文档内容
第2讲 基本初等函数、函数与方程（新高考专用）
目录
【真题自测】.................................................................................................................................2
【考点突破】...............................................................................................................................12
【考点一】基本初等函数的图象与性质.........................................................................................12
【考点二】函数的零点..................................................................................................................16
【考点三】函数模型及其应用.......................................................................................................22
【专题精练】...............................................................................................................................26
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学科网（北京）股份有限公司考情分析：
1.基本初等函数的图象与性质是高考考查的重点，利用函数性质比较大小、解不等式是常见题型.
2.函数零点的个数判断及参数范围是常考题型，常以压轴题的形式出现.
3.函数模型及应用是近几年高考的热点，通常考查指数函数、对数函数模型．
真题自测
一、单选题
1．（2023·全国·高考真题）已知 是偶函数，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
2．（2023·全国·高考真题）设函数 在区间 上单调递减，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·全国·高考真题）设函数 ， ，当 时，曲线
与 恰有一个交点，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
4．（2022·全国·高考真题）已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·全国·高考真题）已知函数 ．记 ，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·全国·高考真题）设 ，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·全国·高考真题）设函数 ，若 ，则 的最小值为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．1
二、多选题
8．（2023·全国·高考真题）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级
，其中常数 是听觉下限阈值， 是实际声压．下表为不同声源的声压级：
声源 与声源的距离 声压级
燃油汽车 10
混合动力汽车 10
电动汽车 10 40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车 处测得实际声压分别为 ，则（ ）．
A． B．
C． D．
三、填空题
9．（2024·全国·高考真题）已知 且 ，则 ．
10．（2022·全国·高考真题）若 是奇函数，则 ， ．
11．（2024·全国·高考真题）曲线 与 在 上有两个不同的交点，则 的取值
范围为 ．
12．（2023·全国·高考真题）设 ，若函数 在 上单调递增，则a的取值范
围是 .
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D D D A A C C ACD
1．D
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学科网（北京）股份有限公司【分析】根据偶函数的定义运算求解.
【详解】因为 为偶函数，则 ，
又因为 不恒为0，可得 ，即 ，
则 ，即 ，解得 .
故选：D.
2．D
【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.
【详解】函数 在R上单调递增，而函数 在区间 上单调递减，
则有函数 在区间 上单调递减，因此 ，解得 ，
所以 的取值范围是 .
故选：D
3．D
【分析】解法一：令 ，分析可知曲线 与 恰有一个交点，结合
偶函数的对称性可知该交点只能在y轴上，即可得 ，并代入检验即可；解法二：令
，可知h(x)为偶函数，根据偶函数的对称性可知h(x)的零点只能为0，即可得
，并代入检验即可.
【详解】解法一：令 ，即 ，可得 ，
令 ，
原题意等价于当 时，曲线 与 恰有一个交点，
注意到 均为偶函数，可知该交点只能在y轴上，
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学科网（北京）股份有限公司可得 ，即 ，解得 ，
若 ，令 ，可得
因为x∈(-1,1)，则 ，当且仅当 时，等号成立，
可得 ，当且仅当 时，等号成立，
则方程 有且仅有一个实根0，即曲线 与 恰有一个交点，
所以 符合题意；
综上所述： .
解法二：令 ，
原题意等价于h(x)有且仅有一个零点，
因为 ，
则h(x)为偶函数，
根据偶函数的对称性可知h(x)的零点只能为0，
即 ，解得 ，
若 ，则 ，
又因为 当且仅当 时，等号成立，
可得 ，当且仅当 时，等号成立，
即h(x)有且仅有一个零点0，所以 符合题意；
故选：D.
4．A
【分析】法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知 ，再利用基本不等式，换底公式
可得 ， ，然后由指数函数的单调性即可解出．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】［方法一］：（指对数函数性质）
由 可得 ，而 ，所以 ，
即 ，所以 .
又 ，所以 ，即 ，
所以 .综上， .
