文档内容
2023 年高考数学模拟考试卷 1
高三数学（理科）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自
己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：高中全部知识点。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有
一个选项是符合题目要求的．
1．已知复数z满足 ，则复数z的实部与虚部的和为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】根据复数的运算法则求出复数 ，则得到答案.
【详解】
， ，
故实部与虚部的和为 ，
故选：D.
2．已知 的定义域为A，集合 ，若 ，则实数a的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根据二次不等式求出集合A，再分类讨论集合B，根据集合间包含关系即可求
解.
【详解】 的定义域为A，所以 ，所以 或 ，①当 时，
,满足 ，所以 符合题意；
②当 时， ，所以若 ，
则有 或 ，所以 或 （舍）
③当 时， ，所以若 ，则有 或 （舍），，综上所述， ，故选：B.
3．在研究急刹车的停车距离问题时，通常假定停车距离等于反应距离（ ，单位：m）与
制动距离（ ，单位：m）之和.如图为某实验所测得的数据，其中“KPH”表示刹车时汽
车的初速度 （单位：km/h）.根据实验数据可以推测，下面四组函数中最适合描述 ，
与 的函数关系的是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】B
【分析】设 ， ，根据图象得到函数图象上的点，作出散点图，即
可得到答案.
【详解】设 ， .
由图象知， 过点 ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ， ，
， ， .
作出散点图，如图1.由图1可得， 与 呈现线性关系，可选择用 .
过点 ， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ， ，
， .
作出散点图，如图2.
由图2可得， 与 呈现非线性关系，比较之下，可选择用 .
故选：B.
4．已知函数 则函数 的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】分段求出函数 的解析式，利用导数判断其单调性，根据单调性可得答
案.
【详解】当 ，即 时， ，
，
令 ，得 ，令 ，得 ，
所以函数 在 上为增函数，在 上为减函数，由此得A和C和D不正确；
当 ，即 时， ，
，
令 ，得 ，令 ，得 ，
所以函数 在 上为增函数，在 上为减函数，由此得B正确；
故选：B
5．若函数 存在一个极大值 与一个极小值 满足 ，则 至
少有（ ）个单调区间.
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】根据单调性与极值之间的关系分析判断.
【详解】若函数 存在一个极大值 与一个极小值 ，则 至少有3个单调
区间，
若 有3个单调区间，
不妨设 的定义域为 ，若 ，其中 可以为 ， 可以为 ，
则 在 上单调递增，在 上单调递减，（若 定义域为 内不
连续不影响总体单调性），
故 ，不合题意，
若 ，则 在 上单调递减，在 上单调递增，有
，不合题意；
若 有4个单调区间，
例如 的定义域为 ，则 ，
令 ，解得 或 ，
则 在 上单调递增，在 上单调递减，
故函数 存在一个极大值 与一个极小值 ，且 ，满足题
意，此时 有4个单调区间，
综上所述： 至少有4个单调区间.
故选：B.
6．已知实数x、y满足 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【分析】由约束条件作出可行域，求出 的范围，再由 结
合函数的单调性求得答案．
【详解】解：令 ，则 ，由 作出可行域如图，则
设点 ，其中P在可行域内， ，
由图可知当P在C点时，直线PD斜率最小，
当P在B点时，直线PD斜率不存在，∴ ∵ 在 上为增函
数，
∴当 时 ．故选：A．
7．在正方体 中，点P在正方形 内，且不在棱上，则（ ）
A．在正方形 内一定存在一点 ，使得
B．在正方形 内一定存在一点 ，使得
C．在正方形 内一定存在一点 ，使得平面 平面
D．在正方形 内一定存在一点 ，使得 平面
【答案】B
【分析】对于A，通过作辅助线，利用平行的性质，推出矛盾，可判断A;对于B，找到特
殊点，说明在正方形 内一定存在一点 ，使得 ，判断B;利用面面平行的
性质推出矛盾，判断C;利用线面垂直的性质定理推出矛盾，判断D.
