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解密06讲：函数图像、方程与零点
【考点解密】
1．利用描点法作函数图象的方法步骤
2．利用图象变换法作函数的图象
(1)平移变换
(2)伸缩变换
①y＝f(x)――――――――――――――――――――→y＝f(ax)．
②y＝f(x)――――――――――――――――――→y＝af(x)．
(3)对称变换
①y＝f(x)――――――→y＝－f(x)．
②y＝f(x)――――――→y＝f(－x)．
③y＝f(x)――――――→y＝－f(－x)．
④y＝ax (a>0且a≠1)――――――→y＝log x(a>0且a≠1)．
a
(4)翻折变换
①y＝f(x)―――――――――→y＝|f(x)|.
②y＝f(x)―――――――――――→y＝f(|x|)．
3．函数的零点与方程的解
(1)函数零点的概念
对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
(2)函数零点与方程实数解的关系
方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点．(3)函数零点存在定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内
至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解．
4．二分法
对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，
使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
【方法技巧】
1．图象变换法作函数的图象
(1)熟练掌握几种基本初等函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y＝x＋的
函数．
(2)若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、翻折、对称和伸缩得到，可利用图象变换作出，但要注意
变换顺序．
(3)图像变换的翻折变换有两种：
图像保留x轴上方图像，将x轴下方图像翻折上去，得到 的图像；
图像保留y轴右边图像，并将其关于y轴对称的图像画出，得到 的图像．
(4)常见的平移变换原则“左加右减，上加下减”，对称变换有 和 关于 轴对称， 和
关于 轴对称， 和 关于原点轴对称等.
2．辨识函数图象的入手点
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
(2)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．
(3)从函数的特征点，排除不合要求的图象．
(4)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．
(5)从函数的周期性，判断图象的循环往复．
3．函数零点个数的判定有下列几种方法(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，那么有几个解就有几个零点．
(2)零点存在定理：利用该定理不仅要求函数在[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象
和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点．
(3)画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
4．已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数
形结合的方法求解.
【核心题型】
题型一：函数图像的辨识
1．（2022·广东·深圳市福田区福田中学高三阶段练习）函数 在区间 的图象大致为（
）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解.
【详解】令 ，
则 ，
所以 为奇函数，排除BD；又当 时， ，所以 ，排除C.
故选：A.
2．（2021·陕西·韩城市新蕾中学（完全中学）高三阶段练习）函数 的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由函数为偶函数可排除AC，再由当 时， ，排除D，即可得解.
【详解】设 ，则函数 的定义域为 ，关于原点对称，
又 ，所以函数 为偶函数，排除AC；
当 时， ，所以 ，排除D.
故选：B.
3．（2019·安徽·高三阶段练习（文））函数 的图象大致是（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【分析】根据函数 的解析式，根据定义在 上的奇函数图像关于原点对称可以排除 ，再求出其导函
数，根据函数的单调区间呈周期性变化，分析四个选项即可得到结果
【详解】当 时，
故函数图像过原点，排除
又 ，令
则可以有无数解，所以函数的极值点有很多个，故排除
故函数在无穷域的单调区间呈周期性变化
结合四个选项，只有 符合要求
故选
【点睛】本题主要考查了由函数的表达式判断函数图像的大体形状，解决此类问题，主要从函数的定义域，值域，
单调性以及奇偶性，极值等方面考虑，有时也用特殊值代入验证．
题型二：函数图像的应用
2x 1,0＜x＜2
fx
4．（2022·北京·北大附中高三开学考试）已知函数 6x，x2 ，那么不等式 fx x 的解集为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】作出函数 与 的图象，观察图象可得结果.
【详解】作出函数 与 的图象：由图可知：不等式 的解集为 .
故选：C
5．（2022·天津市武清区杨村第三中学高三阶段练习）已知函数 （ 且 ）．若函
数 的图象上有且只有两个点关于原点对称，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据原点对称的性质，求出当 时函数关于原点对称的函数，条件转化为函数 与
只有一个交点，作出两个函数的图象，利用数形结合的方法，再结合对数函数的性质进行
求解即可
【详解】当 时，函数 关于原点对称的函数为 ，即 ，若函数
的图象上有且只有两个点关于原点对称，则等价于函数 与 只有一个交点，
作出两个函数的图象如图：若 时， 与函数 有唯一的交点，满足条件；
当 时，
若 时，要使 与函数 有唯一的交点，
则要满足 ，即 ，
解得故 ；
综上 的取值范围是
故选：C
6．（2022·四川·太平中学高三期中）若直线 与函数 （ ，且 ）的图象有两个公共点，则
可以是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【分析】分类讨论作出两函数的图象，数形结合可得
【详解】由题意，直线 与函数 ，且 的图象有两个公共点，
当 时， 的图象如图所示，由已知得 ， ；
当 时， 的图象如图所示，
由已知可得 ，
，结合 可得 无解，
综上可知， 的取值范围为 ，
故选：C
题型二：函数零点个数的判定
7．（2021·新疆·新源县第二中学高三阶段练习（理））已知 是定义在 上的偶函数，且满足 ，
当 时， ，则函数 的零点个数为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】D
【分析】求函数 的零点个数，即求方程 根的个数，即求 与
的图像的交点个数，作出图像即可得出答案.
