文档内容
专题 02 函数的单调性与最值
目录
题型一： 求单调区间...........................................................4
题型二： 判断函数的单调性.....................................................8
题型三： 函数单调性的应用——比较大小........................................11
题型四： 函数单调性的应用——解不等式........................................13
题型五： 函数单调性的应用——求参数..........................................16
题型六： 函数单调性的应用——求最值..........................................17
知识点总结
知识点一、函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数 减函数
一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果对于定义域D内某个区间I上的
任意两个自变量的值x，x
1 2
当x f ( x )，那么就
定义 就称函数f(x)在区间I上单调递增． 1 2 1 2
称函数f(x)在区间I上单调递减．
特别地，当函数f(x)在它的定义域
特别地，当函数f(x)在它的定义域上
上单调递增时，我们就称它是增函
单调递减时，我们就称它是减函数
数
图象描述自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严
格的)单调性， 区间 I 叫做y＝f(x)的单调区间．
知识点二、函数的最值
前提 设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足：
(1)∀x∈D，都有 f ( x )≤ M ； (1)∀x∈D，都有 f ( x )≥ M ；
条件
(2)∃x∈D，使得 f ( x ) ＝ M (2)∃x∈D，使得 f ( x ) ＝ M
0 0 0 0
结论 M为最大值 M为最小值
【常用结论与知识拓展】
1．函数单调性的等价定义
设任意x，x∈D(x≠x)，则(1)>0(或(x－x)[f(x)－f(x)]>0)⇔f(x)在D上单调递增；
1 2 1 2 1 2 1 2
(2)<0(或(x－x)[f(x)－f(x)]<0)⇔f(x)在D上单调递减．
1 2 1 2
2．函数f(x)＝ax＋的单调性
若a>0，b<0，则函数在区间(－∞，0)，(0，＋∞)上是增函数，若a<0，b>0，则函数在区
间(－∞，0)，(0，＋∞)上是减函数；若a>0，b>0，则函数在区间，上是减函数，在区间，
上是增函数．
特别地，“对勾函数”y＝x＋(a>0)的单调递增区间为(－∞，－)，(，＋∞)；单调递减区间
是[－，0)，(0，]．
3．与函数运算有关的单调性结论(1)函数f(x)与f(x)＋c(c为常数)具有相同的单调性．
(2)k>0时，函数f(x)与kf(x)单调性相同；k<0时，函数f(x)与kf(x)单调性相反．
(3)若f(x)恒为正值或恒为负值，则f(x)与具有相反的单调性．
(4)若f(x)，g(x)都是增(减)函数，则当两者都恒大于零时，f(x)·g(x)是增(减)函数；当两者都
恒小于零时，f(x)·g(x)是减(增)函数．
(5)在公共定义域内，增＋增＝增，减＋减＝减．
(6)复合函数单调性的判断方法：若两个简单函数的单调性相同，则这两个函数的复合函数
为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为减函数．简称“同
增异减”．
例题精讲
题型一：求单调区间
【要点讲解】(1)图象法:如果f(x)是以图象给出的,或者f(x)的图象易作出,可由函数图象直观
地写出它的单调区间.
