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专题 02 函数与方程
一、核心先导
二、考点再现
【考点1】函数的零点
对于一般函数 ，我们把使 成立的实数 叫做函数 的零点．注
意函数的零点不是点，是一个数.
【考点2】函数的零点与方程的根之间的联系
函数 的零点就是方程 的实数根，也就是函数 的图象与 轴的交点的横坐标
即方程 有实数根 函数 的图象与 轴有交点 函数 有零点．
【考点3】零点存在定理
如果函数 在区间 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 ，那么，函数
在区间 内有零点，即存在 ，使得 ，这个 也就是方程 的根.
注：上述定理只能判断出零点存在，不能确定零点个数.
【考点4】二分法
对于在区间上连续不断且 的函数 ，通过不断地把函数 的零点所在的区间
一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．求方程 的
近似解就是求函数 零点的近似值．
【考点5】高频考点技巧①若连续不断的函数 f(x)是定义域上的单调函数，则 f(x)至多有一个零点；
②连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号；
③函数 有零点 方程 有实数根 函数 与 的图象有交
点；
④函数 有零点 方程 有实数根 函数 与 的图象有交点
，其中 为常数.
三、解法解密
方法一：确定函数f(x)零点个数(方程f(x)＝0的实根个数)的方法：
(1)判断二次函数f(x)在R上的零点个数，一般由对应的二次方程f(x)＝0的判别式Δ＞0，Δ＝0，
Δ＜0来完成；对于一些不便用判别式判断零点个数的二次函数，则要结合二次函数的图象进行判断．
(2)对于一般函数零点个数的判断，不仅要用到零点存在性定理，还必须结合函数的图象和性质才能
确定，如三次函数的零点个数问题．
(3)若函数f(x)在[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且是单调函数，又f(a)·f(b)＜0，则y＝
f(x)在区间(a，b)内有唯一零点．
方法二：导数研究函数图象交点及零点问题
y=f (x) y=g(x)
利用导数来探讨函数 的图象与函数 的图象的交点问题，有以下几个步骤：
h(x)=f(x)−g(x)
①构造函数 ；
h'(x)
②求导 ；
h(x)
③研究函数 的单调性和极值（必要时要研究函数图象端点的极限情况）；
④画出函数
h(x)
的草图，观察与x轴的交点情况，列不等式；
⑤解不等式得解.
y=f (x)
探讨函数 的零点个数，往往从函数的单调性和极值入手解决问题，结合零点存在性定理求
解.四、考点解密
题型一:判断零点所在区间
例1．（1）、（新疆疏勒县八一中学2018-2019学年高二上期末）
2
函数 f xlnx1 的一个零点所在的区间是( )
x
A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,4)
【答案】B
2
【解析】由题得 f 1ln2 =ln220，
1
2
f 2ln3 =ln310，
2
所以 f(1)f(2)0,
2
所以函数 f xlnx1 的一个零点所在的区间是1,2.
x
故选：B
（2）、（2022·北京市西城外国语学校高一期中）函数 零点所在的一个区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据零点存在性定理判断即可.
【详解】令 ，解得： ，只有一个零点.
而 ， ，
由零点存在性定理知，函数 零点所在的一个区间是 .
故选：C.
【变式训练1-1】．（2019·浙江湖州高一期中）函数 的零点所在的区间是（ ）
A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)
【答案】B
【解析】
函数 是 上的增函数, 是 上的增函数,
故函数 是 上的增函数.
, ,则 时, ; 时, ,
因为 ,所以函数 在区间 上存在零点.
故选:B.
【变式训练1-2】、（2020·内蒙古·北方重工集团第五中学高一阶段练习（文））函数 的
零点所在区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先判断出函数的单调性，然后得出 的函数符号，从而得出答案
【详解】由 在 上单调递减， 在 上单调递增，
所以函数 在 上单调递减，
又 ，
所以由零点存在定理可得函数在(3，4)之间存在零点，
故选：C
题型二:零点个数的判断
例2．（1）、（2008·湖北·高考真题（文））方程 的实数解的个数为_____________ .
【答案】2
【详解】因为 ,作出函数 的图像，从图像可以观察到两函数的图像有两个公共点，
所以方程 的实数解的个数为2.
（2）、（2022·四川省泸县第二中学模拟预测）函数 的零点的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】利用函数的单调性及零点存在性定理即得.
【详解】由于函数 在 上是增函数，且 ，
故函数在 上有唯一零点，也即在 上有唯一零点.
故选：B.
【变式训练2-1】．（2020·张家口市第一中学高一月考）函数 的零点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C【分析】
由题意可知零点个数转化为 的交点个数，作出图象即可求解
【详解】
函数 ，由 ，可得 ，作出 和 的图象，
由图象可得它们有2个交点，则 的零点个数为2，
故选：C.
【变式训练2-2】．（2021·陕西·西安中学模拟预测）已知函数 ，则函数
的零点个数为（ ）.
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】通过解法方程 来求得 的零点个数.
【详解】由 可得 .
当 时， ，或 （舍去），
当 时， 或 .
故 是 的零点，
是 的零点，
是 的零点.
综上所述， 共有 个零点.
故选：C
题型三:根据零点个数，求解析式中参数的范围例3．（1）、（2021·广东·东莞市东方明珠学校模拟预测）若关于 的方程 在区间
上仅有一个实根，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设 = ，可得函数递增递减区间，由函数在区间 上仅有一个零点，列出方程
可得 的取值范围.
【详解】解：设 ，可得 ，
令 ，可得 ，令 ，可得 ，
可得函数递增区间为 ，递减区间为 ，
由函数在区间 上仅有一个零点， ，
，若 ，则 ，显然不符合题意，故 ，
或 ，
可得 或 ，
故选C.
