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专题 4.1 相似三角形的性质与判定
目录
比例的性质.........................................................................................................................................1
成比例线段.........................................................................................................................................3
平行线分线段成比例.........................................................................................................................5
平行线分线段成比例（推论）.........................................................................................................8
平行线分线段成比例（辅助线）..................................................................................................10
相似多边形的相关内容...................................................................................................................13
相似多边形的计算...........................................................................................................................14
相似三角形的判定...........................................................................................................................16
相似三角形判定（动点问题）.......................................................................................................18
相似三角形综合运用.......................................................................................................................21
相似比与面积和周长的关系...........................................................................................................23
图形的位似.......................................................................................................................................26
图形的位似（坐标轴）...................................................................................................................28
比例的性质
a,b,c,d a和b c和d a,b,c,d
在四条线段 中，如果 的比等于 的比，那么这四条线段
叫做成比例线段，简称比例线段．
【例1】下列四组线段中，是成比例线段的一组是
A．3，6，4，7 B．5，6，7，8 C．2，4，6，8 D．10，15，8，12
【解答】解： 、 ， 四条线段不成比例；
、 ， 四条线段不成比例；
、 ， 四条线段不成比例；
、 ， 四条线段成比例；
故选： ．
【变式训练1】甲、乙两地相距60千米，在比例尺 的地图上，图上距离应是厘米．
A．6000000 B．600 C．60 D．6
【解答】解：60千米 厘米，
（厘米）．
答：图上距离应是6厘米．
故选： ．
【变式训练2】下列各组中的四条线段成比例的是
A． ， ， ， B． ， ， ，
C． ， ， ， D． ， ， ，
【解答】解： 、 ，
四条线段成比例，故符合题意；
、 ，
四条线段不成比例，故不符合题意；
、 ，
四条线段不成比例，故不符合题意；
、 ，
四条线段不成比例，故不符合题意．
故选： ．
【变式训练3】已知 、 、 、 是成比例线段，其中 ， ， ，则线段
的长为
A．0.4 B．0.6 C．0.8 D．4
【解答】解： 、 、 、 四条线段是成比例的线段，
，
， ， ，
解得： ．
故选： ．成比例线段
b d
=
a c
a c d c a b
= ⇔ad=bc⇒ = 或 =
b d b a c d
（比例基本定理） a±b c±d
=
b d
合比性质：
a c m a+c+⋯+m a
= =⋯= (b+d+⋯+n≠0)⇒等比性质: =
b d n b+d+⋯+n b
涉及概念：①第四比例项②比例中项③比的前项、后项，比的内项、外项④黄金分割等。
【例2】若 ，则下列结论一定成立的是
A． B． C． D．
【解答】解： 、因为 ，所以 ，故 不符合题意；
、因为 ，所以 ，故 不符合题意；
、因为 ，所以 ，故 符合题意；
、因为 ，所以 ，故 不符合题意；
故选： ．
【变式训练1】如果 ，那么 的值是
A． B． C． D．
【解答】解： ，
，．
故选： ．
【变式训练2】若 ，则 的值是
A． B． C． D．
【解答】解： ，
设 ，则 ， ，
故原式
．
故选： ．
【变式训练3】已知 ，则 的值为
A． B．1 C． D．
【解答】解：由 ，得
， ．
．
故选： ．
【例3】已知线段 、 、 满足 ，且 ．
（1）求 、 、 的值；
（2）若线段 是线段 、 的比例中项，求 的值．
【解答】解：（1） ，设 ， ， ，
又 ，
，解得 ，
， ， ；
（2） 是 、 的比例中项，
，
，
或 （舍去），
即 的值为 ．
【变式训练1】已知 、 、 是 的三边长，且 ，求：
（1） 的值．
（2）若 的周长为90，求各边的长．
【解答】解：（1）设 ，则 ， ， ，
所以 ；
（2） ，解得 ，
所以 ， ， ．
平行线分线段成比例
比例式法 长短法 位置法
短∶长＝ 上∶下＝
＝
短∶长 上∶下
短∶最长＝ 上∶全＝
＝
短∶最长 上∶全
长∶最长＝ 下∶全＝
＝
长∶最长 下∶全
【例4】如图， ，直线 、 与这三条平行线分别交于点 、 、 和点 、、 ．已知 ， ， ，则 的长为
A．4 B．5 C．6 D．8
【解答】解： ，
，
， ， ，
，
解得 ，
故选： ．
【变式训练1】如图， ，两条直线与这三条平行线分别交于点 、 、 和 、
、 ．已知 ，则 的值为
A． B． C． D．
【解答】解： ， ，
，
故选： ．【变式训练2】如图， 已知直线 ，直线 ， 与 ， ， 分别交于点 ， ，
， ， ， ，若 ， ， ，则 的值是
A ． 4 B ． 4.5 C ． 5 D ． 5.5
【解答】解： 直线 ， ， ， ，
，即 ，解得 ．
故选： ．
【变式训练3】如图，直线 ，直线 ， 与这三条平行线分别交于点 ， ， 和
点 ， ， ．若 ， ，则 的长为 ．
【解答】解： ，
，
，
，
故答案为6平行线分线段成比例（推论）
平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例.
