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第 2 讲 基本初等函数、函数与方程
[考情分析] 1.基本初等函数的图象与性质是高考考查的重点，利用函数性质比较大小、解
不等式是常见题型.2.函数零点的个数判断及参数范围是常考题型，常以压轴题的形式出现.3.
函数模型及应用是近几年高考的热点，通常考查指数函数、对数函数模型．
考点一 基本初等函数的图象与性质
核心提炼
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝log x(a>0，且a≠1)互为反函数，其图象关于y
a
＝x对称，它们的图象和性质分01两种情况，着重关注两种函数图象的异同．
例1 (1)(2022·杭州模拟)已知lg a＋lg b＝0(a>0且a≠1，b>0且b≠1)，则函数f(x)＝ax与
g(x)＝ 的图象可能是( )
答案 B
解析 ∵lg a＋lg b＝0(a>0且a≠1，b>0且b≠1)，
∴ab＝1，∴a＝，
∴g(x)＝ ＝log x，
a
∴函数f(x)＝ax与函数g(x)＝ 互为反函数，
∴函数f(x)＝ax与g(x)＝ 的图象关于直线y＝x对称，且具有相同的单调性．
(2)若对正实数x，y有log x－log y<3－x－3－y，则( )
2 2
A．ln(y－x＋1)>0 B．ln(y－x＋1)<0
C．ln|x－y|>0 D．ln|x－y|<0答案 A
解析 设函数f(x)＝log x－3－x.
2
因为y＝log x与y＝－3－x在(0，＋∞)上均单调递增，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
2
原不等式等价于log x－3－xx>0，即y－x>0，
所以A正确，B不正确；
又|x－y|与1的大小关系不确定，
所以C，D不正确．
规律方法 (1)指数函数、对数函数的图象与性质受底数a的影响，解决与指数函数、对数
函数有关的问题时，首先要看底数a的取值范围．
(2)基本初等函数的图象和性质是统一的，在解题中可相互转化．
跟踪演练1 (1)(2022·山东名校大联考)若a＝log 2，b＝log 2，c＝e0.2，则a，b，c的大小关
3 5
系为( )
A．bb，
又根据指数函数的单调性可得c＝e0.2>e0＝1，
所以b5时，y＝log |x|>1，此时两函数图象无交点，如图，
5
又两函数的图象在x>0上有4个交点，由对称性知两函数的图象在x<0上也有4个交点，且
它们关于y轴对称，可得函数g(x)＝f(x)－log |x|的零点个数为8.
5
考向2 求参数的值或范围
例3 (2022·河北联考)函数f(x)＝ex和g(x)＝kx2的图象有三个不同交点，则k的取值范围是
________．
答案
解析 因为函数f(x)＝ex和g(x)＝kx2的图象有三个不同交点，
所以方程ex＝kx2有三个不同的实数根，显然x＝0不是方程的实数根，
所以方程＝k(k>0)有三个不同的非零实数根，
令h(x)＝，则h′(x)＝，
所以当x<0时，h′(x)>0，
当02时，h′(x)>0，所以函数h(x)＝在(－∞，0)和(2，＋∞)上单调递增，在(0,2)上单调递减，
因为当x趋近于－∞时，h(x)趋近于0，当x趋近于＋∞时，h(x)趋近于＋∞，当x趋近于0时，
h(x)趋近于＋∞，
所以函数h(x)的大致图象如图所示，h(2)＝，
所以当方程＝k(k>0)有三个不同的实数根时，k的取值范围是.