［方法二］：【最优解】（构造函数）
由 ，可得 ．
根据 的形式构造函数 ，则 ，
令 ，解得 ，由 知 .
在 上单调递增，所以 ，即 ，
又因为 ，所以 .
故选：A.
【点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法；
法二：利用 的形式构造函数 ，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该
题的最优解．
5．A
【分析】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可.
【详解】令 ，则 开口向下，对称轴为 ，
因为 ，而 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，即
由二次函数性质知 ，
因为 ，而 ，
即 ，所以 ，
综上， ，
又 为增函数，故 ，即 .
故选：A.
6．C
【分析】构造函数 ， 导数判断其单调性，由此确定 的大小.
【详解】方法一：构造法
设 ，因为 ，
当 时， ，当 时 ，
所以函数 在 单调递减，在 上单调递增，
所以 ，所以 ，故 ，即 ，
所以 ，所以 ，故 ，所以 ，
故 ，
设 ，则 ,
令 ， ，
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学科网（北京）股份有限公司当 时， ，函数 单调递减，
当 时， ，函数 单调递增，
又 ，
所以当 时， ，
所以当 时， ，函数 单调递增，
所以 ，即 ，所以
故选：C.
方法二：比较法
解： ， ， ，
① ，
令
则 ，
故 在 上单调递减，
可得 ，即 ，所以 ；
② ，
令
则 ，
令 ，所以 ，
所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，
所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，所以
故
7．C
【分析】解法一：由题意可知： 的定义域为 ，分类讨论 与 的大小关系，结合符号
分析判断，即可得 ，代入可得最值；解法二：根据对数函数的性质分析 的符号，进而可得
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学科网（北京）股份有限公司的符号，即可得 ，代入可得最值.
【详解】解法一：由题意可知： 的定义域为 ，
令 解得 ；令 解得 ；
若 ，当 时，可知 ，
此时 ，不合题意；
若 ，当 时，可知 ，
此时 ，不合题意；
若 ，当 时，可知 ，此时 ；
当 时，可知 ，此时 ；
可知若 ，符合题意；
若 ，当 时，可知 ，
此时 ，不合题意；
综上所述： ，即 ，
则 ，当且仅当 时，等号成立，
所以 的最小值为 ；
解法二：由题意可知： 的定义域为 ，
令 解得 ；令 解得 ；
则当 时， ，故 ，所以 ；
时， ，故 ，所以 ；
故 ， 则 ，
当且仅当 时，等号成立，
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学科网（北京）股份有限公司所以 的最小值为 .
故选：C.
【点睛】关键点点睛：分别求 、 的根，以根和函数定义域为临界，比较大小分类讨论，
结合符号性分析判断.
8．ACD
【分析】根据题意可知 ，结合对数运算逐项分析判断.
【详解】由题意可知： ，
对于选项A：可得 ，
因为 ，则 ，即 ，
所以 且 ，可得 ，故A正确；
对于选项B：可得 ，
因为 ，则 ，即 ，
所以 且 ，可得 ，
当且仅当 时，等号成立，故B错误；
对于选项C：因为 ，即 ，
可得 ，即 ，故C正确；
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学科网（北京）股份有限公司对于选项D：由选项A可知： ，
且 ，则 ，
即 ，可得 ，且 ，所以 ，故D正确；
故选：ACD.
9．64
【分析】将 利用换底公式转化成 来表示即可求解.
【详解】由题 ，整理得 ，
或 ，又 ，
所以 ，故
故答案为：64.
10． ； ．
【分析】根据奇函数的定义即可求出．
【详解】[方法一]：奇函数定义域的对称性
若 ，则 的定义域为 ，不关于原点对称
若奇函数的 有意义，则 且
且 ，
函数 为奇函数，定义域关于原点对称，
，解得 ，
由 得， ，
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学科网（北京）股份有限公司，
故答案为： ； ．
[方法二]：函数的奇偶性求参
函数 为奇函数
[方法三]：
因为函数 为奇函数，所以其定义域关于原点对称．
由 可得， ，所以 ，解得： ，即函数的定义域为
，再由 可得， ．即 ，在定义域
内满足 ，符合题意．
故答案为： ； ．
11．
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学科网（北京）股份有限公司【分析】将函数转化为方程，令 ，分离参数 ，构造新函数 结合
导数求得 单调区间，画出大致图形数形结合即可求解.