【点睛】本题主要考查方程的根与函数的零点的关系，利用导数研究函数的单调性，属于中档题.
（2）、（2022·山西·模拟预测）已知函数 若函数 有三个零点，则实数
a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求出 时，函数有一个零点，故 时，函数有两个零点，令 ，由
且 解出a的取值范围即可.
【详解】函数 当 时，方程 ．可得 ．解得 ，函数有一个
零点，
则当 时，函数有两个零点，即 ，在 时有两个解．
设 ，其开口向上，对称轴为： 在 上单调递减，在 上单调
递增，所以 ，且 ，解得 ．
故选：C．【点睛】本题考查数形结合以及函数与方程的应用，考查转化思想以及计算能力，属于常考题型.
【变式训练3-1】．（2020·湖南·雅礼中学模拟预测）已知定义在R上的函数 ，若函数
恰有2个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】把函数交点有两个零点转化为函数图象与直线有两个交点，作出对应函数图象和直线，利用导数
求出相应切线的斜率，由图象观察出 的范围．
【详解】 ，所以函数 的图象与直线 有两个交点，
作出函数 的图象，如下图，
由 得 ，设直线 与 图象切点为 ，则 ， ，所
以 ．
由 得 ， ， 与 在原点相切时， ，
由 得 ， ， 与 在原点相切时， ，
所以直线 ， ， 与曲线 相切，
由直线 与曲线 的位置关系可得：
当 时有两个交点，即函数 恰有两个零点.
故选：C.
【点睛】本题考查函数零点个数问题，解题方法是把函数零点转化为方程的解的个数，再转化为函数图象
与直线交点个数，作出函数图象与直线通过数形结合思想求解．【变式训练3-2】、（2022·云南保山·模拟预测（理））已知函数 ，若方程
恰好有四个实根，则实数k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】画出 的图象，根据 与 的图象有 个交点来求得 的取值范围.
【详解】当 时， ， 的图象向右平移2个单位，
再把纵坐标变为原来的2倍，得到 的图象，也即 在区间 上的图象.
以此类推，则 在区间 上的图象如图所示．
记 ，若方程 恰好有四个实根，
则函数 与 的图象有且只有四个公共点，
由图得，点 ， ， ， ，则 ， ， ， ，则
，所以 与 的图象有且只有四个公共点时 ．
故选：D
题型四:根据零点个数或零点所在区间，求零点之间的关系
例4．（1）．（2022·吉林·东北师大附中模拟预测）已知函数 ， （其中e是自然对数的底数），若关于x的方程 恰有三个不同的零点 ，且 ，则
的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据解析式研究 、 的函数性质，由 零点个数知 与 的交点横坐标一个在
上，另一个在 上，数形结合可得 ， 且 ， ，进
而可得 代入目标式，再构造函数研究最值即可得解.
【详解】由 解析式，在 上 单调递增且值域为 ，在 上 单调递增且值域为
，
函数 图象如下：
所以， 的值域在 上任意函数值都有两个x值与之对应，值域在 上任意函数值都有一个x值
与之对应，
要使 恰有三个不同的零点 ，则 与 的交点横坐标一个在 上，另一
个在 上，
由 开口向下且对称轴为 ，
由上图知： ，此时 且 ， ，
结合 图象及 有 ， ，则 ，
所以 ，且 ，
令 且 ，则 ，当 时 ， 递增；当 时 ， 递减；
所以 ，故 最大值为 .
故选：A
【点睛】关键点点睛：根据已知函数的性质判断 与 的交点横坐标 的范围，进而得到
与 的关系，代入目标式并构造函数研究最值.
（2）．（2021·普宁市第二中学高三月考）已知函数 若
( 互不相等)，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
先画函数图象，再进行数形结合得到 和 ，结合对勾函数单调性解得 的
范围，即得结果.
【详解】
作出函数 的图象，如图所示:
设 ，则 .
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，即 .
当 时，解得 或 ，所以 .设 ，
因为函数 在 上单调递增，所以 ，即 ，
所以 .
故选：D.
【变式训练4-1】．（2021·云南红河·模拟预测（文））已知函数 ，若
，且 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】作出图形，设 ，则 ，分析得出 ， ，
结合一次函数的基本性质可求得 的取值范围.
【详解】如下图所示， ，则 ，
由已知可得 ，由图可知 ， ，则 ，则 ，
且 、 是方程 的两个根，所以 ，
所以 .故选：A.
【变式训练4-2】．（2020·全国·高三零模（文））已知函数 ，若函数 有 个
不同的零点 ，则 的取值范围是___________．
【答案】
【详解】作出函数 的图象及直线 ，如下图所示，因为函数 有 个不同的零点
，所以由图象可知 ， ， ，所以
．
题型五:根据零点所在区间，求解析式中参数的范围
例5．（1）、（2017·江苏南通·一模）已知函数 的零点在区间 内，则正整数 的
值为________．
【答案】2
【详解】由函数的解析式可得函数在 上是增函数，且 ， ，
故有 ，根据函数零点存在性可得函数在区间 上存在零点，结合所给的条件可得，故
，故答案为2.
（2）、（2021·江西上饶·二模（文））已知函数 ，若 恰有3个正整数解，
则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】不等式有解问题转化为相应两个函数图象交点问题，根据数形结合思想，通过运算进行求解即可.
【详解】解：由题意， 恰有3个正整数解，转换为 的图象与 的图象交点
问题，作出 和 的图象，如图：
要使 恰有3个正整数解，
则需满足： ，
解得： ，
故选：A．
【点睛】方法点睛：不等式解和方程根的问题往往转化为函数图象交点问题，利用数形结合思想进行求解.
【变式训练5-1】．（2022·新疆昌吉·二模（文））已知函数 ，若关于x的方程
有三个不同的实根，则m的取值范围为______．
【答案】
【分析】由条件作函数 的图象，根据方程 有三个不同的实根结合图象求参数 的范
围.
