c e 2 【解答过程】解：∵ = = = ， b d f 3 2 2 2 ∴a= b，c= d，e= f． 3 3 3 2 2 2 b+ d+ f ∴a+c+e 3 3 3 = b+d+f b+d+f 2 (b+d+f ) 3 = b+d+f 2 = ． 3 2 故答案为： ． 3 【高频考点2】成比例线段 例2.（2022·重庆第二外国语学校九年级月考）线段 、 、 、 是成比例线段， 、 、 ，则 的长为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A a c 【分析】由 、 、 、 四条线段是成比例线段，根据成比例线段的定义，可得  ，又由 a b c d b da4，b2，c2，即可求得d的值． a c 4 2 【详解】解：∵ 、 、 、 是成比例线段，∴  ，即  ，∴ ．故选：A． a b c d b d 2 d d 1 【点睛】此题考查了成比例线段的定义．此题比较简单，解题的关键是注意掌握比例线段的定义 变式1．（2022·辽宁·沈阳市九年级月考）下列四组长度的线段中，是成比例线段的是（ ） A．4cm，5cm，6cm，7cm B．3cm，4cm，5cm，8cm C．5cm，15cm，3cm，9cm D．8cm，4cm，1cm，3cm 【答案】C 【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．对选项 一一分析，排除错误答案． 【详解】解：A、5647，故选项错误，不符合题意；B、4538，故选项错误，不符合 题意； C、153=59，故选项正确，符合题意；D、4183，故选项错误，不符合题意．故选： C． 【点睛】本题考查了比例线段，解题的关键是根据成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小 的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等，同时注意单位要统一． 变式2．（2022·江苏亭湖区·景山中学九年级）已知线段a，b，c，其中c是a和b的比例中项， a＝4，b＝9，则c=（ ） A．4 B．6 C．9 D．36 【答案】B 【分析】根据比例中项的概念，当两个比例内项相同时，就叫比例中项，再列出比例式即可得出 c． 【详解】解：根据比例中项的概念，得c2 ab36，c6， 又线段不能是负数，6应舍去，取c6，故选：B． 【点睛】考查了比例中项的概念：解题的关键是当两个比例内项相同时，就叫比例中项．这里注 意线段不能是负数． 变式3．（2022·上海市金山初级中学九年级月考）钓鱼岛列岛是我国最早发现、命名，并行使 主权的，在一幅比例尺是1：100000的地图上，测得钓鱼岛的东西走向长为3.5厘米，那么它的 东西走向实际长大约为 ___千米． 【答案】3.5 【分析】根据图上距离与比例尺，求实际距离，即图上距离除以比例尺． 【详解】解：根据题意，3.5(1:100000)350000厘米3.5千米． 即它的东西走向实际长大约为3.5千米．故答案为：3.5． 【点睛】考查了比例线段，掌握比例线段的定义及比例尺，并能够灵活运用． 【高频考点3】黄金分割 例3.（2022·广东·佛山市华英学校九年级月考）如图，若芭蕾舞者抬起的脚尖点C分线段AB近似于黄金分割（AC＜BC）．已知AB＝160cm，BC的长为 ___cm．（结果保留根号）   【答案】80 5-1 51 【分析】利用黄金分割的定义得到BC  AB，再把AB＝160cm代入计算即可． 2 【详解】点C为线段AB的黄金分割点（AC0,根据比例中项原则：c2＝ab， ∴c2＝4×9，∴c＝6故答案：6． 【点睛】本题考查成比例线段、比例中项等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 12．（2022·陕西·西安九年级月考）若a、b、c满足a:b:c2:3:4，且4a3bc6，则 2a5b3c的值为_________． 【答案】2 【分析】由a:b:c2:3:4可设设a2kk 0, 则b3k,c4k,再代入4a3bc6求解k的值， 可得a,b,c的值，从而可得答案. 【详解】解： a:b:c2:3:4 设a2kk 0, 则b3k,c4k,  4a3bc68k9k4k 6, 解得：k 2, a4,b6,c8,   2a5b3c830242.故答案为：2. 【点睛】本题考查的是比例的基本性质，掌握设参数的方法解决比例问题是解题的关键. 13.