专题4.1成比例线段+4.2平行线分线段成比例+4.3相似多边形（解析版）_北师大初中数学_9上-北师大版初中数学_06专项讲练

专题4.1 成比例线段+4.2 平行线分线段成比例+4.3 相似多边形
【学习目标】
1、理解线段的比及成比例线段的区别与联系；
2、掌握比例的基本性质及应用（黄金分割）；
3、掌握平行线分线段成比例的基本事实及推论，并能熟练运用（长度计算）；
4、了解相似多边形和相似比的概念；
5、会根据条件判断两个多边形是否为相似多边形。
【知识梳理】
1．两条线段的比：在使用同一长度单位的情况下，表示两条线段长度的数值的比，叫做这两
条线段的比.
2．成比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，
如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．
3．比例的基本性质：如果 那么ad=bc.
（1）a，b，c，d叫做这个比例的项，a，b叫做比例外项，b，c叫做比例内项.
（2）若a:b=b:c，则b2=ac（b称为a,c的比例中项）
4．比例的性质：（1）合分比性质：如果 那么 ；
（b+d+……+n≠0），那么
（2）等比性质：如果
5.平行线分线段成比例，一般地，有如下基本事实：
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.
推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例.
上 上 上 上 左上 左全
= , = , =
下 下 全 全 右上 右全
(1).对应线段成比例可用下面的语言形象表示： 等等.
（2）有推论可以得出以下结论：
平行线分线段成比例及其推论的应用主要是来求线段的长度.
6.相似多边形：各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形.它的符号是“∽”，读作“相似于”.
相似比：相似多边形的对应边的比叫做相似比.
（1）相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；（2）“全等”是“相似”的
注意：
一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形是全等.（3）相似多边形的定义
既是判定方法，又是它的性质．
7.黄金分割定义：一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC两段,如果 ,那么
线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比.
51
≈0.618AB (0.618是黄金分割的近似值， 是黄金分割的准确值).
2
注意:一条线段的黄金分割点有两个.
【高频考点精讲】
【高频考点1】比例的性质
例1.（2022·成都市·九年级期中）如果 (其中 ， )，那么下列式子中不正确的是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
设 ，则可以变形为 ．分别代入各个选项检验即可得到结论．
【详解】
解：设 ，则可以变形为 ．
A、 ， ，该选项正确，故不符合题意；
B、 ， ，该选项正确，故不符合题意；
C、 ， ，该选项正确，故不符合题意；
D、 ， ，该选项错误，故符合题意．故选：D．
【点睛】已知几个量的比值时，常用的解法是：设一个未知数，把题目中的几个量用所设的未知
数表2b 3 a
变式1.（2022·炎陵县·九年级期末）已知 = ，则 = ．
3a−b 4 b
2b 3 3a−b 4
【解题思路】根据 = ，可得 = ，再根据比例的性质即可求解．
3a−b 4 2b 3
2b 3
【解答过程】解：∵ = ，
3a−b 4
3a−b 4
∴ = ，
2b 3
3a 1 4
∴ − = ，
2b 2 3
a 11
∴ = ．
b 9
11
故答案为： ．
9
a c e 2 a+c+e
变式2.（2022•梁溪区期末）若 = = = （b+d+f≠0），则 = ．
b d f 3 b+d+f
【解题思路】根据已知，用b表示a、c表示d、f表示e，代入分式计算即可．
a c e 2
【解答过程】解：∵ = = = ，
b d f 3
2 2 2
∴a= b，c= d，e= f．
3 3 3
2 2 2
b+ d+ f
∴a+c+e 3 3 3
=
b+d+f b+d+f
2
(b+d+f )
3
=
b+d+f
2
= ．
3
2
故答案为： ．
3
【高频考点2】成比例线段
例2.（2022·重庆第二外国语学校九年级月考）线段 、 、 、 是成比例线段， 、 、
，则 的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
a c
【分析】由 、 、 、 四条线段是成比例线段，根据成比例线段的定义，可得  ，又由
a b c d b da4，b2，c2，即可求得d的值．
a c 4 2
【详解】解：∵ 、 、 、 是成比例线段，∴  ，即  ，∴ ．故选：A．
a b c d b d 2 d d 1
【点睛】此题考查了成比例线段的定义．此题比较简单，解题的关键是注意掌握比例线段的定义
变式1．（2022·辽宁·沈阳市九年级月考）下列四组长度的线段中，是成比例线段的是（ ）
A．4cm，5cm，6cm，7cm B．3cm，4cm，5cm，8cm
C．5cm，15cm，3cm，9cm D．8cm，4cm，1cm，3cm
【答案】C
【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．对选项
一一分析，排除错误答案．
【详解】解：A、5647，故选项错误，不符合题意；B、4538，故选项错误，不符合
题意；
C、153=59，故选项正确，符合题意；D、4183，故选项错误，不符合题意．故选：
C．
