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专题02 函数的值域
专项突破一 常见函数值域
1．函数f(x)=1- 的值域为（ ）
A． B． C． D．
【解析】函数f(x)=1- 的定义域为 ，所以 ，则 ，
所以函数f(x)=1- 的值域为 ，故选：A
2．函数 值域是（ ）
A． B． C． D．
【解析】因为 ，所以 ，故选：D
3．函数 的值域为（ ）
A． B．
C． D．
【解析】依题意 ， ， ，
所以函数 的值域为 .故选：A
4．(多选)下列函数， 值域为 的是（ ）
A． B． C． D．
【解析】当 时， ，故A满足；
当 时， ，故B不满足；，故C满足；
，故D不满足；
故选：AC
5．(多选)下列函数中，值域是 的是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】对于A选项， ，A不满足条件；
对于B选项，当 时，则 ，所以 ，B不满足条件；
对于C选项，对于函数 ， ，则 ，C满足条件；
对于D选项，对于函数 ， ，则 ，D满足条件.
故选：CD.
6．已知函数 是定义在区间 上的偶函数，求函数 的值域．
【解析】∵ 为偶函数，∴ ，即 ,
∴ ．又 的定义域为 ，∴ ，∴ ，
∴ ， ，∴函数 的值域为 ．
7．求下列函数的值域：
(1) ，① ；② ；(2) ；(3) .【解析】(1) ，
①当 时， ，
∴值域为[7，28]；
②当 时， ，∴值域为[3，12]．
(2)令 ，则 ，
因为 ，所以 ，即 ，
所以函数的值域为 ；
(3) ，因为 ，所以
所以函数的值域为( ∞，1)∪(1，+∞).
8．求下列函数的值域：
(1)y＝2x＋1；(2)y＝x2－4x＋6，x∈[1，5)；(3)y＝ ；(4)y＝x＋ ．
【解析】(1)因为x∈R，所以2x＋1∈R，即函数的值域为R．
(2)y＝x2－4x＋6＝(x－2)2＋2，因为x∈[1，5)，如图所示：
所以所求函数的值域为[2，11)．
(3)借助反比例函数的特征求．
，
显然 可取0以外的一切实数，即所求函数的值域为{y|y≠3}．(4)设 (x≥0)，则x＝u2(u≥0)， ，
由u≥0，可知 ≥ ，所以y≥0．所以函数y＝x＋ 的值域为[0,＋∞)．
专项突破二 复杂函数值域
1．函数 的值域是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】令 ， ，
可得 ， ，
，故 .故选：B.
2．函数 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【解析】当 ， ，
当 时,因为 ，
令 ， 的含义是点 与单位圆上的点 的连线的斜率，
所以 ，所以 ，所以 ，即 ，
综合得， ， 故最小值为： .故选：B.3．函数 的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．1
【解析】∵ ，∴ ，即函数 的定义域为
.令 ，则 ，∴ ，
∴ ，当且仅当 时 有最大值为1，
当 时， 或1满足.故选：D
4．函数 的值域为___________．
【解析】因为 ，令 ，则 ，则 ，所以 ，
，所以 在 上单调递增，所以 ，即 的值域为
5．函数 的值域为_______________．
【解析】因为 ， ，所以此函数的定义域为 ，
又因为 是减函数，当
当 所以值域为
6．函数 的值域为__________．
【解析】 ，由 ，得 ，因为 在 上单调递增，
所以 ，即 的值域为 .7．设 ， ，则 取得最大值时的x值为______．
【解析】 ，
此函数是由反比例函数 向右平移 个单位，再向上平移1个单位得到的，
所以 在 和 上单调递减，因为 ， ，
所以 取得最大值时的x值为45．
8．函数 的最小值为___________.
【解析】令 ，则 ，
它表示半圆 上的 与 连线的斜率（如图所示），
由图象得当 与半圆相切时，函数 取最小值，
此时 , , ， ，
即 的最小值为 .
9．函数 的值域是___________.
【解析】函数 的定义域为 ，
，由于 ，所以 ，且 ，所以 且 ，
所以函数 的值域为 .
10．函数 的值域是___________.
【解析】 ，因为 ，
所以函数 的定义域为 ，令 ，整理得方程： ，
当 时，方程无解；
当 时，
不等式整理得： ，解得：
所以函数 的值域为 .
11．求函数 的值域．
【解析】由 ，得 ．
∵ ，∴ ，
∴ ．
∵ ，∴ ，
∴ ，即 ．
又∵ ，∴ ，∴ ，∴函数的值域为 ．
12．（1）求 的值域
（2）求 的最大值【解析】（1）令 ，则 ，
所以 ，
所以当 时，即 时， 取最大值， ，且 无最小值，
所以函数的值域为 .