规律方法 利用函数零点的情况求参数值(或取值范围)的三种方法
跟踪演练2 (1)已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝a(x＋1)有三个不相等的实数根，则实数
a的取值范围是________．
答案
解析 作出函数f(x)的图象，又直线y＝a(x＋1)过定点P(－1,0)，如图，当直线y＝a(x＋1)与
y＝的图象有两个交点时满足题意，需满足a>0，
由得ax－＋a＝0，令t＝，
则at2－t＋a＝0有两个正根，
所以Δ＝1－4a2>0，解得－0，t＋t＝>0，所以022，
所以G>，
G>≈＝≈480.35，
所以所需的训练迭代轮数至少为481轮．
易错提醒 构建函数模型解决实际问题的失分点
(1)不能选择相应变量得到函数模型．
(2)构建的函数模型有误．
(3)忽视函数模型中变量的实际意义．
跟踪演练3 (1)(2022·荆州联考)“绿水青山就是金山银山”，党的十九大以来，城乡深化河
道生态环境治理，科学治污．某乡村一条污染河道的蓄水量为v立方米，每天的进出水量为
k立方米．已知污染源以每天r个单位污染河水，某一时段t(单位：天)河水污染质量指数为
m(t)(每立方米河水所含的污染物)满足m(t)＝ (m 为初始质量指数)，经测
0
算，河道蓄水量是每天进出水量的80倍．若从现在开始关闭污染源，要使河水的污染水平
下降到初始时的10%，需要的时间大约是(参考数据：ln 10≈2.30)( )A．1个月 B．3个月
C．半年 D．1年
答案 C
解析 由题可知，m(t)＝ ＝0.1m，
0
∴ ＝0.1，
∴－t＝ln 0.1≈－2.30，∴t≈184(天)，
∴要使河水的污染水平下降到初始时的10%，结合选项知需要的时间大约是半年．
(2)(2022·广东大联考)水果采摘后，如果不进行保鲜处理，其新鲜度会逐渐流失，某水果产
地的技术人员采用一种新的保鲜技术后发现水果在采摘后的时间 t(单位：小时)与失去的新
鲜度y满足函数关系式：y＝ 为了保障水果在销售时的新鲜度不低
于85%，从水果采摘到上市销售的时间间隔不能超过(参考数据：log 3≈1.6)( )
2
A．20小时 B．25小时
C．28小时 D．35小时
答案 C
解析 由题意可知当t<10时，失去的新鲜度小于10%，没有超过15%，
当t≥10时，则有 ≤15%，即 ≤3，
∴≤log 3≈1.6，
2
∴t≤48－20＝28.
专题强化练
一、单项选择题
1．幂函数f(x)满足f(4)＝3f(2)，则f 等于( )
A. B. 3 C. － D. －3
答案 A
解析 设幂函数f(x)＝xα，则4α＝3×2α，
解得α＝log 3，所以f(x)＝ ，
2
所以f ＝ ＝.2．(2022·泸州模拟)若log b>1，其中a>0且a≠1，b>1, 则( )
a
A．01，则log b<0，与log b>1矛盾，故a>1，
a a
由log b>1得log b>log a，则b>a，故b>a>1.
a a a
3．函数f(x)＝的零点有( )
A．2个 B．3个
C．5个 D．无数个
答案 B
解析 f(x)的定义域为(－5,5)，
令f(x)＝0，得sin x＝0，∴x＝kπ，k∈Z，
又x∈(－5,5)，∴x＝0或x＝±π，
故f(x)有3个零点．
4．朗伯比尔定律(Lambert－Beer law)是分光光度法的基本定律，是描述物质对某一波长光
吸收的强弱与吸光物质的浓度及其液层厚度间的关系，其数学表达式为A＝lg ＝Kbc，其中
A为吸光度，T为透光度，K为摩尔吸光系数，c为吸光物质的浓度，单位为mol/L，b为吸
收层厚度，单位为cm.保持K，b不变，当吸光物质的浓度增加为原来的两倍时，透光度由
原来的T变为( )
A．2T B．T2
C.T D．10T
答案 B
解析 由A＝lg ＝Kbc，得＝10A，
所以T＝A，
保持K，b不变，当吸光物质的浓度增加为原来的两倍时，透光度变为T′，
则Kb·2c＝2A＝lg ，所以＝102A，
所以T′＝2A＝2＝T2，
所以透光度由原来的T变为T2.
5．(2022·十堰统考)已知a＝ln 3，b＝30.5，c＝lg 9，则( )
A．a>b>c B．c>a>b
C．b>a>c D．b>c>a
答案 C
解析 因为0＝lg 1ln e＝1，所以a>c，又e3>2.53>32，所以 >3，则>ln 3，
则b＝30.5>>ln 3＝a.
故b>a>c.
