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2025二轮复习专项训练5
基本初等函数、函数与方程
[考情分析] 基本初等函数作为高考的命题热点，多单独或与不等式综合考查，函数的应
用问题集中体现在函数模型的选择使用．函数与方程主要是函数零点个数的判断、零点所
在区间、求参数取值范围等方面．常以选择题、填空题的形式出现，有时难度较大．
【练前疑难讲解】
一、基本初等函数的图象与性质
1．指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝log x(a>0，且a≠1)互为反函数，其图象关
a
于y＝x对称，它们的图象和性质分0<a<1，a>1两种情况，着重关注两个函数图象的异同．
2．幂函数y＝xα的图象和性质，主要掌握α＝1,2,3，，－1五种情况．
二、函数的零点
函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的
图象的交点的横坐标．
三、函数模型及其应用
应用函数模型解决实际问题的一般程序和解题关键
(1)一般程序：
(2)解题关键：解答这类问题的关键是准确地建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、
不等式和导数的有关知识加以综合解答．
一、单选题
1．（2023·全国·高考真题）设函数 在区间 上单调递减，则 的取值范围
是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·广东江苏·高考真题）已知函数 在R上单调递增，则a
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·天津·高考真题）设 ，则 的大小关系为（ ）
学科网（北京）股份有限公司A． B．
C． D．
4．（2024·安徽芜湖·二模）在数列 中， 为其前n项和，首项 ，且函数
的导函数有唯一零点，则 =（ ）
A．26 B．63 C．57 D．25
5．（21-22高二下·陕西宝鸡·期末）函数 的零点所在的大致区间是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024·全国·模拟预测）青少年视力问题是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力
表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据 和小数记录
法的数据 满足 ．已知小明和小李视力的五分记录法的数据分别为4.5和4.9，
记小明和小李视力的小数记录法的数据分别为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．（2023·湖北武汉·二模）函数 的图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
学科网（北京）股份有限公司8．（2023·广东茂名·一模）e是自然对数的底数， ，已知 ，则
下列结论一定正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
三、填空题
9．（2024·广东·一模）已知函数 在区间 上单调，且满足
， ，则 .
10．（2024·广东梅州·模拟预测）某科创公司新开发了一种溶液产品，但这种产品含有
的杂质，按市场要求杂质含量不得超过 ，现要进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减
少 ，要使产品达到市场要求，对该溶液过滤的最少次数为 ．
（参考数据： ， ）
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D B D C C C ABC BC
1．D
【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.
【详解】函数 在R上单调递增，而函数 在区间 上单调递减，
则有函数 在区间 上单调递减，因此 ，解得 ，
所以 的取值范围是 .
故选：D
2．B
【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可.
学科网（北京）股份有限公司【详解】因为 在 上单调递增，且 时， 单调递增，
则需满足 ，解得 ，
即a的范围是 .
故选：B.
3．D
【分析】根据对应幂、指数函数的单调性判断大小关系即可.
【详解】由 在R上递增，则 ，
由 在 上递增，则 .
所以 .
故选：D
4．C
【分析】计算 ，分析 的奇偶性，可判断零点取值，代入计算可得 的递推关
系，求出前5项，计算求和即可.
【详解】因为 ，
所以 ，由题意可知： 有唯一零点.
令 ，可知 为偶函数且有唯一零点，
则此零点只能为0，即 ，代入化简可得： ，
又 ，所以 ， ， ， ，所以 .
故选：C
5．C
【分析】首先判断函数的单调性，再根据零点存在性定理判断即可.
学科网（北京）股份有限公司【详解】解： 的定义域为 ，又 与 在 上单调
递增，
所以 在 上单调递增，
又 ， ， ，
所以 ，所以 在 上存在唯一的零点.
故选：C
6．C
【分析】根据题意得到方程组，求出 ，根据 得到
.
【详解】依题意， ，两式相减可得， ，
故 ，而 ，故 .
故选：C．
7．ABC
【分析】分类讨论函数的单调性及极值点判断各个选项即可.
【详解】 ，
当 时, ,A选项正确；
，
，
,
学科网（北京）股份有限公司时, 有两个根 ,且 时
,根据极值点判断，故C选项正确,D选项错误；
当 时, 有两个根 ,且 此时
,故B选项正确.