【详解】由已知当 时， ，
当 时， ，当 时，
作函数 图象如下，
因为关于x的方程 有三个不同的实根，
所以函数 的图象与 的图象有三个交点，
观察图象可得 ，
故答案为： .
【变式训练5-2】．（2019·安徽·三模（文））已知函数 有唯一的零点 ，且
，则实数 的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】将函数零点问题转化为两个函数图象交点问题，再结合图象确定满足的条件，解得结果.
【详解】令 即： ，在同一坐标系中分别作出 与 的图象知，
为增函数，而 为减函数，要是交点的横坐标落在区间 内，必须：，即： ，故选
【点睛】本题考查函数零点，考查数形结合思想方法以及基本分析求解能力，属中档题.
题型六:复合函数的零点问题（自我嵌套）
例6．（1）、（2021·吉林长春外国语学校（理））已知函数 ，若关于 的方程
有且只有一个实数根，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
分 、 两种情况讨论，由 可得出 的值或取值范围，再分 、 两类讨论，
利用代数法或数形结合思想，利用关于 的方程 有且只有一个实数根可求得实数 的取值范围.
【详解】
令 ，则 .
①当 时，若 ， ；若 ， ，得 .
所以，由 可得 或 .
如下图所示：满足 的 有无数个，方程 只有一个解，不合乎题意；
②当 时，若 ，则 ；若 ， ，得 .
所以，由 可得 ，
当 时，由 ，可得 ，
因为关于 的方程 有且只有一个实数根，则方程 在 时无解，
若 且 时， ，故 ；
若 且 时， ，合乎题意.
综上所述，实数 的取值范围是 .
故选：B.
（2）．（2022·全国高三专题练习）设 ，函数 ，若函数 恰有 个零
点，则实数 的值为__________.
【答案】
【分析】
分 和 两种情况讨论，由 解出 的值，然后分 、 解关于 的方程，结合
已知条件可得出关于实数 的等式，进而可求得实数 的值.
【详解】
①当 时，由 ，可得 ，
当 时，由 ，可得 或 ，
当 时， .
即当 时，函数 只有 个零点，不合乎题意；
②当 时，由 ，可得 或 .
当 时，由 ，可得 或 ，方程 无解，当 时，由 ，即 ， ，
解方程 可得 ，
其中 合乎题意， 舍去，
所以，方程 在 时有唯一解，
函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
当 时， ，当 时， ，
故 ，解得 .
综上所述， .
故答案为： .
【点睛】
思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，
求解此类问题的一般步骤：
（1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；
（2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；
（3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围．
【变式训练6-1】．（2022·全国高三专题练习（理））已知函数 则函数 的
所有零点之和为___________.
【答案】
【分析】
利用分段函数，分类讨论，即可求出函数 的所有零点，从而得解．
【详解】
解： 时， ， ，由 ，可得 或 ， 或 ；
时， ， ，由 ，可得 或 ， 或 ；
函数 的所有零点为 ， ， ， ，所以所有零点的和为
故答案为： ．
【变式训练6-2】、（2022·湖南·长郡中学模拟预测）已知函数 ，则函数的零点个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】令 ，根据 分别求出函数 的零点或零点所在区间，再作出函数
的图象，根据数形结合即可求出函数 的零点个数；
【详解】令 ．
①当 时， ，则函数 在 上单调递增，
由于 ，由零点存在定理可知，存在 ，使得 ；
②当 时， ，由 ，解得 ．
作出函数 ，直线 的图象如下图所示：
由图象可知，直线 与函数 的图象有两个交点；
直线 与函数 的图象有两个交点；直线 与函数 的图象有且只有一个交点．综
上所述，函数 的零点个数为5．
故选：D．
题型七:复合函数的零点问题（与二次函数嵌套）
例7．（1）、（2022·陕西·铜川市耀州中学模拟预测（文））设函数 ，若关于 的方
程 恰好有六个不同的实数解，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．C． D．
【答案】B
【分析】画出 的图象，由图象求得 与 有 个交点时， 的取值范围.结合一元二次方程零
点分布的知识列不等式组，由此求得 的取值范围.
【详解】画出函数 的图象如下图所示，
令 ，则方程 可化为 .
由图可知：当 时， 与 有 个交点，
要使关于 的方程 恰好有六个不同的实数解，
则方程 在 内有两个不同实数根，
∴ ，
解得 ，
∴实数 的取值范围为 .
故选：B
（2）、（2021·江西省乐平中学高一开学考试）已知函数 的值域为 ，且 ，若
关于 的方程 有三个不同的实数根，则 的取值范围为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
函数 的值域要为 ，则 ，又 ，故 ，画出函数 图象，利用数形结
合的方法即可求解
【详解】
根据该分段函数的图象，函数 的值域要为 ，则 ，
但 ， ，
当 时，函数 图象如图2所示：
关于 的方程 有三个不同的实数根，
即 有三个不相等的实数根，
由图象可知 有两个实数根，则 有一个实数根，
，
故选：A．
【变式训练7-1】、（2021·吉林省实验中学模拟预测（文））已知函数 ，则关于x
的函数 的零点的个数为（ ）
A．8 B．7 C．5 D．2
【答案】B
【分析】问题转化为要求方程 的解的个数，对应于函数 或 的解的个
数．故先根据题意作出 的简图，由图可知，函数 或 的解的个数，可以得出答案．
【详解】根据题意，令 ，
得 或 ．作出 的简图：
由图象可得当 或 时，分别有4个和3个交点，
故关于x的函数 的零点的个数为7．
故选：B．
【变式训练7-2】．（2021·黑龙江鹤岗一中（理））已知函数 ，若方程
恰有4个不同的实数根，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
方程左边先进行因式分解得 ，作出函数 的图象如图所示，可得
，解不等式即可得到答案；
【详解】
,
或 ，
作出函数 的图象如图所示，
当 ， ，，解得： ，
故选：A.
