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专题 02 函数与方程
一、核心先导
二、考点再现
【考点1】函数的零点
对于一般函数 ，我们把使 成立的实数 叫做函数 的零点．注
意函数的零点不是点，是一个数.
【考点2】函数的零点与方程的根之间的联系
函数 的零点就是方程 的实数根，也就是函数 的图象与 轴的交点的横坐标
即方程 有实数根 函数 的图象与 轴有交点 函数 有零点．
【考点3】零点存在定理
如果函数 在区间 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 ，那么，函数
在区间 内有零点，即存在 ，使得 ，这个 也就是方程 的根.
注：上述定理只能判断出零点存在，不能确定零点个数.
【考点4】二分法
对于在区间上连续不断且 的函数 ，通过不断地把函数 的零点所在的区间
一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．求方程 的
近似解就是求函数 零点的近似值．
【考点5】高频考点技巧①若连续不断的函数 f(x)是定义域上的单调函数，则 f(x)至多有一个零点；
②连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号；
③函数 有零点 方程 有实数根 函数 与 的图象有交
点；
④函数 有零点 方程 有实数根 函数 与 的图象有交点
，其中 为常数.
三、解法解密
方法一：确定函数f(x)零点个数(方程f(x)＝0的实根个数)的方法：
(1)判断二次函数f(x)在R上的零点个数，一般由对应的二次方程f(x)＝0的判别式Δ＞0，Δ＝0，
Δ＜0来完成；对于一些不便用判别式判断零点个数的二次函数，则要结合二次函数的图象进行判断．
(2)对于一般函数零点个数的判断，不仅要用到零点存在性定理，还必须结合函数的图象和性质才能
确定，如三次函数的零点个数问题．
(3)若函数f(x)在[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且是单调函数，又f(a)·f(b)＜0，则y＝
f(x)在区间(a，b)内有唯一零点．
方法二：导数研究函数图象交点及零点问题
y=f (x) y=g(x)
利用导数来探讨函数 的图象与函数 的图象的交点问题，有以下几个步骤：
h(x)=f(x)−g(x)
①构造函数 ；
h'(x)
②求导 ；
h(x)
③研究函数 的单调性和极值（必要时要研究函数图象端点的极限情况）；
④画出函数
h(x)
的草图，观察与x轴的交点情况，列不等式；
⑤解不等式得解.
y=f (x)
探讨函数 的零点个数，往往从函数的单调性和极值入手解决问题，结合零点存在性定理求
解.四、考点解密
题型一:判断零点所在区间
例1．（1）、（新疆疏勒县八一中学2018-2019学年高二上期末）
2
函数 f xlnx1 的一个零点所在的区间是( )
x
A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,4)
（2）、（2022·北京市西城外国语学校高一期中）函数 零点所在的一个区间是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-1】．（2019·浙江湖州高一期中）函数 的零点所在的区间是（ ）
A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)
【变式训练1-2】、（2020·内蒙古·北方重工集团第五中学高一阶段练习（文））函数 的
零点所在区间是（ ）
A． B． C． D．题型二:零点个数的判断
例2．（1）、（2008·湖北·高考真题（文））方程 的实数解的个数为_____________ .
（2）、（2022·四川省泸县第二中学模拟预测）函数 的零点的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【变式训练2-1】．（2020·张家口市第一中学高一月考）函数 的零点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【变式训练2-2】．（2021·陕西·西安中学模拟预测）已知函数 ，则函数
的零点个数为（ ）.