【例1】函数 的单调递减区间为
A． B． C． D．
【解答】解： ，
由题意令 ，
由 ，解得： ，
故选： ．
【变式训练1】函数 的递增区间是 ， ．【解答】解：函数 的图象如图所示：
数形结合可得函数的增区间为 ， ，
故答案为： ， ．
【变式训练2】函数 的增区间为 ．
【解答】解：因为函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以函数的单调递增区间为 ，
故答案为： ．
【变式训练3】函数 的单调递减区间为 ．
【解答】解：由 ，得 ，
函数 的定义域为 ，
又内层函数 的对称轴方程为 ，则内函数在 上为增函数，且外层函数 为定义域内的减函数，
故复合函数 的单调递减区间为 ．
故答案为： ．
【变式训练4】函数 的单调增区间是 ， ．
【解答】解：解 ，得 ，或 ；
，解 得 ；
的单调增区间为 ， ．
故答案为 ， ．
【变式训练5】函数 的单调减区间为 ．
【解答】解：令
解得 ，
函数 的单调递减区间是 ．
故答案为： ．
【变式训练6】已知函数 ，则 的单调递增区间为 ．
【解答】解：当 时， 单调递减；
当 时， ，在 上单调递增，在 单调递减；
故答案为： ．【例2】求下列函数的单调区间：
（1） ；
（2） ．
【解答】解：（1） ，
画出图象如图所示：
由图象得，函数的单调递减区间为 和 ，
单调递增区间为 和 ．
（2） ，
画出函数的图象，如图所示：由图象得，函数的单调递增区间为 和 ，
单调递减区间为 和 ．
【变式训练1】画出下列函数的图象，并写出函数的单调区间：
（1） ； （2） ．
【解答】解：（1）先作出函数 的图像，再将其图像向下平移1个单位，
保留 轴上方的部分，将 轴下方的图像翻折到 轴上方，得到 的图像，
图像如下：
单调减区间 ，单调增区间为 ；
（2）先作出函数 的图像，保留 轴上方的部分，将 轴下方的图像翻折到 轴上
方，
再将其图像向上平移1个单位，得到 的图像，
图像如下：单调减区间 ，单调增区间为 ．
题型二：判断函数的单调性
【要点讲解】(1)定义法:一般步骤为取值→作差→变形→判断符号→得出结论.
(2)图象法:如果f(x)是以图象形式给出的,或者f(x)的图象易作出,则可由图象的上升或下降确
定单调性.
(3)导数法:先求导数,利用导数值的正负确定函数的单调性(或单调区间).
【例3】下列函数为增函数的是
A． B． C． D．
【解答】解：函数 与 在定义域内为减函数，不符合题意；
函数 在 上为减函数，不符合题意；
根据幂函数的性质知 为增函数．
故选： ．
【变式训练1】下列函数中，在区间 上为增函数的是
A． B． C． D．
【解答】解：当 时，
单调递减， 不符合题意；
不具有单调性，不符合题意；不具有单调性，不符合题意；
单调递增，符合题意．
故选： ．
【变式训练2】下列函数为增函数的是
A． B． C． D．
【解答】解： ，在 单调递减，故 错误，
在 上单调递增，故 正确；
在 上单调递减，故 错误，
在 上单调递减，故 错误．
故选： ．
【变式训练3】已知函数 同时满足性质：① ；②当 ， 时，
，则函数 可能为
A． B． C． D．
【解答】解：① 说明 为偶函数，② ，说明
函数在 上单调递减．
不满足②， 不满足①，
不满足②，因为 在 单调递减，在 单调递增．
对于 ，满足①，当 ， ，单调递减，也满足②．
故选： ．【例4】已知函数 ．
（1）若 ，求 ；
（2）用定义法证明：函数 在区间 上单调递减．
【解答】解：（1）由 ，得
故 ，解得 或 ；
（2）证：任取 ，
则 ，
，
， ，
故 ，即 ，
故 在区间 上单调递减．
【变式训练1】已知 ， ．
（1）解不等式 ；
（2）判断并证明函数 的单调性．
【解答】解：（1）由 ， ， ，得 ，
解得 ，
即不等式解集为 ；（2）在 ， 为减函数．证明如下：
设 ，则 ，
因为 ， ， ，
所以 ，
即 ．
所以 是 ， 上的减函数．