（2） ，
所以当 时， ，当 时， ，
所以 在 上的最大值为 ．
13．求函数 的值域.
【解析】由 ，且 ，解得 ，故该函数的定义域为 ，
又该函数在定义域内单调递减，所以当 时，函数取得最小值， ，
故该函数的值域是 .
14．求下列函数的值域：
(1) ；(2) ；(3) ．(4) ．
【解析】(1)方法一 因为 ，且 ，所以 ，
所以原函数的值域为 ．
方法二 令 ，则 ，
所以原函数的值域为 ．(2)因为 ，
所以 ，所以原函数的值域为 ．
(3)设 ，则 且 ，
得 ．
因为 ，所以 ，即 ，所以原函数的值域为 ．
(4)方法一 令 ，因为 ，
所以关于x的方程 有解，则当 ，即 时， ；
当 时， ，
整理得 ，解得 或 ．
综上，原函数的值域为 ．
方法二 令 ，则 ，
当 时， ；
当 时， ，
当 时，因为 ，当且仅当 时取等号，
所以 ，所以 ，
当 时，因为 ，当且仅当 时取等号，所以 ，所以 ．
综上，原函数的值域为 ．
专项突破三 抽象函数值域
1．若函数 的值域为 ，则函数 的值域是（ ）
A． B． C． D．
【解析】因为 的值域是［1，2］，
而 与函数 定义不同，值域相同，
所以 的值域是［1，2］，所以 的值域为 .故选：B
2．已知函数 的定义域为 ，值域为R，则（ ）
A．函数 的定义域为R
B．函数 的值域为R
C．函数 的定义域和值域都是R
D．函数 的定义域和值域都是R
【解析】对于A选项：令 ，可得 ，所以函数 的定义域为 ，故A选项错误；
对于B选项：因为 的值域为R， ，所以 的值域为R，可得函数 的值域
为R，故B选项正确；
对于C选项：令 ，得 ，所以函数 的定义域为 ，故C选项错误；
对于D选项：若函数 的值域为R，则 ，此时无法判断其定义域是否为R，故D选项错误.
故选：B3．已知函数 对任意 ，都有 ，当 ， 时， ，则函数 在
， 上的值域为（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
【解析】当 ， 时， ， ，
则当 ， 时，即 ， ，所以 ；
当 ， 时，即 ， ，
由 ，得 ，从而 ， ；
当 ， 时，即 ， ，则 ， ．
综上得函数 在 ， 上的值域为 ， ．故选：D．
4．定义在R上的函数 对一切实数x、y都满足 ，且 ，已知 在
上的值域为 ，则 在R上的值域是（ ）
A．R B． C． D．
【解析】因为定义在R上的函数 对一切实数x、y都满足 ，且 ，
令 ，可得 ，
再令 ，可得 ，
又 在 上的值域为 ，因此 在 上的值域为
则 在R上的值域是 .故选：C
5．若函数 的值域是 ，则函数 的值域为 __．
【解析】因为函数 的值域是 ，所以函数 的值域为 ，则 的值域为 ，所以函数 的值域为 ．
6．已知定义在R上的函数 满足 ，若函数 在区间 上的值域为 ，
则 在区间 上的值域为__________.
【解析】因为 ，故对任意的整数 ，
当 时， ，
而 且 ，故 ，
故 在区间 上的值域为：
，即为 .
7． 是 上的奇函数， 是 上的偶函数，若函数 的值域为 ，则 的
值域为_____________．
【解析】由 是 上的奇函数， 是 上的偶函数，
得到 ， ，因为函数 的值域为 ，
即 ，所以 ，又 ， ，
得 ，所以 的值域为： .
8．若函数 的值域是 ，则函数 的值域是________.
【解析】因函数 的值域是 ，从而得函数 值域为 ，
函数 变为 ， ，由对勾函数的性质知 在 上递减，在 上递增，
时， ，而 时， ， 时， ，即 ，所以原函数值域是 .
9．已知定义在[﹣1，1]上的函数f（x）值域为[﹣2，0]，则y=f（cosx）的值域为_____．
【解析】∵f（x）的定义域是[﹣1，1]，值域是[﹣2，0]，而cosx∈[﹣1，1]，
故f（cosx）的值域是[﹣2，0]，
10．函数 的定义域为 ，且对任意 ， 都有 ，且 ，当 时，
有 .
（1）求 ， 的值；
（2）判断 的单调性并加以证明；
（3）求 在 ， 上的值域.
【解析】（1）可令 时， = - ；
令 ， 可得f（2）=f（4）-f（2） ，即f（4） ；
（2）函数 在 上为增函数.