【点睛】本题考查了比例线段，解题的关键是根据成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小
的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等，同时注意单位要统一．
变式2．（2022·江苏亭湖区·景山中学九年级）已知线段a，b，c，其中c是a和b的比例中项，
a＝4，b＝9，则c=（ ）
A．4 B．6 C．9 D．36
【答案】B
【分析】根据比例中项的概念，当两个比例内项相同时，就叫比例中项，再列出比例式即可得出
c．
【详解】解：根据比例中项的概念，得c2 ab36，c6，
又线段不能是负数，6应舍去，取c6，故选：B．
【点睛】考查了比例中项的概念：解题的关键是当两个比例内项相同时，就叫比例中项．这里注
意线段不能是负数．
变式3．（2022·上海市金山初级中学九年级月考）钓鱼岛列岛是我国最早发现、命名，并行使
主权的，在一幅比例尺是1：100000的地图上，测得钓鱼岛的东西走向长为3.5厘米，那么它的
东西走向实际长大约为 ___千米．
【答案】3.5
【分析】根据图上距离与比例尺，求实际距离，即图上距离除以比例尺．
【详解】解：根据题意，3.5(1:100000)350000厘米3.5千米．
即它的东西走向实际长大约为3.5千米．故答案为：3.5．
【点睛】考查了比例线段，掌握比例线段的定义及比例尺，并能够灵活运用．
【高频考点3】黄金分割
例3.（2022·广东·佛山市华英学校九年级月考）如图，若芭蕾舞者抬起的脚尖点C分线段AB近似于黄金分割（AC＜BC）．已知AB＝160cm，BC的长为 ___cm．（结果保留根号）
 
【答案】80 5-1
51
【分析】利用黄金分割的定义得到BC  AB，再把AB＝160cm代入计算即可．
2
【详解】点C为线段AB的黄金分割点（AC<BC），AB=160cm，
BC  51 AB= 51 160=80  5-1  cm，故答案为：80  5-1 ．
 2 2
AC BC 5-1
【点睛】本题考查了黄金分割，属于基础题，记住黄金分割比是   是解题关键．
BC AB 2
变式1．（2022·江苏宜兴·九年级月考）电视节目主持人在主持节目时，站在舞台黄金分割点处
最自然得体，若舞台AB长20m，试计算主持人应走到离A至少多少米处是比较得体的位置?(A
在B左边，主持人在A处) （ ）
A．7.64m B．12.3m C．13.4 m D．6m
【答案】A
【分析】根据黄金分割的定义“将整体分成两部分，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与
较大部分的比值，其比值约为0.618”进行求解即可得．
【详解】解：根据黄金比得：20(10.618)7.64（m），
∵黄金分割点有2个，∴207.6412.36（m），由于7.64<12.36，
故计算机主持人应走到离A至少7.64米处是比较得体的位置，故选A．
【点睛】本题考查了黄金分割，解题的关键是熟记黄金分割的比值．
变式2.（2022·广西八步区·九年级期中）如图所示，已知点C是线段AB的黄金分割点，AC＞
BC，且AB＝2，则AC的长约为（ ）
A．1.543 B．1.236 C．1.123 D．1.618
【答案】B
51
【分析】根据黄金分割点的定义，当AC是较长线段时，AC= AB，代入数据即可得出AC
2的长度．
【详解】解：∵线段AB=2，C是AB的黄金分割点，且AC＞BC时，
51 51
∴AC= AB= ×2= -1≈1.236，故选：B．
2 2 5
【点睛】本题考查了黄金分割的概念，熟记黄金分割的比值是解题的关键．
【高频考点4】由平行判定成比例的线段
例4．（2022·江苏宝应·）如图， 中，点 分别在 上且 ，则下列
结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据平行线分线段成比例定理进行判断即可．
【解析】A. ∵ ，∴ ，正确；B. ∵ ，∴ ，正确；
C. ∵ ，∴ ，正确；D. ∵ ，∴ ，故错误．故选D．
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理的应用，灵活运用定理、找准对应关系是解题的
关键．
变式1．（2022·安徽肥东县·）如图，AB//CD//EF，下列等式成立的是（ ）
A．AC·CE=BD·DF B．AC·AE=BD·BF C．AC·DF=CE·BD． D．CD2=AB·EF
【答案】C
AC BD AC BD
【分析】据平行线分线段成比例定理得到  ，  ，然后根据比例的性质对各选项
CE DF AE BF
进行判断．
AC BD AC BD
【详解】解：∵AB//CD//EF，∴  ，  ，
CE DF AE BF
∴AC•DF=BD•CE；AC•BF=BD•AE．故选：C．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
变式2．（2022·天津·九年级月考）如图，已知AB//CD// EF，那么下列结论中正确的是（
）
CD AD AB BC AD AF CE AF
A．  B．  C．  D． 
EF AF CD EC BC BE BE AD
【答案】C
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，判断即可．
AD BC
【详解】解：∵AB∥CD∥EF，∴  ，A选项错误；
AF BE
BC AD AD BC AD AF CE DF
 ，B选项错误；  ，∴  ，C选项正确；  ，D选项错误．故
EC FD AF BE BC BE BE AF
选：C．
【点睛】本题考查平行线等分线段成比例定理的知识点，运用这一定理时的关键是要抓住结论
“所截得的对应线段成比例．”
【高频考点5】由平行截线求相关线段的长度或比值
例5．（2022·江苏·扬州九年级月考）如图，直线l
1
//l
2
//l
3
，直线AC和DF被l
1
，l
2
，l
3
所截，
如果AB3，BC5，EF 4，那么DE的长是___________.