【详解】A、假设在正方形 内一定存在一点 ，使得 ，作 ,垂足分别为 ,连接 ，则 为矩形，且 与 相交，
故 ,由于 ，则 ，这与 相交矛盾，故A错误；
B、假设P为正方形 的中心，Q为正方形 的中心，
作 ,垂足分别为 ,连接 ，则 为矩形，
则 ,且 为 的中点，连接 ,
则 ,因为 ，所以 ,即 ，故B正确；
C、在正方形 内一定存在一点 ，使得平面 平面 ，
由于平面 平面 ,平面 平面 ,
故 ,而 ,则Q在 上，这与题意矛盾，C错误；
D、假设在正方形 内一定存在一点 ，使得 平面 ，
平面 ,则 ,
又 平面 平面 ，故 ,
而 平面 ，故 平面 ，
由于 平面 ,故 重合，与题意不符，故D错误，
故选∶B
8．对于平面上点 和曲线 ，任取 上一点 ，若线段 的长度存在最小值，则称该值
为点 到曲线 的距离，记作 .若曲线 是边长为6的等边三角形，则点集
所表示的图形的面积为（ ）A．36 B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据题意画出到曲线C的距离为1的边界，即可得到点集的区域，即可求解.
【详解】根据题意作出点集 的区域如图阴影所示，
其中四边形 ， ， 为矩形且边长分别为1,6，圆都是以1为半径的，过
点 作 于 ，连接 ,则 ， ，所以
则 是以 为边长的等边三角形，
矩形 的面积 ，
，扇形 的面积为 ，
，
，
所以 .
故选：D.
9．一个宿舍的6名同学被邀请参加一个节目，要求必须有人去，但去几个人自行决定．其
中甲和乙两名同学要么都去，要么都不去，则该宿舍同学的去法共有（ ）
A．15种 B．28种 C．31种 D．63种
【答案】C
【分析】满足条件的去法可分为两类，第一类甲乙都去，第二类甲乙都不去，再进一步通
过分类加法原理求出各类的方法数，将两类方法数相加即可.
【详解】若甲和乙两名同学都去，则去的人数可能是2人，3人，4人，5人，6人，
所以满足条件的去法数为 种；
若甲和乙两名同学都不去，则去的人数可能是1人，2人，3人，4人，则满足条件去法有
种；
故该宿舍同学的去法共有 种．
故选：C.
10．已知椭圆C的焦点为 ，过 的直线与C交于P，Q两点，若
，则椭圆C的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．【答案】B
【分析】由已知可设 可求出所有线段用 表示，在 中由余弦定
理得 从而可求.
【详解】如图，由已知可设 ，又因为
根据椭圆的定义 ，
在 中由余弦定理得 ，所以
故椭圆方程为： 故选：B
11．已知函数 ，对于任意的 ，方程 恰
有一个实数根，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将方程的根的问题转化为函数 的图象与直线 有且仅有1个交点，画
出图象，数形结合得到不等式组，求出m的取值范围.
【详解】方程 恰有一个实数根，等价于函数 的图象与直线
有且仅有1个交点．
当 得： ，
结合函数 的图象可知， ，
解得： .故选：D
12．已知 ，则 的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】构造函数 ， ，利用导函数得到其单调性，从而得到
，
当且仅当 时等号成立，变形后得到 ，当 时，等号成立，令 后
得到 ；
再构造 ，利用导函数得到其单调性，得到 ，当且仅当 时，等号成
立，
变形后得到 ，当 时，等号成立，令 得到 ，从而得到 .
【详解】构造 ， ，
则 ，当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，
故 ，当且仅当 时等号成立，
因为 ，所以 ，
当 时，等号成立，
当 时， ，所以
构造 ，则 ，当 时， ，当 时， ，
所以 在 单调递增，在 上单调递减，
故 ，所以 ，当且仅当 时，等号成立，
故 ，当且仅当 时，等号成立，
令 ，则 ，所以 ，
综上 ，
故选：
【点睛】构造函数比较函数值的大小，关键在于观察所给的式子特点，选择合适的函数进
行求解.第Ⅱ卷
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．设 ， 是x，y轴正方向上的单位向量， ， ，则向量
， 的夹角为______．
【答案】
【分析】分别求出 ， 的表达式，利用定义求出 ， 的夹角即可.
【详解】 ①，
②,
得 ，
得 ，
，
14．已知双曲线 的焦距为 ，过 的右焦点 的直线 与 的两条
渐近线分别交于 两点， 为坐标原点，若 且 ，则 的渐近线
方程为__________.
【答案】
【分析】根据题设条件确定 ，进而可确定 ，从而在直角 AOB
中， ，结合正切的二倍角公式求解. △
【详解】因为 ，画出示意图如图，设 ，
因为 ，则 ，
所以 ，则 ，
所以 .又 ，所以 ，
所以 ，根据 ，
所以 .又因为 ，所以 .在直角 AOB中， ，
△
所以 ，化简得： ，所以 ，
则渐近线方程为： ，
故答案为: .