【点睛】
本题求解的关键是利用数形结合思想作出函数的图象，再通过图象得到两条直线与曲线分别要有1个交点
和3个交点.
题型八:高考压轴真题训练
例8．（1）、（2007·湖北·高考真题）关于 的方程 ，给出下列四个命题：
①存在实数 ，使得方程恰有2个不同的实根；
②存在实数 ，使得方程恰有4个不同的实根；
③存在实数 ，使得方程恰有5个不同的实根；
④存在实数 ，使得方程恰有8个不同的实根.
其中假命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【分析】令 ，则 ，作出这两个函数的图象，利用两个函数的图象可得结果.
【详解】令 ，则 ，
作出这两个函数的图象，如图：
由图可知，当 时， 只有一个大于 的根，则方程 恰有两个实根；故①为真命题；
当 时，由 得 或 ，
当 时， ，当 时， 或 ，此时原方程恰有5个实根，故③为真命题；
当 时， 有两个实根，两个实根在 内，此时原方程有8个实根，故④为真命题；
当 时，由 得 ，则方程 恰有4个实根；此时原方程恰有4个实根，故②为真命
题.
故选：A
【点睛】关键点点睛：构造两个函数，利用两个函数的图象求解是本题的解题关键.
（2）、（2019·江苏·高考真题）设 是定义在 上的两个周期函数， 的周期为4， 的周期
为2，且 是奇函数.当 时， ， ，其中 .若在区间
上，关于 的方程 有8个不同的实数根，则 的取值范围是_____.
【答案】 .
【分析】分别考查函数 和函数 图像的性质，考查临界条件确定k的取值范围即可.
【详解】当 时， 即
又 为奇函数，其图象关于原点对称，其周期为 ，如图，函数 与 的图象，要使 在
上有 个实根，只需二者图象有 个交点即可.
当 时，函数 与 的图象有 个交点；
当 时， 的图象为恒过点 的直线，只需函数 与 的图象有 个交点.当
与 图象相切时，圆心 到直线 的距离为 ，即 ，得 ，函数 与的图象有 个交点；当 过点 时，函数 与 的图象有 个交点，此时 ，
得 .
综上可知，满足 在 上有 个实根的 的取值范围为 .
【点睛】本题考点为参数的取值范围，侧重函数方程的多个实根，难度较大.不能正确画出函数图象的交点
而致误，根据函数的周期性平移图象，找出两个函数图象相切或相交的临界交点个数，从而确定参数的取
值范围.
【变式训练8-1】．（2018·全国·高考真题（理））已知函数 ．若g
（x）存在2个零点，则a的取值范围是
A．[–1，0） B．[0，+∞） C．[–1，+∞） D．[1，+∞）
【答案】C
【详解】分析：首先根据g（x）存在2个零点，得到方程 有两个解，将其转化为
有两个解，即直线 与曲线 有两个交点，根据题中所给的函数解析式，画出函
数 的图像（将 去掉），再画出直线 ，并将其上下移动，从图中可以发现，当 时，
满足 与曲线 有两个交点，从而求得结果.
详解：画出函数 的图像， 在y轴右侧的去掉，
再画出直线 ，之后上下移动，
可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，
并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，
即方程 有两个解，
也就是函数 有两个零点，
此时满足 ，即 ，故选C.
点睛：该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是
将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数的图像以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果.
【变式训练8-2】．（2021·北京·高考真题）已知函数 ，给出下列四个结论：
①若 ， 恰 有2个零点；
②存在负数 ，使得 恰有1个零点；
③存在负数 ，使得 恰有3个零点；
④存在正数 ，使得 恰有3个零点．
其中所有正确结论的序号是_______．
【答案】①②④
【分析】由 可得出 ，考查直线 与曲线 的左、右支分别相切的情
形，利用方程思想以及数形结合可判断各选项的正误.
【详解】对于①，当 时，由 ，可得 或 ，①正确；
对于②，考查直线 与曲线 相切于点 ，
对函数 求导得 ，由题意可得 ，解得 ，
所以，存在 ，使得 只有一个零点，②正确；
对于③，当直线 过点 时， ，解得 ，
所以，当 时，直线 与曲线 有两个交点，
若函数 有三个零点，则直线 与曲线 有两个交点，
直线 与曲线 有一个交点，所以， ，此不等式无解，
因此，不存在 ，使得函数 有三个零点，③错误；
对于④，考查直线 与曲线 相切于点 ，
对函数 求导得 ，由题意可得 ，解得 ，
所以，当 时，函数 有三个零点，④正确.故答案为：①②④.
【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的
零点问题，求解此类问题的一般步骤：
（1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；
（2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；
（3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围．
五、分层训练
A组 基础巩固
1．（2022·陕西·咸阳市高新一中高一期中）函数 的零点所在的区间为（ ）
A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）
【答案】A
【分析】分别求区间端点处的函数值，利用零点存在定理判断零点所在的区间.
【详解】函数 是定义在R上的连续递增函数，
， ，
由零点存在定理，函数 零点所在的区间为（0，1）.
故选：A
2．（2022·重庆八中高一期末） 的零点所在区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分别计算各区间端点处的函数值，根据零点存在定理即可判断出答案.
【详解】 在定义域 上是单调增函数，
,故函数 在 不存在零点；
，故函数 在 不存在零点；
，故函数 在 不存在零点；，故函数 在 存在零点；
故选：D.
3．（2022·广东·肇庆市外国语学校模拟预测）已知函数 满足 ，当 时，
，则 在 上的零点个数为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．9
【答案】D
【分析】由题意可得函数 的周期为 ，令 可知当 时， 有两个零
点，又因为 ，即可得出 在 上的零点个数.