A．1 B．2 C．3 D．4题型三:根据零点个数，求解析式中参数的范围
例3．（1）、（2021·广东·东莞市东方明珠学校模拟预测）若关于 的方程 在区间
上仅有一个实根，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
（2）、（2022·山西·模拟预测）已知函数 若函数 有三个零点，则实数
a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-1】．（2020·湖南·雅礼中学模拟预测）已知定义在R上的函数 ，若函数
恰有2个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练3-2】、（2022·云南保山·模拟预测（理））已知函数 ，若方程
恰好有四个实根，则实数k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
题型四:根据零点个数或零点所在区间，求零点之间的关系
例4．（1）．（2022·吉林·东北师大附中模拟预测）已知函数 ， （其中e是自然对数的底数），若关于x的方程 恰有三个不同的零点 ，且 ，则
的最大值为（ ）
A． B． C． D．
（2）．（2021·普宁市第二中学高三月考）已知函数 若
( 互不相等)，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练4-1】．（2021·云南红河·模拟预测（文））已知函数 ，若
，且 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练4-2】．（2020·全国·高三零模（文））已知函数 ，若函数 有 个
不同的零点 ，则 的取值范围是___________．题型五:根据零点所在区间，求解析式中参数的范围
例5．（1）、（2017·江苏南通·一模）已知函数 的零点在区间 内，则正整数 的
值为________．
（2）、（2021·江西上饶·二模（文））已知函数 ，若 恰有3个正整数解，
则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练5-1】．（2022·新疆昌吉·二模（文））已知函数 ，若关于x的方程
有三个不同的实根，则m的取值范围为______．
【变式训练5-2】．（2019·安徽·三模（文））已知函数 有唯一的零点 ，且
，则实数 的取值范围是
A． B．
C． D．题型六:复合函数的零点问题（自我嵌套）
例6．（1）、（2021·吉林长春外国语学校（理））已知函数 ，若关于 的方程
有且只有一个实数根，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
（2）．（2022·全国高三专题练习）设 ，函数 ，若函数 恰有 个零
点，则实数 的值为__________.
【变式训练6-1】．（2022·全国高三专题练习（理））已知函数 则函数 的
所有零点之和为___________.
【变式训练6-2】、（2022·湖南·长郡中学模拟预测）已知函数 ，则函数
的零点个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5题型七:复合函数的零点问题（与二次函数嵌套）
例7．（1）、（2022·陕西·铜川市耀州中学模拟预测（文））设函数 ，若关于 的方
程 恰好有六个不同的实数解，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
（2）、（2021·江西省乐平中学高一开学考试）已知函数 的值域为 ，且 ，若
关于 的方程 有三个不同的实数根，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练7-1】、（2021·吉林省实验中学模拟预测（文））已知函数 ，则关于x
的函数 的零点的个数为（ ）
A．8 B．7 C．5 D．2
【变式训练7-2】．（2021·黑龙江鹤岗一中（理））已知函数 ，若方程
恰有4个不同的实数根，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．题型八:高考压轴真题训练
例8．（1）、（2007·湖北·高考真题）关于 的方程 ，给出下列四个命题：
①存在实数 ，使得方程恰有2个不同的实根；
②存在实数 ，使得方程恰有4个不同的实根；
③存在实数 ，使得方程恰有5个不同的实根；
④存在实数 ，使得方程恰有8个不同的实根.
其中假命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
（2）、（2019·江苏·高考真题）设 是定义在 上的两个周期函数， 的周期为4， 的周期
为2，且 是奇函数.当 时， ， ，其中 .若在区间
上，关于 的方程 有8个不同的实数根，则 的取值范围是_____.
【变式训练8-1】．（2018·全国·高考真题（理））已知函数 ．若g
（x）存在2个零点，则a的取值范围是
A．[–1，0） B．[0，+∞） C．[–1，+∞） D．[1，+∞）
【变式训练8-2】．（2021·北京·高考真题）已知函数 ，给出下列四个结论：
①若 ， 恰 有2个零点；
②存在负数 ，使得 恰有1个零点；
③存在负数 ，使得 恰有3个零点；
④存在正数 ，使得 恰有3个零点．
其中所有正确结论的序号是_______．
五、分层训练
A组 基础巩固
1．（2022·陕西·咸阳市高新一中高一期中）函数 的零点所在的区间为（ ）
A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）2．（2022·重庆八中高一期末） 的零点所在区间为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·广东·肇庆市外国语学校模拟预测）已知函数 满足 ，当 时，
，则 在 上的零点个数为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．9
4．（2022·黑龙江·佳木斯一中三模（理））已知函数 ，则函数 的所
有零点之和为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．（2022·天津市滨海新区塘沽第一中学模拟预测）已知定义在 上的奇函数 恒有 ，
当 时， ，已知 ，则函数 在 上的零点个数为
（ ）
A．4个 B．5个 C．3个或4个 D．4个或5个
6．（2021·河南·罗山县教学研究室一模（理））已知函数 在定义域上单调递
增，且关于x的方程 恰有一个实数根，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．(0，1)
7．（2019·安徽·安庆一中模拟预测（理））设函数 ，若函数
有三个零点 ，则 （ ）
A． B． C． D．
12 11 6 3
8．（2020·内蒙古·鄂尔多斯市第一中学一模（文））函数 ，若存在实数 ，
使得方程 有三个相异实根，则实数 的范围是（ ）
A． B． C． D．
9．（2016·辽宁鞍山·一模（文））设函数 ，若互不相等的实数 ， ， 满足
，则 的取值范围是（ ）A． B． C． D．
10．（2022·云南师大附中模拟预测（理））已知函数 的最大值为2，若方程
在区间 内有三个实数根 ，且 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
11．（2022·全国·模拟预测）已知函数 ， 是 的导函数，则方程 在
内实数根的个数是______．
12．（2022·四川·成都七中三模（文））已知函数 ，则函数
的零点个数是______个．
13．（2021·陕西商洛·模拟预测（理））函数 的零点个数为_________.