15．已知数列 满足首项 ， ，则数列 的前2n项的和为
_____________．
【答案】
【分析】当 为奇数时，由递推关系得 ，构造 为等比数列，
可求出通项，结合 即可分组求和.
【详解】当 为奇数时， ，即 ，此时 为以
为首项，公比为3的等比数列，
故 ，即 .
.
故答案为：
【点睛】本题解题关键是根据题意找到相邻奇数项或偶数项之间的递推关系，从而求出当
为奇数或 为偶数时的通项公式，再通过相邻两项的关系求出前2n项的和．
16．在三角形 中， ， ， 为 的中点，则 的最大值为
___________.
【答案】 ##
【分析】设出 ，则 ，由 得到 ，
结合余弦定理得到 ，从而得到 ，由三角形三边关系得
到 ，换元后得到 ，由基本不等式求出最小值，结合
在 上单调递减， 在 单调递增，可求出 的最大
值.
【详解】设 ，则 ，
因为 为 的中点， ，
所以 ，
由三角形三边关系可知： 且 ，解得： ，在三角形ABD中，由余弦定理得： ，
在三角形ACD中，由余弦定理得： ，
因为 ，
所以 ，
解得： ，
由余弦定理得： ， ，
令 ，
则 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，此时 ，解得： ，
因为 ，故 ，
由于 在 上单调递减， 在 单调递增，
故当 取得最小值时， 取得最大值，
此时 ， .
故答案为： .
【点睛】三角形中常用结论， ， ，
，本题中突破口为由 得到
，结合余弦定理得到 ，进而利用基本不等式求最值.
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
17．（12分）数列 满足 ，点 在直线 上，设数列 的前n
项和为 ，且满足 ， ．
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)是否存在 ，使得对任意的 ，都有 ．
【答案】(1) ；
(2)存在 ，2，使得对任意的 ，都有
【分析】（1）根据等差数列的定义可得 为等差数列，由 的关系可得 为等比
数列，进而可求其通项，
（2）根据数列的单调性求解最值即可求解.
【详解】（1）点 在直线 上，所以
又 ，
∴ ，则数列 是首项为1，公差为2的等差数列．
∴
又当 时， 得 ，
当 ，由 ①，
得 ②
由①－②整理得： ，
∵ ，∴
∴ ，
∴数列 是首项为3，公比为3的等比数列，故
（2）设 ，
由
当 时， ，当 时， ，
所以当 或2时， 取得最大值，即 取得最大
所以存在 ，2，使得对任意的 ，都有
18．（12分）如图，将等边 绕 边旋转 到等边 的位置，连接 ．
(1)求证： ；(2)若 是棱 上一点，且两三角形的面积满足 ，求直线 与平面
所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取 中点为 ，证明 平面 即可；
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线 与平面 所成角的正弦值．
【详解】（1）设 是 的中点，
连接 ， ，由题知： ， ，则 ， ，
又 ， 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，所以 ．
（2）由题知， 、 、 两两垂直，
以 为原点， 方向分别为 ， ， 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所
示，
因为 ，所以 ，设 ，则 ，
则 ， ， ， ， ．
所以 ， ， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，取 ，可得 ，
设直线 与平面 所成的角为 ，
则 ．
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
19．（12分）甲、乙两位选手参加一项射击比赛，每位选手各有n个射击目标，他们击中
每一个目标的概率均为 ，且相互独立．甲选手依次对所有n个目标进行射击，且每击中
一个目标可获得1颗星；乙选手按规定的顺序依次对目标进行射击，击中一个目标后可继
续对下一个目标进行射击直至有目标未被击中时为止，且每击中一个目标可获得2颗星．
(1)当 时，分别求甲、乙两位选手各击中3个目标的概率；
(2)若累计获得星数多的选手获胜，讨论甲、乙两位选手谁更可能获胜．【答案】(1) , ；
(2)当 时，乙更可能获胜；当 时，甲更可能获胜.
【分析】（1）根据独立重复试验可计算甲击中3个目标的概率，由相互独立事件的概率计
算公式可得乙击中3个目标的概率；
（2）设 为甲累计获得的星数， 为乙累计获得的星数，分别计算期望，分别讨论
及 的 ，得出结论.
【详解】（1）当 时，甲击中3个目标的概率为 ，
乙击中3个目标，则前3个目标被击中，第4个目标未被击中，
其概率为 .