【变式训练2】已知函数 ，二次函数 满足 ，且不等式
的解集为 ．
（1）求 ， 的解析式；
（2）设 ，根据定义证明： 在 上为增函数．
【解答】解：（1）依题意， ，因此 ，
设二次函数 ，不等式 ，即为 ，
则 ，4是关于 的一元二次方程 的两个实根，且 ，
于是得 ，又 （1） ，解得 ， ， ，
于是得 ，
所以 ， ．
（2）证明：由（1）知， ，任取 ， ，且 ， ，
因为 ，有 ， ， ，则 ，即 ，
所以函数 在 上为增函数．
题型三：函数单调性的应用——比较大小
【要点讲解】将自变量转化到同一个单调区间内,然后利用函数的单调性解决
【例5】设函数 定义在实数集上，它的图象关于直线 对称，且当 时，
，则有
A． B．
C． D．
【解答】解：由题意可得，函数 在 ， 上是增函数，
再根据函数的图象关于直线 对称，可得函数在 ， 上是减函数．
故离直线 越近的点，函数值越小． ， ， ，
，
故选： ．
【变式训练1】函数 ，若 ， ， ，则
A． B． C． D．
【解答】解： 函数 ，函数 为增函数，
又 ，
则 ，
即 ，
故选： ．
【变式训练2】若实数 ， 满足 ，则
A． B． C． D．
【解答】解：令 ，可得定义域为 ，且在 上单调递
增，
，
即 ，可得 ，
，
可得 ， ，
，故 ， 对， 错，
又 和 的大小关系不确定，故 不成立．
故选： ．
【变式训练3】已知 是定义在 上的增函数， ， ，
，则 ， ， 的大小关系是
A． B． C． D．
【解答】解：因为函数 为 上单调增函数，故 ，而 ，
由于 是定义在 上的增函数，故 ，即 ．
故选： ．
【变式训练4】已知定义在 上的函数 满足 ，设 ，
， ，则 （a）， （b）， （c）的大小顺序是 （ c ） （ a ）
（ b ） ．（用“ ”号连接）
【解答】解：定义在 上的函数 满足 ，
则函数 在 上为增函数，
又由 ， ， ，即 ， ， ，
则有 ，则 （c） （a） （b）．
故答案为： （c） （a） （b）．
题型四：函数单调性的应用——解不等式
【要点讲解】往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉,使其转化为具体的不等式求解.此时,
应特别注意函数的定义域
【例6】设函数 在 上是奇函数，且在 上是减函数，若 ，
则 的取值范围是
A． B．
C． D．
【解答】解： 函数 在 上是奇函数则
函数 在 上是奇函数，且在 上是减函数，
解得 ，
的取值范围是： ，
故选： ．
【变式训练1】已知函数 在定义域 上是减函数，且 ，则
实数 的取值范围是
A． B． C． D．
【解答】解：因为函数 在定义域 上是减函数，且 ，
则有 ，
解得 ，
所以实数 的取值范围是 ．
故选： ．
【变式训练2】已知函数 是实数集 上的减函数，则不等式 的解集
为
A． B． C． D．
【解答】解：由函数 是实数集 上的减函数，又 ，
所以 ，解得 ．故选： ．
【变式训练3】已 知 函 数 关 于 直 线 对 称 ， 且 当 时 ，
恒成立，则满足 的 的取值范围是
A． B．
C． D．
【解答】解：由题知 关于直线 对称，
故 为偶函数， ，
当 时， 恒成立，
则 在 ， 上单调递增，
，
， ，
即 ，
解得： ．
故选： ．
【变式训练4】已知幂函数 的图象关于 轴对称，且在 上单调递
减，则满足 的 的取值范围为
A． B．
C． D．
【解答】解：幂函数 在 上单调递减，故 ，解得，
又 ，故 或2，
当 时， 的图象关于 轴对称，满足题意，
当 时， 的图象不关于 轴对称，舍去，故 ，
不等式化为 ，
函数 在 和 上单调递减，
故 或 或 ，解得 或 ．
故选： ．
题型五：函数单调性的应用——求参数
【要点讲解】通常要把参数视为已知数,依据函数的图象或单调性的定义,确定函数的单调区
间,与已知单调区间比较求参数.解决分段函数的单调性问题,要注意上、下段端点值的大小
关系
【例7】已知函数 在 ， 上是增函数，则实数 的取值范围是