已知AD∥BE∥CF,
可得 等.
特别在三角形中：
AD AE BD EC AD AE
= 或 = 或 =
DB EC AD EA AB AC
由DE∥BC可得：
A
D E
B C
【例5】如图，在 中， ， ， ， ，则 的长为
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解： ，
，即 ，
解得： ，
故选： ．
【变式训练1】如图所示， 中若 ， ，则下列比例式正确的是
A． B． C． D．
【解答】解： ， ，
四边形 是平行四边形，
， ；
，
，
，
，
， ，
，
故选： ．
【变式训练2】如图，已知在 中，点 、 、 分别是边 、 、 上的点，
， ，且 ，那么 等于A． B． C． D．
【解答】解： ，
，
，
，
，
．
故选： ．
【变式训练3】如图，在 中，点 ， ， 分别在边 ， ， 上，且
， ．若 ，则 的值为
A． B． C． D．
【解答】解： ， ， ，
， ，
，
故选： ．
平行线分线段成比例（辅助线）
【例6】如图， ， ，则 的值是A． B． C． D．
【解答】解：过点 作 交 于点 ，
则 ， ，
，
故选： ．
【变式训练1】如图，在 中， 是 边的中点，点 在 边上，且 ，
与 交于点 ，则 的值为
A． B． C． D．
【解答】解：如图，过点 作 交 于 ，
是 边的中点，
点 是 的中点，
是 的中位线，，
设 ，则 ， ，
，
，
，
故选： ．
【变式训练2】如图， 是 的中线，点 在 上，延长 交 于点 ，若
，则
A． B． C． D．
【解答】解：过点 作 交 于 ，
则 ，
是 的中线，
，
，
，
，
，
故选： ．【变式训练3】如图，在 中， 在 边上， ， 是 的中点，连接
并延长交 于 ，则 ．
【解答】解：作 交 于 ，如图，
，
，
即 ，
，
，
，
．
故答案为 ．
相似多边形的相关内容
【例7】下列四组图形中，不是相似图形的是
A． B．C． D．
【解答】解： 、形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故不符合题意；
、形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故不符合题意；
、形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故不符合题意；
、形状不相同，不符合相似形的定义，故符合题意；
故选： ．
【变式训练1】用一个4倍放大镜照 ，下列说法错误的是
A． 放大后， 是原来的4倍
B． 放大后，边 是原来的4倍
C． 放大后，周长是原来的4倍
D． 放大后，面积是原来的16倍
【解答】解： 放大前后的三角形相似，
放大后三角形的内角度数不变，面积为原来的16倍，周长和边长均为原来的4倍，
则 错误，符合题意．
故选： ．
【变式训练2】下列图形中一定是相似形的是
A．两个等边三角形 B．两个菱形
C．两个矩形 D．两个直角三角形
【解答】解： 等边三角形的对应角相等，对应边的比相等，
两个等边三角形一定是相似形，
又 直角三角形，菱形的对应角不一定相等，矩形的边不一定对应成比例，
两个直角三角形、两个菱形、两个矩形都不一定是相似形，
故选： ．
【变式训练3】如图，有三个矩形，其中是相似图形的是
A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．甲、乙和丙
【解答】解：甲：邻边的比为 ，乙：邻边的比为 ，
丙：邻边的比为 ，
所以，是相似图形的是甲和丙．
故选： ．
相似多边形的计算
【例8】已知矩形 中， ，在 上取一点 ，将 沿 向上折叠，使
点落在 上的 点．若四边形 与矩形 相似，则 ．
【解答】解： ，
设 ，则 ， ，
四边形 与矩形 相似，
， ，
解得 ， （不合题意舍去），
经检验 是原方程的解．
故答案为 ．
【变式训练1】两个相似多边形的周长比是 ，其中小多边形的面积为 ，则较大多
边形的面积为
A． B． C． D．
【解答】解： 两个相似多边形的周长比是 ，
两个相似多边形的相似比是 ，两个相似多边形的面积比是 ，
较小多边形的面积为 ，
较大多边形的面积为 ，
故选： ．
【变式训练2】如图，一块矩形 绸布的长 ，宽 ，按照图中的方式将它
裁成相同的三面矩形彩旗，如果裁出的每面彩旗与矩形 绸布相似，则 的值等于
A． B． C．2 D．
【解答】解： 使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，
，
解得 或 （舍弃），
，
故选： ．
【变式训练3】如图，在四边形 中， ，点 为边 上一点，且
交 于点 ，若 ， ，四边形 四边形 ，则 的值
是A． B． C． D．
【解答】解： 四边形 四边形 ，
，
， ，
，
，
四边形 四边形 ，
，
故选： ．
相似三角形的判定
1、平行法：（图上）平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，
所构成的三角形与原三角形相似.
