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专题 34 圆锥曲线大题专项训练
题型一、椭圆中的定点、定值
1．（2022年全国高考乙卷数学（理）试题）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过
两点．
(1)求E的方程；
(2)设过点 的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足
．证明：直线HN过定点．
2．（2021年全国新高考II卷数学试题）已知椭圆C的方程为 ，右焦点为 ，
且离心率为 ．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设M，N是椭圆C上的两点，直线 与曲线 相切．证明：M，N，F三点共线的
充要条件是 ．3．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））已知A、B分别为椭圆E： （a>1）
的左、右顶点，G为E的上顶点， ，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E
的另一交点为D．
（1）求E的方程；
（2）证明：直线CD过定点.
4．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知椭圆 的离心率是 ，点
在 上．
(1)求 的方程；
(2)过点 的直线交 于 两点，直线 与 轴的交点分别为 ，证明：线段 的中点为
定点．5．（2020年新高考全国卷Ⅰ数学高考试题（山东））已知椭圆C： 的离心率为 ，
且过点 ．
（1）求 的方程：
（2）点 ， 在 上，且 ， ， 为垂足．证明：存在定点 ，使得 为定值．
6．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷））已知椭圆C：
（a>b>0），四点 （1,1）， （0,1）， （–1， ）， （1， ）中恰有三点在椭圆C上.
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）设直线 不经过 点且与C相交于A，B两点.若直线 与直线 的斜率的和为–1，证明： 过
定点.7．已知椭圆C： （a>b>0）的左､右焦点分别为 ， ，点 满足 ，且
的面积为 .
(1)求椭圆C的方程；
(2)设椭圆C的上顶点为P，不过点P的直线l交C于A，B两点，若 ，证明直线l恒过定点.
8．（2019年北京市高考数学试卷（文科））已知椭圆 的右焦点为 ，且经过点 .
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设O为原点，直线 与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直
线AQ与x轴交于点N，若|OM|·|ON|=2，求证：直线l经过定点.9．已知点 在椭圆 上，椭圆C的左右焦点分别为 ， ， 的面积为
.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设点A，B在椭圆C上，直线PA，PB均与圆 相切，记直线PA，PB的斜率分别
为 ， .
（i）证明： ；
（ii）证明：直线AB过定点.
10．已知椭圆 过点 ，且离心率 为
(1)求椭圆 的方程；
(2) 、 是椭圆上的两个动点，如果直线 的斜率与 的斜率互为相反数，证明直线 的斜率为定值，
并求出这个定值.题型二、椭圆中的定直线
1．已知椭圆 过点 ，且离心率为 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）过右焦点 且不与 轴重合的直线与椭圆交于 ， 两点，已知 ，过 且与 轴垂直的直
线与直线 交于点 ，求证：点 在一定直线上，并求出此直线的方程.
2．已知椭圆 ： （ ）过点 ，且离心率为 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)记椭圆 的上下顶点分别为 ，过点 斜率为 的直线与椭圆 交于 两点，证明：直线
与 的交点 在定直线上，并求出该定直线的方程．3．已知点 是离心率为 的椭圆 ： （ ）上位于第一象限内的点，过点 引 轴、
轴的平行线，交 轴、 轴于 ， 两点，交直线 于 ， 两点，记 与 的面积分别
为 ， ，且 ．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设椭圆 的上、下顶点分别为 ， ，过点 的直线与椭圆相交于 ， 两点，证明：直线
， 的交点 在一定直线上，并求出该直线方程．
4．已知椭圆 的右焦点 与抛物线 的焦点重合，原点到过点
的直线距离是
（1）求椭圆 的方程
（2）设动直线 与椭圆 有且只有一个公共点 ，过 作 的垂线与直线 交于点 ，求证：
点 在定直线上，并求出定直线的方程5．（2023届华大新高考联盟教学质量测评数学试题）已知A，B为椭圆 左右两个顶点，动点D
是椭圆上异于A，B的一点，点F是右焦点．当点D的坐标为 时， ．
(1)求椭圆的方程．
(2)已知点C的坐标为 ，直线CD与椭圆交于另一点E，判断直线AD与直线BE的交点P是否在一定
直线上，如果是，求出该直线方程；如果不是，请说明理由．
6．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中．阿波罗
尼斯圆是他的研究成果之一，指的是已知动点 与两定点 ， 的距离之比 ， 是
一个常数，那么动点 的轨迹就是阿波罗尼斯圆，圆心在直线 上．已知动点 的轨迹是阿波罗尼斯圆，
其方程为 ，定点分别为椭圆 的右焦点 与右顶点 ，且椭圆 的离心率
为 ．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）如图，过右焦点 斜率为 的直线 与椭圆 相交于 ， （点 在 轴上方），点 ， 是椭
圆 上异于 ， 的两点， 平分 ， 平分 ．①求 的取值范围；
②将点 、 、 看作一个阿波罗尼斯圆上的三点，若 外接圆的面积为 ，求直线 的方程．
7．如图，椭圆 的左、右焦点分别为 ， 上顶点为A，过点A与 垂直的直线
交x轴负半轴于点Q，且 恰是 的中点，若过A，Q， 三点的圆与直线 相切．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设M，N为椭圆C的长轴两端点，直线m过点 交C于不同两点G，H，证明：四边形MNHG
的对角线交点在定直线上，并求出定直线方程．8．（2023年广东省模拟数学试题）已知椭圆 的离心率为 ，且过点 ， ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)直线 与椭圆 交于不同的 ， 两点，且直线 ， ， 的斜率依次成等比数列．椭圆 上是
否存在一点 ，使得四边形 为平行四边形？若存在，求出直线 的方程；若不存在，请说明理由．
9．已知椭圆C： =1(a>b>0)的离心率e= ，F，F 分别为左､右焦点，点T在椭圆上， TF F 的面
1 2 1 2
△
积最大为2 .
