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解密06讲：函数图像、方程与零点
【考点解密】
1．利用描点法作函数图象的方法步骤
2．利用图象变换法作函数的图象
(1)平移变换
(2)伸缩变换
①y＝f(x)――――――――――――――――――――→y＝f(ax)．
②y＝f(x)――――――――――――――――――→y＝af(x)．
(3)对称变换
①y＝f(x)――――――→y＝－f(x)．
②y＝f(x)――――――→y＝f(－x)．
③y＝f(x)――――――→y＝－f(－x)．
④y＝ax (a>0且a≠1)――――――→y＝log x(a>0且a≠1)．
a
(4)翻折变换
①y＝f(x)―――――――――→y＝|f(x)|.
②y＝f(x)―――――――――――→y＝f(|x|)．
3．函数的零点与方程的解
(1)函数零点的概念
对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
(2)函数零点与方程实数解的关系
方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点．(3)函数零点存在定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内
至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解．
4．二分法
对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，
使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
【方法技巧】
1．图象变换法作函数的图象
(1)熟练掌握几种基本初等函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y＝x＋的
函数．
(2)若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、翻折、对称和伸缩得到，可利用图象变换作出，但要注意
变换顺序．
(3)图像变换的翻折变换有两种：
图像保留x轴上方图像，将x轴下方图像翻折上去，得到 的图像；
图像保留y轴右边图像，并将其关于y轴对称的图像画出，得到 的图像．
(4)常见的平移变换原则“左加右减，上加下减”，对称变换有 和 关于 轴对称， 和
关于 轴对称， 和 关于原点轴对称等.
2．辨识函数图象的入手点
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
(2)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．
(3)从函数的特征点，排除不合要求的图象．
(4)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．
(5)从函数的周期性，判断图象的循环往复．
3．函数零点个数的判定有下列几种方法(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，那么有几个解就有几个零点．
(2)零点存在定理：利用该定理不仅要求函数在[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象
和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点．
(3)画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
4．已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数
形结合的方法求解.
【核心题型】
题型一：函数图像的辨识
1．（2022·广东·深圳市福田区福田中学高三阶段练习）函数 在区间 的图象大致为（
）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解.
【详解】令 ，
则 ，
所以 为奇函数，排除BD；又当 时， ，所以 ，排除C.
故选：A.
2．（2021·陕西·韩城市新蕾中学（完全中学）高三阶段练习）函数 的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由函数为偶函数可排除AC，再由当 时， ，排除D，即可得解.
【详解】设 ，则函数 的定义域为 ，关于原点对称，
又 ，所以函数 为偶函数，排除AC；
当 时， ，所以 ，排除D.
故选：B.
3．（2019·安徽·高三阶段练习（文））函数 的图象大致是（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【分析】根据函数 的解析式，根据定义在 上的奇函数图像关于原点对称可以排除 ，再求出其导函
数，根据函数的单调区间呈周期性变化，分析四个选项即可得到结果
【详解】当 时，
故函数图像过原点，排除
又 ，令
则可以有无数解，所以函数的极值点有很多个，故排除
故函数在无穷域的单调区间呈周期性变化
结合四个选项，只有 符合要求
故选
【点睛】本题主要考查了由函数的表达式判断函数图像的大体形状，解决此类问题，主要从函数的定义域，值域，
单调性以及奇偶性，极值等方面考虑，有时也用特殊值代入验证．
题型二：函数图像的应用
2x 1,0＜x＜2
fx
4．（2022·北京·北大附中高三开学考试）已知函数 6x，x2 ，那么不等式 fx x 的解集为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】作出函数 与 的图象，观察图象可得结果.
【详解】作出函数 与 的图象：由图可知：不等式 的解集为 .
故选：C
5．（2022·天津市武清区杨村第三中学高三阶段练习）已知函数 （ 且 ）．若函
数 的图象上有且只有两个点关于原点对称，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据原点对称的性质，求出当 时函数关于原点对称的函数，条件转化为函数 与
只有一个交点，作出两个函数的图象，利用数形结合的方法，再结合对数函数的性质进行
求解即可
【详解】当 时，函数 关于原点对称的函数为 ，即 ，若函数
的图象上有且只有两个点关于原点对称，则等价于函数 与 只有一个交点，
作出两个函数的图象如图：若 时， 与函数 有唯一的交点，满足条件；
当 时，
若 时，要使 与函数 有唯一的交点，
则要满足 ，即 ，
解得故 ；
综上 的取值范围是
故选：C
6．（2022·四川·太平中学高三期中）若直线 与函数 （ ，且 ）的图象有两个公共点，则
可以是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【分析】分类讨论作出两函数的图象，数形结合可得
【详解】由题意，直线 与函数 ，且 的图象有两个公共点，
当 时， 的图象如图所示，由已知得 ， ；
当 时， 的图象如图所示，
由已知可得 ，
，结合 可得 无解，
综上可知， 的取值范围为 ，
故选：C
题型二：函数零点个数的判定
7．（2021·新疆·新源县第二中学高三阶段练习（理））已知 是定义在 上的偶函数，且满足 ，
当 时， ，则函数 的零点个数为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】D
【分析】求函数 的零点个数，即求方程 根的个数，即求 与
的图像的交点个数，作出图像即可得出答案.