12
【答案】
5
【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入求出即可．
AB DE
【详解】解：∵直线l∥l∥l，∴  ，
1 2 3 BC EF
12 12
3 DE
∵AB=3，BC=5，EF=4，∴  ，∴DE= ．故答案：
5 4 5 5
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例
式是解此题的关键．
变式1．（2022·陕西·九年级期中）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝3，将△ABC的一角沿着MN折叠，点B'落在AC上，若B'M∥AB，则BM的长度为___．
【答案】2
【分析】先证明四边形BNB'M是菱形，设BM＝x，则B'C＝NB'＝x，AB'＝6﹣x，再由平行线的
NB AB x 6x
性质得，  ，即  ，即可求BM＝2．
BC AC 3 6
【详解】解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵B'M∥AB，∴∠B＝∠B'MC，∴∠C＝∠B'MC，∴B'C
＝B'M，
由折叠可得，BM＝B'M，∠B＝∠NB'M，∴∠B'MC＝∠NB'M，∴NB'∥BC，∴四边形BNB'M是
菱形，
NB AB x 6x
设BM＝x，则B'C＝NB'＝x，∵AB＝AC＝6，BC＝3，∴AB'＝6﹣x，∴  ，即  ，
BC AC 3 6
∴x＝2，∴BM＝2，故答案为：2．
【点睛】本题考查折叠的性质，通过条件证明四边形BNB'M是菱形是解题的关键．
变式2．（2022·浙江龙游县·）如图，直线l //l //l，直线AC分别交l，l，l 于点A，B，C；
1 2 3 1 2 3
DE
直线DF分别交l，l，l 于点D，E，F．且AB＝3，AC＝8，则 的值为（ ）
1 2 3 EF
5 5 3 3
A． B． C． D．
3 8 5 8
【答案】C
【分析】由平行线分线段成比例定理即可求得结果．
DE AB AB 3 3
【详解】∵直线l l l∴     故选：C．
1// 2// 3 EF BC ACAB 83 5
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，注意的是成比例的线段必须是对应的．
【高频考点6】相似图形与相似多边形
例6．（2022·山东市北区·九年级期末）如图，细线平行于正多边形一边，并把它分割成两部分，则阴影部分多边形与原多边形相似的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用相似多边形的判定方法判断即可．
【详解】A、阴影三角形与原三角形的对应角相等、对应边的比相等，符合相似多边形的定义，
符合题意；
B、阴影矩形与原矩形的对应角相等，但对应边的比不相等，不符合相似多边形的定义，不符合
题意；
C、阴影五边形与原五边形的对应角相等，但对应边的比不相等，不符合相似多边形的定义，不
符合题意；
D、阴影六边形与原六边形的对应角相等，但对应边的比不相等，不符合相似多边形的定义，不
符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了相似多边形的定义，解题的关键是了解相似多边形的对应角相等，对应边的
比相等．
变式1．（2022·重庆九年级课时练习）已知矩形ABCD中，AB4,BC 3，下列四个矩形中与
矩形ABCD相似的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用相似多边形对应边的比相等，即可找出结论．
4 2 4
【详解】解：∵   ，∴A选项中的矩形与矩形ABCD相似，该选项正确；
3 1.5 3
4 2
∵  ，∴B选项中的矩形与矩形ABCD不相似，该选项错误；
3 1.2
4 3
∵  ，∴C选项中的矩形与矩形ABCD不相似，该选项错误；
3 2
4 2.5
∵  ，∴D选项中的矩形与矩形ABCD不相似，该选项错误．故选A．
3 1.5
【点睛】本题考查了相似多边形的性质，牢记“相似多边形对应边的比相等”是解题的关键．
变式2．（2022·江苏海陵·初三期中）下列四组图形中，一定相似的是（ ）
A．矩形与矩形 B．正方形与菱形 C．菱形与菱形 D．正方形与正方形
【答案】D【分析】根据对应边成比例，对应角相等的图形是相似图形，对各选项分析判断后利用排除法即
可求解．
【解析】A、任意两个矩形，对应角都是直角，对应角一定相等，但对应边不一定成比例，所以
不一定相似，故本选项错误；
B、正方形与菱形的对应边成比例，但对应角不一定相等，所以不一定相似，故本选项错误；
C、任意两个菱形的对应边成比例，但对应角不一定相等，所以不一定相似，故本选项错误；
D、任意两个正方形的对应边成比例，对应角也相等，所以一定相似，故本选项正确，故选：D
【点睛】本题考查相似图形的定义及矩形、正方形、菱形的性质，解题的关键是掌握相似图形的
判定方法．
【高频考点7】相似多边形的性质
例7．（2022·子长县齐家湾中学九年级期末）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，M为AB上一
点，MN∥BC，交CD于N，AD=2，BC=8，当MN=_____时，MN所分的梯形AMND与梯形
MBCN相似
【答案】4
AD MN
【分析】根据相似图形对应边成比例得  ，即可求出MN的长．