， ．
【解答】解：设 ，根据对数函数及复合函数的单调性知：
在 ， 上是增函数，且 （2） ；
；
；
实数 的取值范围是 ， ．故答案为： ， ．
【变式训练1】已知 ，若函数 在区间 ， 上为减函数，则 的取值
范围是
A． B． C． D．
【解答】解：令 ，则 ，
所以 ，
所以 在 ， 上递减，
因为函数 在区间 ， 上为减函数，
所以 ，得 ．
故选： ．
【变式训练2】若函数 与函数 在区间 ， 上都是减函数，则
的取值范围是
A． ， ， B． ， ， C． D．
，
【解答】解： 函数 在区间 ， 上是减函数，
，
又 在区间 ， 上是减函数， ，故 的取值范围是 ，即 ， ，
故选： ．
【变式训练3】若函数 是 上的增函数，则 的取值范围为
A． B． C． ， D．
【解答】解：若函数 是 上的增函数，
则满足 ，解得 ，
即 的取值范围为 ， ．
故选： ．
题型六：函数单调性的应用——求最值
【要点讲解】利用函数单调性求最值是求函数最值的重要方法,特别是当函数图象不易作出
时
【例8】函数 在区间 ， 上的最小值是
A． B． C．1 D．
【解答】解：函数 在 ， 上减函数，
所以函数的最小值为： ．
故选： ．
【变式训练1】已知函数 ，则 在区间 的最大值为 ．
【解答】解： ，，
令 ，则 ，
在 ， 单调递减，在 ， 单调递增，
， ， ，
则 在区间 的最大值为 ．
故答案为： ．
【变式训练2】已知函数 是定义在 ， 上的奇函数，且当 ， 时，
，则 的最小值是
A． B． C．1 D．2
【解答】解：根据题意，当 ， 时， ，变形可得 ，
则有 ， ，
又由 是 ， 上的奇函数，
则 ，
故 的值域 ， ， ，
故 的最小值是 ．
故选： ．
【变式训练3】已知函数 ，则函数 有A．最小值1，无最大值 B．最大值 ，无最小值
C．最小值 ，无最大值 D．无最大值，无最小值
【解答】解：函数 的定义域为 ， ，
由 和 在 ， 均为增函数，
可得 在 ， 为增函数，
则 有最小值 ，无最大值．
故选： ．
【变式训练4】 的最大值是
A． B．2 C． D．4
【解答】解：由已知可得 ，解得 ，故函数 的定义域为 ，
，
令 ，则 ，且 ，
则 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
故函数 的最大值为 ．
故选： ．
【变式训练5】已知函数
（1）若函数 在 上是增函数，求实数 的取值范围
（2）求函数 在区间 ， 上的最小值．【解答】解：（1） ，
由 在 上是增函数，则 ，
即 ，
则 范围为 ， ；
（2）①当 时，在区间 ， 上， ，
其图象是开口向上的抛物线，对称轴是 ，
， ，
（1） ；
②当 时，在区间 ， 上， ，
；
③当 时，在区间 ， 上， ，
其图象是开口向下的抛物线，对称轴是 ，
当 即 时， （2） ；
当 即 时， （1） ．
综上， ．课后练习
一．选择题（共6小题）
1．下列函数中，在 ， 内为增函数的是
A． B． C． D．
【解答】解：对于 ， 在 ， 内为减函数，故 不符合题意；
对于 ， 在 内没有意义，故 不符合题意；
对于 ， 在 ， 内为增函数，故 符合题意；
对于 ， 在 ， 内没有意义，故 不符合题意．
故选： ．
2．下列函数中是减函数的为
A． B． C． D．
【解答】解：因为 在 单调递增，所以 选项错误，
因为 单调递增，所以 选项错误，
因为 底数大于1即为增函数，所以 选项错误．
故选： ．
3．下列函数中，在区间 上是减函数的是
A． B． C． D．【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于 ， ，是二次函数，在区间 上是增函数，不符合题意；
对于 ， ，是幂函数，在区间 上是增函数，不符合题意，
对于 ， ，是指数函数，在区间 上是增函数，不符合题意；
对于 ， ，是一次函数，在区间 上是减函数，符合题意；