【详解】因为函数 满足 ，所以 ，
所以函数 的周期为 ，
当 时， ，
令 ，解得： 或 或 （舍去），
所以当 时， 有两个零点，
所以 在 上的零点个数为 ，
又因为 ，所以 在 上的零点个数为 个.
故选：D.
4．（2022·黑龙江·佳木斯一中三模（理））已知函数 ，则函数 的所
有零点之和为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】令 ，则 ，令 ，说明这两个函数的
图象都关于 对称，做出函数图像，结合函数图象即可得出答案.
【详解】解： ，
令 ，则 ，
令 ，因为 ， ，
所以函数 得图象关于 对称，
因为 ，所以函数 在 上递增，
令 ，则 ，
所以函数 在 上递增，
所以函数 在 上增长得速度越来越快，
， ，
如图，作出函数 的图象，
由图可知，函数 的图象有三个交点，设这三个交点依次为 ，
则 ，
所以函数 有三个交点 ，且 ，
即函数 的所有零点之和为3.
故选：D.
5．（2022·天津市滨海新区塘沽第一中学模拟预测）已知定义在 上的奇函数 恒有 ，
当 时， ，已知 ，则函数 在 上的零点个数为
（ ）
A．4个 B．5个 C．3个或4个 D．4个或5个
【答案】D
【分析】利用奇函数性质和关系式转化求出 的关系式并利用单调性画出简图，再利用数形结合思想根据 的取值范围求出零点个数.
【详解】因为 ，所以 的周期为2，
又因为 为奇函数， ，
令 ，得 ，又 ，所以 ，
当 时， ，
由 单调递减得函数 在 上单调递增，
所以 ，得 ，
作出函数图象如图所示，
由图象可知当 过点 时， ，此时在 上只有3个零点.
当 经过点 时， ，此时有5个零点.
当 时，有4个零点.
当 经过点 时， ，此时有5个零点.
当 时，有4个零点.
当 经过点 时， ，此时在 上只有3个零点.
当 时，有4个零点.所以当 时，函数 在 上有4个或5个零点.
故选：D
6．（2021·河南·罗山县教学研究室一模（理））已知函数 在定义域上单调递
增，且关于x的方程 恰有一个实数根，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．(0，1)
【答案】C
【分析】由 递增，先求出 的范围，再根据 恰有一个实数根，通过数形结合进一步缩小
范围.
【详解】
在定义域上单调增，∴ ，∴ ，
∵ 在 处切线为 ，即 ，
又 故 与 没有公共点
∴ 与 有且仅有一个公共点且为
∴ 在 处的切线的斜率必须大于等于1，
， ，∴ ，∴ ，
综上：
故选：C.【点睛】本题需要通过求导，数形结合，利用切线斜率的不等关系解决问题.
7．（2019·安徽·安庆一中模拟预测（理））设函数 ，若函数
有三个零点 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
12 11 6 3
【分析】画出函数 的图象，利用函数的图象判断函数的零点个数，然后转化求解，即可得出结果．
【详解】作出函数 的图象如图所示，
令 ，
由图可得关于 的方程 的解有两个或三个（ 时有三个， 时有两个），
所以关于 的方程 只能有一个根 （若有两个根，则关于 的方程 有四个
或五个根），
由 ，可得 的值分别为 ，
则
故选 ．
B
8．（2020·内蒙古·鄂尔多斯市第一中学一模（文））函数 ，若存在实数 ，
使得方程 有三个相异实根，则实数 的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先考虑 时 的单调性，再就 分别求 在 的最值，结合存在实数
，使得方程 有三个相异实根，可得实数 的范围.【详解】解：当 时， ，
当 时， ， 在 为增函数；
当 时， ， 在 为减函数；
又 ， ，
因为存在实数 ，使得方程 有三个相异实根，
所以当 ， 的最小值小于2， 的最大值大于或等于1，
当 ， 时， ，故 ，解得： ；
当 ， 时， 总成立，舍去；
综上可得 ，
故选：D.
【点睛】本题主要考查函数的零点与利用导数研究函数的单调性，注意先研究不含参数的函数的单调性，
再结合函数的零点个数判断另一范围上函数的性质，本题属于难题.
9．（2016·辽宁鞍山·一模（文））设函数 ，若互不相等的实数 ， ， 满足
，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】作出 图象，不妨设 ， ，由数形结合及二次函数图象性质可得
， ，即可求 范围.
【详解】不妨设 ， ， 如图所示， ，由
，
故 ， ，故 .
故选：D10．（2022·云南师大附中模拟预测（理））已知函数 的最大值为2，若方程
在区间 内有三个实数根 ，且 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】方程根的问题可转化为函数图象交点的横坐标问题，利用图象，根据对称性即可得出解.
【详解】 ，由题知 ，且 ，
解得 ，于是 ．
方程 在区间 内的实数根，即为在区间 内 的图象与直线 的交点的横
坐标，如图所示，
由 图象的对称性可知， ，即 ， ，所以
，
故选：A．
11．（2022·全国·模拟预测）已知函数 ， 是 的导函数，则方程 在
内实数根的个数是______．【答案】5
【分析】求出函数的导函数，依题意可得 ，由正弦函数的有界性，只需研究 与
在 上的交点个数，结合函数图象即可判断；
【详解】解：因为 ，所以 ， 即 ，
即 ，由于 ，直线 经过点 ，
所以只要考虑直线 和曲线 在区间 上的交点个数即可，
作出 与 在 上的大致图象，数形结合可知两图象有5个交点，
其中 ， ，
故方程 在 内实数根的个数是 ；
故答案为：
12．（2022·四川·成都七中三模（文））已知函数 ，则函数
的零点个数是______个．
【答案】3
【分析】函数 的零点个数等价于函数函数 与 的交点个数，
作出函数 与 的图象，结合图象即可求出结果.