MN BC
【详解】解：若梯形AMND与梯形MBCN相似，
AD MN 2 MN
则  ，即  ，解得 ．故答案是：4．
MN BC MN 8 MN 4
【点睛】本题考查相似图形的性质，解题的关键是掌握相似图形对应边成比例的性质．
变式1．（2022·山东垦利·初二期末）如果一个矩形的宽与长的比等于黄金数 （约为
0.618），就称这个矩形为黄金矩形．如图，矩形ABCD为黄金矩形，宽AD＝ ，则长AB
为_____．
【答案】2【分析】根据黄金矩形的定义，得出宽与长的比例即可得出答案．
【解析】 黄金矩形的宽与长的比等于黄金数
故答案为：2．
【点睛】本题考查新定义题型，给一个新的定义，根据定义来解题，对于这道题是基础题型．
变式2．（2022·江苏如皋·）如图，一块矩形ABCD绸布的长AB=a，宽AD=3，按照图中的方式
将它裁成相同的三面矩形彩旗，如果裁出的每面彩旗与矩形ABCD绸布相似，则a的值等于（
）
A．3 2 B．2 2 C．3 3 D．2 3
【答案】C
【分析】由裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，则可利用相似多边形的性
质构建比例式，求解后即可得出结论．
【详解】解：∵裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，
1
a
∴3 3 ，解得： 或 （不合题意，舍去），∴ ，故选：C．

a 3 a3 3 a3 3 a3 3
【点睛】此题考查了相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应边成比例是解答此题的关键．
【高频考点8】平行线分线段成本比例的综合运用（辅助线）
例8．（2022·江苏南京市·）如图，在△ABC中，点E在BC上，且BE＝3EC．D是AC的中点，
AF
AE、BD交于点F，则 的值为______．
EF4
【答案】
3
【分析】过E点作EH∥AC交BD于点H，根据平行线分线段成比例定理，由EH

CD得到
EH 3 EH 3 AF
 ,由于AD=CD，则  ，然后利用平行线分线段成比例定理得到 的值.
CD 4 AD 4 EF
【详解】过E点作EH∥AC交BD于点H，如图：
EH BE EH 3CE 3
∵ ，∴  ，∵BE＝3EC，∴   ，
EH∥AC CD BC CD 4CE 4
EH EH 3 AF AD 4 4
∵D为AC的中点，∴AD=CD，∴   ，∵ ，∴ =  .故答案为 .
CD AD 4 EH∥AD EF EH 3 3
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.
变式1．（2022·山西九年级）如图，在 ABC中，ACB90,AC 8,BC 6,AD为边BC上的

中线，BE是

ABC的角平分线，AD,BE交于点F．则EF的长为______．
15 5
【答案】
13
【分析】过点E作EG⊥AB，垂足为G，证明△CBE≌△GBE，求得CE，EG，AE的长，过点F作
FO⊥AC，垂足为O，利用平行线分线段成比例定理求解即可．
【详解】∵ACB90,AC 8,BC 6,∴AB= AC2BC2  8262 =10，
过点E作EG⊥AB，垂足为G，∵BE是 ABC的角平分线，∴∠CBE=∠GBE，
∵∠C=∠BGE=90°，BE=BE，∴△CBE≌△GBE，∴BC=BG=6，EC=EG，
设CE=x，则EG=x，AE=8-x,AG=AB-BG=4,
在直角三角形AEG中，根据勾股定理，得AE2 EG2AE2，
即(8x)2 x242，解得x=3，∴CE=3，AE=5，
过点F作FO⊥AC，垂足为O，ACB90，
OF OE OF BC 6
∴FO∥BC，∴  ，∴   2即FO=2OE，
BC CE OE CE 3
∵AD是中线，BC=6，∴CD=3，
OF AEOE 2OE 5OE 15
∵FO∥DC，∴  ，∴  ，解得OE= ，
DC 8 3 8 13
15 5 15 5
在直角三角形OEF中， ，∴EF= = ．故答案为： ．
EF2 EO2OF2 5EO2 5OE 13 13
【点睛】本题考查了勾股定理，三角形全等，平行线分线段成比例定理，中线，角的平分线，构
造辅助线实施全等证明，平行线分线段成比例证明是解题的关键．
变式2．（2022·浙江·九年级月考）如图，在△ABC中，点D在AC边上，AD：DC=1：2，点E
是BD的中点，连接AE并延长交BC于点F，BC=12，则BF=_________．
【答案】3
【分析】过E作BC的平行线交AC与G，由中位线的知识可得出DG：DC=1：2，根据已知和平
行线分线段成比例得出EG：FC=2：3，再根据BC=12，即可得出BF的值．
【详解】解：过E作EG∥BC，交AC于G，
EG 1
∵EG∥BC，E为BD中点，BC=12，∴DG=CG，  ，∴EG=6，
BC 2
EG AG 2
又∵AD：DC=1：2，∴AG：AC=2：3，∵EG∥BC，∴   ，∴FC=9，
FC AC 3∵BC=12，∴BF=BC-FC=3，故答案为：3．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例及三角形的中位线的知识，难度较大，注意熟练运用中
位线定理和三角形面积公式．
【能力提升】
一．选择题
1.（2022·浙江温州市·九年级期末）已知 ，则下列结论一定成立的是（ ）
A． ， B． C． D．