【详解】令 ，即 ，令
则 ，令 得 ，
当x∈(0,1)时， ， 单调递减，
当x∈(1,+∞)时， ， 单调递增， ，
因为曲线 与 在(0,+∞)上有两个不同的交点，
所以等价于 与 有两个交点，所以 .
故答案为：
12．
【分析】原问题等价于 恒成立，据此将所得的不等式进行恒等变形，可
得 ，由右侧函数的单调性可得实数 的二次不等式，求解二次不等式后可确定实数
的取值范围.
【详解】由函数的解析式可得 在区间 上恒成立，
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学科网（北京）股份有限公司则 ，即 在区间 上恒成立，
故 ，而 ，故 ，
故 即 ，故 ，
结合题意可得实数 的取值范围是 .
故答案为： .
考点突破
【考点一】基本初等函数的图象与性质
核心梳理：
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝log x(a>0，且a≠1)互为反函数，其图象关于y＝x对称，它们
a
的图象和性质分01两种情况，着重关注两种函数图象的异同．
一、单选题
1．（2024·山东·一模）函数 ，则y=f (x)的部分图象大致形状是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·江西南昌·三模）若 ， ， ，则正数 大小关系是（ ）
A． B．
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学科网（北京）股份有限公司C． D．
二、多选题
3．（2024·福建厦门·模拟预测）已知函数 的定义域为 ， ，且 ，则
（ ）
A． B．
C． 为奇函数 D． 在 上具有单调性
4．（2023·湖南·模拟预测）已知函数 ，则（ ）
A． 的最小值为1 B． ，
C． D．
三、填空题
5．（2024高三·全国·专题练习）已知 .若幂函数 为奇函数，且在
上递减，则 .
6．（2023·河南·二模）已知 ， ，则 ．
参考答案：
题号 1 2 3 4
答案 A B AC ACD
1．A
【分析】根据函数奇偶性以及 时函数值的正负，通过排除法得答案.
【详解】函数 的定义域为 ，
，
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学科网（北京）股份有限公司即函数 为偶函数，排除BD；
当 时， ，排除C.
故选：A.
2．B
【分析】将问题转化为函数与函数的交点的横坐标，再数形结合即可判断.
【详解】由 ，则 为 与 交点的横坐标，
由 ，则 为 与 交点的横坐标，
由 ，即 ，则 为 与 交点的横坐标，
作出 ， ， ， 的图象如下所示，
由图可知， .
故选：B
3．AC
【分析】根据题意，令 即可判断A，令 ， ，即可判断B，令 结合函数奇偶性的
定义即可判断C，令 即可判断D
【详解】对A：令 ，则有 ，即 ，故A正确；
对B： ， ，则有 ，即 ，
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学科网（北京）股份有限公司由 ， ，故 ，即 ，故B错误；
对C：令 ，则有 ，即 ，
即 ，又函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为 ，
故函数 为奇函数，故C正确；
对D：令 ，则有 ，即 ，
即有 ，则当 时，有 ，即 ，
故 在 上不具有单调性，故D错误.
故选：AC
4．ACD
【分析】根据对数函数的单调性即可求解AB，由二次函数的性质，结合对数的运算，即可求解CD.
【详解】 ，当且仅当 时， 取得最小值1，A正确．
因为当且仅当 时， 取得最小值，且最小值为1，所以 ，所以 ，B错误．
因为 ，所以 ，又 ，且 在 上单调递减，在
上单调递增，所以 ，C正确．
因为 ，所以 ，所以，D正确．
故选：ACD
5．
【分析】由幂函数 在 上递减得 ，又由幂函数 为奇函数，验证即可求解.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】因为幂函数 在 上递减，所以 ，
又幂函数 为奇函数，所以 .