（2）设 为甲累计获得的星数，则 ，设 为乙累计获得的星数，
则 ，设击中了m个目标，其中 ，
则甲获得星数为m的概率为 ，
所以甲累计获得星数为 ;
记 ，
所以 ，
所以 ,
乙获得星数为 的概率为 ，
当 时， ，
所以乙累计获得星数为 ，
记 ，则 ，
所以 ，
，
当 时， ，当 时， ，
当 时， ，当 时，
所以当 时，乙更可能获胜；当 时，甲更可能获胜.
20．（12分）已知抛物线 的焦点与椭圆 的右焦点重合，
直线 与圆 相切．
(1)求椭圆 的方程；
(2)设不过原点的直线 与椭圆 相交于不同的两点A，B，M为线段AB的中点，O为坐标原点，射线OM与椭圆 相交于点P，且O点在以AB为直径的圆上，记 ，
的面积分别为 ， ，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据条件建立关于 的方程组，即可求解椭圆方程；
（2）根据数形结合可知 ，分直线斜率不存在，或斜率为0，以及斜率
不为0，三种情况讨论 的值或范围.
【详解】（1）∵抛物线 的焦点为 ，∴ ，
从而 ①，
∵直线 与圆 相切，∴ ②，
由①②得： ， ，
∴椭圆 的方程为：
（2）∵M为线段AB的中点，∴ ，
（1）当直线 的斜率不存在时， 轴，由题意知 ，结合椭圆的对称性，不妨
设OA所在直线的方程为 ，得 ，
从而 ， ，
（2）当直线 的斜率存在时，
设直线 ， ，
由 可得： ，
由 可得： （*）
∴ ， ，
∵O点在以AB为直径的圆上，∴ ，即 ，
∴ ，
即 ，
（**）满足（*）式．∴线段AB的中点 ，
若 时，由（**）可得： ，此时 ，
若 时，射线OM所在的直线方程为 ，
由 可得： ，
，
随着 的增大而减小，∵ ，∴ ，∴
综上，
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为 ；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于 （或 ）的一元二次方程，必要时计算 ；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为 、 （或 、 ）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
21．（12分）已知函数
(1)当 时，证明: .
(2)若 有两个零点 且 求 的取值范围.
【答案】(1)见解析；
(2)
【分析】（1） ，求导得 ，则 ；
（2）由题得 ， ，则 ， ，
，则 ，从而设 ，得到
，利用导数研究函数 的值域，则得到 的范围.
【详解】（1）证明:当 时, ,则 .
当 时, ,当 时, ,
所以 在 上单调递减,在 上单调递增,
则 ,故 .
（2）由题意得 ，则 ， ，
从而 ， ， ，
故 ，
因为 ，所以 ，即 ，
设 ,则 .
设 ,则 .
设 ,则 ，
由（1）可知 在 上恒成立,
从而 在 上单调递增,
故 ,即 在 上恒成立,
所以 在 上单调递增,所以 ,
即 ,即 的取值范围为 .
【点睛】关键点睛：本题的关键是通过变形用含 的式子表示出 ，即
，然后整体换元设 ，则得到
，最后只需求出函数 在 上值域即可.
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的
第一题计分．
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系 中，直线l的参数方程为 （t为参数）．以坐标原点为极
点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C的极坐标方程为 ，直线l与曲
线C相交于A，B两点， ．
(1)求曲线C的直角坐标方程；
(2)若 ，求直线l的斜率．
【答案】(1) (2)【分析】（1）根据极坐标与直角坐标直角的转化 ，运算求解；（2）联立直
线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程，根据参数的几何意义结合韦达定理运算求解.
【详解】（1）∵ ，
则 ，
∴ ，即 ，
故曲线C的直角坐标方程为 .
（2）将直线l的参数方程为 （t为参数）代入曲线C的直角坐标方程为
，得 ，
整理得 ，
设A，B两点所对应的参数为 ，则 ，
∵ ，则 ，
联立 ，解得 ，
将 代入 得
，解得 ，
故直线l的斜率为 .
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
设 、 、 为正数，且 .证明：
(1) ；
(2) .
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
【分析】（1）由不等式的基本性质可得出 ，利用反比例函数在 上的单调
性可证得结论成立；（2）利用基本不等式可得出 ， ， ，利用不等式的
基本性质可证得结论成立.
【详解】（1）证明：因为 、 、 为正数，由 可得
，
所以， ，
因为函数 在 上为增函数，故 .
（2）证明：由基本不等式可得 ， ，
，
由不等式的基本性质可得
，
当且仅当 时，等号成立，故 .