证明：当 时，有 ，可令 ，即有 ，则 ，
可得 ，则 在 上递增；
（3）由 在 上为增函数，可得 在 递增，
可得 为最小值， 为最大值，
由f（4）=f（16）-f（4）+1，可得 ，则 的值域为 .
专项突破四 复合函数值域
1．已知函数 ，则 的值域为（ ）
A． B．
C． D．【解析】对于函数 ， ，当且仅当 时等号成立，所以 .
令 ，则 ，
由于 时， 递减，所以 ，
也即 的值域为 .故选：D
2．函数 的值域为（ ）
A． B． C． D．
【解析】令 ，则 ，∵ ，
∴ ，∴函数 的值域为 ，故选：D
3．若函数 的值域是 ，则函数 的值域是（ ）
A． B． C． D．
【解析】令 ， ，则 ．
当 时， 单调递减，当 时， 单调递增，
又当 时， ，当 时， ，当 时， ，
所以函数 的值域为 ，故选：B．
4．已知函数 的值域为 ，则函数 的值域为（ ）A． B．
C． D．
【解析】设 ．则 ．∵ ，∴ ．
则 ．
∵ 图象的对称轴为直线 ．当 时， 取得最大值1；
当 时， 取得最小值 ，函数 的值域是 ，故选：B．
5．函数 的定义域为 ，则函数 的值域为（ ）
A． B． C． D．
【解析】 的定义域为 ，
中， ，解得 ，
即 的定义域为 ，令 ，则
则 ，
当 时， ；当 时， ，
的值域为 .故选：B.
6．函数 的值域为___________.
【解析】∵函数 ，∴函数的定义域为R，又 ，∴ ∴ ，即 ，∴函数 的值域为 .
7．函数 的最大值为______.
【解析】由题意，令
故
由反比例函数性质， ，故函数 的最大值为
8．函数 的值域是________________．
【解析】 ，且 ，
， ， ，
，故函数 的值域是 ．
9．已知函数 （ ），则函数 的值域为_______
【解析】由题意， ，
，
因为 ，故 ， ，
所以 的值域为 .
10．若 ， ，求函数 的值域________.
【解析】要使函数 成立，则 ，即 ，将函数 代入 得：，令 ，则 ，所以
，又 或 ，故函数 的值域为 .
11．已知 ，则函数 的最小值为__________.
【解析】设 ， 则
当 时，即 时，有最小值
12．已知函数 对任意x∈R满足 ＋ ＝0， ＝ ，若当x∈[0，1)时，
(a＞0且a≠1)，且 ．
(1)求 的值；
(2)求实数 的值；
(3)求函数 的值域．
【解析】(1)∵f(x)+f(﹣x)=0，∴f(1)+f(-1)=0……①
∵f(x﹣1)=f(x+1)，∴f(－1)=f(1)……②，
由①②可得f(1)＝0
(2)∵f(x)+f(﹣x)=0，∴f(﹣x)=﹣f(x)，即f(x)是奇函数．
所以 ,所以 ,即 ，
∵f(x﹣1)=f(x+1)，∴f(x+2)=f(x)，即函数f(x)是周期为2的周期函数，
又f( )=f( )=f( )= 1 = ，解得a= ,
所以 .
(3)当x∈[0，1)时，f(x)=ax+b=( )x﹣1∈(﹣ ，0]，由f(x)为奇函数知，当x∈(﹣1，0)时，f(x)∈(0， )，
∴当x∈R时，f(x)∈(﹣ ， )，设t=f(x)∈(﹣ ， )，
∴g(x)=f2(x)+f(x)=t2+t=(t+ )2﹣ ，即y=(t+ )2﹣ ∈[﹣ ， )．
故函数g(x)=f2(x)+f(x)的值域为[﹣ ， )．
13．若函数 为奇函数．
（1）求 的值；
（2）求函数的定义域；
（3）求函数的值域．
【解析】（1）记 ，∵ 是奇函数，
∴ ，∴ ；
（2） ， ，∴定义域为 ；
（3）由（1） ，
∵ ，∴ 或 ，
∴ 或 ，∴ 或 ．
∴值域为 ．
14．已知函数 .当 时，求该函数的值域；
【解析】 ，
令 ，由 ，则 ，
所以有 ， ，所以当 时， ，当 时，
所以函数 的值域为 .
专项突破五 根据函数值域求参
1．若函数 的值域为 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解析】当 时， ，即值域为 ，满足题意；
若 ，设 ，则需 的值域包含 ，
，解得： ；
综上所述： 的取值范围为 .故选：C.
2．已知函数 的定义域与值域均为 ，则 （ ）
A． B． C． D．1
【解析】∵ 的解集为 ，∴方程 的解为 或4，
则 ， ， ，∴ ，
又因函数的值域为 ，∴ ，∴ .故选：A.