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）椭圆C的左､右顶点分别为A，B.过定点(1，0)且斜率不为0的直线l交椭圆C于P，Q两点，直线AP
和直线BQ相交于椭圆C外一点M，求证：点M的轨迹为定直线.10．已知椭圆 的左、右顶点分别为 ，且过点 ．
(1)求C的方程；
(2)若直线 与C交于M，N两点，直线 与 相交于点G，证明：点G在定直线上，
并求出此定直线的方程．
题型三、椭圆中的参数范围及最值
1．（2020年海南省高考数学试题（新高考全国Ⅱ卷））已知椭圆C： 过点M（2，
3）,点A为其左顶点，且AM的斜率为 ，
（1）求C的方程；
（2）点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值.2．（2023届浙江省教学质量检测（二模）数学试题）已知椭圆 的离心率为 ，
左、右顶点分别为 、 ，点 、 为椭圆上异于 、 的两点， 面积的最大值为 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)设直线 、 的斜率分别为 、 ，且 ．
①求证：直线 经过定点．
②设 和 的面积分别为 、 ，求 的最大值．
3．已知椭圆 ，其右焦点为 ，点M在圆 上但不在 轴上，过点
作圆的切线交椭圆于 ， 两点，当点 在 轴上时， .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)当点 在圆上运动时，试探究 周长的取值范围.4．已知椭圆 的离心率为 ，且椭圆过点 ．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)过右焦点 的直线 与椭圆 交于 两点，线段 的垂直平分线交直线 于点 ，交直线 于
点 ，求 的最小值．
5．已知椭圆 的左右焦点为 、 ，离心率 ，过圆 上一点Q
（Q在y轴左侧）作该圆的切线，分别交椭圆E于A、B两点，交圆 于C、D两点（如图所
示）．当切线 与x轴垂直时， 的面积为 ．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）（ⅰ）求 的面积的最大值；
（ⅱ）求证： 为定值，并求出这个定值．6．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（天津卷））设椭圆 (a>b>0)的左焦点为
F，上顶点为B. 已知椭圆的离心率为 ，点A的坐标为 ，且 .
（I）求椭圆的方程；
（II）设直线l： 与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q. 若
(O为原点) ，求k的值.
7．已知O坐标原点，椭圆 的上顶点为A，右顶点为B， 的面积为 ，原点
O到直线AB的距离为 ．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过C的左焦点F作弦DE，MN，这两条弦的中点分别为P，Q，若 ，求 面积的最大值．8．已知椭圆 的左，右焦点分别为 且经过点 .
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若斜率为1的直线与椭圆C交于A，B两点，求 面积的最大值（O为坐标原点）
9．在直角坐标系 中，曲线 的方程为 ． 为曲线 上一动点，且 ，点 的轨
迹为曲线 ．以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求曲线 ， 的极坐标方程；
(2)曲线 的极坐标方程为 ，点 为曲线 上一动点，求 的最大值．10．如图所示， 、 分别为椭圆 的左、右顶点，离心率为 .
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过 点作两条互相垂直的直线 ， 与椭圆交于 ， 两点，求 面积的最大值.
题型四、椭圆中的向量问题
1．已知椭圆C的焦点坐标为 和 ，且椭圆经过点 .
(1)求椭圆C的方程；
(2)若 ，椭圆C上四点M，N，P，Q满足 ， ，求直线MN的斜率.2．已知 ，直线 过椭圆 的右焦点F且与椭圆 交于A、B两点，l与双曲线
的两条渐近线 、 分别交于M、N两点．
(1)若 ，且当 轴时，△MON的面积为 ，求双曲线 的方程；
(2)如图所示，若椭圆 的离心率 ， 且 ，求实数 的值．
3．椭圆有两个顶点 过其焦点 的直线 与椭圆交于 两点，并与 轴交于点 ，直
线 与 交于点 ．
（1）当 时，求直线 的方程；
（2）当 点异于 两点时，证明： 为定值．4．已知抛物线 的焦点F到其准线的距离为4，椭圆 经过抛物线
的焦点F．
(1)求抛物线 的方程及a；
(2)已知O为坐标原点，过点 的直线l与椭圆 相交于A，B两点，若 ，点N满足
，且 最小值为 ，求椭圆 的离心率．
5．（湖南省2021年普通高等学校对口招生考试数学试题）已知椭圆 经过点
，且离心率为 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）设直线 与椭圆 相交于 两点，求 的值.6．在平面直角坐标系 中，已知椭圆 的离心率为 ，且点 在 上.
(1)求 的方程；
(2)点 为 的下顶点，点 在 内且满足 ，直线 交 于点 ，求 的取值范围.
7．已知椭圆 过点 离心率 ，左、右焦点分别为 ，P，Q是椭
圆C上位于x轴上方的两点．
(1)若 ，求直线 的方程；
(2)延长 分别交椭圆C于点M，N，设 ，求 的最小值．8．如图，椭圆 的顶点为 ， ， ， ，焦点为 ， ， ，
．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设n是过原点的直线，l是与n垂直相交于P点，与椭圆相交于A，B两点的直线， ．是否存在
上述直线l使 成立？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
9．已知椭圆 经过点 ，离心率为 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)过点 的直线 交椭圆于 ， 两点， 为椭圆 的左焦点，若 ，求直线 的方程．10．（2023年四川省阶段检测数学（理）试题）已知椭圆 的离心率为 ，短轴长
为4．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若过点 的直线交椭圆C于A，B两点，求 的取值范围．
题型五、双曲线中的定点、定值
1．（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）在平面直角坐标系 中，已知点 、
，点 的轨迹为 .