【详解】解： 的零点个数，即 与 的图像的交点个数，作出图像可得共有8个
交点.
故选：D.8．（2022·四川省内江市第六中学高三阶段练习（文））已知函数 ，则函数
的零点个数为（ ）．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】首先根据 ，得到 或 ，然后利用导数分析 时函数的单调性，
结合单调性画出函数的图象，通过图象即可观察出函数零点的个数.
【详解】由 ，得 或 .
当 时， ，
所以当 ， 单调递减；当 ， 单调递增，
所以 时， 有极小值 .
又 时， ，
画出函数 的图象如图所示，由图可知：函数 的零点个数为3.故选：B.
9．（2021·广东佛山·高三阶段练习）已知函数 ，且有 ，
，则 在区间 内至少有（ ）个零点．
A．4 B．8 C．10 D．12
【答案】D
【分析】根据题意得出函数的对称轴和对称中心，根据对称轴和对称中心求出 的值，然后判断出 的值最小时，
周期 最大，函数 在区间 内的零点最少，从而即可求出答案.
【详解】因为 ，即 ，所以函数 关于点 对称，
所以 ，——①
因为 ，所以 为函数 的一条对称轴，
所以 ，——②
由①②，得 ，即 ，
要使 在区间 内的零点最少，则周期 最大，所以 的值最小，
又因为 ，所以 ，
把 代入①，得 ，即 ，
又因为 ，所以 或 .当 时， ，此时 在 内零点个数为12；
当 时， ，此时 在 内零点个数为12.
故选：D.
题型三：根据零点求参数
10．（2022·河南·南阳中学高三阶段练习（理））已知函数 的零点位于区间 内，
则整数 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据函数的单调性的性质及函数零点的存在性定理即可求解.
【详解】因为函数 与 在 上均为增函数，
所以函数 在 上为增函数，
因为 ， ， ，
所以函数 的零点位于区间 内，故 .
故选：B.
11．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 在 内有且仅有两个零点，则 的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据给定条件确定 的范围，求解不等式作答.
【详解】由 得 ，而当 ， 时， ，
又 ，函数 在 内有且仅有两个零点，于是得 ，解得 ，
所以 的取值范围是 .
故选：D
12．（2022·青海·海南藏族自治州高级中学高三阶段练习（理））已知函数 ．
若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是（ ）
A．[–1，0） B．[0，+∞） C．[–1，+∞） D．[1，+∞）
【答案】C
【详解】分析：首先根据g（x）存在2个零点，得到方程 有两个解，将其转化为 有两个
解，即直线 与曲线 有两个交点，根据题中所给的函数解析式，画出函数 的图像（将
去掉），再画出直线 ，并将其上下移动，从图中可以发现，当 时，满足 与曲线
有两个交点，从而求得结果.
详解：画出函数 的图像， 在y轴右侧的去掉，
再画出直线 ，之后上下移动，
可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，
并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，
即方程 有两个解，
也就是函数 有两个零点，
此时满足 ，即 ，故选C.点睛：该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数
零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数的图像以及相
应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果.
题型四：比较零点大小与求零点的和
13．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ， ， 的零点分别为 、 、 ，
则 、 、 的大小顺序为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】计算出 的值，利用零点存在定理求出 、 所在区间，由此可得出 、 、 的大小关系.
【详解】因为函数 、 均为 上的增函数，故函数 为 上的增函数，
因为 ， ，所以， ，
因为函数 、 在 上均为增函数，故函数 在 上为增函数，
因为 ， ，所以， ，
由 可得 ，因此， .
故选：A.
14．（2021·山东省东明县第一中学高三阶段练习）设函数 ，若互不相等的实数 、 、 满
足 ，则 的取值范围是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】作出函数 的图象，设 ， ，求出 的取值范围，利用对称性求得
，由此可得出 的取值范围.
【详解】因为 ，即 ，
设 ， ，作出函数 的图象如下图所示：
由图象可知，点 、 关于直线 对称，则 ，
由图可知， ，因此， .
故选：B.
15．（2022·重庆市二0三中学校高三阶段练习）函数 的所有零点之和为__________．
【答案】9
【分析】根据给定条件，构造函数 ， ，作出这两个函数的部分图象，确定两个图象的交点个
数，再结合性质计算作答.