【答案】D
【分析】根据比例的基本性质以及合比性质进行判断，即可得出结论．
【详解】
解：A．由 ，不能得到x＝3，y＝4，故本选项错误；
B．由 ，不能得到y﹣x＝1，故本选项错误；
C．由 ，可得4x＝3y；由 ，可得xy＝12，故本选项错误；
D．由 ，可得 ，即 ，故本选项正确．故选：D．
【点睛】本题主要考查了比例的性质．利用“两内项之积等于两外项之积”是解题的关键．
2．（2022·江苏阜宁县·九年级期末）在比例尺为1:500000的交通地图上，阜宁到盐城的长度约为
11.7cm，则它的实际长度约为（ ）
A．0.585 km B．5.85 km C．58.5 km D．585km
【答案】C
【分析】由图上距离与实际距离的比叫做比例尺建立等量关系，解这个一元一次方程就可以求出
实际距离．
【详解】解：设这两城市的实际距离是x厘米，
由题意得，1:50000011.7:x，解得：x5850000，5850000cm58.5km，故选：C．
【点睛】本题考查比例尺的定义，属于基础题型．
3.（2022•岳阳县期中）在同一单位长度下，下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A．1、2、20、30 B．1、2、3、4 C．4、2、1、3 D．5、10、10、20
【解题思路】根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相
等即可得出答案．
【解答过程】解：A、∵1×30≠2×20，∴四条线段不成比例；
B、∵1×4≠2×3，∴四条线段不成比例；
C、∵1×4≠2×3，∴四条线段不成比例；
D、∵5×20＝10×10，∴四条线段成比例；故选：D．
4．（2022·上海）下列命题中，是真命题的有（ ）
（1）两条线段长度的比叫做两条线段的比；（2）两个矩形一定是相似形；
（3）任意两个相似多边形，它们的对应角相等，对应边也相等；
（4）若线段a与b的比是3:5，则a=3，b=5.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】分别利用相似的定义、比例的性质即可判断．
【详解】（1）两条线段长度的比叫做两条线段的比，是真命题；（2）两个矩形不一定相似，因为对应边的比值不一定相等，不是真命题；
（3）任意两个相似多边形，它们的对应角相等，对应边成比例，不是真命题；
（4）若线段a与b的比是3:5，但a不一定是3，b不一定是5，不是真命题；
综上，只有（1）是真命题，共1个．故选：A．
【点睛】本题主要考查了命题真假的判断，正确把握相似的定义以及比例的性质是解题关键．
5．（2022·河北初三期中）手工制作课上，小红利用一些花布的边角料，剪裁后装饰手工画，下
面四个图案是她剪裁出的空心不等边三角形，等边三角形，正方形，矩形花边，其中，每个图案
花边的宽度都相等，那么，每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不相似的是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据相似图形的定义，结合图形，对选项一一分析，排除不符合要求答案．
解：A：形状相同，符合相似形的定义，对应角相等，所以三角形相似，故A选项不符合要求；
B：形状相同，符合相似形的定义，故B选项不符合要求；
C：形状相同，符合相似形的定义，故C选项不符合要求；
D：两个矩形，虽然四个角对应相等，但对应边不成比例，故D选项符合要求；故选D．
考点：相似图形．
6．（2022·山东市南区·）大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分
割”，如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），则下列结论中正确的是（ ）
AP 51 BP 51
A．AB2＝AP2+BP2 B．BP2＝AP•BA C．  D． 
BP 2 AP 2
【答案】D
【分析】根据黄金分割的定义分别进行判断．
BP 51
【详解】解：P为AB的黄金分割点（AP＞PB）可得AP2＝AB•PB或  ．故选：D．
AP 2
【点睛】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB
和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄
51
金分割点，其中AC AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．
2ab bc ca
7．（2022·山东九年级月考）已知abc≠0，且 ＝ ＝ ＝k，则k的值为（ ）
c a b
A．2 B．1 C．2或﹣1 D．2或1
【答案】C
【分析】根据已知条件得出a+b=ck，b+c=ak，c+a=bk，再把三式相加得出2（a+b+c）=k
（a+b+c），然后分两种情况讨论，即可得出k的值．
ab bc ca
【详解】解：∵   k，∴a+b=ck，b+c=ak，c+a=bk，
c a b
∴2（a+b+c）=k（a+b+c），∴当a+b+c≠0时，得k=2；
当a+b+c=0时，则a+b=-c，k=-1；∴k的值为2 或-1；故选：C．
【点睛】本题考查比例的性质，解决此题关键是把等式变形，进而通过分析a+b+c的取值，确定
k的取值．