3．已知实数a的取值能使函数 的值域为 ，实数b的取值能使函数
的值域为 ，则 （ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【解析】依题意知： 的值域为 ，则 若函数 的值域为 ，则 的最小值为2，令 解得： ，∴ 5．故选：B
4．已知函数 的值域是 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【解析】因为 ，
所以 .设 ，
则 ，
故 是偶函数.因为 的值域是 ，所以 的值域是 ，
则 ，解得 .故选：B
5．若函数 的值域为 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】 ，
当 时， 在 上单调递增，
所以 ，此时 ，
当 时，由 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
因为 在 上单调递增，
若 的值域为 ，则有 ，即 ，则 ，
综上， ，所以实数 的取值范围为 ，故选：A
6．已知函数 ，若存在区间 ，使得函数 在区间 上的值域为，则实数k的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解析】根据函数的单调性可知， ，即可得到 ，
即可知 是方程 的两个不同非负实根，所以 ，解得 ．
故选：B．
7．(多选)已知函数 的定义域为 ，值域为 ，则实数对 的可能值为（ ）
A． B． C． D．
【解析】画出 的图象如图所示：
由图可知： ， ，
根据选项可知：当 的定义域为 ，值域为 时，
的可能值为 ， ， .故选：ABC.
8．(多选)若函数 的定义域为 ，值域为 ，则 的值可能是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解析】因为 ，开口向上，对称轴为
所以，当 和 时，函数值为 ，当 时函数值为 ，因为函数 的定义域为 ，值域为 ，
所以 ，所以 的值可能的选项是：ABC
9．(多选) 是定义在R上的奇函数， 是偶函数，当 ，当 时， 值
域为 ，则 可能的取值为（ ）
A．13 B．5 C．1 D．-13
【解析】根据题意，函数 满足 且 ，
所以 ，所以 ，
所以 的周期为 ，由当 ，
由 为奇函数，当 ，又 关于 对称，可得如下图像，
如若要值域取得 ，根据答案当 时符合题意，
此时 ，故C正确；
当 ，值域也是 ，故B正确；
由图可知 不符题意，结合奇函数性质，故AD错误；
故选：BC
10．若函数 的值域为 ，则实数a的取值可能是（ ）
A．0 B． C． D．1
【解析】当 时， ，故不符合题意；当 时， 函数 的值域为 ，
，解得 .
故选：CD
11．方程 有正数解，则 的取值范围是_________.
【解析】方程转化为 ，化简为 ，
求 的取值范围转化为求 （ ）的值域，
设 ， ，则 在区间 上单调递减，
则 ，所以 的取值范围是 .
12．已知函数 的值域为 ，则实数 的取值范围是_______.
【解析】令 ，
因为 的值域为 ，
所以 取遍 所有的实数
所以 ，解得
13．函数 的值域为 ，则实数a的取值范围是______．
【解析】当 时， ，即 ，
当 时，若 ，即 ，则 单调递增， ，即 ，
要使 ，则 ，即 ；
若 ，即 ，此时 ，不满足题意；
当 ，即 时， 单调递减， ，即 ，
显然 .
综上，
14．已知函数 的值域为 ，则实数 的取值范围为___________.
【解析】∵函数 的值域为 ，又当 时， ，
∴ ，解得 .
15．已知 ，函数 有最大值，则实数 的取值范围是___________.
【解析】由 在 上递减，当 时值域为 ，当 时值域为 ，
由 在 上递增，当 时值域为 ，当 时值域为 ，
∴要使函数存在最大值，则 且 ，即 ，∴ .
16．若函数 的值域为 ，则 的值为__________.
【解析】设 ，可得 ，
由题意可知，关于 的方程 在 上有解，
若 ，可得 ，则 ；若 ，则 ，即 ，
由题意可知，关于 的二次方程 的两根为 、 ，
由韦达定理可得 ，解得 .
综上所述， .
17．已知函数 为偶函数．
(1)求实数 的值；
(2)当 时，若函数 的值域为 ， ，求 ， 的值．
【解析】(1)根据题意，函数 为偶函数，
则有 对 恒成立，
即 对 恒成立。
解得 ；
(2)∵ ，
当 时， 为增函数，则有： ，
即 、 是方程 的两个根，
又由 ，则 ，则 ， ．
18．函数 为R上的奇函数，
（1）求m的值
（2）若 在 上有解，求实数k的取值范围．【解析】（1）由函数 为R上的奇函数，得 ，
即 ，∴ ，
此时 ，则 ，所以函数 为奇函数；
故 ；
（2）由（1）可得， ．
若 ，则 ，∴ ，∴ ，
又 在 上有解，∴只需 ．