【详解】函数 有的零点个数等价于函数函数 与 的交点个数，作出函数 与 的图象，如图：
，
由图可知，函数 与 有3个交点，故函数 有的零点个数为3，
故答案为：3.
【点睛】函数零点的求解与判断方法：
（1）直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结
合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
（3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个
不同的值，就有几个不同的零点．
13．（2021·陕西商洛·模拟预测（理））函数 的零点个数为_________.
【答案】3
【分析】作出函数图象，根据函数零点与函数图象的关系，直接判断零点个数.
【详解】作出函数图象，如下，
由图象可知，函数 有3个零点（3个零点分别为 ，0，2）.
故答案为：3
42．（2021·甘肃·静宁县第一中学二模（文））函数 的零点个数是__________.【答案】1
【分析】根据函数的单调性和零点存在定理可判断零点的个数.
【详解】因为 均在 上为增函数，
故 在 上为增函数，
而 ， ，
所以 的零点个数为1，
故答案为：1.
14．（2021·全国·模拟预测（文））方程 的实数根的个数为___________.
【答案】
【分析】转化为函数 的图象与函数 的图象的交点个数，画出函数 与 的大致图
象可得答案.
【详解】显然 不是方程 的实数根，所以方程 的实数根的个数等于函数
的图象与函数 的图象的交点个数，画出函数 与 的大致图象，如下图所示，所以函
数 的图象与函数 的图象的交点个数为 ，所以方程 的实数根的个
数为 ，
故答案为： .
【递减】本题的关键点是转化为函数 的图象与函数 的图象的交点个数，考查了学生转化与
数形结合的能力.
15．（2022·北京昌平·二模）若函数 有且仅有两个零点，则实数 的一个取值为______.
【答案】 （答案不唯一）
【分析】由零点的概念求解【详解】令 ，当 时，由 得 ，即 为函数 的一个零点，
故当 时， 有一解，得
故答案为： （答案不唯一）
16．（2020·云南文山·模拟预测（理））已知函数 （e为自然对数的底数），若
有三个零点，则实数 的取值范围为_____.
【答案】
【解析】当 时，显然只有一个零点；考虑当 时函数有两个零点即可.
【详解】设 ，
当 时， ， 单调减，
当 时， ， 单调增，
所以当 时， ；
又当 时， ；而令 ，
综上： .
故答案为:
【点睛】此题是利用导数解决函数零点问题，属于中档题.
17．（2022·内蒙古·包钢一中一模（文））设 若方程 有四个不相等的实
根 ，且 ，则 的取值范围为___________.
【答案】
【分析】画出函数的图象，根据对数函数的性质与运算及对称性可得 ，将
转化为关于 的代数式，利用换元法，根据 的范围结合二次函数的性质即可求解.
【详解】解：∵ 时， ，
∴ 在 上的图象与 上的图象关于 对称，不妨设 ，如图：
可得 ， .
∴ .
∴
， .
令 ，
则原式化为 ，其对称轴为 ，开口向上，
∴ 在 上单调递增.∴ .
∴ 的取值范围为 .
故答案为： .
18．（2021·江西·新余市第一中学模拟预测（文））已知定义在 上的奇函数 ，满足 ，
且当 时， ，若方程 在区间 上有四个不同的根 ，
则 的值为___________.
【答案】
【分析】根据函数的条件，判断函数的周期，利用函数的奇偶性和周期性即可得到结论．
【详解】解： ，
，
即函数的周期是4，
且 ，
则函数的对称轴为： ， 是奇函数，
所以 也是对称轴， ， 时， ，函数是增函数，
作出函数 的简图如下：
若方程 在区间 ， 上
有四个不同的根 ， ， ， ，
则四个根分别关于 和 对称，
不妨设 ，
则 ， ，
则 ，
故答案为： ．B组 能力提升
19．（2022·山西·一模（文））设函数 ，若 有四个实数根 、 、
、 ，且 ，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】作出图象，分析可知 ， ， ，利用对数的运算性质可得出
，可得出 ，利用单调性求出函数
在 上的值域，即可得解.
【详解】作出函数 的图象如下图所示：
由图可知，当 时，直线 与函数 的图象有四个交点，且交点的横坐标分别为 、 、 、
，且 ，
由图可知，点 、 关于直线 对称，则 ，
由图可知， ， ，
由 可得 ，所以， ，
所以，可得 ，
所以， ，易知函数 在 上为减函数，且 ， ，
故 .
故选：A.
20．（2022·河南·模拟预测（理））已知函数 为定义在 上的单调函数，且 ．
若函数 有3个零点，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】设 ，则 求出 值，可得 ，由 分离参数，结合
图象即可求解．
【详解】因为 为定义在R上的单调函数，所以存在唯一的 ，使得 ，
则 ， ，即 ，
因为函数 为增函数，且 ，所以 ， .
当 时，由 ，得 ；当 时，由 ，得 .
结合函数的图象可知，若 有3个零点，则 ．
故选：A
21．（2022·宁夏六盘山高级中学二模（理））已知a>0，函数 ，若函数
恰有两个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】写出 ，根据零点个数转化即可得解.【详解】 ， ，
恰有两个零点，
即 恰有两个零点，
，恰有两个零点，
， 恰有两个零点，
恰有两个零点，
记 ，
单调递减，
单调递增，
恰有两个零点，
所以 .