8．（2022上海市万里城实验学校九年级月考）在△ABC中，点D、E分别在△ABC的边AB、
AC上，且不与△ABC的顶点重合，下列条件中，不一定能得到DE∥BC的条件是（ ）
AE AB DE AE AD AB
AD AC
A． ＝ B． ＝ C． ＝ D． ＝
DB EC DB EC BC AC AE AC
【答案】C
AE
AD
【详解】解：∵ ＝ ，∴DE∥BC，选项A不符合题意；
DB EC
AB DE AE
AC
∵ ＝ ，∴DE∥BC，选项B不符合题意；∵ ＝ ，∴DE∥BC，不一定成立，选项
DB EC BC AC
C符合题意；
AD AB
∵ ＝ ，DE∥BC，选项D不符合题意．故选：C．
AE AC
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）
所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边
9．（2022·四川成都市·）已知M，N分别为AB,AC上的两点，且MN //BC,AN :AC 4:5，若
AB10，则AM 的长为（ ）A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【分析】根据平行线分线段成比例列方程即可得答案．
【详解】解： MN //BC，AN:ACAM:AB，
AN:AC4:5，AB10，4:5AM:10，AM 8，故选：C．

【点睛】本题考查平行线分线段成比例，根据已知列方程是解题的关键．
AE 1
10．（2022·山东桓台县·八年级期末）在△ABC中，点E在AC上，且  ，F为BE中点，
EC 2
BD
AF的延长线交BC于D，则 ＝（ ）
DC
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．2：3
【答案】B
HE EF
【分析】过E点作EH∥BC交AD于H，如图，由HE∥BD得到  =1，则BD=EH，由
BD BF
HE AE 1 BD
HE∥CD得到   得到CD=3HE，从而可得到 的值．
CD AC 3 CD
【详解】解：过E点作EH∥BC交AD于H，如图，
HE EF
∵F为BE中点，∴EF=BF，∵HE∥BD，∴  =1，即BD=EH，
BD BFHE AE AE 1 AE 1 1
∵HE∥CD，∴  ，∵  ，∴   ，
CD AC EC 2 AC 12 3
HE 1 BD HE 1
∴  ，即CD=3HE，∴   ．故选：B．
CD 3 CD 3HE 3
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．作
EH∥BC是解决问题的关键．
二．填空题
11．（2022·浙江·温州市九年级月考）若线段a＝4，b＝9，则线段a，b的比例中项为
____________．
【答案】6
【分析】由四条线段a，x，x，b成比例，根据成比例线段的定义解答即可．
【详解】解：设线段a，b的比例中项为c,c>0,根据比例中项原则：c2＝ab，
∴c2＝4×9，∴c＝6故答案：6．
【点睛】本题考查成比例线段、比例中项等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
12．（2022·陕西·西安九年级月考）若a、b、c满足a:b:c2:3:4，且4a3bc6，则
2a5b3c的值为_________．
【答案】2
【分析】由a:b:c2:3:4可设设a2kk 0,
则b3k,c4k,再代入4a3bc6求解k的值，
可得a,b,c的值，从而可得答案.
【详解】解： a:b:c2:3:4
设a2kk 0,
则b3k,c4k,

4a3bc68k9k4k 6, 解得：k 2, a4,b6,c8,

 2a5b3c830242.故答案为：2.
【点睛】本题考查的是比例的基本性质，掌握设参数的方法解决比例问题是解题的关键.
13.（2022·陕西·交大附中分校九年级期中）已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP＜PB，若
AB＝2，则BP＝_______________（结果保留根号）．
【答案】 5﹣1
51
【分析】根据黄金分割点的定义，知BP是较长线段；则BP= AB，代入数据即可得出BP
2
的长．
【详解】由于P为线段AB=2的黄金分割点，且AP＜PB，BP是较长线段；
51
则BP= AB= .故答案为 .
2 51 51
【点睛】本题主要考查黄金分割公式知识点，熟悉掌握是关键.
14．（2022·厦门市第九中学九年级）如图，在菱形ABCD中，E是AC的中点，EF//CB，交
AB于点F，如果EF 1，那么菱形ABCD的周长为__________【答案】8．
【分析】由三角形中位线定理可求BC长为EF长的2倍，那么菱形ABCD的周长=4BC问题得解．
AE AF
【详解】解：∵E是AC中点，且EF//BC，交AB于点F，∴  1，
CE BF
1
∴AF=BF，且AE=CE，∴点F是AB的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF  BC，
2
∵EF 1，∴BC=2，∴菱形ABCD的周长=2×4=8．故答案为：8．
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例，三角形中位线的性质及菱形的周长公式，题目比较
简单．