【详解】解： 的零点个数，即 与 的图像的交点个数，作出图像可得共有8个
交点.
故选：D.8．（2022·四川省内江市第六中学高三阶段练习（文））已知函数 ，则函数
的零点个数为（ ）．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】首先根据 ，得到 或 ，然后利用导数分析 时函数的单调性，
结合单调性画出函数的图象，通过图象即可观察出函数零点的个数.
【详解】由 ，得 或 .
当 时， ，
所以当 ， 单调递减；当 ， 单调递增，
所以 时， 有极小值 .
又 时， ，
画出函数 的图象如图所示，由图可知：函数 的零点个数为3.故选：B.
9．（2021·广东佛山·高三阶段练习）已知函数 ，且有 ，
，则 在区间 内至少有（ ）个零点．
A．4 B．8 C．10 D．12
【答案】D
【分析】根据题意得出函数的对称轴和对称中心，根据对称轴和对称中心求出 的值，然后判断出 的值最小时，
周期 最大，函数 在区间 内的零点最少，从而即可求出答案.
【详解】因为 ，即 ，所以函数 关于点 对称，
所以 ，——①
因为 ，所以 为函数 的一条对称轴，
所以 ，——②
由①②，得 ，即 ，
要使 在区间 内的零点最少，则周期 最大，所以 的值最小，
又因为 ，所以 ，
把 代入①，得 ，即 ，
又因为 ，所以 或 .当 时， ，此时 在 内零点个数为12；
当 时， ，此时 在 内零点个数为12.
故选：D.
题型三：根据零点求参数
10．（2022·河南·南阳中学高三阶段练习（理））已知函数 的零点位于区间 内，
则整数 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据函数的单调性的性质及函数零点的存在性定理即可求解.
【详解】因为函数 与 在 上均为增函数，
所以函数 在 上为增函数，
因为 ， ， ，
所以函数 的零点位于区间 内，故 .
故选：B.
11．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 在 内有且仅有两个零点，则 的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据给定条件确定 的范围，求解不等式作答.
【详解】由 得 ，而当 ， 时， ，
又 ，函数 在 内有且仅有两个零点，于是得 ，解得 ，
所以 的取值范围是 .
故选：D
12．（2022·青海·海南藏族自治州高级中学高三阶段练习（理））已知函数 ．
若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是（ ）
A．[–1，0） B．[0，+∞） C．[–1，+∞） D．[1，+∞）
【答案】C
【详解】分析：首先根据g（x）存在2个零点，得到方程 有两个解，将其转化为 有两个
解，即直线 与曲线 有两个交点，根据题中所给的函数解析式，画出函数 的图像（将
去掉），再画出直线 ，并将其上下移动，从图中可以发现，当 时，满足 与曲线
有两个交点，从而求得结果.
详解：画出函数 的图像， 在y轴右侧的去掉，
再画出直线 ，之后上下移动，
可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，
并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，
即方程 有两个解，
也就是函数 有两个零点，
此时满足 ，即 ，故选C.点睛：该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数
零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数的图像以及相
应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果.
题型四：比较零点大小与求零点的和
13．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ， ， 的零点分别为 、 、 ，
则 、 、 的大小顺序为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】计算出 的值，利用零点存在定理求出 、 所在区间，由此可得出 、 、 的大小关系.
【详解】因为函数 、 均为 上的增函数，故函数 为 上的增函数，
因为 ， ，所以， ，
因为函数 、 在 上均为增函数，故函数 在 上为增函数，
因为 ， ，所以， ，
由 可得 ，因此， .
故选：A.
14．（2021·山东省东明县第一中学高三阶段练习）设函数 ，若互不相等的实数 、 、 满
足 ，则 的取值范围是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】作出函数 的图象，设 ， ，求出 的取值范围，利用对称性求得
，由此可得出 的取值范围.