故答案为：
6． /0.1
【分析】根据指对数互化可得 ，结合 求参数值即可.
【详解】由题设 ，则 且 ，
所以 ，即 ，故 .
故答案为：
规律方法：
(1)指数函数、对数函数的图象与性质受底数a的影响，解决与指数函数、对数函数有关的问题时，首先要
看底数a的取值范围．
(2)基本初等函数的图象和性质是统一的，在解题中可相互转化．
【考点二】函数的零点
核心梳理：
判断函数零点个数的方法
(1)利用函数零点存在定理判断．
(2)代数法：求方程f(x)＝0的实数根．
(3)几何法：对于不易求根的方程，将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，利用函数的性质找出零点或利用两
个函数图象的交点求解．在利用函数性质时，可用求导的方法判断函数的单调性．
一、单选题
1．（2024·广东·模拟预测）函数 在开区间 的零点个数为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高三下·北京·阶段练习）函数 的一个零点所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
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学科网（北京）股份有限公司3．（2024·山东潍坊·一模）函数 （ ）的图象如图所示，则
（ ）
A． 的最小正周期为
B． 是奇函数
C． 的图象关于直线 对称
D．若 （ ）在 上有且仅有两个零点，则
4．（2024·安徽·三模）已知函数 其中 ，且 ，则
（ ）
A． B．函数 有2个零点
C． D．
三、填空题
5．（23-24高三上·河南·阶段练习）已知函数 在区间 上不单调，
则m的取值范围是 ．
6．（2023·天津滨海新·三模）已知函数 ，若函数 在 上恰有三
个不同的零点，则 的取值范围是 ．
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学科网（北京）股份有限公司参考答案：
题号 1 2 3 4
答案 D B ACD ACD
1．D
【分析】法一：由 ，令 求解；法二：由 ，令
求解.
【详解】解：法一：
，
，
令 ，则 或 ，
即： 或 或 ，
如图所示：
由图像可知，
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学科网（北京）股份有限公司函数 共8个零点.
法二：因为 ，
由 ，得 ，或 ，
所以 ，或 ，即 ，或 ， ，
因为 ，
所以 ，或 共 个零点.
故选：D
2．B
【分析】先判断 的单调性，结合零点存在性定理分析判断.
【详解】因为 的定义域为 ，且 在 内单调递增，
可知 在 内单调递增，
且 ，
所以函数 的唯一一个零点所在的区间是 .
故选：B.
3．ACD
【分析】利用二倍角公式、辅助角公式化简函数 ，结合给定图象求出 ，再逐项判断即可.
【详解】依题意， ，
由 ，得 ，解得 ，而 ，
解得 ， ， 的最小正周期为 ，A正确；
是偶函数，B错误；
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学科网（北京）股份有限公司，令 ，
则 ，
的图象关于直线 对称，C正确；
， ，当 时， ，
依题意， ，解得 ，D正确.
故选：ACD
4．ACD
【分析】先作出函数图象，结合图象逐一判定即可.
【详解】解： ，故A正确；
作出函数 的图象如图所示，
观察可知， ，而 ，
故y=f (x)， 有3个交点，
即函数 有3个零点，故B错误；
由对称性， ，而 ，
故 ，故C正确；
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学科网（北京）股份有限公司b，c是方程 的根，故 ，
令 ，则 ，
故 ，而 ， 均为正数且在(0,4)上单调递增，
故 ，故D正确，
故选：ACD.
5．
【分析】即导函数在在区间 内有零点.