15．（2022·佛山市华英学校）如图，一个矩形广场的长为90m，宽为60m，广场内有两横，两
纵四条小路，且小路内外边缘所围成的两个矩形相似，如果两条横向小路的宽均为1.2m，那么
每条纵向小路的宽为__m．
【答案】1.8
【分析】根据两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形列出比
例式解答即可．
【详解】解：设每条纵向小路的宽为xm，则小路内缘所围成的矩形的长为（90-2x）m，宽为
（60-2.4）m，
902x 602.4
∵小路内外边缘所围成的两个矩形相似，∴  ，解得，x＝1.8，故答案为：1.8
90 60
【点睛】题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的性质为：对应角相等；对应边的比相
等是解题的关键．
16．（2022·北京·九年级月考）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，若四边
形EFGH与四边形ABCD相似，则四边形EFGH的面积是 ___．81
【答案】
8
【分析】利用相似多边形的性质求解即可．
9
【详解】解：∵S ＝2×4−1 ×1×2−1 ×1×2−1×1−1 ×1×1＝ ．
四边形ABCD 2 2 2 2
FG 2 6 2 9
又∵四边形EFGH与四边形ABCD相似，∴ ： ＝  ＝  ＝ ，
S 四边形EFGH S 四边形ABCD BC 4 4
9 9 81 81
∴S ＝ × ＝ ．故答案为： ．
四边形EFGH 2 4 8 8
【点睛】本题考查相似多边形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用
所学知识，解决问题．
【点睛】本题主要考查了相似多边形的对应边的比相等，注意分清对应边是解决本题的关键．
51
17．（2021·四川德阳市·中考真题）我们把宽与长的比是 的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形
2
给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金
矩形的设计．已知四边形ABCD是黄金矩形，边AB的长度为 51，则该矩形的周长为
__________________．
【答案】2 52或4
【分析】分两种情况：①边AB为矩形的长时，则矩形的宽为3 5，求出矩形的周长即可；
②边AB为矩形的宽时，则矩形的长为2，求出矩形的周长即可．
51
【详解】解：分两种情况：①边 为矩形的长时，则矩形的宽为 ( 51)3 5，
AB 2
矩形的周长为：2( 513 5)4；
51
②边 为矩形的宽时，则矩形的长为：( 51) 2， 矩形的周长为 ；
AB 2  2( 512)2 52
综上所述，该矩形的周长为2 52或4，故答案为：2 52或4．
【点睛】本题考查了黄金分割，熟记黄金分割的比值是解题的关键．
18．（2022·台州市初三月考）如图，在6×6的菱形网格中，连结两网格线上的点A，B，线段
AB与网格线的交点为M，N，则AM：MN：NB=【答案】1：3：2
【分析】根据平行线分线段成比例定理得出即可．
【解析】解：如图，∵AE∥MF∥NG∥BH，
∴AM：MN：BN=EF：FG：GH=1：3：2．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据定理得出正确的比例式是解此题的关键．
三．解答题
19．（2022·广东顺德·九年级月考）如图，a//b//c，直线m，n交于点O，且分别与直线a，b，
c交于点A，B，C和点D，E，F ，已知OA1，OB2，BC 4，EF 5，求DE的长度．
15
【答案】
4
【分析】由平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出结果．
OE OB 2 1
【详解】解：∵b∥c， ， ，∴    ．
OB2 BC 4 EF BC 4 2
1 5 OD OA 1 1
∵ ，∴OE EF  ．∵a∥c， ∴    ．
EF 5 2 2 OA1 OF OC 24 6
1 1 5 5 5 5 15
∴OD OF  ( 5) ．∴DEODOE   ．
6 6 2 4 4 2 4
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟记平行线分线段成比例定理是解决问题的关键．
20．（2022·江苏初三课时练习）已知：平行四边形 ， 是 延长线上一点， 与、 交于 、 ．求证： ．
【答案】详见解析
【分析】由平行四边形对边互相平行，可得平行线分线段成比例，得出比例式进行等比代换即可
得证.
【解析】解：∵四边形 是平行四边形，∴ ， ．
∴ ， ∴ ，即 ．
【点睛】本题考查证明线段乘积关系，由平行线分线段成比例得到比例式是解决本题的关键.
21．（2022·浙江·九年级单元测试）如图，在 ABC中，DF//AC，DE//BC.

BF CE
1求证：
FC

EA
；2若
AE4
，
EC 2
，
BC 10
，求
BF
和
CF
长．
10 20
【答案】（1）见解析 （2）BF  ，CF  ．
； 3 3
【分析】（1）利用平行线性质得到对应边成比例，再通过等量代换即可；
BF CE
（2）设 ，则 ，根据（1）中  ，等到等式，即可求解．
BF x CF 10x FC EA
BF BD
【详解】解：（1） ，  .