（1）求 的方程；
（2）设点 在直线 上，过 的两条直线分别交 于 、 两点和 ， 两点，且 ，
求直线 的斜率与直线 的斜率之和.2．已知F（－ ，0），F（ ，0）为双曲线C的焦点，点P（2，－1）在C上．
1 2
(1)求C的方程；
(2)点A，B在C上，直线PA，PB与y轴分别相交于M，N两点，点Q在直线AB上，若 ＋ ，
＝0，证明：存在定点T，使得|QT|为定值．
3．已知双曲线 过点 ，且离心率
(1)求该双曲线的标准方程：
(2)如果 ， 为双曲线上的动点，直线 与直线 的斜率互为相反数，证明直线 的斜率为定值，并
求出该定值.4．（2023届湖北省调研数学试题）过点 的动直线 与双曲线 交于 两
点，当 与 轴平行时， ，当 与 轴平行时， ．
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)点 是直线 上一定点，设直线 的斜率分别为 ，若 为定值，求点 的坐标．
5．已知在△ABC中， ， ，动点A满足 ， ，AC的垂直平分线交直线
AB于点P．
(1)求点P的轨迹E的方程；
(2)直线 交x轴于D，与曲线E在第一象限的交点为Q，过点D的直线l与曲线E交于M，N
两点，与直线 交于点K，记QM，QN，QK的斜率分别为 ， ， ，
①求证： 是定值．
②若直线l的斜率为1，问是否存在m的值，使 ？若存在，求出所有满足条件的m的值，若
不存在，请说明理由．6．已知双曲线 的离心率是 ，实轴长是8.
(1)求双曲线C的方程；
(2)过点 的直线l与双曲线C的右支交于不同的两点A和B，若直线l上存在不同于点P的点D满足
成立，证明：点D的纵坐标为定值，并求出该定值.
7．（2023届江苏省调研测试数学试题）已知双曲线 的左顶点为 ，过左焦点 的
直线与 交于 两点.当 轴时， ， 的面积为3.
(1)求 的方程；
(2)证明：以 为直径的圆经过定点.8．已知双曲线 的左，右焦点分别为 ， ．且该双曲线过点
．
(1)求C的方程；
(2)如图．过双曲线左支内一点 作两条互相垂直的直线分别与双曲线相交于点A，B和点C，D．当直
线AB，CD均不平行于坐标轴时，直线AC，BD分别与直线 相交于P．Q两点，证明：P，Q两点关
于x轴对称．
9．已知双曲线C： (a＞0，b＞0)的一个焦点坐标为(3，0)，其中一条渐近线的倾斜角的正切值
为 ，O为坐标原点．
(1)求双曲线C的方程；
(2)直线l与x轴正半轴相交于一点D，与双曲线C右支相切(切点不为右顶点)，且l分别交双曲线C的两条
渐近线于M、N两点，证明： MON的面积为定值，并求出该定值．
△10．（2023届湖南省一模数学试题）已知双曲线 的一个焦点为 为坐标原
点，过点 作直线 与一条渐近线垂直，垂足为 ，与另一条渐近线相交于点 ，且 都在 轴右侧，
(1)求双曲线 的方程；
(2)若直线 与双曲线 的右支相切，切点为 与直线 交于点 ，试探究以线段 为直径的圆是
否过 轴上的定点.
题型六、双曲线中的定直线
1．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为 ，离心率为
．
(1)求C的方程；
(2)记C的左、右顶点分别为 ， ，过点 的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线
与 交于点P．证明:点 在定直线上.2．（2023届湖北省调研考试数学试题）已知双曲线C： 的离心率为 ，过点
的直线l与C左右两支分别交于M，N两个不同的点（异于顶点）．
(1)若点P为线段MN的中点，求直线OP与直线MN斜率之积（O为坐标原点）；
(2)若A，B为双曲线的左右顶点，且 ，试判断直线AN与直线BM的交点G是否在定直线上，若是，
求出该定直线，若不是，请说明理由
3．已知 ， 分别是双曲线 的左，右顶点，直线 （不与坐标轴垂直）过点 ，且与双
曲线 交于 ， 两点.
（1）若 ，求直线 的方程；
（2）若直线 与 相交于点 ，求证：点 在定直线上.4．（2023届辽宁省一模数学试题）已知双曲线 的离心率为 ，左､右焦点分别为
，点 坐标为 ，且 .
(1)求双曲线 的方程；
(2)过点 的动直线 与 的左､右两支分别交于两点 ，若点 在线段 上，满足 ，证明：
在定直线上.
5．（2023届广东省二模数学试题）已知双曲线 的左、右焦点分别为 、 ，
且双曲线 经过点 ．
(1)求双曲线 的方程；
(2)过点 作动直线 ，与双曲线的左、右支分别交于点 、 ，在线段 上取异于点 、 的点
，满足 ，求证：点 恒在一条定直线上．6．设双曲线 1，其虚轴长为2 ，且离心率为 .
(1)求双曲线C的方程；
(2)过点P（3，1）的动直线与双曲线的左右两只曲线分别交于点A､B，在线段AB上取点M使得
，证明：点M落在某一定直线上；
(3)在（2）的条件下，且点M不在直线OP上，求△OPM面积的取值范围.
7．已知复数 在复平面内对应的点为 ，且 满足 ，点 的轨迹
为曲线 .