（2022·陕西·交大附中分校九年级期中）已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP＜PB，若 AB＝2，则BP＝_______________（结果保留根号）． 【答案】 5﹣1 51 【分析】根据黄金分割点的定义，知BP是较长线段；则BP= AB，代入数据即可得出BP 2 的长． 【详解】由于P为线段AB=2的黄金分割点，且AP＜PB，BP是较长线段； 51 则BP= AB= .故答案为 . 2 51 51 【点睛】本题主要考查黄金分割公式知识点，熟悉掌握是关键. 14．（2022·厦门市第九中学九年级）如图，在菱形ABCD中，E是AC的中点，EF//CB，交 AB于点F，如果EF 1，那么菱形ABCD的周长为__________【答案】8． 【分析】由三角形中位线定理可求BC长为EF长的2倍，那么菱形ABCD的周长=4BC问题得解． AE AF 【详解】解：∵E是AC中点，且EF//BC，交AB于点F，∴  1， CE BF 1 ∴AF=BF，且AE=CE，∴点F是AB的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF  BC， 2 ∵EF 1，∴BC=2，∴菱形ABCD的周长=2×4=8．故答案为：8． 【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例，三角形中位线的性质及菱形的周长公式，题目比较 简单． 15．（2022·佛山市华英学校）如图，一个矩形广场的长为90m，宽为60m，广场内有两横，两 纵四条小路，且小路内外边缘所围成的两个矩形相似，如果两条横向小路的宽均为1.2m，那么 每条纵向小路的宽为__m． 【答案】1.8 【分析】根据两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形列出比 例式解答即可． 【详解】解：设每条纵向小路的宽为xm，则小路内缘所围成的矩形的长为（90-2x）m，宽为 （60-2.4）m， 902x 602.4 ∵小路内外边缘所围成的两个矩形相似，∴  ，解得，x＝1.8，故答案为：1.8 90 60 【点睛】题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的性质为：对应角相等；对应边的比相 等是解题的关键． 16．（2022·北京·九年级月考）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，若四边 形EFGH与四边形ABCD相似，则四边形EFGH的面积是 ___．81 【答案】 8 【分析】利用相似多边形的性质求解即可． 9 【详解】解：∵S ＝2×4−1 ×1×2−1 ×1×2−1×1−1 ×1×1＝ ． 四边形ABCD 2 2 2 2 FG 2 6 2 9 又∵四边形EFGH与四边形ABCD相似，∴ ： ＝  ＝  ＝ ， S 四边形EFGH S 四边形ABCD BC 4 4 9 9 81 81 ∴S ＝ × ＝ ．故答案为： ． 四边形EFGH 2 4 8 8 【点睛】本题考查相似多边形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用 所学知识，解决问题． 【点睛】本题主要考查了相似多边形的对应边的比相等，注意分清对应边是解决本题的关键． 51 17．（2021·四川德阳市·中考真题）我们把宽与长的比是 的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形 2 给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金 矩形的设计．已知四边形ABCD是黄金矩形，边AB的长度为 51，则该矩形的周长为 __________________． 【答案】2 52或4 【分析】分两种情况：①边AB为矩形的长时，则矩形的宽为3 5，求出矩形的周长即可； ②边AB为矩形的宽时，则矩形的长为2，求出矩形的周长即可． 51 【详解】解：分两种情况：①边 为矩形的长时，则矩形的宽为 ( 51)3 5， AB 2 矩形的周长为：2( 513 5)4； 51 ②边 为矩形的宽时，则矩形的长为：( 51) 2， 矩形的周长为 ； AB 2  2( 512)2 52 综上所述，该矩形的周长为2 52或4，故答案为：2 52或4． 【点睛】本题考查了黄金分割，熟记黄金分割的比值是解题的关键． 18．