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2025二轮复习专项训练5
基本初等函数、函数与方程
[考情分析] 基本初等函数作为高考的命题热点，多单独或与不等式综合考查，函数的应
用问题集中体现在函数模型的选择使用．函数与方程主要是函数零点个数的判断、零点所
在区间、求参数取值范围等方面．常以选择题、填空题的形式出现，有时难度较大．
【练前疑难讲解】
一、基本初等函数的图象与性质
1．指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝log x(a>0，且a≠1)互为反函数，其图象关
a
于y＝x对称，它们的图象和性质分0<a<1，a>1两种情况，着重关注两个函数图象的异同．
2．幂函数y＝xα的图象和性质，主要掌握α＝1,2,3，，－1五种情况．
二、函数的零点
函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的
图象的交点的横坐标．
三、函数模型及其应用
应用函数模型解决实际问题的一般程序和解题关键
(1)一般程序：
(2)解题关键：解答这类问题的关键是准确地建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、
不等式和导数的有关知识加以综合解答．
一、单选题
1．（2023·全国·高考真题）设函数 在区间 上单调递减，则 的取值范围
是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·广东江苏·高考真题）已知函数 在R上单调递增，则a
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·天津·高考真题）设 ，则 的大小关系为（ ）
学科网（北京）股份有限公司A． B．
C． D．
4．（2024·安徽芜湖·二模）在数列 中， 为其前n项和，首项 ，且函数
的导函数有唯一零点，则 =（ ）
A．26 B．63 C．57 D．25
5．（21-22高二下·陕西宝鸡·期末）函数 的零点所在的大致区间是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024·全国·模拟预测）青少年视力问题是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力
表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据 和小数记录
法的数据 满足 ．已知小明和小李视力的五分记录法的数据分别为4.5和4.9，
记小明和小李视力的小数记录法的数据分别为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．（2023·湖北武汉·二模）函数 的图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
学科网（北京）股份有限公司8．（2023·广东茂名·一模）e是自然对数的底数， ，已知 ，则
下列结论一定正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
三、填空题
9．（2024·广东·一模）已知函数 在区间 上单调，且满足
， ，则 .
10．（2024·广东梅州·模拟预测）某科创公司新开发了一种溶液产品，但这种产品含有
的杂质，按市场要求杂质含量不得超过 ，现要进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减
少 ，要使产品达到市场要求，对该溶液过滤的最少次数为 ．
（参考数据： ， ）
【基础保分训练】
一、单选题
1．（2023·天津·高考真题）已知函数 的部分图象如下图所示，则 的解析式可能
为（ ）
A． B．
学科网（北京）股份有限公司C． D．
2．（2022·江苏连云港·二模）若函数 是偶函数，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
3．（2024·四川成都·二模）已知函数 的值域为 ．若 ，则实数
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·北京·高考真题）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧
化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳
所处的状态与T和 的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是 ．下
列结论中正确的是（ ）
A．当 ， 时，二氧化碳处于液态
B．当 ， 时，二氧化碳处于气态
C．当 ， 时，二氧化碳处于超临界状态
D．当 ， 时，二氧化碳处于超临界状态
5．（23-24高三上·北京·期中）近年来纯电动汽车越来越受消费者的青睐，新型动力电池迎
来了蓬勃发展的风口.Peukert于1898年提出蓄电池的容量 （单位： ），放电时间
学科网（北京）股份有限公司（单位： ）与放电电流 （单位： ）之间关系的经验公式： ，其中 为
Peukert常数.为测算某蓄电池的Peukert常数 ，在电池容量不变的条件下，当放电电流
时，放电时间 ；当放电电流 时，放电时间 .若计算时取
，则该蓄电池的Peukert常数 大约为（ ）
A．1.25 B．1.5 C．1.67 D．2
6．（22-23高二上·云南玉溪·阶段练习）已知函数 如满足： ，
，且 时， ，则 （ ）
A． B． C．0 D．
7．（21-22高三下·北京·开学考试）已知 （ 且 ， 且 ），则
函数 与 的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
8．（21-22高三上·江苏扬州·期末） 年 月 日，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主，英
国 岁高龄的著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学界的