DF//AC FC DA

CE BD BF CE
，  ，  ．
DE//BC EA DA FC EA

BF CE x 2 10
（2）设 ，则 ．由（1）得：  ，  ，x ，
BF x CF 10x FC EA 10x 4 3
10 10 20
BF  ，CF 10  ．
3 3 3【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键掌握平行线截得的对应线段成比例，
再通过等量代换进行求解．
22．（2022·广东九年级课时练习）如图，矩形草坪的长为a米，宽为b米（ab），沿草坪四
周外围有宽为x米的环形小路．
（1）草坪的长与宽的比值m________，外围矩形的长与宽的比值n________；（用含有a、
b、x的代数式表示）（2）请比较m与n的大小；（3）图中的两个矩形相似吗？为什么？
a a2x
【答案】（1）m ， n ；（2） ；（3）图中的两个矩形不相似，见解析
b b2x mn
a
【分析】（1）根据m 即可求解出m的值，然后分别求出外围矩形的长为a+2x，宽为b+2x
b
由此求解即可；
（2）利用作差法进行求解即可得到答案；（3）假设两个矩形相似那么m=n与事实矛盾，由此
即可得到答案．
【详解】解：（1）∵矩形草坪的长为a米，宽为b米(ab)，
a a2x
∴草坪的长与宽的比值m ，外围矩形的长与宽的比值n ；
b b2x
a a2x a(b2x)b(a2x) 2x(ab) 2x(ab)
（2）mn    ，∵ ，∴mn 0
b b2x b(b2x) b(b2x) ab0 b(b2x)
，∴mn；
（3）若图中的两个矩形相似，则mn，∵mn，∴图中的两个矩形不相似．
【点睛】本题主要考查了假设法，分式的混合运算，相似图形的性质，解题的关键在于能够熟练
掌握相关知识进行求解．
AC CB
23．（2021·广东黄埔区·九年级）如图1所示，点C把线段 分成 与 ，若  ，
AB AC CB AB AC
则称线段AB被点C黄金分割（goldensection），点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的
比叫做黄金比．
（1）根据上述定义求黄金比；
（2）在图2中，利用尺规按以下步骤作图，井保留作图痕迹．①作线段AB的垂直平分线，得
线段AB的中点M；②过点B作AB垂线l；③以点B为圆心，以BM 为半径作圆交l于N；④连
接AN、BN ，以N为圆心，以NB为半径作圆交AN于P；⑤以点A为圆心，以AP为半径作圆
交AB于C．
（3）证明你按以上步骤作出的C点就是线段AB的黄金分割点．【答案】（1）0.618；（2）见解析；（3）见解析
【分析】（1）设AB=a，AC=x，根据黄金分割的概念列出比例式，得到一元二次方程，解方程
得到答案．
（2）根据要求作出图形即可．（3）设AB=a，根据题意表示出BN、NP，根据勾股定理求出
AN，求出AC与AB的比值，根据黄金比值进行判断即可．
【详解】解：（1）如图，设AB=a，AC x，CBax．
AC CB
由
AB

AC
，得
AC2  ABCB
．∴x2 aax，即
x2axa2 0
，
1 5 1 5
解这个方程，得x  a，x  a（不合题意，舍去）．
1 2 2 2
AC x 51
所以，黄金比   0.618．
AB a 2
（2）（1）如图所示．①作线段AB的垂直平分线，得线段AB的中点M；
②过点B作AB垂线l；
方法2：如图所示，用圆规过点B作AB垂线l．③以点B为圆心，以BM 为半径作圆交l于N；
④连接AN、BN ，以N为圆心，以NB为半径作圆交AN于P；
⑤以点A为圆心，以AP为半径作圆交AB于C．a
（2）证明：设 ，由以上作法可知NBNP ， ，
AB=a 2 AC AP
在 中，AN  AB2NB2  a2   a  2  5 a，∴AC  AP ANNP 51 a．
Rt△ABN 2 2 2
AC 51
∴  ，所以点C是线段 的黄金分割点．
AB 2 AB
【点睛】本题考查作图-复杂作图，黄金分割等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知
识解决问题．
24．（2021·河北高阳县·九年级）（1）观察下列式子：
2 21 2 22 2 23 2 24
 ，  ，  ，  …
3 31 3 32 3 33 3 34
2
发现：对于真分数 ，当分子、分母同时加上同一个大于0的数时，所得分数的值
3
_____________；（选填“变大”“变小”或“不变”）
b bc
（2）类比猜想：由（1）猜想分式 和 （其中， ， ）的大小关系，并说明理
a ac ab0 c0
由；
（3）解决问题：某公司建居民住宅时，要求窗户与卧室地面面积的比值达到15%左右，显示这
个比值越大采光条件越好，如果同时减少相等的窗户面积和地面面积，那么采光条件
___________；
A．变差了 B．变好了 C．没有改变
（4）联想拓展：如图所示，一个长为acm宽为bcm的矩形（ab），四周都增加1cm，所得大
矩形与原来的矩形相似吗？____________（直接填“是”或“否”）b bc
【答案】（1）变大；（2）  ；（3）A；（4）否
a ac
b bc
【分析】（1）根据已知的不等式观察规律即可；（2）利用作差法比较 与 的大小，即可
a ac
解答；
x x-m x
（3）设 =15%，同时减少相等的窗户面积和地面面积为m，作差法比较 、 的大小解答；
y y-m y
（4）根据（1）、（2）、（3）得到的结论分析解答即可；
2 21 2 22 2 23 2 24
【详解】解：（1）∵  ，  ，  ，  …
3 31 3 32 3 33 3 34
2
∴对于真分数 ，当分子、分母同时加上同一个大于0的数时，所得分数的值变大，故填：变大；
3
b bc bac-abc cb-a
b bc
（2）由（1）得： ＜ ，理由如下： - = = ，
a ac aac aac
a ac
b bc bac-abc cb-a
b bc
∵ ，∴ ，∴ - = = ＜0，∴ ＜ ；
ab0 b-a＜0 a ac aac aac a ac
（3）根据（2）的结论可知，如果同时减少相等的窗户面积和地面面积，那么采光条件变差了，
x x-m x
理由如下：设 =15%，同时减少相等的窗户面积和地面面积为m，则 - =
y y-m y
yx-m-xy-m mx-y
 ＜0，
yy-m yy-m
x-m x
∴ ＜ ，∴ 采光条件变差，故选A ；
y-m y
a a1
（4）由（2）知：  ，所得大矩形与原来的矩形不相似，故填：否．
b b1
【点睛】本题考查分式的基本性质、相似图形的判定，读懂材料，掌握基本运算法则是关键．