（2022·台州市初三月考）如图，在6×6的菱形网格中，连结两网格线上的点A，B，线段 AB与网格线的交点为M，N，则AM：MN：NB=【答案】1：3：2 【分析】根据平行线分线段成比例定理得出即可． 【解析】解：如图，∵AE∥MF∥NG∥BH， ∴AM：MN：BN=EF：FG：GH=1：3：2． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据定理得出正确的比例式是解此题的关键． 三．解答题 19．（2022·广东顺德·九年级月考）如图，a//b//c，直线m，n交于点O，且分别与直线a，b， c交于点A，B，C和点D，E，F ，已知OA1，OB2，BC 4，EF 5，求DE的长度． 15 【答案】 4 【分析】由平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出结果． OE OB 2 1 【详解】解：∵b∥c， ， ，∴    ． OB2 BC 4 EF BC 4 2 1 5 OD OA 1 1 ∵ ，∴OE EF  ．∵a∥c， ∴    ． EF 5 2 2 OA1 OF OC 24 6 1 1 5 5 5 5 15 ∴OD OF  ( 5) ．∴DEODOE   ． 6 6 2 4 4 2 4 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟记平行线分线段成比例定理是解决问题的关键． 20．（2022·江苏初三课时练习）已知：平行四边形 ， 是 延长线上一点， 与、 交于 、 ．求证： ． 【答案】详见解析 【分析】由平行四边形对边互相平行，可得平行线分线段成比例，得出比例式进行等比代换即可 得证. 【解析】解：∵四边形 是平行四边形，∴ ， ． ∴ ， ∴ ，即 ． 【点睛】本题考查证明线段乘积关系，由平行线分线段成比例得到比例式是解决本题的关键. 21．（2022·浙江·九年级单元测试）如图，在 ABC中，DF//AC，DE//BC.  BF CE 1求证： FC  EA ；2若 AE4 ， EC 2 ， BC 10 ，求 BF 和 CF 长． 10 20 【答案】（1）见解析 （2）BF  ，CF  ． ； 3 3 【分析】（1）利用平行线性质得到对应边成比例，再通过等量代换即可； BF CE （2）设 ，则 ，根据（1）中  ，等到等式，即可求解． BF x CF 10x FC EA BF BD 【详解】解：（1） ，  . DF//AC FC DA  CE BD BF CE ，  ，  ． DE//BC EA DA FC EA  BF CE x 2 10 （2）设 ，则 ．由（1）得：  ，  ，x ， BF x CF 10x FC EA 10x 4 3 10 10 20 BF  ，CF 10  ． 3 3 3【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键掌握平行线截得的对应线段成比例， 再通过等量代换进行求解． 22．（2022·广东九年级课时练习）如图，矩形草坪的长为a米，宽为b米（ab），沿草坪四 周外围有宽为x米的环形小路． （1）草坪的长与宽的比值m________，外围矩形的长与宽的比值n________；（用含有a、 b、x的代数式表示）（2）请比较m与n的大小；（3）图中的两个矩形相似吗？为什么？ a a2x 【答案】（1）m ， n ；（2） ；（3）图中的两个矩形不相似，见解析 b b2x mn a 【分析】（1）根据m 即可求解出m的值，然后分别求出外围矩形的长为a+2x，宽为b+2x b 由此求解即可； （2）利用作差法进行求解即可得到答案；（3）假设两个矩形相似那么m=n与事实矛盾，由此 即可得到答案． 【详解】解：（1）∵矩形草坪的长为a米，宽为b米(ab)， a a2x ∴草坪的长与宽的比值m ，外围矩形的长与宽的比值n ； b b2x a a2x a(b2x)b(a2x) 2x(ab) 2x(ab) （2）mn    ，∵ ，∴mn 0 b b2x b(b2x) b(b2x) ab0 b(b2x) ，∴mn； （3）若图中的两个矩形相似，则mn，∵mn，∴图中的两个矩形不相似． 【点睛】本题主要考查了假设法，分式的混合运算，相似图形的性质，解题的关键在于能够熟练 掌握相关知识进行求解． AC CB 23．（2021·广东黄埔区·九年级）如图1所示，点C把线段 分成 与 ，若  ， AB AC CB AB AC 则称线段AB被点C黄金分割（goldensection），点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的 比叫做黄金比． （1）根据上述定义求黄金比； （2）在图2中，利用尺规按以下步骤作图，井保留作图痕迹．