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第 2 讲 复合函数与幂函数
本讲为重要知识点，题型主要围绕函数的思想以及函数的性质考察，主要通过对函数定义的理解解决抽象
函数相关的问题，包括定义域和值域的一系列题型思想，对学生的逻辑思维能力包括对函数的理解需要透
彻。此外增加一个基本初等函数中的幂函数，也是高中需要学习的函数之一。
考点一复合函数
1.复合函数
一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为
函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))，其中y＝f(u)叫做复合函数y＝f(g(x))的外层函
数，u＝g(x)叫做y＝f(g(x))的内层函数.
2.函数的复合单调性的变化:
f(x)+g(x)=h(x) f(x)-g(x)=h(x)
增+增=增 增-增
增+减 增-减=增
减+减=减 减-减
减+增 减-增=减
注意：加同不变，减异随前。
3.复合函数的单调性变化
y=f [g(x)]
u=g(x) y=f (u) y=f [g(x)]
内函数 外函数
增 增 增
增 减 减
减 增 减
减 减 增
注意：同增异减，即内外函数单调性相同时，单调性递增；反之，递减。考点二 幂函数
1.幂函数的定义
一般地，形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数．
2.5个常见幂函数的图象与性质
1
函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y=x2 y＝x－1
定义域 R R R {x|x≥0} {x|x≠0}
值域 R {y|y≥0} R {y|y≥0} {y|y≠0}
非奇非偶
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数
函数
在(－∞，0)
在(－∞，0)
在R上单调递 上单调递减， 在R上单调递 在(0，＋∞)
单调性 和(0，＋∞)
增 在(0，＋∞) 增 上单调递增
上单调递减
上单调递增
图象
过定点 (0,0)，(1,1) (1,1)
高频考点一 已知f(x)定义域，求f(g(x))的定义域
例1、已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1、若函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为______．
【基本规律】
1、抽象函数求解解析式：
2、求解定义域就是求解x的取值范围；
3、f( )相同(对应法则相同条件)下“（ ）”内取值范围相同。
注意：抽象函数求解定义域问题时要考虑定义域范围内的单调性问题。高频考点二 已知f(g(x))定义域，求f(x)的定义域
例2、已知函数y=f(x+1)的定义域是[-2，3]，则y=f(x)的定义域是（ ）
A．[0，5] B．[-1，4] C．[-3，2] D．[-2，3]
【变式训练】
1、已知 的定义域为 ，则 的定义域为 （ ）
A． B． C． D．
高频考点三 已知f(g(x))定义域，求f(h(x))的定义域
例3、已知函数 的定义域为 ，则 的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练】
1、已知函数 定义域为 ，则函数 的定义域为_______.
四 复合函数定义域
高频考点
例4、已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练】
1、已知函数 的定义域为 ，若 ，则函数 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
五 抽象函数的值域
高频考点例5： 是 上的奇函数， 是 上的偶函数，若函数 的值域为 ，则
的值域为_____________．
【变式训练】
1. 已知定义在R上的函数 满足对任意实数x，都有 ，且 ，则
________．
六 复合函数的值域
高频考点
例6、已知定义在R上的函数 满足 ，若函数 在区间 上的值域为 ，
则 在区间 上的值域为__________.
【变式训练】
1. 若函数 的值域是 ，则函数 的值域为 __．
高频考点七 幂函数
例7、现有下列函数：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ；⑦
，其中幂函数的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式训练】
幂函数 在 上单调递减，则 的值为______．