【详解】由 ，令 ， ，
显然 与 的图象都关于直线 对称，
在同一坐标系内作出函数 ， 的图象，如图，观察图象知，函数 ， 的图象有6个公共点，其横坐标依次为 ，
这6个点两两关于直线 对称，有 ，则 ，
所以函数 的所有零点之和为9.
故答案为：9
【高考必刷】
一、单选题
1．（2021·陕西·西安市长安区第七中学高三阶段练习（文））函数 （ 且 ）的图
象可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D【详解】因为 ，故函数是奇函数，所以排除A，B；取 ，则
，故选D.
考点：1.函数的基本性质；2.函数的图象.
2．（2021·黑龙江·嫩江市高级中学高三阶段练习（文））函数 的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】易知 是偶函数，结合导数判断单调性与极值点范围即可得结果．
【详解】由 可知 是偶函数，排除A；
当 时， ，则 ，可知 在 上单调递增，
且 ， ，则存在 ，使得 ，
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增，
且 是 在 上唯一极小值点，
故选：D．
3．（2022·天津·高三期中）函数 的图象大致是（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】判断函数为奇函数，由图像可排除C，D；然后利用特殊值，取 ，可排除B.
【详解】定义域为 ，定义域关于原点对称，
，
是奇函数，排除C，D；
当 时， ，排除B；
故选：A.
【点睛】本题考查了函数图像的识别，函数奇偶性的判断，属于基础题.
4．（2021·江西·丰城九中高三阶段练习（理））函数 的部分图象大致是（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【分析】利用函数的奇偶性排除部分选项，再利用特殊值和零点确定选项.
【详解】易知 的定义域为 ，
因为 ，
所以 是偶函数，故排除选项C；
令 ，则 ，故排除选项A；
令 ，即 ，当 时，解得 ；
当 时， ， ，即 ， .
当 时，因为 ，解得 ， ，
所以在 上，函数 有2个零点，故排除选项B，
故选：D.
5．（2019·全国·高考真题（理））设函数 的定义域为R，满足 ，且当 时，
.若对任意 ，都有 ，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题为选择压轴题，考查函数平移伸缩，恒成立问题，需准确求出函数每一段解析式，分析出临界点位
置，精准运算得到解决．【详解】 时， ， ， ，即 右移1个单位，图像变为原来
的2倍．
如图所示：当 时， ，令 ，整理得： ，
（舍）， 时， 成立，即 ， ，故选
B．
【点睛】易错警示：图像解析式求解过程容易求反，画错示意图，画成向左侧扩大到2倍，导致题目出错，需加
深对抽象函数表达式的理解，平时应加强这方面练习，提高抽象概括、数学建模能力．
6．（2018·全国·高考真题（文））设函数 ，则满足 的x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分析：首先根据题中所给的函数解析式，将函数图像画出来，从图中可以发现若有 成立，
一定会有 ，从而求得结果.
详解：将函数 的图像画出来，观察图像可知会有 ，解得 ，所以满足 的x的取
值范围是 ，故选D.点睛：该题考查的是有关通过函数值的大小来推断自变量的大小关系，从而求得相关的参数的值的问题，在求解
的过程中，需要利用函数解析式画出函数图像，从而得到要出现函数值的大小，绝对不是常函数，从而确定出自
变量的所处的位置，结合函数值的大小，确定出自变量的大小，从而得到其等价的不等式组，从而求得结果.
【详解】
7．（2022·全国·模拟预测（理））已知关于x的不等式 的解集中只有1个整数，则实数a的取
值范围是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由题可得不等式 仅有1个整数解，利用数形结合可得 ，即求.
【详解】由题可知 ，
所以不等式 ，即 只有一个整数解，
令 ，不等式 仅有1个整数解，
令 ， ，则函数 图象上仅有1个横坐标为整数的点落在直线 的下方，
∵ ，由 ，得 ，
∴ 在 上单调递减，在 上单调递增，因为直线 恒过点 ，
作出函数 与直线 的大致图象，由图象可知，这个点 ，可得 ，即 ．
故选：B．
【点睛】关键点点睛：本题的关键是把问题转化为函数 与直线 的的交点的位置问题，然后利
用数形结合解决.
8．（2022·天津市滨海新区塘沽第一中学高三阶段练习）定义：设不等式F(x)<0的解集为M，若M中只有唯一整
数，则称M是最优解.若关于x的不等式 有最优解，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． ∪ D． ∪
【答案】D
【分析】将不等式转化为 ，结合图象求得 的取值范围.
【详解】 可转化为 ，
在同一平面直角坐标系中分别作出函数f(x)＝|x2－2x－3|，g(x)＝mx－2的图象，如图所示.
易知m＝0时不满足题意.
当m>0时，要存在唯一的整数x，满足f(x)