故选：ABC．
8．BC
【分析】构建函数 根据题意分析可得 ，对A、D：取特值分析
判断；对B、C：根据 的单调性，分类讨论分析判断.
【详解】原式变形为 ，
构造函数 ，则 ，
∵ ，
当 时， ，则 ，即 ；
当 时， ，则 ，即 ；
故 在 上单调递减，在 上单调递增，
对于A：取 ，则
∵ 在 上单调递增，故 ，
即 满足题意，但 ，A错误；
对于B：若 ，则有：
当 ，即 时，则 ，即 ；
当 ，即 时，由 在 时单调递增，且 ，
故 ，则 ；
学科网（北京）股份有限公司综上所述： ， B正确；
对于C：若 ，则有：
当 ，即 时， 显然成立；
当 ，即 时，令 ，
∵ ，当且仅当 ，即 时等号成立，
∴当 时，所以 ，即 ，
由 可得 ，即
又∵由 在 时单调递增，且 ，
∴ ，即 ；
综上所述： ，C正确；
对于D：取 ， ，则 ，
∵ 在 上单调递减，故 ，
∴故 ， 满足题意，但 ，D错误.
故选：BC.
【点睛】结论点睛：指对同构的常用形式：
（1）积型： ，
①构造形式为： ，构建函数 ；
②构造形式为： ，构建函数 ；
③构造形式为： ，构建函数 .
（2）商型： ，
学科网（北京）股份有限公司①构造形式为： ，构建函数 ；
②构造形式为： ，构建函数 ；
③构造形式为： ，构建函数 .
9．
【分析】由单调性确定函数 的最小正周期范围，再结合零点及最小值点求出周期即可
得解.
【详解】依题意， ，而函数 在 上单调，
则函数 的最小正周期 ，又 ， ，
因此 ，解得 ，所以 .
故答案为：
10．
【分析】设至少需要过滤 次，得到 ，结合对数的运算和参考数据，求
得 ，即可求解.
【详解】设至少需要过滤 次，可得 ，即 ，
两边取对数，可得 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，所以使产品达到市场要求的过滤次数最少为 次．
故答案为： .
【基础保分训练】
一、单选题
1．（2023·天津·高考真题）已知函数 的部分图象如下图所示，则 的解析式可能
学科网（北京）股份有限公司为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·江苏连云港·二模）若函数 是偶函数，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
3．（2024·四川成都·二模）已知函数 的值域为 ．若 ，则实数
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·北京·高考真题）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧
化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳
所处的状态与T和 的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是 ．下
列结论中正确的是（ ）
学科网（北京）股份有限公司A．当 ， 时，二氧化碳处于液态
B．当 ， 时，二氧化碳处于气态
C．当 ， 时，二氧化碳处于超临界状态
D．当 ， 时，二氧化碳处于超临界状态
5．（23-24高三上·北京·期中）近年来纯电动汽车越来越受消费者的青睐，新型动力电池迎
来了蓬勃发展的风口.Peukert于1898年提出蓄电池的容量 （单位： ），放电时间
（单位： ）与放电电流 （单位： ）之间关系的经验公式： ，其中 为
Peukert常数.为测算某蓄电池的Peukert常数 ，在电池容量不变的条件下，当放电电流
时，放电时间 ；当放电电流 时，放电时间 .若计算时取
，则该蓄电池的Peukert常数 大约为（ ）
A．1.25 B．1.5 C．1.67 D．2
6．（22-23高二上·云南玉溪·阶段练习）已知函数 如满足： ，
，且 时， ，则 （ ）
A． B． C．0 D．
7．（21-22高三下·北京·开学考试）已知 （ 且 ， 且 ），则
函数 与 的图象可能是（ ）
学科网（北京）股份有限公司A． B．
C． D．
8．（21-22高三上·江苏扬州·期末） 年 月 日，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主，英
国 岁高龄的著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学界的