【详解】由题意知 ，
因为 在区间 上不单调，
即 在区间 有零点，
又 ，即为 的零点 在区间 内，
所以 解得 ，即m的取值范围是 ．
故答案为：
6．
【分析】根据函数与方程之间的关系转化两个函数图象交点个数问题，利用分段函数的表达式，结合题意
将其转化为二次函数根的分布问题，利用数形结合进行求解即可．
【详解】当 时， ，
因为 恰有三个不同的零点，
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学科网（北京）股份有限公司函数 在 上恰有三个不同的零点，即 有三个解，
而 无解，故 .
当 时，函数 在 上恰有三个不同的零点，
即 ，即 与 的图象有三个交点，如下图，
当 时， 与 必有1个交点，
所以当 时， 有2个交点，
即 ，即令 在 内有两个实数解，
，
当 时，函数 在 上恰有三个不同的零点，
即 ，即 与 的图象有三个交点，如下图，
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学科网（北京）股份有限公司当 时， 必有1个交点，
当 时， 与 有2个交点，
所以 ，即 在 上有 根，
令
故 ，解得： .
综上所述： 的取值范围是 .
故答案为： .
【点睛】关键点睛：本题主要考查函数方程的应用，结合分段函数的表达式转化为两个函数交点个数问题，
数形结合是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．
规律方法：
利用函数零点的情况求参数值(或取值范围)的三种方法
【考点三】函数模型及其应用
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学科网（北京）股份有限公司核心梳理：
解函数应用题的步骤
(1)审题：缜密审题，准确理解题意，分清条件和结论，理清数量关系．
(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型．
(3)求模：求解数学模型，得出数学结论．
(4)反馈：将得到的数学结论还原为实际问题的意义．
一、单选题
1．（2024·湖北·一模）某公司引进新的生产设备投入生产，新设备生产的产品可获得的总利润 （单位：
百万元）与新设备运行的时间 （单位：年， ）满足 ，当新设备生产的产品
可获得的年平均利润最大时，新设备运行的时间 （ ）
A． B． C． D．
2．（2021·四川·二模）单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通
服务、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数 满足关系 ，其
中 为安全距离， 为车速 .当安全距离 取 时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为
（ ）
A．135 B．149
C．165 D．195
二、多选题
3．（23-24高三上·贵州贵阳·期中）声强级 （单位： ）由公式 给出，其中 为声强（单
位： ），不同声的声强级如下，则（ ）
（ 正常人能忍受最高声 正常人能忍受最低声强 正常人平时谈话声强 某人谈话
） 强 声强
（ ） 120 0 80
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学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
4．（2024·湖南长沙·模拟预测）氚，亦称超重氢，是氢的同位素之一，它的原子核由一个质子和两个中子
组成，并带有放射性，会发生 衰变，其半衰期是12.43年.样本中氚的质量 随时间 (单位:年)的衰变规
律满足 ，其中 表示氚原有的质量，则（ ）(参考数据: )
A．
B．经过 年后，样本中的氚元素会全部消失
C．经过 年后，样本中的氚元素变为原来的
D．若 年后，样本中氚元素的含量为 ，则
三、填空题
5．（2024·北京海淀·三模）深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点
的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为 ，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，
表示初始学习率，D表示衰减系数，G表示训练迭代轮数， 表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习
率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率衰减为0.4，则学习率衰
减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为 ．（参考数据：（ ）
6．（2024·上海长宁·二模）甲、乙、丙三辆出租车2023年运营的相关数据如下表：
甲 乙 丙
接单量t（单） 7831 8225 8338
油费s（元） 107150 110264 110376
平均每单里程k（公里） 15 15 15
平均每公里油费a（元） 0.7 0.7 0.7
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学科网（北京）股份有限公司出租车空驶率 ；依据以上数据，小明建立了求解三辆车的空驶率的模型
，并求得甲、乙、丙的空驶率分别为 ，则 （精确到0.01）
参考答案：
题号 1 2 3 4
答案 B B BC CD
1．B
【分析】由已知可得 ，当 和 时分别求得最大值，即可求解.
