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第 2 讲 基本初等函数、函数与方程
[考情分析] 1.基本初等函数的图象与性质是高考考查的重点，利用函数性质比较大小、解
不等式是常见题型.2.函数零点的个数判断及参数范围是常考题型，常以压轴题的形式出现.3.
函数模型及应用是近几年高考的热点，通常考查指数函数、对数函数模型．
考点一 基本初等函数的图象与性质
核心提炼
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝log x(a>0，且a≠1)互为反函数，其图象关于y
a
＝x对称，它们的图象和性质分0<a<1，a>1两种情况，着重关注两种函数图象的异同．
例1 (1)(2022·杭州模拟)已知lg a＋lg b＝0(a>0且a≠1，b>0且b≠1)，则函数f(x)＝ax与
g(x)＝ 的图象可能是( )
(2)若对正实数x，y有log x－log y<3－x－3－y，则( )
2 2
A．ln(y－x＋1)>0 B．ln(y－x＋1)<0
C．ln|x－y|>0 D．ln|x－y|<0
规律方法 (1)指数函数、对数函数的图象与性质受底数a的影响，解决与指数函数、对数
函数有关的问题时，首先要看底数a的取值范围．
(2)基本初等函数的图象和性质是统一的，在解题中可相互转化．
跟踪演练1 (1)(2022·山东名校大联考)若a＝log 2，b＝log 2，c＝e0.2，则a，b，c的大小关
3 5
系为( )
A．b<a<c B．c<a<b
C．b<c<a D．a<b<c
(2)(2022·邯郸模拟)不等式10x－6x－3x≥1的解集为________．考点二 函数的零点
核心提炼
判断函数零点个数的方法
(1)利用函数零点存在定理判断．
(2)代数法：求方程f(x)＝0的实数根．
(3)几何法：对于不易求根的方程，将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，利用函数的性质找
出零点或利用两个函数图象的交点求解．在利用函数性质时，可用求导的方法判断函数的单
调性．
考向1 函数零点个数的判断
例2 已知f(x)是定义在R上周期为2的偶函数，且当x∈[0,1]时，f(x)＝2x－1，则函数g(x)
＝f(x)－log |x|的零点个数是( )
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A．2 B．4 C．6 D．8
考向2 求参数的值或范围
例3 (2022·河北联考)函数f(x)＝ex和g(x)＝kx2的图象有三个不同交点，则k的取值范围是
________．
规律方法 利用函数零点的情况求参数值(或取值范围)的三种方法
跟踪演练2 (1)已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝a(x＋1)有三个不相等的实数根，则实数
a的取值范围是________．
(2)函数f(x)＝sin －在区间[－4,8]上的所有零点之和为________．
考点三 函数模型及其应用
核心提炼
解函数应用题的步骤
(1)审题：缜密审题，准确理解题意，分清条件和结论，理清数量关系．
(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立
相应的数学模型．
(3)求模：求解数学模型，得出数学结论．(4)反馈：将得到的数学结论还原为实际问题的意义．
例4 (1)(2022·衡阳模拟)2021年10月16日0时23分，搭载神舟十三号载人飞船的长征二
号F遥十三运载火箭，在酒泉卫星发射中心按照预定时间精准点火发射，顺利将翟志刚、
王亚平、叶光富3名航天员送入太空，飞行乘组状态良好，发射取得圆满成功，火箭在发射
时会产生巨大的噪音，已知声音的声强级d(x)(单位：dB)与声强x(单位：W/m2)满足d(x)＝
10lg .若人交谈时的声强级约为50 dB，且火箭发射时的声强与人交谈时的声强的比值约为
109，则火箭发射时的声强级约为( )
A．130 dB B．140 dB
C．150 dB D．160 dB
(2)(2022·福州模拟)深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为
出发点的．在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为 L＝ ，其中L表示每一轮优
化时使用的学习率，L 表示初始学习率，D表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，G 表示衰
0 0
减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为 0.5，衰减速度为22，且当训练迭
代轮数为22时，学习率衰减为0.45，则学习率衰减到0.05以下(不含0.05)所需的训练迭代
轮数至少为(参考数据：lg 3≈0.477 1)( )
A．11 B．22
C．227 D．481
易错提醒 构建函数模型解决实际问题的失分点
(1)不能选择相应变量得到函数模型．
(2)构建的函数模型有误．
(3)忽视函数模型中变量的实际意义．
跟踪演练3 (1)(2022·荆州联考)“绿水青山就是金山银山”，党的十九大以来，城乡深化河
道生态环境治理，科学治污．某乡村一条污染河道的蓄水量为v立方米，每天的进出水量为
k立方米．已知污染源以每天r个单位污染河水，某一时段t(单位：天)河水污染质量指数为
m(t)(每立方米河水所含的污染物)满足m(t)＝ (m 为初始质量指数)，经测
0
算，河道蓄水量是每天进出水量的80倍．若从现在开始关闭污染源，要使河水的污染水平
下降到初始时的10%，需要的时间大约是(参考数据：ln 10≈2.30)( )
A．1个月 B．3个月
C．半年 D．1年
(2)(2022·广东大联考)水果采摘后，如果不进行保鲜处理，其新鲜度会逐渐流失，某水果产
地的技术人员采用一种新的保鲜技术后发现水果在采摘后的时间 t(单位：小时)与失去的新
鲜度y满足函数关系式：y＝ 为了保障水果在销售时的新鲜度不低于
85%，从水果采摘到上市销售的时间间隔不能超过(参考数据：log 3≈1.6)( )
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A．20小时 B．25小时
C．28小时 D．35小时