震动.在 年，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文
并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想.在此之前著名的数学家欧拉也曾研究过这个何
题，并得到小于数字 的素数个数大约可以表示为 的结论.若根据欧拉得出的结
论，估计 以内的素数个数为（ ）（素数即质数， ，计算结果取整数）
A． B． C． D．
9．（2023·天津·高考真题）设 ，则 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
10．（2023·河南·模拟预测）函数 的零点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
11．（2023·贵州遵义·模拟预测）今年 月 日，日本不顾国际社会的强烈反对，将福岛
第一核电站核污染废水排入大海，对海洋生态造成不可估量的破坏.据有关研究，福岛核污
水中的放射性元素有 种半衰期在 年以上；有 种半衰期在 万年以上.已知某种放射性
元素在有机体体液内浓度 与时间 （年）近似满足关系式 为大于 的
学科网（北京）股份有限公司常数且 .若 时， ；若 时， .则据此估计，这种有机体体液内该放
射性元素浓度 为 时，大约需要（ ）（参考数据: ）
A． 年 B． 年 C． 年 D． 年
12．（2022·广东惠州·二模）函数 的图像与函数 的图像的交点
个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．0
二、多选题
13．（2024·全国·模拟预测）已知 ， ，且 ，则（ ）
A． B． C． D．
14．（2021·山东潍坊·三模）已知函数 （ 且 ）的图象如下图所示，则下列
四个函数图象与函数解析式对应正确的是（ ）
A． B．
C． D．
15．（23-24高一下·陕西安康·期末）已知函数 且 ，则
学科网（北京）股份有限公司（ ）
A． B．
C． 的最小值为 D．
16．（2022·辽宁葫芦岛·二模）设函数 ，若关于 的方程
有四个实数解 ，且 ，则 的值可能
是（ ）
A．0 B．1 C．99 D．100
三、填空题
17．（2023·浙江宁波·二模）若函数 在区间 上的最大值与最小值的差为
2，则 ．
18．（2024·北京通州·二模）已知函数 的定义域为 ．
19．（2024·上海·模拟预测）函数 的最小值为 .
20．（2023·广东深圳·一模）定义开区间 的长度为 ．经过估算，函数
的零点属于开区间 （只要求写出一个符合条件，且长度不超过
的开区间）．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A B D B B B B D B
题号 11 12 13 14 15 16
答案 B C ABD ABD AD BC
1．D
【分析】由图知函数为偶函数，应用排除，先判断B中函数的奇偶性，再判断A、C中函数
在 上的函数符号排除选项，即得答案.
学科网（北京）股份有限公司【详解】由图知：函数图象关于y轴对称，其为偶函数，且 ，
由 且定义域为R，即B中函数为奇函数，排除；
当 时 、 ，即A、C中 上函数值为正，排除；
故选：D
2．A
【分析】由题意可得 ，化简整理即可求得m的值．
【详解】函数 的定义域为 ，由 是偶函数，得 ，
即 ，整理得 ，所以 .
故选：A
3．B
【分析】对实数 分类讨论，根据二次函数的性质及指数函数的值域可得结果.
【详解】当 时， ，符合题意；
当 时，因为函数 的值域为 满足 ，
由指数函数的单调性可知，即二次函数 的最小值小于或等于零；
若 时，依题意有 的最小值 ，即 ，
若 时，不符合题意；
综上： ，
故选：B.
4．D
【分析】根据 与 的关系图可得正确的选项.
学科网（北京）股份有限公司【详解】当 ， 时， ，此时二氧化碳处于固态，故A错误.
当 ， 时， ，此时二氧化碳处于液态，故B错误.
当 ， 时， 与4非常接近，故此时二氧化碳处于固态，对应的是非超临
界状态，故C错误.
当 ， 时，因 , 故此时二氧化碳处于超临界状态，故D正确.
故选：D
5．B
【分析】由已知可得出 ，可得出 ，利用指数与对数的互化、换底公
式以及对数的运算法则计算可得 的近似值.
【详解】由题意可得 ，所以 ，所以 ，
所以 .
故选：B.