【详解】由题意，新设备生产的产品可获得的年平均利润 ，
当 时， ，当且仅当 时，等号成立，
则 ，
所以当 时， 取得最大值，且最大值为 ，
当 时， ，
所以函数在 上单调递减，
所以当 时， 取得最大值，且最大值为 ，
故当新设备生产的产品可获得的年平均利润最大时，新设备运行的时间 .
故选： .
2．B
【分析】把给定函数变形，利用基本不等式即可得解.
【详解】由题意得， ，当且仅当 ，即
时取“=”，
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学科网（北京）股份有限公司所以该道路一小时“道路容量”的最大值约为149.
故选：B
3．BC
【分析】根据表格的前2个数据求函数的解析式，再根据解析式，判断选项.
【详解】由表格可知，当 时， ，得 ，
当 时， ，得 ，
所以 ，故A错误；
，则 ，故B正确；
当 时， ，故C正确；
当 时，即 ，得 ，则 ，故D错误.
故选：BC
4．CD
【分析】利用给定式子进行化简判断A，代入求值判断B，C，解方程求出 ，再判断D即可.
【详解】由题意得 ，故有 ，
左右同时取对数得 ，故得 ，故A错误，
当 时， ，故B错误，
而当 时， ，
得到经过 年后，样本中的氚元素变为原来的 ，故C正确，
由题意得 ，化简得 ，
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学科网（北京）股份有限公司，
将 代入其中，可得 ，故D正确.
故选：CD
5．74
【分析】根据已知条件列方程，可得 ，再由 ，结合指对数关系和对数函数的性质求解
即可．
【详解】由于 ，所以 ，
依题意 ，则 ，
则 ，
由 ，
所以，即 ，
所以所需的训练迭代轮数至少为74次．
故答案为：74.
6．
【分析】根据题意得到出租车空驶率的模型，检验甲、乙两辆出租车的空驶率，满足题意，从而利用该模
型求得丙的空驶率，从而得解.
【详解】依题意，因为出租车行驶的总里程为 ，出租车有载客时行驶的里程为 ，
所以出租车空驶率 ，
对于甲， ，满足题意；
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学科网（北京）股份有限公司对于乙， ，满足题意；
所以上述模型满足要求，
则丙的空驶率为 ，即 .
故答案为： .
规律方法：
构建函数模型解决实际问题的失分点
(1)不能选择相应变量得到函数模型．
(2)构建的函数模型有误．
(3)忽视函数模型中变量的实际意义．
专题精练
一、单选题
1．（2024·江西景德镇·三模）已知函数 是奇函数，则 时， 的解析式为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·湖南长沙·模拟预测）要测定古物的年代，可以用放射性碳法：在动植物的体内都含有微量的放
射性 ．动植物死亡后，停止了新陈代谢， 不再产生，且原来的 会自动衰变．经过5730年，它的
残余量只有原始量的一半．现用放射性碳法测得某古物中 含量占原来的 ，推算该古物约是 年前的
遗物（参考数据： ），则实数 的值为（ ）
A．12302 B．13304 C．23004 D．24034
3．（2023·山东菏泽·三模）已知函数 在 上为奇函数，则不等式
的解集满足（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
4．（23-24高三上·北京·期中）近年来纯电动汽车越来越受消费者的青睐，新型动力电池迎来了蓬勃发展
的风口.Peukert于1898年提出蓄电池的容量 （单位： ），放电时间 （单位： ）与放电电流 （单
位： ）之间关系的经验公式： ，其中 为Peukert常数.为测算某蓄电池的Peukert常数 ，在电
池容量不变的条件下，当放电电流 时，放电时间 ；当放电电流 时，放电时间 .