①作线段AB的垂直平分线，得 线段AB的中点M；②过点B作AB垂线l；③以点B为圆心，以BM 为半径作圆交l于N；④连 接AN、BN ，以N为圆心，以NB为半径作圆交AN于P；⑤以点A为圆心，以AP为半径作圆 交AB于C． （3）证明你按以上步骤作出的C点就是线段AB的黄金分割点．【答案】（1）0.618；（2）见解析；（3）见解析 【分析】（1）设AB=a，AC=x，根据黄金分割的概念列出比例式，得到一元二次方程，解方程 得到答案． （2）根据要求作出图形即可．（3）设AB=a，根据题意表示出BN、NP，根据勾股定理求出 AN，求出AC与AB的比值，根据黄金比值进行判断即可． 【详解】解：（1）如图，设AB=a，AC x，CBax． AC CB 由 AB  AC ，得 AC2  ABCB ．∴x2 aax，即 x2axa2 0 ， 1 5 1 5 解这个方程，得x  a，x  a（不合题意，舍去）． 1 2 2 2 AC x 51 所以，黄金比   0.618． AB a 2 （2）（1）如图所示．①作线段AB的垂直平分线，得线段AB的中点M； ②过点B作AB垂线l； 方法2：如图所示，用圆规过点B作AB垂线l．③以点B为圆心，以BM 为半径作圆交l于N； ④连接AN、BN ，以N为圆心，以NB为半径作圆交AN于P； ⑤以点A为圆心，以AP为半径作圆交AB于C．a （2）证明：设 ，由以上作法可知NBNP ， ， AB=a 2 AC AP 在 中，AN  AB2NB2  a2   a  2  5 a，∴AC  AP ANNP 51 a． Rt△ABN 2 2 2 AC 51 ∴  ，所以点C是线段 的黄金分割点． AB 2 AB 【点睛】本题考查作图-复杂作图，黄金分割等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知 识解决问题． 24．（2021·河北高阳县·九年级）（1）观察下列式子： 2 21 2 22 2 23 2 24  ，  ，  ，  … 3 31 3 32 3 33 3 34 2 发现：对于真分数 ，当分子、分母同时加上同一个大于0的数时，所得分数的值 3 _____________；（选填“变大”“变小”或“不变”） b bc （2）类比猜想：由（1）猜想分式 和 （其中， ， ）的大小关系，并说明理 a ac ab0 c0 由； （3）解决问题：某公司建居民住宅时，要求窗户与卧室地面面积的比值达到15%左右，显示这 个比值越大采光条件越好，如果同时减少相等的窗户面积和地面面积，那么采光条件 ___________； A．变差了 B．变好了 C．没有改变 （4）联想拓展：如图所示，一个长为acm宽为bcm的矩形（ab），四周都增加1cm，所得大 矩形与原来的矩形相似吗？____________（直接填“是”或“否”）b bc 【答案】（1）变大；（2）  ；（3）A；（4）否 a ac b bc 【分析】（1）根据已知的不等式观察规律即可；（2）利用作差法比较 与 的大小，即可 a ac 解答； x x-m x （3）设 =15%，同时减少相等的窗户面积和地面面积为m，作差法比较 、 的大小解答； y y-m y （4）根据（1）、（2）、（3）得到的结论分析解答即可； 2 21 2 22 2 23 2 24 【详解】解：（1）∵  ，  ，  ，  … 3 31 3 32 3 33 3 34 2 ∴对于真分数 ，当分子、分母同时加上同一个大于0的数时，所得分数的值变大，故填：变大； 3 b bc bac-abc cb-a b bc （2）由（1）得： ＜ ，理由如下： - = = ， a ac aac aac a ac b bc bac-abc cb-a b bc ∵ ，∴ ，∴ - = = ＜0，∴ ＜ ； ab0 b-a＜0 a ac aac aac a ac （3）根据（2）的结论可知，如果同时减少相等的窗户面积和地面面积，那么采光条件变差了， x x-m x 理由如下：设 =15%，同时减少相等的窗户面积和地面面积为m，则 - = y y-m y yx-m-xy-m mx-y  ＜0， yy-m yy-m x-m x ∴ ＜ ，∴ 采光条件变差，故选A ； y-m y a a1 （4）由（2）知：  ，所得大矩形与原来的矩形不相似，故填：否． b b1 【点睛】本题考查分式的基本性质、相似图形的判定，读懂材料，掌握基本运算法则是关键．