2、判定定理1：简述为：两角对应相等，两三角形相似． AA
3、判定定理2：简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．SAS
4、判定定理3：简述为：三边对应成比例，两三角形相似．SSS
5、判定定理4：直角三角形中，“HL”
【例9】已知在 中， ， ， ，下列阴影部分的三角形与原
不相似的是A． B．
C． D．
【解答】解： 、由有两组角对应相等的两个三角形相似，可证阴影部分的三角形与原
相似，故选项 不符合题意；
、不能证明阴影部分的三角形与原 相似，故选项 符合题意；
、由有两组角对应相等的两个三角形相似，可证阴影部分的三角形与原 相似，故
选项 不符合题意；
、由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，故选项 不符合题意；
故选： ．
【变式训练1】如图，点 在 的边 上，要判断 ，添加一个条件，
不正确的是
A． B． C． D．
【解答】解： 、当 时，又 ， ，故此选项不符合题
意；
、当 时，又 ， ，故此选项不符合题意；
、当 时，又 ， ，故此选项不符合题意；
、无法得到 ，故此选项符合题意．
故选： ．
【变式训练2】如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与△ 相似的是
A． B．
C． D．
【解答】解：因为△ 中有一个角是 ，选项中，有 角的三角形只有 ，且满
足两边成比例夹角相等，
故选： ．
【变式训练3】如图，如果 ，那么添加下列一个条件后，仍不能确定
的是
A． B． C． D．
【解答】解： ，
，
， ， 都可判定
选项 中不是夹这两个角的边，所以不相似，
故选： ．
相似三角形判定（动点问题）
【例10】已知 ， ， ， ， ，在线段 上有一点
使得 和 相似，则满足条件的点 的有 个．A．1 B．2 C．3 D．无数
【解答】解：设 ，则 ，
，
当 或 时， 和 相似，
当 时，则 ，解得： ，
当 时，则 ，解得： ，
的值有三个，
故选： ．
【变式训练1】如图，矩形 中， ， ， 为 边上的动点，当
与 相似时， ．
【解答】解：①当 时， ，
即 ，
解得： ，或 ；
②当 时， ，即 ，
解得： ．
综上所述， 的长度是1或4或2.5
故答案是：1或4或2.5
【变式训练2】如图， 是边长为 等边三角形，动点 、 同时从 、 出发，分别沿 、 方向匀速运动，其中点 运动的速度是 ，点 运动的速度是
，当点 到达点 时， 、 两点停止运动，在运动过程中作 交 于点
，连接 ，设运动的时间为 ，当 时 ．
【解答】解： 是边长为 等边三角形，
，
为等边三角形
点 运动的速度是 ，点 运动的速度是
， ， ， ，
若要 ，则需满足
，
又解得
故答案为1.2
【变式训练3】在 中， ， ．点 在边 上，且 ，点 在
边上．当 时， 与原三角形相似．
【解答】解：由题意可知， ， ， ，
①若 ，
则 ，
即 ，
解得： ；
②若 ，
则 ，
即 ，
解得： ；
故 或4.5
故答案为：2或4.5
相似三角形综合运用
【例11】如图， ， ， 是 上一点，使得 ；
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的长；
（3）当 时，请写出线段 、 、 之间数量关系，并说明理由．【解答】（1）证明： ， ，
， ，
，
，
，
，
；
（2）解： 中， ， ，
，
，
，
由（1）得： ，
，
，
；
（3）解：线段 、 、 之间数量关系： ；
理由是：过 作 于 ，
，
，
，
，
，
，
，，
，
同理可得： ，
，
．
【变式训练1】如图，在 中， ， ，点 从点 出发，沿
以 的速度向点 运动，同时点 从点 出发，沿 以 的速度向点 运
动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为 ．
（1）当 时，求 的值．
（2） 与 能否相似？若能，求出 的长；若不能，请说明理由．
【解答】解：（1）当 时， ，
， ，
，
解得： ；
即当 ， ；（2）能，
①当 时，有 ，