6．B
【分析】先判断出函数 是周期为6的周期函数，再利用周期性直接求解即可．
【详解】由 ，则 ，
所以函数 是周期为6的周期函数，
又 ，即 ，
所以 ．
故选：B．
7．B
学科网（北京）股份有限公司【分析】由 （ 且 ， 且 ），得 ，从而得到
与 互为反函数，根据互为反函数的性质即可得到结果．
【详解】∵ （ 且 ， 且 ），
∴ ，∴ ，
∴ ，函数 与函数 互为反函数，
∴函数 与 的图象关于直线 对称，且具有相同的单调性.
故选：B．
8．B
【分析】计算 的值，即可得解.
【详解】因为 ，
所以，估计 以内的素数个数为 .
故选：B.
9．D
【分析】根据对应幂、指数函数的单调性判断大小关系即可.
【详解】由 在R上递增，则 ，
由 在 上递增，则 .
所以 .
故选：D
10．B
【分析】根据给定条件，作出函数 与 图象，利用图象交点个数作答.
【详解】由 ，得 ，因此函数 的零点即为函数 与
学科网（北京）股份有限公司的图象交点横坐标，
在同一坐标系内作出函数 与 的图象，如图，
观察图象知，函数 与 的图象有唯一公共点，
所以函数 的零点个数为1.
故选：B
11．B
【分析】根据已知条件得 ，解方程组求出 的值，当 时，在等式两边
取对数即可求解.
【详解】由题意得: ，解得 ，
所以 ，
当 时，得 ，即 ，
两边取对数得 ，
所以 ，
即这种有机体体液内该放射性元素浓度 为 时，大约需要 年.
学科网（北京）股份有限公司故选：B.
12．C
【分析】作出两个函数的图像，由图像可得交点个数．
【详解】 在 上是增函数， 在 和 上是减函数，在
和 上是增函数， ， ， ，
作出函数 的图像，如图，由图像可知它们有4个交点．
故选：C．
13．ABD
【分析】利用已知 ，求二元变量的最值，一般可用用消元法变为函数求最值，如
， ，当然也可以用均值不等式求最
值，如 ， .
【详解】选项A：因为 ， ， ，所以 ，所以 ，故
A正确．
学科网（北京）股份有限公司选项B： ，当且仅当 时取等号，
（利用基本不等式时注意取等号的条件）,故B正确．
选项C： ，所以 ，当且仅当
时取等号，故C错误．
选项D： ，
当且仅当 时取等号，（另解： ，当且仅当 时取等
号）,故D正确．
故选:ABD.
14．ABD
【分析】由函数图象过点 可得 的值，根据指数、对数、幂函数图象的特点逐一判断
即可.
【详解】由图可得 ，即 ，
单调递减过点 ，故A正确；
为偶函数，在(0,+∞)上单调递减，在(-∞,0)上单调递增，故B正确；
为偶函数，结合指数函数图象可知C错误；
，根据““上不动、下翻上”可知D正确；
故选：ABD.
15．AD
【分析】根据给定条件，可得 ，利用对数运算性质计算判断AB；变形给定的式
子，借助对勾函数的单调性判断CD.
学科网（北京）股份有限公司【详解】函数 ，由 ，得 ，
对于AB， ，则 ，解得 ，A正确，B错误；
对于C， 在 上单调递增，则 ，C错误；
对于D， ，
而 在 上单调递增， ，因此 ，D正确.
故选：AD
16．BC
【分析】首先根据题意画出图象，根据二次函数的性质得到 ，根据对数函数的
性质得到 ，从而得到 ，再根据函数单调性求解即可.
【详解】如图所示：
因为关于 的方程 有四个实数解 ，且 ，
所以 .
的对称轴为 ，所以 .
学科网（北京）股份有限公司因为 ，所以 ，即 ， .
因为 ，所以 .
所以 ，
因为 ， 为减函数，
所以 .
故选：BC
17．2
【分析】根据指数函数的单调性求出函数的最值，即可得解.
【详解】因为函数 在区间 上递增，
所以 ，
则 ，解得 或 （舍去）.
故答案为： .
18．
【分析】根据函数的定义域有意义，解不等式求解.
【详解】根据题意可得 ,解得x>2
故定义域为 .
故答案为：
19．
【分析】根据对数的运算性质将函数化简为 ，再结合二次函数的
学科网（北京）股份有限公司性质计算可得.