（1）求 的方程；
（2）设 ， ，若过 的直线与 交于 ， 两点，且直线 与 交于点 .证明：
（i）点 在定直线上；
（ii）若直线 与 交于点 ，则 .8．设双曲线 ，其虚轴长为 ，且离心率为 ．
(1)求双曲线 的方程；
(2)过点 的动直线与双曲线的左右两支曲线分别交于点 、 ，在线段 上取点 使得 ，
证明：点 落在某一定直线上．
9．（2023年湖南省调研考试数学试题）已知双曲线 的一条渐近线方程为
，一个焦点到该渐近线的距离为 .
(1)求C的方程；
(2)设A，B是直线 上关于x轴对称的两点，直线 与C交于M，N两点，证明：直线AM与
BN的交点在定直线上.10．（2023届广东省调研数学试题）已知双曲线 的右焦点为 ，渐近线方
程为 ．
(1)求双曲线 的方程；
(2)已知点 是双曲线 的右支上异于顶点 的任意点，点 在直线 上，且 ， 为 的中
点，求证：直线 与直线 的交点在某定曲线上．
题型七、双曲线中的参数范围及最值
1．已知双曲线 ： 过点 ，渐近线方程为 ，直线 是双曲线 右支
的一条切线，且与 的渐近线交于A，B两点．
(1)求双曲线 的方程；
(2)设点A，B的中点为M，求点M到y轴的距离的最小值．2．已知双曲线C经过点 ，它的两条渐近线分别为 和 .
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)设双曲线C的左､右焦点分别为 ､ ，过左焦点 作直线l交双曲线的左支于A､B两点，求 周
长的取值范围.
3．（2023届安徽省一模数学试题）我们约定，如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲线的实轴和
虚轴，则称它们互为“姊妺”圆锥曲线.已知椭圆 ，双曲线 是椭圆 的“姊妺”
圆锥曲线， 分别为 的离心率，且 ，点 分别为椭圆 的左､右顶点.
(1)求双曲线 的方程；
(2)设过点 的动直线 交双曲线 右支于 两点，若直线 的斜率分别为 .
（i）试探究 与 的比值 是否为定值.若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由；
（ii）求 的取值范围.4．设双曲线 的右顶点为 ，虚轴长为 ，两准线间的距离为 .
(1)求双曲线 的方程；
(2)设动直线 与双曲线 交于 两点，已知 ，设点 到动直线 的距离为 ，求 的最大值.
5．（2023届湖北省联考数学试题）平面直角坐标系 中，已知点 .点 满足
，记点 的轨迹 .
(1)求 的方程；
(2)设点 与点 关于原点 对称， 的角平分线为直线l，过点 作l的垂线，垂足为 ，交 于另
一点 ，求 的最大值.
6．（2023届浙江省适应性考试（三模）数学试题）已知抛物线 与双曲线
相交于两点 是 的右焦点，直线 分别交 于 （不同于
点），直线 分别交 轴于 两点.
(1)设 ，求证： 是定值；
(2)求 的取值范围.7．（2023届辽宁省联考数学试题）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，过
作一条渐近线的垂线交C于点P，垂足为Q， ， ，M、N为双曲线左右顶点．
(1)求双曲线C的方程；
(2)设过点 的动直线l交双曲线C右支于A，B两点（A在第一象限），若直线AM，BN的斜率分别
为 ， ．
（i）试探究 与 的比值 是否为定值．若是定值，求出这个定值：若不是定值，请说明理由；
（ii）求 的取值范围．
8．（2023届广东省联考数学试题）已知双曲线 的右焦点为 ，过点 的
直线 与双曲线 的右支相交于 ， 两点，点 关于 轴对称的点为 .当 时， .
(1)求双曲线 的方程；
(2)若 的外心为 ，求 的取值范围.9．已知双曲线 （ ， ）的左、右焦点分别为 ， ，点 在双曲线的右支上， ，
的最小值 ， ，且满足 ．
(1)求双曲线的离心率；
(2)若 ，过点 的直线交双曲线于 ， 两点，线段 的垂直平分线交 轴于点 （异于坐标原点
），求 的最小值．
10．（2023届重庆市适应性月考（四）数学试题）与椭圆 有公共焦点的双曲线 过点
，过点 作直线 交双曲线的右支于 两点，连接 并延长交双曲线左支于点 为坐
标原点）.
(1)求双曲线 的方程;
(2)求 的面积的最小值.题型八、双曲线中的向量问题
1．已知双曲线 的离心率为2，F为双曲线的右焦点，直线l过F与双曲线的右支
交于 两点，且当l垂直于x轴时， ；
(1)求双曲线的方程；
(2)过点F且垂直于l的直线 与双曲线交于 两点，求 的取值范围．
2．已知双曲线 的离心率为 ，点 在 上．
（1）求双曲线 的方程；
（2）设过点 的直线l与曲线 交于M，N两点，问在x轴上是否存在定点Q，使得 为常数？
若存在，求出Q点坐标及此常数的值，若不存在，说明理由．3．（2023年湖南省模拟数学试题）已知双曲线 的焦点到渐近线的距离为2，渐
近线的斜率为2．
(1)求双曲线 的方程；
(2)设过点 的直线 与曲线 交于 两点，问在 轴上是否存在定点 ，使得 为常数？若存
在，求出点 的坐标及此常数的值；若不存在，说明理由．
4．已知双曲线 是其左、右两个焦点． 是位于双曲线 右支上一点，平面内还存在
满足 ．
(1)若 的坐标为 ，求 的值；
(2)若 ，且 ，试判断 是否位于双曲线上，并说明理由；
(3)若 位于双曲线上，试用 表示 ，并求出 时 的值．5．（2023年湖北省模拟考试数学试题）已知双曲线 与双曲线 有相同的渐近线，且过点
.
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)已知 是双曲线 上不同于 的两点，且 于 ，证明：存在定点 ，使
为定值.