即： ，
解得： ，
，
②当 时，有 ，
即： ，
解得： 或 （舍去），
，
综上所述，当 或 时， 与 相似．
相似比与面积和周长的关系
(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例．
(2)相似三角形周长的比等于相似比．
(3)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．
(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方．
【例12】如果两个相似三角形的面积比是 ，那么它们的周长比是
A． B． C． D．
【解答】解： 两个相似三角形的面积比是 ，
两个相似三角形的相似比是 ，
两个相似三角形的周长比是 ，
故选： ．【变式训练1】 与 的相似比为 ，则 与 的周长比为
A． B． C． D．
【解答】解： 与 的相似比为 ，
与 的周长比为 ；
故选： ．
【变式训练2】若 ，相似比为 ，则对应高的比为
A． B． C． D．
【解答】解： ，相似比为 ，
对应高的比为： ．
故选： ．
【变式训练3】如图，已知 ， ，则下列等式一定成立的是
A． B．
C． D．
【解答】解： ，
， 不一定成立；
， 不成立；
， 不成立；
， 成立，故选： ．
【变式训练4】在 中， ， ，点 、 分别在 、 上．若
与 相似，且 ，则 ．
【解答】解： ，
，
与 相似比为： ，
①若 对应 时，
则 ，
，
；
②当 对应 时，则 ，
，
；
故答案为： ．
【变式训练5】如图，在 中， ， 分别是 的边 ， 上的中线，则A． B． C． D．
【解答】解： ， 分别是 的边 ， 上中线，
是 的中点， 是 的中点，
是 的中位线，
， ，
，
，
故选： ．
图形的位似
【例13】如图，已知 与 位似，位似中心为点 ，且 的面积等于
面积的 ，则 的值为
A． B． C． D．
【解答】解： 与 位似，位似中心为点 ，且 的面积等于 面积
的 ，
， ，，
．
故选： ．
【变式训练1】如图， 和△ 是以点 为位似中心的位似三角形，若 为 的
中点， ，则 的面积为
A．15 B．12 C．9 D．6
【解答】解： 和△ 是以点 为位似中心的位似三角形，
△ ， ，
△ ，
，
，
，
的面积 ，
故选： ．
【变式训练2】如图， 与 位似，点 为位似中心，相似比为 ．若 的
周长为4，则 的周长是A．4 B．6 C．9 D．16
【解答】解： 与 位似，相似比为 ．
，
的周长为4，
的周长是6，
故选： ．
【变式训练3】如图，以点 为位似中心，作四边形 的位似图形 ，已知
，若四边形 的面积是2，则四边形 的面积是
A．4 B．6 C．16 D．18
【解答】解： 以点 为位似中心，作四边形 的位似图形 ， ，
，
则四边形 面积为：18
故选： ．
图形的位似（坐标轴）
【例14】如图，在直角坐标系中，有两点 ， ，以原点 位似中心，相似比为，在第一象限内把线段 缩小后得到线段 ，则点 的坐标为
A． B． C． D．
【解答】解：由题意得， ，相似比是 ，
，又 ， ，
， ，
点 的坐标为： ，
故选： ．
【变式训练1】如图，在平面直角坐标系中，正方形 与正方形 是以原点 为
位似中心的位似图形，且相似比为 ，点 ， ， 在 轴上，若正方形 的边长为
6，则 点坐标为
A． B． C． D．
【解答】解： 正方形 与正方形 是以原点 为位似中心的位似图形，且相似
比为 ，，
，
，
，
，
，
，
解得： ，
，
点坐标为： ，
故选： ．
【变式训练2】如图，在平面直角坐标系中，已知点 ， ，以原点 为位似
中心，相似比为 ，把 缩小，则点 的对应点 的坐标是
A． B．
C． 或 D． 或
【解答】解： ， ，以原点 为位似中心，相似比为 ，把 缩小，
点 的对应点 的坐标为 ， 或 ， ，即 点的坐标为或 ．
故选： ．
【变式训练3】如图，在平面直角坐标系中，已知点 、 ，以原点 为位似
中心，相似比为 ，把 缩小，则点 的对应点 的坐标是
A． B．
C． 或 D． 或
【解答】解： 点 ，以原点 为位似中心，相似比为 ，把 缩小，