【详解】因为
，
当 ，即 时， 取到最小值，且 .
故答案为：
20． （不唯一）
【分析】利用函数的零点存在定理求解.
【详解】解：因为 都是减函数，
所以 是减函数，
又 ，
即 ，
所以函数 在 上有零点，且 ，
故答案为 （不唯一）
【能力提升训练】
一、单选题
1．（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数 的部分图象如图所示，则 的解析
式可能为（ ）
学科网（北京）股份有限公司A． B．
C． D．
2．（2022·湖南常德·一模）函数 的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·四川成都·模拟预测）已知集合 ，
则 （ ）
A． B． C． D．
4．（2025·安徽·一模）若 ，则 的大小关系是
（ ）
A． B．
学科网（北京）股份有限公司C． D．
5．（2022·重庆·模拟预测）若函数 有最小值，则实数a的取值范
围是（ ）
A． B．
C． D．
6．（21-22高二下·河北秦皇岛·期末）“幂函数 在 上为增函
数”是“函数 为奇函数”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充分必要 D．既不充分也不必要
7．（2024·浙江温州·三模）已知函数 ，则关于 方程
的根个数不可能是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
8．（2023·广东梅州·二模）用二分法求方程 近似解时，所取的第一个区间可
以是（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·山东威海·一模）若函数 与 的图像有且仅有一个交
点，则关于x的不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
10．（22-23高三下·湖南·阶段练习）住房的许多建材都会释放甲醛.甲醛是一种无色、有着
学科网（北京）股份有限公司刺激性气味的气体，对人体健康有着极大的危害.新房入住时，空气中甲醛浓度不能超过
0.08 ，否则，该新房达不到安全入住的标准.若某套住房自装修完成后，通风
周与室内甲醛浓度y（单位： ）之间近似满足函数关系式
，其中 ，且
， ，则该住房装修完成后要达到安全入住的标准，至少需要通风（ ）
A．17周 B．24周 C．28周 D．26周
二、多选题
11．（2023·安徽合肥·一模）已知数列 满足 ．若对 ，都有
成立，则整数 的值可能是（ ）
A． B． C．0 D．1
12．（2023·重庆九龙坡·二模）若a，b，c都是正数，且 则（ ）
A． B． C． D．
13．（2024·甘肃武威·模拟预测）函数 的图象恒过定点 ，若
点 在直线 上，则（ ）
A． B． C． D．
14．（2023·湖北·模拟预测）已知 ， ， ， ，则以下结论正确
的是（ ）
A． B．
C． D．
学科网（北京）股份有限公司三、填空题
15．（2024·上海松江·二模）已知 ，函数 ，若该函数存
在最小值，则实数 的取值范围是 .
16．（2024·辽宁·模拟预测）命题“任意 ， ”为假命题，则实数 的取
值范围是 .
17．（21-22高一上·广东珠海·阶段练习）已知函数 求使方程
的实数解个数为3时 取值范围 ．
18．（22-23高三下·广东佛山·开学考试）已知函数 ，对任意的正
实数x都有 恒成立，则a的取值范围是 ．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C A D A A C B C D
题号 11 12 13 14
答案 BC BCD BCD ABD
1．A
【分析】利用 在 上的值排除B，利用奇偶性排除排除C，利用 在(1,+∞)
上的单调性排除D，从而判断选项.
【详解】对于B，当 时， ， ， ，则 ，不满
足图象，故B错误;
对于C， ，定义域为 ，而
学科网（北京）股份有限公司，关于 轴对称，故C错误;
对于D,当 时， ，由反比例函数的性质可知 在(1,+∞)单调
递减，故D错误;
利用排除法可以得到， 在满足题意，A正确.
故选：A
2．C
【分析】分析函数的奇偶性排除两个选项，再利用 时， 值为正即可判断作答.
【详解】函数 定义域为R， ，即 是
奇函数，A，B不满足；
当 时，即 ，则 ，而 ，因此 ，D不满足，C
满足.
故选：C
3．A
【分析】根据根式与对数的定义域，结合交集的定义求解即可.