【详解】因为 ，即 ，
设 ， ，作出函数 的图象如下图所示：
由图象可知，点 、 关于直线 对称，则 ，
由图可知， ，因此， .
故选：B.
15．（2022·重庆市二0三中学校高三阶段练习）函数 的所有零点之和为__________．
【答案】9
【分析】根据给定条件，构造函数 ， ，作出这两个函数的部分图象，确定两个图象的交点个
数，再结合性质计算作答.
【详解】由 ，令 ， ，
显然 与 的图象都关于直线 对称，
在同一坐标系内作出函数 ， 的图象，如图，观察图象知，函数 ， 的图象有6个公共点，其横坐标依次为 ，
这6个点两两关于直线 对称，有 ，则 ，
所以函数 的所有零点之和为9.
故答案为：9
【高考必刷】
一、单选题
1．（2021·陕西·西安市长安区第七中学高三阶段练习（文））函数 （ 且 ）的图
象可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D【详解】因为 ，故函数是奇函数，所以排除A，B；取 ，则
，故选D.
考点：1.函数的基本性质；2.函数的图象.
2．（2021·黑龙江·嫩江市高级中学高三阶段练习（文））函数 的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】易知 是偶函数，结合导数判断单调性与极值点范围即可得结果．
【详解】由 可知 是偶函数，排除A；
当 时， ，则 ，可知 在 上单调递增，
且 ， ，则存在 ，使得 ，
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增，
且 是 在 上唯一极小值点，
故选：D．
3．（2022·天津·高三期中）函数 的图象大致是（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】判断函数为奇函数，由图像可排除C，D；然后利用特殊值，取 ，可排除B.
【详解】定义域为 ，定义域关于原点对称，
，
是奇函数，排除C，D；
当 时， ，排除B；
故选：A.
【点睛】本题考查了函数图像的识别，函数奇偶性的判断，属于基础题.
4．（2021·江西·丰城九中高三阶段练习（理））函数 的部分图象大致是（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【分析】利用函数的奇偶性排除部分选项，再利用特殊值和零点确定选项.
【详解】易知 的定义域为 ，
因为 ，
所以 是偶函数，故排除选项C；
令 ，则 ，故排除选项A；
令 ，即 ，当 时，解得 ；
当 时， ， ，即 ， .
当 时，因为 ，解得 ， ，
所以在 上，函数 有2个零点，故排除选项B，
故选：D.
5．（2019·全国·高考真题（理））设函数 的定义域为R，满足 ，且当 时，
.若对任意 ，都有 ，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题为选择压轴题，考查函数平移伸缩，恒成立问题，需准确求出函数每一段解析式，分析出临界点位
置，精准运算得到解决．【详解】 时， ， ， ，即 右移1个单位，图像变为原来
的2倍．
如图所示：当 时， ，令 ，整理得： ，
（舍）， 时， 成立，即 ， ，故选
B．
【点睛】易错警示：图像解析式求解过程容易求反，画错示意图，画成向左侧扩大到2倍，导致题目出错，需加
深对抽象函数表达式的理解，平时应加强这方面练习，提高抽象概括、数学建模能力．
6．（2018·全国·高考真题（文））设函数 ，则满足 的x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分析：首先根据题中所给的函数解析式，将函数图像画出来，从图中可以发现若有 成立，
一定会有 ，从而求得结果.
详解：将函数 的图像画出来，观察图像可知会有 ，解得 ，所以满足 的x的取
值范围是 ，故选D.点睛：该题考查的是有关通过函数值的大小来推断自变量的大小关系，从而求得相关的参数的值的问题，在求解
的过程中，需要利用函数解析式画出函数图像，从而得到要出现函数值的大小，绝对不是常函数，从而确定出自
变量的所处的位置，结合函数值的大小，确定出自变量的大小，从而得到其等价的不等式组，从而求得结果.
【详解】
7．（2022·全国·模拟预测（理））已知关于x的不等式 的解集中只有1个整数，则实数a的取
值范围是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由题可得不等式 仅有1个整数解，利用数形结合可得 ，即求.
【详解】由题可知 ，
所以不等式 ，即 只有一个整数解，
令 ，不等式 仅有1个整数解，
令 ， ，则函数 图象上仅有1个横坐标为整数的点落在直线 的下方，
∵ ，由 ，得 ，
∴ 在 上单调递减，在 上单调递增，因为直线 恒过点 ，
作出函数 与直线 的大致图象，由图象可知，这个点 ，可得 ，即 ．
故选：B．
【点睛】关键点点睛：本题的关键是把问题转化为函数 与直线 的的交点的位置问题，然后利
用数形结合解决.