6．（2023年四川省模拟考试数学（文）试题）已知双曲线 （ ， ）中，离心率 ，
实轴长为4
(1)求双曲线的标准方程；
(2)已知直线 ： 与双曲线交于 ， 两点，且在双曲线存在点 ，使得 ，求 的
值.7．（2023年湖南省模拟数学试题）如图平面直角坐标系 中，一直角三角形 ， ， 在
轴上且关于原点 对称， 在边 上， ， 的周长为12.若一双曲线 以 为焦点，
且经过 两点.
(1)求双曲线 的方程；
(2)若一过点 （ 为非零常数）的直线与双曲线 相交于不同于双曲线顶点的两点 ，且
，问在 轴上是否存在定点 ，使 ？若存在，求出所有这样定点 的坐标；
若不存在，请说明理由.
8．已知双曲线的焦点在 轴上，中心在原点，离心率为 ，且过点 .
(1)求双曲线的标准方程；
(2)双曲线的左右顶点为 ， ，且动点 ， 在双曲线上，直线 与直线 交于点 ，
， ，求 的取值范围.9．已知双曲线C的方程为 （ ），离心率为 .
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)过 的直线 交曲线 于 两点，求 的取值范围.
10．（2023年普通高等学校招生全国统一考试·新高考仿真模拟卷数学（一））已知 分别为双曲线
左、右焦点， 在双曲线上，且 ．
(1)求此双曲线的方程；
(2)若双曲线的虚轴端点分别为 （ 在 轴正半轴上），点 在双曲线上，且 ，
，试求直线 的方程．题型九、抛物线中的定点、定值
1．（2022年全国高考甲卷数学（理）试题）设抛物线 的焦点为F，点 ，过F的
直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时， ．
(1)求C的方程；
(2)设直线 与C的另一个交点分别为A，B，记直线 的倾斜角分别为 ．当 取得最
大值时，求直线AB的方程．
2．已知P(1，2)在抛物线C：y2＝2px上．
(1)求抛物线C的方程；
(2)A，B是抛物线C上的两个动点，如果直线PA的斜率与直线PB的斜率之和为2，证明：直线AB过定点．3．如图，已知 是抛物线 上一点，直线 ， 的斜率互为相反数，与抛物线
分别交于 ， 两点，且均在 点的下方．证明：直线 的斜率为定值．
4．（2023届高三冲刺卷（一）全国卷文科数学试题）已知斜率存在的直线 过点 且与抛物线
交于 两点.
(1)若直线 的斜率为1， 为线段 的中点， 的纵坐标为2，求抛物线 的方程；
(2)若点 也在 轴上，且不同于点 ，直线 的斜率满足 ，求点 的坐标.5．已知定点 ，动点 到点F的距离比它到y轴的距离大1．
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)过 的直线 ， 分别与点P的轨迹相交于点M，N（均异于点Q），记直线 ， 的斜率分别为 ，
，若 ，求证：直线MN的斜率为定值．
6．已知抛物线的顶点为原点，焦点F在x轴的正半轴，F到直线 的距离为 .点
为此抛物线上的一点， .直线l与抛物线交于异于N的两点A，B，且 .
(1)求抛物线方程和N点坐标；
(2)求证：直线AB过定点，并求该定点坐标.7．过点 的任一直线 与抛物线 交于两点 ，且 ．
(1)求 的值．
(2)已知 为抛物线 上的两点，分别过 作抛物线 的切线 ，且 ，求证：直线 过定
点．
8．已知与圆 相切的直线l，过抛物线 的焦点F，且直线l的倾斜角为
.
(1)求抛物线E的方程；
(2)直线 与抛物线E交于点A，B两点，且A，B关于直线 对称，在 上是否存在点N，
使得以 为直径的圆恰好过点N，若存在，求出点N的坐标；否则，请说明理由.9．已知抛物线 过点 ．
（1）求抛物线 的方程；
（2）求过点 的直线与抛物线 交于 、 两个不同的点(均与点 不重合)．设直线 、 的
斜率分别为 、 ，求证： 为定值．
10．已知点 与点 的距离比它到直线 的距离小 ，若记点 的轨迹为曲线 ．
(1)求曲线 的方程；
(2)若直线 与曲线 相交于 两点，且 ．求证直线 过定点，并求出该定点的坐标．题型十、抛物线中的定直线
1．已知F为抛物线 的焦点，直线 与C交于A，B两点且 .
（1）求C的方程.
（2）若直线 与C交于M，N两点，且 与 相交于点T，证明：点T在定直线上.
2．（2023届山东省一模数学试题）已知抛物线 ： 上一点 到其焦点 的距离为
3， ， 为抛物线 上异于原点的两点.延长 ， 分别交抛物线 于点 ， ，直线 ， 相交
于点 .
(1)若 ，求四边形 面积的最小值；
(2)证明:点 在定直线上.3．（2023届福建省质量检测（二检）数学试题）已知抛物线E： （p>0），过点 的两条直
线l，l 分别交E于AB两点和C，D两点．当l 的斜率为 时，
1 2 1
(1)求E的标准方程：
(2)设G为直线AD与BC的交点，证明：点G必在定直线上．
4．设抛物线 的焦点为 ，过点 的动直线 与抛物线 交于 ， 两点，当 在
上时，直线 的斜率为 .