故选：C
22．（2021·吉林省实验中学模拟预测（文））已知函数 ，则关于x的函数
的零点的个数为（ ）
A．8 B．7 C．5 D．2
【答案】B
【分析】问题转化为要求方程 的解的个数，对应于函数 或 的解的个
数．故先根据题意作出 的简图，由图可知，函数 或 的解的个数，可以得出答案．
【详解】根据题意，令 ，
得 或 ．作出 的简图：
由图象可得当 或 时，分别有4个和3个交点，
故关于x的函数 的零点的个数为7．
故选：B．
23．（2021·甘肃白银·模拟预测（理））已知函数 ，若函数
，则下列结论正确的是（ ）
A．若 没有零点，则
B．当 时， 恰有1个零点
C．当 恰有2个零点时， 的取值范围为
D．当 恰有3个零点时， 的取值范围为
【答案】D
【分析】作出 的图象，令 ，可得 或 ，分别讨论在 、 、
、 、 、 、 、 和 情况下， 和 图象与
图象交点个数，即可得 零点个数，综合分析，即可得答案.
【详解】作出 的图象，如图所示：令 ，即 ，
可得 或 ，即 或 ，
当 时， 和 均无解，此时 无零点，
当 时， 有且仅有一个根x=-1， 无解，此时 有一个零点，故A错误；
当 时， 图象与 图象有2个交点，即 有2个根，
， 图象与 无交点，即 无解，此时 有2个零点；
当 时， 图象与 图象有3个交点，即 有3个根，
， 图象与 无交点，即 无解，此时 有3个零点；
当 时， 图象与 图象有2个交点，即 有2个根，
图象与 图象有1个交点，此时 有3个零点；故B错误
当 时， 图象与 图象有1个交点，即 有1个根，
， 图象与 图象有2个交点，即 有2个根，此时 有3个零
点；
当 时， 图象与 图象有1个交点，即 有1个根，
， 图象与 图象有3个交点，即 有3个根，此时 有4个零
点；
当 时， 图象与 图象有1个交点，即 有1个根，
图象与 图象有2个交点，即 有2个根，此时 有3个零点；
当 时， 图象与 图象有1个交点，即 有1个根，
， 图象与 图象有1个交点，即 有1个根，此时 有2个零点，
故C错误；
综上可得：当 恰有3个零点时， 的取值范围为 ，故D正确.
故选：D
【点睛】解题的关键是将函数零点问题，转化为图象求交点问题，分别讨论m的范围，数形结合，即可得答案，考查分段讨论，分析整理的能力，属中档题.
24．（2022·山东省实验中学模拟预测）（多选题）已知函数 是定义在R上的偶函数，且当 时，
，那么函数 在定义域内的零点个数可能是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】BC
【分析】函数 在定义域的零点个数可转化成 的根的个数，根据偶函数的图像关于
轴对称，只需考虑 时 的根的个数，从而可得结论.
【详解】当 时，
当 时，令 ，解得 或2共有两个解；
当 时，令 ，即 ，当 时，方程无解；
当 时， ，符合题意，方程有1解；
当 时， ，不符合题意，方程无解；
所以当 时， 有2个或3个根，而函数 是定义在R上的偶函数，所以函数 在
定义域内的零点个数可能是4或6.
故选：BC
25．（2020·全国·模拟预测）（多选题）已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时，
，则下列说法正确的是（ ）
A．当 时，
B．函数 有2个零点
C． 的解集为
D． ， ，都有
【答案】CD
【分析】当 时，结合函数奇偶性可求出解析式；结合奇偶性和零点的含义可判断函数零点的个数；令
，分 ， 两种情况进行讨论，即可求出解集；结合导数求出函数的最大值和最小值，即
可判断D.
【详解】当 时， ，由奇函数定义可知， ，故A错误；对于B，当 时， ，可知 是函数 的一个零点．当 时，
令 ，解得 ，即 是函数 的一个零点．
由奇函数的性质可知， 是函数 的一个零点，因此函数 有3个零点，
故B错误；
对于C，当 时，令 ，解得 ，当 时，
令 ，解得 ，综上可知，
的解集为 ，故C正确；
对于D， ， ，都有 ．当 时，
，当 时， 是增函数，当 时， 是减函数，
且 时， ，根据奇函数图象的性质可知， 时，
， ，可知 ，故D正确，
故选:CD．
【点睛】本题考查函数的奇偶性，考查了函数零点个数的求解，考查了及利用导数研究不等式，属于中档
题．
{|2x−1|,x≤1,
26．（2022·江苏南京·模拟预测）（多选题）已知函数
f (x)=
函数 有四个不同
(x−2) 2,x>1,
的零点 ， ， ， ，且 ，则（ ）
A． 的取值范围是 B． 的取值范围是
C． D．
【答案】AC
【分析】结合 的图象，由图可知 ， ， ，由二次函数的对称性，可得 ，
可得答案.
【详解】 有四个不同的零点 ， ， ， ，即方程 有四个不同的解．
的图象如图所示，由图可知 ， ， ，所以 ，
即 的取值范围是 ，
由二次函数的对称性，可得 ．因为 ，所以 ，故 ．
故选：AC.27．（2022·福建三明·模拟预测）已知函数 在区间（1，＋∞）内没有零点，则实
数a的取值可以为（ ）
A．－1 B．2 C．3 D．4
【答案】ABC
【分析】由题意设 ，则在 上， 与 有相同的零点，即讨论
在区间 内没有零点，求出其导函数，分析其单调性，得出其最值情况，从而结合其大致的图形可得
出答案.
【详解】 ，设
则在 上， 与 有相同的零点.
故函数 在区间 内没有零点,即 在区间 内没有零点
当 时， 在区间 上恒成立,则 在区间 上单调递增.
所以 ，显然 在区间 内没有零点.
当 时, 令 ，得 ，令 ，得
所以 在区间 上单调递减增.在区间 上单调递增.
所以
设 ，则
所以 在 上单调递减,且
所以存在 ，使得
要使得 在区间 内没有零点，则所以
综上所述，满足条件的 的范围是
由选项可知：选项ABC可使得 在区间 内没有零点，即满足题意.