8．（2022·天津市滨海新区塘沽第一中学高三阶段练习）定义：设不等式F(x)<0的解集为M，若M中只有唯一整
数，则称M是最优解.若关于x的不等式 有最优解，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． ∪ D． ∪
【答案】D
【分析】将不等式转化为 ，结合图象求得 的取值范围.
【详解】 可转化为 ，
在同一平面直角坐标系中分别作出函数f(x)＝|x2－2x－3|，g(x)＝mx－2的图象，如图所示.
易知m＝0时不满足题意.
当m>0时，要存在唯一的整数x，满足f(x)<g(x)，
0 0 0
则 ，即 ，解得 .
当m<0时，要存在唯一的整数x，满足f(x)<g(x)，
0 0 0则 ，即 ，解得 .
综上，实数m的取值范围是 ∪ .
故选：D
9．（2022·江西·高三阶段练习（文））已知函数 ，若 恒成立，则实数a的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】作出 的函数图象，结合图象的平移变换求解
【详解】在同一坐标系内作出 与 的图象，
当射线 与曲线 相切时，
即方程 时，由 ，解得 ，
结合图象可得 时， ，所以a的的取值范围是 ，
故选：B10．（2020·江西·贵溪市实验中学高一阶段练习）已知函数 ,若实数 ,则函数
的零点个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】根据分段函数做出函数的图象，运用数形结合的思想可求出函数的零点的个数，得出选项.
【详解】令 ，得 ，根据分段函数 的解析式，做出函数 的图象，如下图所示，因
为 ，由图象可得出函数 的零点个数为3个，
故选：D.
【点睛】本题考查函数的零点,考查学生分析解决问题的能力,关键在于做出函数的图象，运用数形结合的思想得出
零点个数，属于中档题.
11．（2022·全国·高三专题练习（文））函数 在 上的零点个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】在 时，解方程 ，即可得解.
【详解】当 时，由 .
若 ，可得 、 、 ；若 ，可得 、 、 、 .
综上所述，函数 在 上的零点个数为 .
故选：C.
12．（2022·陕西·西乡县教学研究室一模（理））已知函数 是定义在区间 上的偶函数，且当
时， ，则方程 根的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【分析】将问题转化为 与 的交点个数，由解析式画出在 上的图象，再结合偶函数的对称性即
可知定义域上的交点个数.
【详解】要求方程 根的个数，即为求 与 的交点个数，
由题设知，在 上的图象如下图示，
∴由图知：有3个交点，又由 在 上是偶函数，
∴在 上也有3个交点，故一共有6个交点.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：将问题转化为 与 的交点个数，利用数形结合思想及偶函数的对称性求交点的
个数.
13．（2021·吉林省实验中学模拟预测（文））已知函数 ，则关于x的函数的零点的个数为（ ）
A．8 B．7 C．5 D．2
【答案】B
【分析】问题转化为要求方程 的解的个数，对应于函数 或 的解的个数．故先
根据题意作出 的简图，由图可知，函数 或 的解的个数，可以得出答案．
【详解】根据题意，令 ，
得 或 ．
作出 的简图：
由图象可得当 或 时，分别有4个和3个交点，
故关于x的函数 的零点的个数为7．
故选：B．
14．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， ，若 在区间 上恰有4个零点，
则实数a的取值范围是（ ）
A．（1，3） B．（2，4） C． D．
【答案】C【分析】x∈ ，数形结合确定 的范围使得 图像和 恰好有四个交点.
【详解】 ，
在区间 上恰有4个零点，等价 与 图象恰好有4个交点，因为x∈ ，所
以 ，
如图所示，
则应该满足 ，解得 .
故选：C.
15．（2022·山东·新泰中学高三阶段练习）如图是函数 的大致图象，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据给定图象求出函数 的解析式，再求出其极值点x，x 的关系式即可得解.
1 2
【详解】观察函数 的图象知，-1，0，2是函数 的零点，且 ， 是函数 的两个极值点，于是得 ，求导得 ，
因 ， 是函数 的两个极值点，则 ， 是方程 的两根，
从而有 ， ，
所以 .
故选：C
16．（2020·安徽省泗县第一中学模拟预测（理））已知函数 若函数 恰有8个
零点，则a的值不可能为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．12
【答案】A
【解析】分 和 两种情况讨论，当 时显然不成立，当 时， 的实根为 .令 ，
画出函数图象，数形结合分析可得.
【详解】解：易知，当 时，方程 只有1个实根，
从而 不可能有8个零点，
则 的实根为 .