（1）求抛物线的方程；
（2）在线段 上取点 ，满足 ， ，证明：点 总在定直线上.5．如图，已知抛物线C： 的焦点F，过x轴上一点 作两条直线分别交抛物线于A，
B和C，D，设 和 所在直线交于点P．设M为抛物线上一点，满足以下的其中两个条件：①M点坐
标可以为 ；② 轴时， ；③ 比M到y轴距离大1．
（1）抛物线C同时满足的条件是哪两个？并求抛物线方程；
（2）判断并证明点P是否在某条定直线上，如果是，请求出该直线；如果不是，请说明理由．
6．（2023届江西省名校联考摸底测试数学（理）试题）已知抛物线 ， ， 是C
上两个不同的点．
(1)求证：直线 与C相切；
(2)若O为坐标原点， ，C在A，B处的切线交于点P，证明：点P在定直线上．7．已知抛物线C： （ ）与圆O： 相交于A，B两点，且点A的横坐标为 .F
是抛物线C的焦点，过焦点的直线l与抛物线C相交于不同的两点M，N.
（1）求抛物线C的方程.
（2）过点M，N作抛物线C的切线 ， ， 是 ， 的交点，求证：点P在定直线上.
8．如图，已知抛物线 直线 交抛物线C于A，B两点，O为坐标原点.
（1）证明： ；
（2）设抛物线C在点A处的切线为 ，在点B处的切线为 ，证明： 与 的交点M在一定直线上.9．如图，过抛物线 焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，AM，AN，BC，BD分别垂直于坐标轴，
垂足依次为M，N，C，D．
(1)若矩形ANOM和矩形BDOC面积分别为 ， ，求 的值；
(2)求证：直线MN与直线CD交点在定直线上．
10．如图，已知抛物线 的焦点为F，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点，动点P
满足 PAB的垂心为原点O.当直线l的倾斜角为30°时， .
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)求证：点P在定直线上.题型十一、抛物线中的参数范围及最值
1．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）已知抛物线 的焦点F到准线的距离为2．
（1）求C的方程;
（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足 ，求直线 斜率的最大值.
2．（2021年浙江省高考数学试题）如图，已知F是抛物线 的焦点，M是抛物线的准线与x
轴的交点，且 ，
（1）求抛物线的方程；
（2）设过点F的直线交抛物线与A､B两点，斜率为2的直线l与直线 ，x轴依次交于点P，
Q，R，N，且 ，求直线l在x轴上截距的范围.3．如图，在平面直角坐标系 中，已知抛物线 的焦点为F，准线为l，过点F且斜率
大于0的直线交抛物线C于A，B两点，过线段 的中点M且与x轴平行的直线依次交直线 ， ，l
于点P，Q，N．
(1)求证： ；
(2)若线段 上的任意一点均在以点Q为圆心、线段 长为半径的圆内或圆上，若 ，求实数
的取值范围；4．已知抛物线 上的任意一点到焦点的距离比到y轴的距离大 .
(1)求抛物线C的方程；
(2)过抛物线外一点 作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，若三角形ABP的重心G在定直线
上，求三角形ABP面积的最大值.
5．已知抛物线 的焦点为 ，直线 与抛物线 交于点 ，且 ．
(1)求抛物线 的方程；
(2)过点 作抛物线 的两条互相垂直的弦 ， ，设弦 ， 的中点分别为P，Q，求 的最小
值．6．已知平面上一动点P到定点 的距离与它到定直线 的距离相等，设动点P的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的轨迹方程
(2)已知点 ，过点B引圆 的两条切线BP；BQ，切线BP、BQ与曲
线C的另一交点分别为P、Q，线段PQ中点N的纵坐标记为 ，求 的取值范围．
7．已知抛物线 的焦点为F，点M是抛物线的准线 上的动点．
(1)求p的值和抛物线的焦点坐标；
(2)设直线l与抛物线相交于A、B两点，且 ，求直线l在x轴上截距b的取值范围．8．已知 、 、 ，圆 ，抛物线 ，过 的直线与抛物
线 交于 、 两点，且 ．
(1)求抛物线的方程；
(2)若直线 与圆 交于 、 两点，记 面积为 ， 面积为 ，求 的取值范围.
9．如图， 为抛物线 的焦点，直线 与抛物线交于 、 两点， 中点
为 ，当 ， 时， 到 轴的距离与到 点距离相等.
(1)求 的值；
(2)若存在正实数 ，使得以 为直径的圆经过 点，求 的取值范围.10．已知抛物线 的焦点为 ，抛物线上一点 到 点的距离为 ．
(1)求抛物线的方程及点 的坐标；
(2)设斜率为 的直线 过点 且与抛物线交于不同的两点 、 ，若 且 ，求斜
率 的取值范围．题型十二、抛物线中的向量问题
1．已知抛物线 的焦点为F，抛物线上一点 到F的距离为3，
(1)求抛物线C的方程和点A的坐标；
(2)设过点 且斜率为k的直线l与抛物线C交于不同的两点M，N．若 ， 求斜率
k的取值范围．
2．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（北京卷））已知抛物线C： =2px经过点
（1，2）．过点Q（0，1）的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB
交y轴于N．
（Ⅰ）求直线l的斜率的取值范围；
（Ⅱ）设O为原点， ， ，求证： 为定值．3．设点 是抛物线 上异于原点O的一点，过点P作斜率为 、 的两条直线分别交 于
、 两点（P、A、B三点互不相同）．
(1)已知点 ，求 的最小值；
(2)若 ，直线AB的斜率是 ，求 的值；
(3)若 ，当 时，B点的纵坐标的取值范围．
4．（2023届山东省二模数学试题）已知点 和点 之间的距离为2，抛物线
经过点N，过点M的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，点E，F分别在直线
， 上，且 ， （O为坐标原点）.
(1)求直线l的倾斜角的取值范围；
(2)求 的值.5．如图所示，已知抛物线 的焦点为F，过F的直线交抛物线于A，B两点，A在y轴左侧且AB的
斜率大于0.