【详解】由 ，
所以 ，
故 ，
故选：A
4．D
【分析】结合对数运算性质及对数函数的单调性比较 的大小，结合基本不等式及对数
函数单调性比较 的大小，可得结论.
学科网（北京）股份有限公司【详解】 ，
而 ，且 ．
所以 ，故 ．
故选：D.
5．A
【分析】根据对数函数的性质可得 且 ，则 ，即可求
出 的大致范围，再令 的根为 、 且 ， ，
，对 分两种情况讨论，结合二次函数、对数函数的单调性判断即可；
【详解】解：依题意 且 ，所以 ，解得
或 ，综上可得 ，
令 的根为 、 且 ， ， ，
若 ，则 在定义域上单调递增， 在 上单调递
增，在 上单调递减，
根据复合函数的单调性可知， 在 上单调递增，在
上单调递减，函数不存在最小值，故舍去；
若 ，则 在定义域上单调递减， 在 上单调
学科网（北京）股份有限公司递增，在 上单调递减，
根据复合函数的单调性可知， 在 上单调递减，在
上单调递增，所以函数在 取得最小值，所以 ；
故选：A
6．A
【分析】要使函数f (x)=(m2+m-1)xm是幂函数，且在(0,+∞)上为增函数，求出 ，
可得函数g(x)为奇函数，即充分性成立；函数g(x)=2x-m2 ⋅2-x为奇函数，求出 ，
故必要性不成立，可得答案.
【详解】要使函数f (x)=(m2+m-1)xm是幂函数，且在(0,+∞)上为增函数，
{m2+m-1=1
则 ，解得： ，当
时，g(x)=2x-2-x，
，
m>0
则g(-x)=2-x-2x=-(2x-2-x)=-g(x)，所以函数g(x)为奇函数，即充分性成立；
“函数g(x)=2x-m2 ⋅2-x为奇函数”，
则g(x)=-g(-x)，即2x-m2 ⋅2-x=-(2-x-m2 ⋅2x)=m2 ⋅2x-2-x，
解得： ，故必要性不成立，
故选：A．
7．C
【分析】将原问题转化为直线 与函数 的图象交点的个数，作出
的图象，分 、 、 三种情况，结合图象求解即可．
【详解】作出函数 的图象，如图所示：
学科网（北京）股份有限公司将原问题转化为直线 （过定点(0,2)）与函数 的图象交点的个数，
由图可知，当 时，直线 与函数 的图象只有一个交点；
当 时，直线 与函数 的图象没有交点；
当 时，直线 与函数 的图象有三个交点；
所以直线 与函数 的图象不可能有两个交点．
故选：C．
8．B
【分析】 ，判断函数单调性，求出区间的端点的函数值，再根据零点的
存在性定理即可得出答案.
【详解】令 ，
因为函数 在 上都是增函数，
所以函数 在 上是增函数，
，
所以函数 在区间 上有唯一零点，
所以用二分法求方程 近似解时，所取的第一个区间可以是 .
故选：B.
9．C
学科网（北京）股份有限公司【分析】将条件 与 只有1个交点转换为函数 只有1个零点，参
数分离求出a，再构造函数 ，利用其单调性求解即可.
【详解】 与 只有1个交点等价于函数 只有1个零点，
即 只有1个解，
令 ，则 ， ，
当 时， 单调递增，当 时， 单调递减，并且
，
所以 ， ，函数 的大致图像如下图：
，原不等式为： ，即 ，
令 ，显然 在 时是增函数，又 ，
的解集是 .
故选：C.
10．D
【分析】由已知数据求得参数 ，然后解不等式 即可得．
【详解】 ，由 ， ，得
， ，
学科网（北京）股份有限公司两式相减得 ，则 ，所以 ， .
该住房装修完成后要达到安全入住的标准，则 ，
则 ，即 ，解得 ，
故至少需要通风26周.
故选：D．
11．BC
【分析】根据数列 以及 构造不等式可得 对 都
成立；分别对 为奇数和偶数时进行分类讨论即可求得 的取值范围并得出结果.