令 ，则 ，
则 数形结合可知，
直线 与 的图象有2个交点，直线 与 的图象有3个交点，
所以由题意可得直线 与 的图象有3个交点，
则必有 ，又 ，
所以 .
故选：
【点睛】本题考查函数方程思想，数形结合思想，属于中档题.
x3，x0
x
17．（2022·天津市滨海新区塘沽第一中学高三阶段练习）已知函数 x，x＜0 ，若函数
恰有4个零点，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由 ，结合已知，将问题转化为 与 有 个不同交点，分 三种
情况，数形结合讨论即可得到答案.
【详解】注意到 ，所以要使 恰有4个零点，只需方程 恰有3个实根
即可，
令 ，即 与 的图象有 个不同交点.
因为 ，
当 时，此时 ，如图1， 与 有 个不同交点，不满足题意；
当 时，如图2，此时 与 恒有 个不同交点，满足题意；
当 时，如图3，当 与 相切时，联立方程得 ，令 得 ，解得 （负值舍去），所以 .
综上， 的取值范围为 .
故选：D.
【点晴】本题主要考查函数与方程的应用，考查数形结合思想，转化与化归思想，是一道中档题.
18．（2021·河南·高三阶段练习（理））已知函数 在 上恰有 个零点，则
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先化简为 ，令 ，即 在 上恰有 个不相等的
实根，由 的性质可得解
【详解】 ，令 ，
，
，
由题意 在 上恰有 个零点，即 在 上恰有 个不相等的实根，由 的性质
可得 ，解得 ．
故选：
19．（2021·广东·佛山一中高三阶段练习）已知函数 （ ）有三个不同的零点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由 ，得 ，令 ，
问题转化为“若 图象与 图象有三个交点，求 的取值范围”.
利用导数研究 的单调性与极值，作出 的图象，数形结合可得结果.
【详解】令 ，显然 ，所以 ，
令 （ ），则问题转化为“若 图象与 图象有三个交点，求 的取值范围”.
，令 ，解得 ，
当 或 时， ， 在 ， 单调递增，
当 时， ， 在 单调递减，
在 处取极小值 ，作出 的简图，
由图可知，要使直线 与曲线 有三个交点，则 ，
故实数 的取值范围是 .
故选：C.20．（2022·湖南·衡阳市八中高三阶段练习）已知 ，则下列关系不可能成立的是（
）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】问题转化为函数 ， ， 和 的图象的交点问题，结合图象判断即可.
【详解】依题意，令 ，则 ， ， ，
令 ， ， 和 ，则a，b，c可分别视为函数 ，
， 的图象与直线 交点的横坐标，
在同一坐标系中画出函数 ， ， 和 的图像，如图，
观察图象得：当 时， ，当 时， ，当 时， ，
显然 不可能，
所以不可能成立的是 .
故选：D
【点睛】思路点睛：涉及某些由指数式、对数式给出的几个数大小比较，可以把这几个数视为对应的
指数、对数函数与另外某个函数图象交点横坐标，利用图象的直观性解决.
21．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 有两个零点 ， ，则“ ”是“ ”
的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B【解析】根据充分条件和必要条件的定义，结合二次函数的性质和基本不等式进行判断即可
【详解】由题意得 ，且 ， 是方程 的两个根，故 ，所以 ，
当且仅当 时等号成立.若 ，则 ，反之，若 ，则 ，当 ， 时，
，但 故“ ”是“ ”的必要不充分条件，
故选：B.
【点睛】本题主要考查二次函数的零点、基本不等式的应用、充要关系的判断，考查逻辑推理能力、运算求解能
力.试题以充要关系的判断为出发点，将二次函数的零点、基本不等式等知识迁移到所创设的问题情境中，考生可
以利用所学知识综合分析并求解问题，体现了逻辑推理、数学运算等核心素养，属于中档题.
22．（2011·北京东城·高三阶段练习（文））设函数 ， 的零点分别为 ，
则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】题目中函数方程中含有对数与指数式，不好直接求解零点，须结合函数的图象解决，故先分别画出对数
函数和指数函数的图象考虑，利用函数的图象与性质解决．
【详解】令 得： ，令 得： ，
分别画出左右两边函数的图象，如图所示．
由指数与对数函数的图象知： ，
于是有 ，得 ，
故选： ．23．（2020·安徽·定远县育才学校高三阶段练习（理））已知函数 ， ，
，且 ，若 ，则实数 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】 是 图像交点的横坐标； 是 图像交点的横坐标；
是 图像交点的横坐标；利用数形结合即可得到结果.