点 的对应点 的坐标是 或 ，
故选： ．
【例15】已知： 在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为 、 ，
正方形网格中每个小正方形的边长是1个单位长度）．
（1） 的面积是 ．
（2）以点 为位似中心，在网格内画出△ ，使△ 与 位似，且位似比为
，此时点 的坐标是 ．【解答】解：（1） 的面积 ．
故答案为： ．
（2）如图，出△ 即为所求， ．
故答案为： ．
【变式训练1】如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知 三个顶
点分别为 、 、 ．
（1）画出 关于 轴对称的△ ；
（2）以原点 为位似中心，在 轴的上方画出△ ，使△ 与 位似，且
位似比为2，并求出△ 的面积．【解答】解：（1）如图所示，△ 就是所求三角形
（2）如图所示，△ 就是所求三角形．
， ， ，△ 与 位似，且位似比为2，
， ， ，
．一．选择题（共8小题）
1．已知 ，则
A． B． C． D．
【解答】解： ，
，
．
故选： ．
2．如果 ，那么下列比例式成立的是
A． B． C． D．【解答】解： ．因为 ，所以 ，故 不符合题意；
．因为 ，所以 ，故 符合题意；
．因为 ，所以 ，故 不符合题意；
．因为 ，所以 ，故 不符合题意；
故选： ．
3．如果 ，那么 的值是
A． B． C． D．
【解答】解： ，
，
，
，
故选： ．
4．一张比例尺为 的图纸上，一块多边形地区的面积是260平方厘米，则该地区的实
际面积是 平方米．
A．260000 B．260000000 C．26000 D．2600000
【解答】解：设该地区的实际面积是 ，由题意得，
，
解得， ，
，
故选： ．
5．如图，已知直线 ，直线 、 分别与直线 、 、 分别交于点 、 、 、、 、 ，若 ， ，则 的值为
A． B． C． D．
【解答】解： ，
，
， ，
，
即 ，
故选： ．
6．如图，直线 ， ， 截直线 和 ， ， ，则下列结论中，正确的是
A． B． C． D．
【解答】解： ， ，
，
， ， ，故选项 正确，符合题意，选项 、 不正确，不符合
题意；连接 ，交 于 ，
，
，
，
，
选项 不正确，不符合题意；
故选： ．
7．下列两个图形一定相似的是
A．任意两个矩形 B．任意两个等腰三角形
C．任意两个正方形 D．任意两个菱形
【解答】解：任意两个矩形，对应角对应相等、边的比不一定相等，不一定相似， 错误；
任意两个等腰三角形，形状不一定相同，不一定相似， 错误；
任意两个正方形对应角对应相等、边的比相等，所以相似， 正确；
任意两个菱形，边的比相等、对应角不一定相等，不一定相似， 错误，
故选： ．
8．下列结论不正确的是
A．所有的等腰直角三角形都相似
B．所有的正方形都相似
C．所有的矩形都相似
D．所有的正八边形都相似
【解答】解： 、所有的等腰直角三角形两腰相等都相似，不符合题意．
、所有的正方形因为四边相等都相似，不符合题意．
、所有的矩形不一定都相似，符合题意．
、所有的正八边形都相似，不符合题意．故选： ．
二．填空题（共4小题）
9．若 ，则 ．
【解答】解： ，
可以假设 ， ，
．
故答案为 ．
10．已知 ，且 ．则 为 9 ．
【解答】解： ，
设 ，
， ，
，
，
，
，
故答案为：9．
11．若 ，则 ．
【解答】解： ，
设 ， ，
，
故答案为： ．12．已知线段 是线段 、 的比例中项，若 ， ，则 2 7 ．
【解答】解： 线段 是 、 的比例中项，
，
， ，
．
故答案为：27．
三．解答题（共3小题）
13．已知 ，且 ，求 的值．
【解答】解：设 ，
则 ， ， ，
代入 得， ，
解得 ，
所以， ， ， ，
所以， ．
14．已知 ＝ ，求下列各式的值：
（1） ；
（2） ．
【解答】解：∵ ＝ ，
∴2x+6y＝3x﹣3y，
∴x＝9y，
（1） ＝ ＝9；
（2） ＝ ＝ ＝ ．
15．计算：
（1）已知 ，若 ，求 ， 的值．（2）解方程： ．
【解答】解：（1） ，
设 ， ，
，
，
解得 ，
， ；
（2） ，
，
或 ，
， ．