【详解】由 可得 ，
若对 ，都有 成立，即 ，
整理可得 ，所以 对 都成立；
当 为奇数时， 恒成立，所以 ，即 ；
当 为偶数时， 恒成立，所以 ，即 ；
所以 的取值范围是 ，则整数 的值可能是 .
故选：BC
12．BCD
【分析】设 ，得到 ， ， ，再逐项判断.
【详解】解：设 ，
则 ， ，
学科网（北京）股份有限公司， ，
， ，
所以 ，
，因为 ，所以 ，则等号不成立，
所以 ，则 ，
因为 ，所以 ，
故选：BCD
13．BCD
【分析】根据对数函数的性质可得定点，得出 ，利用均值不等式判断A，重要不
等式判断B，转化为二次函数判断C，根据“1”的变形技巧及均值不等式判断D.
【详解】由题得点 ，即 ，
所以 ，即 ，当且仅当 时取等号，故A错误；
，当且仅当 时取等号，故B正确；
，故C正确；
由 ， ，
，且取不到等号，
学科网（北京）股份有限公司故 ，故D正确．
故选：BCD
14．ABD
【分析】先根据题意将条件转化为a，b是函数 分别与函数 ，
图象交点的横坐标．从而得到两交点关于直线 对称，进而即可判断A；
结合选项A整理得到 ，进而即可判断B；再结合选项A，构造函数 ，
根据导函数性质即可判断C；结合选项B即基本不等式(注意： ，即不等式取不到等
号)即可判断D．
【详解】对于A，由题意知，a，b是函数 分别与函数 ，
图象交点的横坐标，
由 的图象关于 对称，
则其向上，向右都平移一个单位后的解析式为 ，
所以 的图象也关于 对称，
又 ， 两个函数的图象关于直线 对称，
故两交点 ， 关于直线 对称，
所以 ， ，故A正确；
对于B，结合选项A得 ，则 ，即 ，即 成立，
故B正确；
对于C，结合选项A得 ，令 ，则
，
学科网（北京）股份有限公司所以 在 上单调递减，则 ，故C错误；
对于D，结合选项B得 ( ，即不等式取不到等号)，
故D正确．
故选：ABD．
15． 或
【分析】令 ， ， ， ，分类讨论 的取
值范围，判断 ， 的单调性，结合 存在最小值，列出相应不等式，综合可得答
案．
【详解】由题意，令 ， ， ， ，
当 时， 在 上单调递减， 在 上单调递减，则 在 上
的值域为 ，
因为 存在最小值，故需 ，解得 ，
结合 ，此时 ；
当 时， 在 上单调递减， 在 上单调递增，则 在 上
的值域为 ，
因为 存在最小值，故需 ，即 ，解得 ，
这与 矛盾；
学科网（北京）股份有限公司当 时， 在 上单调递减，且在 上的值域为 ， ，
此时存在最小值2；
则实数 的取值范围为 或 ．
故答案为： 或 ．
16．
【分析】根据题意，问题转化为存在 ， 为真命题，即 ，
求出 的最小值得解.
【详解】若命题任意“ ， ”为假命题，
则命题存在 ， 为真命题，
因为 时， ，
令 ，则 ，
则 在 上单调递增，
所以 ，
所以 .
故答案为： .
17．
【分析】分析给定函数的性质，作出图象，数形结合求出 取值范围.
【详解】当 时，函数 在 是递减，函数值集合为
，
在 上递增，函数值集合为 ，当 时， 是增函数，函数值集
合为R，
学科网（北京）股份有限公司方程 的实数解个数，即为函数 与直线 的交点个数，
在同一坐标系内作出直线 与函数 的图象，
观察图象，当 时，直线 与函数 的图象有3个交点，
所以方程 的实数解个数为3时 取值范围是 .
故答案为：
18．
【分析】根据已知对式子进行变形，再利用两个函数互为反函数的性质以及导数，研究函
数的单调性以及最值进行求解.
【详解】因为 对任意的正实数x都有 恒成立，
所以 ，即 对任意的正实数x恒成立，
因为函数 与函数 互为反函数，且 ，
所以 对任意的正实数x恒成立，即 ，
令 ，则 ，
所以 在 单调递增，在 单调递减，
所以 ，所以 ，解得 .
故答案为： .
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