6．(2022·聊城模拟)“环境就是民生，青山就是美丽，蓝天也是幸福”，随着经济的发展和
社会的进步，人们的环保意识日益增强．某化工厂产生的废气中污染物的含量为 1.2
mg/cm3，排放前每过滤一次，该污染物的含量都会减少20%，当地环保部门要求废气中该
污染物的含量不能超过0.2 mg/cm3，若要使该工厂的废气达标排放，那么该污染物排放前需
要过滤的次数至少为(参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)( )
A．6 B．7 C．8 D．9
答案 C
解析 设该污染物排放前过滤的次数为n(n∈N*)，
由题意得1.2×0.8n≤0.2，即n≥6，
两边取以10为底的对数可得lgn≥lg 6，
即nlg≥lg 2＋lg 3，
所以n≥，
因为lg 2≈0.30，lg 3≈0.48，
所以≈＝7.8，
所以n≥7.8，又n∈N*，所以n ＝8，即该污染物排放前需要过滤的次数至少为8次．
min
7．(2022·湖南联考)已如函数f(x)＝2x－＋lg ，则( )
A．f(1)＋f(－1)<0
B．f(－2)＋f(2)>0
C．f(1)－f(－2)<0
D．f(－1)＋f(2)>0
答案 D
解析 因为f(－x)＝2－x－＋lg
＝－＝－f(x)，
所以f(x)是奇函数，所以f(x)＋f(－x)＝0，故A，B错误；
又因为f(x)＝2x－＋lg ＝2x－＋
lg，且>0，
即(x＋3)(3－x)>0，解得－30，当x∈(－3,0)
时，f(x)<0，
所以f(1)－f(－2)＝f(1)＋f(2)>0，C错误；
f(－1)＋f(2)＝f(2)－f(1)>0，D正确．8．设x ，x 分别是函数f(x)＝x－a－x和g(x)＝xlog x－1的零点(其中a>1)，则x ＋4x 的取值
1 2 a 1 2
范围为( )
A．(4，＋∞) B．[4，＋∞)
C．(5，＋∞) D．[5，＋∞)
答案 C
解析 令f(x)＝0，得x＝ ，即＝ ，
1
所以x 是y＝与y＝ax(a>1)图象的交点的横坐标，且显然01)图象的交点的横坐标，因为y＝ax与y＝log x关于y＝x对称，
2 a a
所以交点也关于y＝x对称，所以有x＝，
1
所以x＋4x＝x＋，令y＝x＋，易知y＝x＋在(0,1)上单调递减，所以x＋4x>1＋＝5.
1 2 1 1 2
二、多项选择题
9．记函数f(x)＝x＋ln x的零点为x，则关于x 的结论正确的为( )
0 0
A．00，
∴0，
0
故A，D选项错误，B，C选项正确．
10．已知实数a，b满足等式2 022a＝2 023b，下列式子可以成立的是( )
A．a＝b＝0 B．ab>0，或a4z
答案 ABD
解析 设3x＝4y＝12z＝t，t>1，
则x＝log t，y＝log t，z＝log t，
3 4 12
所以＋＝＋＝log3＋log4
t t
＝log12＝，A正确；
t
因为＝＝＝log 9<1，
12
则6z<3x，
因为＝＝＝＝log 64<1，
81
则3x<4y，
所以6z<3x<4y，B正确；
因为＋＝，
所以x＋y＝(x＋y)·z
＝·z≥4z，当且仅当x＝y时，等号成立，
又x≠y，故x＋y>4z，D正确；
因为＝＋＝，则＝x＋y>4z，
所以xy>4z2，C错误．
三、填空题
13．(2022·成都模拟)已知两个条件：①a，b∈R，f(a＋b)＝f(a)·f(b)；②f(x)在(0，＋∞)上单
调递减．请写出一个同时满足以上两个条件的函数____________．
答案 f(x)＝x(答案不唯一)
解析 由题意知，是指数函数里的减函数，故可以是f(x)＝x.
14．(2022·广州模拟)据报道，某地遭遇了70年一遇的沙漠蝗虫灾害．在所有的农业害虫中，
沙漠蝗虫对人类粮食作物危害最大．沙漠蝗虫繁殖速度很快，迁徙能力很强，给农业生产和
粮食安全构成重大威胁．已知某蝗虫群在适宜的环境条件下，每经过15天，数量就会增长
为原来的10倍．该蝗虫群当前有1亿只蝗虫，则经过________天，蝗虫数量会达到4 000亿
只．(参考数据：lg 2≈0.30)
答案 54
解析 由每经过15天，蝗虫的数量就会增长为原来的10倍，
设每天的增长率为a，
则有(1＋a)15＝10，
解得a＝－1，
设经过x天后，蝗虫数量会达到4 000亿只，
则有1×(1＋a)x＝4 000，
所以 ＝4 000，
即lg ＝lg 4 000，
故＝3＋lg 4＝3＋2lg 2≈3＋2×0.3＝3.6，
所以x≈54，
故经过54天，蝗虫数量会达到4 000亿只．
15．已知函数f(x)＝|ln x|，实数m，n满足0f(m)＝f(n)，
f(m2)＝|ln m2|＝2，解得m＝，又因为＝n，所以n＝e，所以＝e2.
16．函数f(x)＝若关于x的方程2f2(x)－af(x)＋1＝0有6个不相等的实数根，则a的取值范围
是__________．
答案 (2，3)
解析 函数f(x)的图象如图所示，
令t＝f(x)，则关于x的方程2f2(x)－af(x)＋1＝0有6个不相等的实数根，
等价于关于t的方程2t2－at＋1＝0在[0,1)上有2个不相等的实数根，
则
解得2