若计算时取 ，则该蓄电池的Peukert常数 大约为（ ）
A．1.25 B．1.5 C．1.67 D．2
5．（2024·河北沧州·模拟预测）某企业的废水治理小组积极探索改良工艺，致力于使排放的废水中含有的
污染物数量逐渐减少．已知改良工艺前排放的废水中含有的污染物数量为 ，首次改良工艺后排放
的废水中含有的污染物数量为 ，第n次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量 满足函数模
型 （ ， ），其中 为改良工艺前排放的废水中含有的污染物数量， 为首
次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量，n为改良工艺的次数．假设废水中含有的污染物数量不超
过 时符合废水排放标准，若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少为（ ）
（参考数据： ， ）
A．12 B．13 C．14 D．15
6．（2023·浙江宁波·一模）已知函数 的零点分别为
，则（ ）
A． B．
C． D．
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学科网（北京）股份有限公司7．（2024·四川达州·二模）定义在 上的奇函数 ，满足 ，当 时，
，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
8．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知函数 方程 有两个
不同的根，分别是 则 （ ）
A． B．3 C．6 D．9
二、多选题
9．（23-24高一上·重庆·期末）已知函数 ，若存在四个不同的值 ，使得
，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2024·云南曲靖·二模）已知集合 ，定义 ，则下列命题正确的是（ ）
A．若 ，则 与 的全部元素之和等于3874
B．若 表示实数集， 表示正实数集，则
C．若 表示实数集，则
D．若 表示正实数集，函数 ，则2049属于函数 的值域
11．（2024·江苏·一模）已知 ，且 ， ，则( )
A． B．
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学科网（北京）股份有限公司C． D．
三、填空题
12．（2024·吉林长春·模拟预测）已知 为幂函数，则曲线 在点 处的切线的方程为
．
13．（2023·北京·模拟预测）农业技术员进行某种作物的种植密度试验，把一块试验田划分为8块面积相
等的区域（除了种植密度，其它影响作物生长的因素都保持一致），种植密度和单株产量统计如下：
根据上表所提供信息，第 号区域的总产量最大．
14．（2024·上海·模拟预测）已知正实数 满足 ， ，则 .
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B C B D D C B ABD BD
题号 11
答案 ACD
1．C
【分析】设 ，利用 时， 和 可求得 的解析式.
【详解】设 ，则 ，
所以 ，
又函数 是奇函数，所以 ，即 ， .
即 .
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学科网（北京）股份有限公司故选：C
2．B
【分析】设 每年的衰变率为 ，古物中原 的含量为 ，然后根据半衰期，建立方程，将已知条件带
入取对数，利用对数性质运算即可.
【详解】设 每年的衰变率为 ，古物中原 的含量为 ，
由半衰期，得 ．
所以 ，即 ．
由题意，知 ，即 ．
于是 ．
所以 ．
故选：B．
3．C
【分析】根据函数的奇偶性求出参数 、 、 的值，从而得到函数解析式与定义域，再判断函数的单调性，
结合单调性与奇偶性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可.
【详解】因为函数 在 上为奇函数,
所以 ，解得 ，又 ，
即 ，
所以 ，解得 ，解得 ，
所以 ， ，
由 与 在定义域 上单调递增，所以 在定义域 上单调递增，
则不等式 ，即 ，等价于 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，解得 ，即不等式的解集为 .
故选：C
4．B
【分析】由已知可得出 ，可得出 ，利用指数与对数的互化、换底公式以及对数的运
算法则计算可得 的近似值.
【详解】由题意可得 ，所以 ，所以 ，
所以 .
故选：B.
5．D
【分析】由题意，根据指数幂和对数运算的性质可得 ，由 ，解不等式即可求
解.
【详解】由题意知 ， ，
当 时， ，故 ，解得 ，
所以 ．
由 ，得 ，即 ，
得 ，又 ，
所以 ，
故若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少要15次．
故选：D
6．D
【分析】根据指数函数、对数函数的性质可判断 小于1， 大于1，再由数形结合判断 即可.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】令 ，可得 ，所以 ，即 ；
令 ，可得 ，即 ，所以 ，
即 ；
令 ，可得 ，由此可得 ，所以 ，
即 ，
作 的图象，如图，
由图象可知， ，所以 .