【详解】在同一坐标系内，分别作出函数 的图像，
如图：
可得 是 图像交点的横坐标；
是 图像交点的横坐标；
是 图像交点的横坐标；
即 分别是图中点 的横坐标.
由图像可得： .
故选：C.【点睛】本题主要考查了函数的性质问题以及函数的零点问题.属于中档题.
24．（2023·全国·高三专题练习）已知定义域为R的偶函数满足 ，当 时， ，则
方程 在区间 上所有解的和为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】A
【分析】令 ，由已知可得函数 与 的图象在区间 上关于直线 对称，利用对称性即
可求解.
【详解】解：因为函数 满足 ，所以函数 的图象关于直线 对称，
又函数 为偶函数，所以 ，
所以函数 是周期为2的函数，
又 的图象也关于直线 对称，
作出函数 与 在区间 上的图象，如图所示：
由图可知，函数 与 的图象在区间 上有8个交点，且关于直线 对称，
所以方程 在区间 上所有解的和为 ，
故选：A.25．（2021·陕西·西北工业大学附属中学高三阶段练习（理））已知函数 ，函数
有 个不同零点，把它们从小到大依次记为 ， ， ， ， ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将函数有 个不同零点转化为 与 有 个不同交点，采用数形结合的方式可确定 关于
对称， 关于 对称， ，由此计算可得结果.
【详解】 有 个不同零点等价于 与 有 个不同交点，
由 解析式可得 图象如下图所示：
则 关于 对称， 关于 对称， ，
， ， ，
.
故选：A.
26．（2021·黑龙江实验中学高三阶段练习（理））已知 是定义在 上的奇函数，满足 ，当
时， ，则 在区 上所有零点之和为（ ）A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【分析】根据函数的性质可求出周期及对称轴，再由 时函数的解析式可作出函数的图象，原问题可转化
为 图象与 图象交点横坐标问题，由对称性求和即可.
【详解】由已知 是定义在R上的奇函数，所以 ，又 ，所以 的周期是2，
且 得 是其中一条对称轴，又当 时， ，，于是 图象如图所示，
又函数 零点即为 图象与 的图象的交点的横坐标，四个交点分别关于 对
称，从左至右，交点的横坐标分别为 所以 ，所以零点之和为 .
故选：A
二、多选题
27．（2022·黑龙江·海林市朝鲜族中学高三阶段练习（理））关于函数 ，下列描述正确的有（
）
A． 在区间 上单调递增 B． 的图象关于直线 对称
C．若 则 D． 有且仅有两个零点
【答案】ABD
【分析】作出函数 的图象，由图象观察性质判断各选项．
【详解】根据图象变换作出函数 的图象（ ，作出 的图象，再作出其关于 轴对称的图象，然后向右平移2个单位，
最后把 轴下方的部分关于 轴翻折上去即可得），如图，
由图象知 在 是单调递增，A正确，函数图象关于直线 对称，B正确；
，直线 与函数 图象相交可能是4个交点，如图，
如果最左边两个交点横坐标分别是 ，则 不成立，C错误，
与 轴仅有两个公共点，即函数仅有两个零点，D正确．
故选：ABD．
28．（2022·全国·高三专题练习）设函数 的定义域为 ， 为奇函数， 为偶函数，当
时， ，则下列结论正确的是（ ）
A． B． 在 上为减函数
C．点 是函数 的一个对称中心 D．方程 仅有 个实数解
【答案】CD
【分析】根据 和 的奇偶性可推导得到 ， ，
由 可知A错误；推导可得 ，知C正确；作出 图象，结合图象知B错误；
将 解的个数转化为 与 的交点个数，结合图象可知D正确.【详解】 为奇函数， ，即 ，
关于点 对称；
为偶函数， ，即 ，
关于 对称；
由 ， 得： ，
，即 是周期为 的周期函数；
对于A， ，A错误；
对于C， ，即 ，
关于点 成中心对称，C正确；
对于BD，由周期性和对称性可得 图象如下图所示，
由图象可知： 在 上单调递增，B错误；
方程 的解的个数，等价于 与 的交点个数，
， ，
结合图象可知： 与 共有 个交点，即 有 个实数解，D正确.
故选：CD.