14．（2021·全国·模拟预测（文））方程 的实数根的个数为___________.
15．（2022·北京昌平·二模）若函数 有且仅有两个零点，则实数 的一个取值为______.
16．（2020·云南文山·模拟预测（理））已知函数 （e为自然对数的底数），若
有三个零点，则实数 的取值范围为_____.
17．（2022·内蒙古·包钢一中一模（文））设 若方程 有四个不相等的实
根 ，且 ，则 的取值范围为___________.
18．（2021·江西·新余市第一中学模拟预测（文））已知定义在 上的奇函数 ，满足 ，
且当 时， ，若方程 在区间 上有四个不同的根 ，
则 的值为___________.B组 能力提升
19．（2022·山西·一模（文））设函数 ，若 有四个实数根 、 、
、 ，且 ，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
20．（2022·河南·模拟预测（理））已知函数 为定义在 上的单调函数，且 ．
若函数 有3个零点，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
21．（2022·宁夏六盘山高级中学二模（理））已知a>0，函数 ，若函数
恰有两个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
22．（2021·吉林省实验中学模拟预测（文））已知函数 ，则关于x的函数
的零点的个数为（ ）
A．8 B．7 C．5 D．2
23．（2021·甘肃白银·模拟预测（理））已知函数 ，若函数
，则下列结论正确的是（ ）
A．若 没有零点，则
B．当 时， 恰有1个零点
C．当 恰有2个零点时， 的取值范围为
D．当 恰有3个零点时， 的取值范围为
24．（2022·山东省实验中学模拟预测）（多选题）已知函数 是定义在R上的偶函数，且当 时，，那么函数 在定义域内的零点个数可能是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
25．（2020·全国·模拟预测）（多选题）已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时，
，则下列说法正确的是（ ）
A．当 时，
B．函数 有2个零点
C． 的解集为
D． ， ，都有
{|2x−1|,x≤1,
26．（2022·江苏南京·模拟预测）（多选题）已知函数
f (x)=
函数 有四个不同
(x−2) 2,x>1,
的零点 ， ， ， ，且 ，则（ ）
A． 的取值范围是 B． 的取值范围是
C． D．
27．（2022·福建三明·模拟预测）已知函数 在区间（1，＋∞）内没有零点，则实
数a的取值可以为（ ）
A．－1 B．2 C．3 D．4
28．（2022·湖北·丹江口市第一中学模拟预测）已知函数 ，设函数
，则下列说法正确的是（ ）
A．若 有4个零点，则
B．存在实数t，使得 有5个零点
C．当 有6个零点时．记零点分别为 ，且 ，则
D．对任意 恒有2个零点
29．（2021·全国·模拟预测）（多选题）已知函数 ，若方程 有三个不同的实
数根 、 、 ，且 ，则（ ）A． B．
C． D． 的取值范围是
30．（2015·江苏南通·一模）设函数 满足 ，且当 时， ．若在区间 内，
存在 个不同的实数 ，使得 ，则实数 的取值范围为_____．
31．（2022·广东茂名·一模）已知函数 ，若 均不相等，且
，则 的取值范围是___________
32．（2022·广东·模拟预测）设定义域为R的函数 ，若关于x的方程
有8个不同的实根，到实数b的取值范围是___________.C组 真题实战练
33．（2017·天津·高考真题（文））已知函数 ．设 ，若关于 的不等式
在 上恒成立，则 的取值范围是
A． B．
C． D．
34．（2012·北京·高考真题（文））函数 的零点个数为
A．0 B．1 C．2 D．3
35．（2015·湖南·高考真题（理））已知 ，若存在实数 ，使函数 有两个
零点，则 的取值范围是________．
36．（2009·山东·高考真题（理））已知定义在R上的奇函数 满足 ，且在区间 上
是增函数,若方程 在区间 上有四个不同的根，则