震动.在 年，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文
并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想.在此之前著名的数学家欧拉也曾研究过这个何
学科网（北京）股份有限公司题，并得到小于数字 的素数个数大约可以表示为 的结论.若根据欧拉得出的结
论，估计 以内的素数个数为（ ）（素数即质数， ，计算结果取整数）
A． B． C． D．
9．（2023·天津·高考真题）设 ，则 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
10．（2023·河南·模拟预测）函数 的零点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
11．（2023·贵州遵义·模拟预测）今年 月 日，日本不顾国际社会的强烈反对，将福岛
第一核电站核污染废水排入大海，对海洋生态造成不可估量的破坏.据有关研究，福岛核污
水中的放射性元素有 种半衰期在 年以上；有 种半衰期在 万年以上.已知某种放射性
元素在有机体体液内浓度 与时间 （年）近似满足关系式 为大于 的
常数且 .若 时， ；若 时， .则据此估计，这种有机体体液内该放
射性元素浓度 为 时，大约需要（ ）（参考数据: ）
A． 年 B． 年 C． 年 D． 年
12．（2022·广东惠州·二模）函数 的图像与函数 的图像的交点
个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．0
二、多选题
13．（2024·全国·模拟预测）已知 ， ，且 ，则（ ）
A． B． C． D．
14．（2021·山东潍坊·三模）已知函数 （ 且 ）的图象如下图所示，则下列
学科网（北京）股份有限公司四个函数图象与函数解析式对应正确的是（ ）
A． B．
C． D．
15．（23-24高一下·陕西安康·期末）已知函数 且 ，则
（ ）
A． B．
C． 的最小值为 D．
16．（2022·辽宁葫芦岛·二模）设函数 ，若关于 的方程
有四个实数解 ，且 ，则 的值可能
是（ ）
A．0 B．1 C．99 D．100
三、填空题
17．（2023·浙江宁波·二模）若函数 在区间 上的最大值与最小值的差为
2，则 ．
学科网（北京）股份有限公司18．（2024·北京通州·二模）已知函数 的定义域为 ．
19．（2024·上海·模拟预测）函数 的最小值为 .
20．（2023·广东深圳·一模）定义开区间 的长度为 ．经过估算，函数
的零点属于开区间 （只要求写出一个符合条件，且长度不超过
的开区间）．
【能力提升训练】
一、单选题
1．（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数 的部分图象如图所示，则 的解析
式可能为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·湖南常德·一模）函数 的图象大致是（ ）
A． B．
学科网（北京）股份有限公司C． D．
3．（2024·四川成都·模拟预测）已知集合 ，
则 （ ）
A． B． C． D．
4．（2025·安徽·一模）若 ，则 的大小关系是
（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022·重庆·模拟预测）若函数 有最小值，则实数a的取值范
围是（ ）
A． B．
C． D．
6．（21-22高二下·河北秦皇岛·期末）“幂函数 在 上为增函
数”是“函数 为奇函数”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充分必要 D．既不充分也不必要
7．（2024·浙江温州·三模）已知函数 ，则关于 方程
学科网（北京）股份有限公司的根个数不可能是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
8．（2023·广东梅州·二模）用二分法求方程 近似解时，所取的第一个区间可
以是（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·山东威海·一模）若函数 与 的图像有且仅有一个交
点，则关于x的不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
10．（22-23高三下·湖南·阶段练习）住房的许多建材都会释放甲醛.甲醛是一种无色、有着
刺激性气味的气体，对人体健康有着极大的危害.新房入住时，空气中甲醛浓度不能超过
0.08 ，否则，该新房达不到安全入住的标准.若某套住房自装修完成后，通风
周与室内甲醛浓度y（单位： ）之间近似满足函数关系式
，其中 ，且
， ，则该住房装修完成后要达到安全入住的标准，至少需要通风（ ）
A．17周 B．24周 C．28周 D．26周
二、多选题
11．（2023·安徽合肥·一模）已知数列 满足 ．若对 ，都有
成立，则整数 的值可能是（ ）
A． B． C．0 D．1
12．（2023·重庆九龙坡·二模）若a，b，c都是正数，且 则（ ）
学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
13．（2024·甘肃武威·模拟预测）函数 的图象恒过定点 ，若
点 在直线 上，则（ ）
A． B． C． D．
14．（2023·湖北·模拟预测）已知 ， ， ， ，则以下结论正确
的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
15．（2024·上海松江·二模）已知 ，函数 ，若该函数存
在最小值，则实数 的取值范围是 .
16．（2024·辽宁·模拟预测）命题“任意 ， ”为假命题，则实数 的取
值范围是 .
17．（21-22高一上·广东珠海·阶段练习）已知函数 求使方程
的实数解个数为3时 取值范围 ．
18．（22-23高三下·广东佛山·开学考试）已知函数 ，对任意的正
实数x都有 恒成立，则a的取值范围是 ．
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