29．（2021·山东·高三阶段练习）如图，函数 的图象由一条射线和抛物线的一部分构成， 的零点为 ，则（ ）
A．函数 有3个零点
B． 恒成立
C．函数 有4个零点
D． 恒成立
【答案】BCD
【分析】对于A，由图像求出 的解析式，则有 ，又 ，从而可得函数的零点个数，对
于B，由图可知 ，对于C，由 ，可判断结论；对于D，令 ，从
而可求出方程的根，
【详解】当 时，设 ，因为 ，所以 .由此得 ，又
，所以 只有1个零点，所以A错误；
由题可知射线经过点 ， ，则射线的方程为 .由图可知 ，所以
B正确；
因为 ，所以 有4个零点，所以C正确；
令 ，则该方程的解为 ， ， ，
，令 ，则 ，故 恒成立，所以D正确，
故选：BCD
【点睛】关键点点睛：此题考查函数与方程的应用，考查数形结合的思想，解题的关键是利用待定系数法根据函
数图像求出函数解析式，考查计算能力，属于中档题
30．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 在区间（1，＋∞）内没有零点，则实数a的
取值可以为（ ）
A．－1 B．2 C．3 D．4
【答案】ABC
【分析】由题意设 ，则在 上， 与 有相同的零点，即讨论 在区间
内没有零点，求出其导函数，分析其单调性，得出其最值情况，从而结合其大致的图形可得出答案.
【详解】 ，设
则在 上， 与 有相同的零点.
故函数 在区间 内没有零点,即 在区间 内没有零点
当 时， 在区间 上恒成立,则 在区间 上单调递增.
所以 ，显然 在区间 内没有零点.
当 时, 令 ，得 ，令 ，得
所以 在区间 上单调递减增.在区间 上单调递增.
所以
设 ，则所以 在 上单调递减,且
所以存在 ，使得
要使得 在区间 内没有零点，则
所以
综上所述，满足条件的 的范围是
由选项可知：选项ABC可使得 在区间 内没有零点，即满足题意.
故选：ABC
三、填空题
31．（2009·山东·高考真题（理））已知定义在R上的奇函数 满足 ，且在区间 上是增函
数,若方程 在区间 上有四个不同的根，则
【答案】
【分析】说明函数是周期为8的函数，求出其对称轴，画出函数的大致图像，根据图像判断即可.
【详解】解：定义在R上的奇函数 ，所以 ， ，
又 ，所以 ，8是函数 的一个周期，
所以 ，所以 是函数的一条对称轴，函数的对称轴是 ，根据以上
性质画出函数的大致图像:
有图像知， ，所以 ，故答案为：
【点睛】把函数的奇偶性、单调性、周期性与方程的根的个数结合起来考查，中档题.
32．（2022·全国·模拟预测（文））设函数 的零点为 ，若 成等比数列，
则 _______.
【答案】
【分析】将函数 的零点转化为 的交点横坐标，结合函数图像，列方程求
出零点，进而可得 的值.
【详解】令 ，得
则函数 的零点
即为 的交点横坐标，如图：
由图可知 ，
解得故答案为： .
33．（2020·全国·高三专题练习）已知函数 有三个不同的零点，则实数 的取值范围是
________.
【答案】
【分析】由题知：对数函数有一个零点，二次函数由二个零点，分别求出 的范围，再求交集即可.
【详解】由对数函数和二次函数知：
在 上有一个根.
解得： ，即： .
因为 ，所以 .
在 有两个不相等的根.
即： ，解得： .
综上：
故答案为：
【点睛】本题主要考查函数与方程的关系，同时考查了二次方程根的分布，属于中档题.
34．（2022·安徽省含山中学三模（文））若函数 在区间 上存在零点，则实数m的最
小值是_________．
【答案】
【分析】由 ，得 ，记 ，然后求出 的最小值即可
【详解】 ，
记 ，因为 ，所以 ，令 ，则
所以 在 上单调减，
所以 ，
故实数m的最小值是 ．
故答案为：
35．（2014·江苏南京·高三阶段练习（文））若函数 在区间 上有零点，则实数 的取值范围是
__________.
【答案】
【解析】根据题意可得 ，解出即可.
【详解】函数 的对称轴为 ，
则要使函数 在区间 上有零点，
需满足 ，解得 .
故答案为： .
【点睛】本题考查根据函数在给定区间有零点求参数范围，属于基础题.
36．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，若 均不相等，且 ，
则 的取值范围是___________
【答案】
【分析】不妨设 ，结合函数图像可得 ，从而得出 ，即可得出答案.
【详解】不妨设 ，由图可得， ，所以 即 ，
由 得， ，所以 的取值范围是
故答案为：
37．（2022·山东·临邑第一中学高二阶段练习）已知函数 有两个不同的零点，则常数 的
取值范围是___________.
【答案】
【分析】根据题意，函数 有两个不同的零点，等价于 与 的图象有
两个不同的交点，作出图象，数形结合即可求解.