故选：D
7．C
【分析】由定义在 上奇函数的性质求得 ，进而求得 ，再结合函数的奇偶性及对称性得出周期，进
而求得 ，结合 列出方程求解即可．
【详解】因为 是定义在 上的奇函数，当 时， ，
所以 ，解得 ，
所以 ，
由 及 得， ，
所以 ，即 周期为4，
所以 ， ，
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学科网（北京）股份有限公司因为 ，
所以 ，解得 ，
所以 ，
故选：C．
8．B
【分析】方程 有两个不同的根等价于函数 与 的图象有两个交点，作
出函数 与 的图象，根据数形结合计算即可得出结果.
【详解】由题意得： 为R上的增函数，且
当 时， ， ，
当 时，g(x)>0， ，
方程 有两个不同的根等价于函数 与 的图象有两个交点，
作出函数 与 的图象如下图所示：
由图可知 与 图象关于 对称，
则 两点关于 对称，中点 在 图象上，
由 ，解得： .
所以 .
故选：B
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学科网（北京）股份有限公司9．ABD
【分析】由 的图象，求出特殊点，结合条件逐一比较分析判断.
【详解】当 时， ，当 时， ，当 时，f (1)=0，
由图像可知， ，此时 ，解得 ，故A对；
因为 关于 对称，所以 ，又 ，
，故B对；
由 ，得 ，由 ，得 ，
由 ，得 ，故C错；
，故D对.
故选：ABD
10．BD
【分析】对于A：根据题意可得 ， ，即可得结果；对于B：根据题意结合指数
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学科网（北京）股份有限公司函数的值域分析判断；对于C：根据题意结合幂函数值域分析判断；对于D：根据题意取特值检验即可.
【详解】对于选项A：因为 ，
根据所给定义可得 ， ，
则 与 的全部元素之和等于3872，故选项A错误；
对于选项B： ，故选项B正确；
对于选项C： ，表示幂函数 的值域，
可知幂函数 的值域为 ，即 ，故选项C错误；
对于选项D：因为 ，
当 时，则 ，
可得 ，故选项D正确.
故选：BD.
11．ACD
【分析】用对数表示x，y，利用对数函数的性质、对数的计算、基本不等式等即可逐项计算得到答案．
【详解】∵ ，∴ ，同理 ，
∵ 在x>0时递增，故 ，故A正确；
∵ ，∴B错误；
∵ ， ，∴ ，当且仅当 时等号成立，而 ，故 ，∴C正确；
∴ ，即 ，∴D正确．
故选：ACD．
12．
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学科网（北京）股份有限公司【分析】首先利用待定系数法求出幂函数的解析式，再结合导函数的几何意义求切线方程即可.
【详解】设 ，将 代入得 ，
所以 ，
所以切线方程为 ，即 ．
故答案为： .
13．5
【分析】分别求出种植密度函数和单株产量函数的解析式，再求总产量的函数解析式，由此确定其最大值
及取最大值的条件即可.
【详解】设区域代号为 ，种植密度为 ，单株产量为 ，则 ，
由图象可得种植密度 是区域代号 的一次函数，
故设 ， ，
由已知函数 的图象经过点 , ，
所以 ，解得 ，
所以 ，
由图象可得单株产量 是区域代号 的一次函数，
故可设 ， ，
观察图象可得当 时， ，当 时， ，
所以 ，解得 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，
所以总产量
当 时，函数 有最大值，即 号区域总产量最大，最大值为 .
故答案为：5.
14． /
【分析】令 ，则由 可得 ，从而可求出 的值，再结合 求出 ，
即可得解.
【详解】令 ，则 ，
由 ，得 ，
所以 ，解得 或 ，
所以 或 ，
所以 或 ，
当 时，则 ，
由 ，得 ，所以 ，
由 ，又a>0，解得 ，
所以 ；
当 时，由 ，得 ，所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司由 ，又a>0，解得 ，
所以 ，
综上所述， .
故答案为： .
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