(1)当直线AB的斜率为1时，求弦长 的长；
(2)已知 为x轴上一点，弦AB过抛物线的焦点F，且斜率 ，若直线PA，PB分别交抛物线于C、
D两点，问是否存在实数 使得 ，若存在，求出 的值；若不存在，说明理由.6．（2023届东北三省联考二模数学试题）从抛物线的焦点发出的光经过抛物线反射后，光线都平行于抛
物线的轴，根据光路的可逆性，平行于抛物线的轴射向抛物线后的反射光线都会汇聚到抛物线的焦点处，
这一性质被广泛应用在生产生活中．如图，已知抛物线 ，从点 发出的平行于y轴的
光线照射到抛物线上的D点，经过抛物线两次反射后，反射光线由G点射出，经过点 ．
(1)求抛物线C的方程；
(2)已知圆 ，在抛物线C上任取一点E，过点E向圆M作两条切线EA和EB，切点分别
为A、B，求 的取值范围．
7．已知抛物线C： （ ）的焦点为F，原点O关于点F的对称点为Q，点 关于点Q的对
称点 ，也在抛物线C上
（1）求p的值；
（2）设直线l交抛物线C于不同两点A､B，直线 ､ 与抛物线C的另一个交点分别为M､N，
， ，且 ，求直线l的横截距的最大值.8．（2023届广西模拟数学（文）试题）已知抛物线 经过点 ，过点 的直线 与
抛物线 有两个不同交点 ，且直线 交 轴于 ，直线 交 轴于 .
(1)求直线 斜率的取值范围；
(2)证明：存在定点 ，使得 ， 且 .
9．已知抛物线 的焦点为F，过焦点F斜率为 的直线交抛物线于A、B两点（点A在第一
象限），交抛物线准线于G，且满足 ．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)已知C，D为抛物线上的动点，且 ，求证直线CD过定点P，并求出P点坐标；
(3)在（2）的条件下，求 的最大值．10．设抛物线 ： ，以 为圆心，5为半径的圆被抛物线 的准线截得的弦长为8．
(1)求抛物线 的方程；
(2)过点 的两条直线分别与曲线 交于点A，B和C，D，且满足 ， ，求证：线段
的中点在直线 上．题型十三、曲线与方程
1．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）在直角坐标系 中，点 到 轴的距离等于点 到点 的距
离，记动点 的轨迹为 ．
(1)求 的方程；
(2)已知矩形 有三个顶点在 上，证明：矩形 的周长大于 ．
2．已知动点 到直线 的距离比到点 的距离大1．
(1)求动点 所在的曲线 的方程；
(2)已知点 ， 是曲线 上的两个动点，如果直线 的斜率与直线 的斜率互为相反数，证明直
线 的斜率为定值，并求出这个定值；3．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷））设O为坐标原点，动点M在椭圆
C 上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足 .
（1）求点P的轨迹方程；
（2）设点 在直线 上，且 .证明：过点P且垂直于OQ的直线 过C的左焦点F.
4．已知 ， 平面内一动点 满足 ．
(1)求 点运动轨迹 的轨迹方程；
(2)已知直线 与曲线 交于 ， 两点，当 点坐标为 时， 恒成立，试探究直线 的斜
率是否为定值？若为定值请求出该定值，若不是定值请说明理由．5．已知圆心在x轴上移动的圆经过点A（-4，0），且与x轴、y轴分别交于点B（x，0），C（0，y）两个
动点，记点D（x，y）的轨迹为曲线 .
(1)求曲线 的方程；
(2)过点F（1，0）的直线l与曲线 交于P，Q两点，直线OP，OQ与圆 的另一交点分别
为M，N（其中O为坐标原点），求△OMN与△OPQ的面积之比的最大值.
6．（2023届广东省二模数学试题）已知点 ，P为平面内一动点，以 为直径的圆与y轴相切，点
P的轨迹记为C．
(1)求C的方程；
(2)过点F的直线l与C交于A，B两点，过点A且垂直于l的直线交x轴于点M，过点B且垂直于l的直线
交x轴于点N.当四边形 的面积最小时，求l的方程.
7．如图所示，C为半圆锥顶点，O为圆锥底面圆心，BD为底面直径，A为弧BD中点． 是边长为2的等边三角形，弦AD上点E使得二面角 的大小为30°，且 ．
(1)求t的值；
(2)对于平面ACD内的动点P总有 平面BEC，请指出P的轨迹，并说明该轨迹上任意点P都使得
平面BEC的理由．
8．在直角坐标系 中，曲线 的方程为 ． 为曲线 上一动点，且 ，点 的轨
迹为曲线 ．以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求曲线 ， 的极坐标方程；
(2)曲线 的极坐标方程为 ，点 为曲线 上一动点，求 的最大值．
9．已知双曲线C： 的离心率为2， ， 为双曲线C的左、右焦点， 是双曲线C上的一个点．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若过点 且不与渐近线平行的直线l（斜率不为0）与双曲线C的两个交点分别为M，N，记双曲线
C在点M，N处的切线分别为 ， ，点P为直线 与直线 的交点，试求点P的轨迹方程（注：若双曲线
的方程为 ，则该双曲线在点 处的切线方程为 ）
10．（2023届湖南省质量监测（一）数学试题）已知直线 ： 和直线 ： ，过动点E作平行
的直线交 于点A，过动点E作平行 的直线交 于点B，且四边形OAEB（O为原点）的面积为4.
(1)求动点E的轨迹方程；
(2)当动点E的轨迹的焦点在x轴时，记轨迹为曲线 ，若过点 的直线m与曲线 交于P，Q两点，
且与y轴交于点N，若 ， ，求证： 为定值.