【详解】由函数 有两个不同的零点，
可知 与 的图象有两个不同的交点，
故作出如下图象，
当 与 的图象相切时， ，即 ，由图可知 ，故相切时 ，
因此结合图象可知，当 时， 与 的图象有两个不同的交点，
即当 时，函数 有两个不同的零点.
故答案为： .
38．（2022·内蒙古呼和浩特·二模（文））若 ， ， ，则x、y、z由小到大的顺序是
___________.
【答案】
【分析】把给定的三个等式作等价变形，比较函数 的图象与曲线 交点的横坐标大
小作答.
【详解】依题意， ， ， ， ，
因此， 成立的x值是函数 与 的图象交点的横坐标 ，
成立的y值是函数 与 的图象交点的横坐标 ，
成立的z值是函数 与 的图象交点的横坐标 ，
在同一坐标系内作出函数 ， 的图象，如图，观察图象得： ，即 ，所以x、y、z由小到大的顺序是 .
故答案为：
【点睛】思路点睛：涉及某些由指数式、对数式给出的几个数大小比较，可以把这几个数视为对应的
指数、对数函数与另外某个函数图象交点横坐标，利用图象的直观性质解决.
39．（2023·全国·高三专题练习）函数 有三个零点 ，且 ，则
的取值范围是______．
【答案】
【分析】由题意将问题转化为 的图象与直线 交点的横坐标分别为 ，画出函数图
象，结合图象求解即可
【详解】设 ，
因为函数 有三个零点 ，且 ，
所以 的图象与直线 交点的横坐标分别为 ，且 ，
作出 的图象如图所示，
由图可知 ，且 是方程 的两个实根，
所以 ，
因为 满足 ，即 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，
即 的取值范围是 ，
故答案为：
40．（2021·湖南师大附中高三阶段练习）已知
（1）函数 的零点个数为________个；
（2）若 的图象与x轴有3个不同的交点，则实数a的取值范围为_______．
【答案】 1
【分析】由 直接求解函数的零点即可，由题意可得 在 上值域为 且单调递减；在 上
值域为 且单调递增，要使 与x轴有3个不同的交点，即 与 有3个不同交点，画出函数
的图象，根据图象求解即可
【详解】（1）因为 ，所以零点个数为1；
（2）由题设，当 时， ，故值域为 且单调递增；
当 时， ，故 值域为 且单调递减；
∴ 在 上值域为 且单调递减；在 上值域为 且单调递增；
要使 与x轴有3个不同的交点，即 与 有3个不同交点，它们的图象如图所示，由图知：要使
函数图象有3个交，则 与 在 上有2个交点，当 时，设 ，
则 ，
此时，若 与 相切，设切点为 ，
∴ 可得 ，
当 过点 时，有 ，得 ，∴ ．
故答案为：1，
41．（2021·北京市玉渊潭中学高三阶段练习）已知λ∈R，函数f(x)= ，当λ=2时，不等式f(x)<0的
解集是___________．若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是___________．
【答案】 (1,4)
【详解】分析:根据分段函数，转化为两个不等式组，分别求解，最后求并集.先讨论一次函数零点的取法，再对应
确定二次函数零点的取法，即得参数 的取值范围.
详解：由题意得 或 ，所以 或 ，即 ，不等式f(x)<0的解集是
当 时， ，此时 ，即在 上有两个零点；当 时，
，由 在 上只能有一个零点得 .综上， 的取值范围为.
点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
42．（2021·浙江·镇海中学模拟预测）已知函数 ， 恰有四个不相等的实
数根 ， ， ， 且满足 ，则 ______； 的最小值为______．
【答案】
【分析】根据解析式画出 图象，将问题转化为 与 恰有 个不同交点，由数形结合的方式可确定
，根据对数运算法则得到 ，化简可求得 ；根据二次函数对称性将
化为 ，配凑成 ，利用基本不等式可求得最小值.
【详解】由 解析式可得 图象如下图所示：
恰有 个不等实根等价于 与 恰有 个不同交点，
由图象可知： ，， ，
则 ，即 ，
，即 ， ；
关于 对称， ，
（当且仅当
，即 时取等号），
当 时， ，满足 与 恰有 个不同交点，
的最小值为 .
【点睛】关键点点睛：本题考查根据方程根的个数，求解与根有关的式子的值的问题；解题关键是通过数形结合
的方式确定根所处的范围，并根据范围构造等量关系，配凑出所求的式子；求解最值时，灵活应用等于 的式子，
配凑出符合基本不等式的形式是关键.