故选：ABC
28．（2022·湖北·丹江口市第一中学模拟预测）已知函数 ，设函数
，则下列说法正确的是（ ）
A．若 有4个零点，则
B．存在实数t，使得 有5个零点
C．当 有6个零点时．记零点分别为 ，且 ，则
D．对任意 恒有2个零点
【答案】BC
【分析】由 可得 或 ，作函数 的图象，观察图象判断A，B，D，由条件观察
图象确定 的关系，由此判断C，
【详解】 的大致图像如图所示，令 ，即 ，即 或 ．
若 有4个零点，则实数t的取值范围为 或 或 ，故A项错误；由图可知，当
时， 有5个零点，故B项正确；当 有6个零点时，则 ，所以
，即有 ，故C项正确；当 时， 有4个零点，故D项错
误，
故选：BC．29．（2021·全国·模拟预测）（多选题）已知函数 ，若方程 有三个不同的实
数根 、 、 ，且 ，则（ ）
A． B．
C． D． 的取值范围是
【答案】ABD
【分析】作出函数 的图象，数形结合可判断AB选项的正误，利用对数的运算性质可判断C选项的正
误，利用利用导数法可判断D选项的正误.
【详解】作出函数 与函数 的图象如下图所示：
对于A选项，由图可知，当当 时，方程 有三个不同的实数根，A正确；
对于B选项，由图可知， ， ，解得 ，此时 ，
B正确；
对于C选项，当 时， ；当 时， .
由图可知， ，由 可得 ，即 ，
所以， ，C错误；
对于D选项，因为 ，所以 ，且 ，
记 ， ，则 ，
令 ，得 （ 舍去），所以当 时， ，当 时， ，
所以 的极小值也是最小值， ，
， ，所以 的取值范围是 ，D正确.
故选：ABD.
【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，
利用数形结合的方法求解.
30．（2015·江苏南通·一模）设函数 满足 ，且当 时， ．若在区间 内，
存在 个不同的实数 ，使得 ，则实数 的取值范围为_____．
【答案】
【详解】试题分析： ， ，当 时， ， ，在直角坐
标系内作出函数 的图象，而 表示的是该图象上的点与原点的连线的斜率．图象上的点 与
原点的连线的斜率为 ；当过原点的直线与曲线 相切时，斜率为 （利用导数解决：
设切点为 则 ，因此斜率为 ）． 结合图形可知，满足题意得实
数 的取值范围为 ．
考点：函数零点，导数应用
31．（2022·广东茂名·一模）已知函数 ，若 均不相等，且
，则 的取值范围是___________
【答案】
【分析】不妨设 ，结合函数图像可得 ，从而得出 ，即可得出答案.
【详解】不妨设 ，由图可得， ，
所以 即 ，由 得， ，所以 的取值范围是
故答案为：
32．（2022·广东·模拟预测）设定义域为R的函数 ，若关于x的方程
有8个不同的实根，到实数b的取值范围是___________.
【答案】
【分析】由 解析式画出函数图象，若 且 、 为 的两根，结合图像可知： 、
，再应用判别式、根与系数关系及对勾函数的值域求b的取值范围.
【详解】由题设， 的图象如下图示：
令 ，则 化为 ，
∴要使原方程有8个不同实根，则 有2个不同的实根且两根 、 ，
∴ ，可得 ，又 在 上递减，在 上递增，且
， ，即 ，综上， .
故答案为： .C组 真题实战练
33．（2017·天津·高考真题（文））已知函数 ．设 ，若关于 的不等式
在 上恒成立，则 的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】满足题意时 的图象恒不在函数 下方，
当 时，函数图象如图所示，排除C,D选项；
当 时，函数图象如图所示，排除B选项，本题选择A选项.
34．（2012·北京·高考真题（文））函数 的零点个数为
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【详解】函数 的零点，即令 ，根据此题可得 ，在平面直角坐标系中分别画
出幂函数 和指数函数 的图像，可得交点只有一个，所以零点只有一个，故选B
【考点定位】本小题表面上考查的是零点问题，实质上考查的是函数图象问题，该题涉及到的图像为幂函
数和指数函数
35．（2015·湖南·高考真题（理））已知 ，若存在实数 ，使函数 有两个
零点，则 的取值范围是________．
【答案】
【分析】由 有两个零点可得 有两个零点，即 与 的图象有两个交点，
则函数在定义域内不能是单调函数，结合函数图象可求 的范围
【详解】 有两个零点，
有两个零点，即 与 的图象有两个交点，
由 可得， 或
①当 时，函数 的图象如图所示，此时存在 ，满足题意，故 满足题意②当 时，由于函数 在定义域 上单调递增，故不符合题意
③当 时，函数 单调递增，故不符合题意
④ 时， 单调递增，故不符合题意
⑤当 时，函数 的图象如图所示，此时存在 使得， 与 有两个交点
综上可得， 或
故答案为：
【点睛】本题考察了函数的零点问题，渗透了转化思想，数形结合、分类讨论的数学思想．36．（2009·山东·高考真题（理））已知定义在R上的奇函数 满足 ，且在区间 上
是增函数,若方程 在区间 上有四个不同的根，则
【答案】
【分析】说明函数是周期为8的函数，求出其对称轴，画出函数的大致图像，根据图像判断即可.
【详解】解：定义在R上的奇函数 ，所以 ， ，
又 ，所以 ，8是函数 的一个周期，
所以 ，所以 是函数的一条对称轴，函数的对称轴是 ，根
据以上性质画出函数的大致图像:
有图像知， ，所以 ，
故答案为：
【点睛】把函数的奇偶性、单调性、周期性与方程的根的个数结合起来考查，中档题.