题型十四、圆锥曲线新定义1．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中．阿波罗
尼斯圆是他的研究成果之一，指的是已知动点 与两定点 ， 的距离之比 ， 是
一个常数，那么动点 的轨迹就是阿波罗尼斯圆，圆心在直线 上．已知动点 的轨迹是阿波罗尼斯圆，
其方程为 ，定点分别为椭圆 的右焦点 与右顶点 ，且椭圆 的离心率
为 ．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）如图，过右焦点 斜率为 的直线 与椭圆 相交于 ， （点 在 轴上方），点 ， 是椭
圆 上异于 ， 的两点， 平分 ， 平分 ．
①求 的取值范围；
②将点 、 、 看作一个阿波罗尼斯圆上的三点，若 外接圆的面积为 ，求直线 的方程．
2．定义：若点 ， 在椭圆 上，并且满足 ，则称这两点是关于M的一对共轭点，或称点 关于M的一个共轭点为 .已知点 在椭圆
，O坐标原点.
(1)求点A关于M的所有共轭点的坐标；
(2)设点P，Q在M上，且 ，求点A关于M的所有共轭点和点P，Q所围成封闭图形面积的最大值.
3．焦距为2c的椭圆 （a＞b＞0），如果满足“2b=a+c”，则称此椭圆为“等差椭圆”．
(1)如果椭圆 （a＞b＞0）是“等差椭圆”，求 的值；
(2)对于焦距为12的“等差椭圆”，点A为椭圆短轴的上顶点，P为椭圆上异于A点的任一点，Q为P关于
原点O的对称点（Q也异于A），直线AP、AQ分别与x轴交于M、N两点，判断以线段MN为直径的圆是
否过定点？说明理由．
4．给出如下的定义和定理：定义：若直线l与抛物线 有且仅有一个公共点P，且l与 的对称轴不平行，则称直线l与抛物线 相切，公共点P称为切点.定理：过抛物线 上一点 处的切线方程为
.完成下述问题：如图所示，设E，F是抛物线 上两点.过点E，F分别作抛
物线 的两条切线 ， ，直线 ， 交于点C，点A，B分别在线段 ， 的延长线上，且满足
，其中 .
(1)若点E，F的纵坐标分别为 ， ，用 ， 和p表示点C的坐标.
(2)证明：直线 与抛物线 相切；
(3)设直线 与抛物线 相切于点G，求 .5．（1）设椭圆 与双曲线 有相同的焦点 、 ， 是椭圆 与双曲线 的
公共点，且△ 的周长为6，求椭圆 的方程；我们把具有公共焦点、公共对称轴的两段圆锥曲线弧合
成的封闭曲线称为“盾圆”；
（2）如图，已知“盾圆 ”的方程为 ，设“盾圆 ”上的任意一点 到
的距离为 ， 到直线 的距离为 ，求证： 为定值；
（3）由抛物线弧 （ ）与第（1）小题椭圆弧 （ ）所合成的
封闭曲线为“盾圆 ”，设过点 的直线与“盾圆 ”交于 、 两点， ， ，且
（ ），试用 表示 ，并求 的取值范围.6．（2023年湖南省联考数学试题）已知曲线 ，当 变化时得到一系列的椭
圆，我们把它称为“ 椭圆群”．
(1)求“2-1椭圆群”中椭圆的离心率；
(2)若“ 椭圆群”中的两个椭圆 、 对应的t分别为 、 ，且 ，则称 、 为“和
谐椭圆对”．已知 、 为“和谐椭圆对”，P是 上的任意一点，过点P作 的切线交 于A、B两
点，Q为 上异于A、B的任意一点，且满足 ，问： 是否为定值？若为定值，求
出该定值；否则，说明理由．
7．定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个端点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”．若两个椭圆
的“特征三角形”是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将“特征三角形”的相似比称为椭圆的
相似比．已知椭圆 ，椭圆 与 是“相似椭圆”，已知椭圆 的短半轴长为 ．
（1）写出椭圆 的方程（用 表示）；
（2）若椭圆 的焦点在 轴上，且 上存在两点 ， 关于直线 对称，求实数 的取值范围．8．焦点为 的抛物线 与圆 交于 两点，其中 点横坐标为 ，方程
的曲线记为 ， 是曲线 上一动点.
（1）若 在抛物线上且满足 ，求直线 的斜率；
（2） 是 轴上一定点. 若动点 在 上满足 的范围内运动时， 恒成立，求 的取值
范围；
（3） 是曲线 上另一动点，且满足 ，若 的面积为4 ，求线段 的长.9．（2023年山东省模拟数学试题）中国结是一种手工编制工艺品，因其外观对称精致，符合中国传统装
饰的审美观念，广受中国人喜爱. 它有着复杂奇妙的曲线，却可以还原成单纯的二维线条，其中的“八字
结”对应着数学曲线中的伯努利双纽线. 在 平面上，我们把与定点 ， 距离之积
等于 的动点的轨迹称为伯努利双纽线， ， 为该曲线的两个焦点. 数学家雅各布•伯努利曾将该曲线
作为椭圆的一种类比开展研究. 已知曲线 是一条伯努利双纽线.
(1)求曲线C的焦点 ， 的坐标；
(2)试判断曲线C上是否存在两个不同的点A，B（异于坐标原点O），使得以AB为直径的圆过坐标原点O.
如果存在，求出A，B坐标；如果不存在，请说明理由.10．如图，已知曲线 ，曲线 ， 是平面上一点，若存在过点 的直线与
都有公共点，则称 为“ 型点”.
（1）证明： 的左焦点是“ 型点”；
（2）设直线 与 有公共点，求证： ，进而证明原点不是“ 型点”；
（3）求证： 内的点都不是“ 型点”.
