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第 1 讲 一元函数的导数及其应用（一）
本讲为重要知识点，也是高中的难点。题型主要围绕导数的几何意义结合函数的思想考察。基本会考
察一题关于函数本身的基础题和一道导数大题，第一问对于几何意义的考察属于基础知识，必须掌握，
第二问的题型相对较多，需要对于导数的应用和函数的思想相结合去理解其中的变形目的。
考点一 导数的概念及运算
1．导数的概念
一般地，函数y＝f(x)在x＝x 处的瞬时变化率 为函数y＝f(x)在x＝x
0 0
处的导数，记作f′(x)或y′ 即f′x＝ .
0 0
称函数f′(x)＝ 为f(x)的导函数．
2．导数的几何意义
函数f(x)在点x 处的导数f′(x)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x ，f(x))处的切线的斜率．相应地
0 0 0 0
切线方程为y－f(x)＝f′(x)(x－x)．
0 0 0
3．基本初等函数的导数公式
基本初等函数 导函数
f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0
f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x
f(x)＝ex
f′(x)＝
f(x)＝ln x
f′(x)＝
f(x)＝xα(α∈Q*) f′(x)＝αxα－1
f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x
f(x)＝ax(a>0，a≠1) f′(x)＝axln_a
f(x)＝logx(a>0，a≠1)
a
f′(x)＝
4.导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(3) (g(x)≠0)．
5.常用结论
1.f′(x)代表函数f(x)在x＝x 处的导数值；(f(x))′是函数值f(x)的导数，且(f(x))′＝0.
0 0 0 0 0
2. ′＝－ .
3.曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点.
4.函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′
(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”.
考点二 利用导数研究函数的单调性
1.函数的单调性与导数的关系
函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导，
(1)若f′(x)>0，则f(x)在区间(a，b)内是单调递增函数；
(2)若f′(x)<0，则f(x)在区间(a，b)内是单调递减函数；
(3)若恒有f′(x)＝0，则f(x)在区间(a，b)内是常数函数．
讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则.
2.常用结论汇总——规律多一点
(1)在某区间内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．
(2)可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且
f′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零．
考点三 利用导数解决函数的极值最值
1．函数的极值
(1)函数的极小值：
函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a
附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的
极小值．
(2)函数的极大值：
函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b
附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的
极大值．
极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值.
①函数fx在x 处有极值的必要不充分条件是f′x＝0，极值点是f′x＝0的根，但f′x＝0的
0 0
根不都是极值点例如fx＝x3，f′0＝0，但x＝0不是极值点.
②极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质.极值点是函数在区间内部的点，不会是端点.
2．函数的最值
(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．
(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，
b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．
3常用结论
1.对于可导函数f(x)，“f′(x)＝0”是“函数f(x)在x＝x 处有极值”的必要不充分条件.
0 0
2.求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认为极值就是
最值.
3.函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大小关系.
考点四 利用导数研究生活中的优化问题
1．生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．
2．利用导数解决优化问题的实质是求函数最值．
3．解决优化问题的基本思路是什么？
答案
上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程．
4.对于优化问题，建立模型之后需要对模型进行最大值最小值的求解，从而转化为导数求极值最值问题.
高频考点一 导数的概念及其意义
例1、函数 的图象如图所示， 是函数 的导函数，则下列数值排序正确的是（ ）A． B．
C． D．
【变式训练】
1、若函数 在点（1，f（1））处的切线的斜率为1，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
高频考点二 导数的运算
例1、已知 ，求 （ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1、函数 的图像在点 处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
高频考点三 导数在研究函数中的应用
例1、已知函数 ，直线 与函数 的图象有两个交点，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1、已知函数 ，若 是函数 的唯一极值点，则实数 的取值集合是（ ）A． B． C． D．