故选： ．
4．已知定义在 ， 上的函数 满足对于任意的 ， ， ，且 ，都有
，则不等式 的解集为
A． ， B． ， C． ， D． ，
【解答】解： 对于任意的 ， ， ，且 ，都有 ，
时， ，
在 ， 上单调递减，
由 得， ，解得 ，
不等式 的解集为 ， ．
故选： ．
5．已知函数 是 上的增函数，函数 是 上的减函数，则下列函数一定是增函数
的是
A． B． C． D．【解答】解：对于 ， 不一定是增函数，例如 ， ，
为减函数，故 错误；
对于 ， 一定是增函数，任取 ， ，且 ，
由于 在 上是增函数， 在 上是减函数，
有 ， ，
，
， 函数 在 上是增函数，故 正确；
对于 ， 为减函数，任取 ， ，且 ，
由于 在 上是增函数， 在 上是减函数，
有 ， ，
，
， 函数 在 上是增函数，故 错误；
对于 ， 不一定是增函数，例如 ， ， 在 上不
是增函数，故 错误；
故选： ．
6．下列函数中，在区间 上是增函数的是
A． B． C． D．【解答】解：选项 ， 是开口向上，对称轴为 的二次函数，所以在 上
递减，在 上递增，不符合题意；
选项 ， 在 上是减函数，不符合题意；
选项 ， ，在 上是增函数，符合题意；
选项 ，因为 在 上是增函数，所以 在 上是减函数，不符合题
意．
故选： ．
二．多选题（共2小题）
7．已知 是定义在 ， 上的函数，根据下列条件，可以断定 是增函数的是
A．对任意 ，都有
B．对任意 ， ， ，且 ，都有
C．对任意 ， ， ，且 ，都有
D．对任意 ， ， ，且 ，都有
【解答】解：对于 ，设函数 为取整函数，对任意 ，都有 ，但函
数 不是增函数，不符合题意；
对于 ，若函数 为常函数，且满足对任意 ， ， ， ，都有
，但 不是增函数，不合题意；
对于 ，对任意 ， ， ，且 ，都有 ，即当 时，都有 ，所以 是增函数；
对于 ，对任意 ， ， ，设 ，若 ，
必有 ，所以函数 在 ， 上为增函数．
故选： ．
8．给出下列四个结论，其中所有正确结论的序号是
A．“ ”是“ ”的充分不必要条件
B．函数 ， 过定点
C．定义在 上的函数 满足 ，且 （3） ，则不等式
的解集为
D．已知 在区间 上为减函数，则实数 的取值范围是 ，
【解答】解：对于 选项：结合 可得 ， 可得出 ，而 得不出 ，
所以 是 的充分不必要条件，故 正确；
对于 选项： ，当 ， （2） ，即过定点 ，故 错误；
对于 选项：不妨设 ，则 ，两边同时除以 ，得
，
令 ， ，则 ，所以 在 单调递减，由 变形 ， ，即 （3），
得 ，故 正确；
对于 选项：因为 在区间 上为减函数，
由复合函数可知只需要 在 恒成立并且令 该二次
函数
在 单调递增即可，由二次函数图像可得 ，得 ，故 选项正确；
故选： ．
三．填空题（共4小题）
9．已知函数 在 ， 上的最大值为3，则实数 的值为 3 ．
【解答】解： ，
显然 ，
当 时，函数 在 ， 上单调递减，则 ，解得 ；
当 时，函数 在 ， 上单调递增，则 ，解得 （舍 ；
综上， ．
故答案为：3．
10．函数 的最小值是 ．
【解答】解： ．
当且仅当 ，即 ， 时等号成立．
函数 的最小值是 ．
故答案为： ．11．已知函数 ，则 的单调增区间为 ， ．
【解答】解：由 ，得 ，解得 ，
令 ，其对称轴方程为 ，图象是开口向下的抛物线，
则 在 ， 上为增函数，
又 为定义域内的增函数，
则 的单调增区间为 ， ．
故答案为： ， ．
12．若函数 单调递增，则实数 的取值范围是 ．
【解答】解： 函数 单调递增，
，解得 ，
所以实数 的取值范围是 ．
故答案为： ．
四．解答题（共3小题）
13．设函数 ．
（1）求不等式 的解集；
（2）若函数 的最小值为16，求实数 的值．
【解答】解：（1）当 时， ，解得：；
当 时， ，解得： ；
当 时， ，解得： ；
综上所述：不等式 的解集为 ．
（2） （当且
仅当 ，即 时取等号），
，解得 ．
14．已知 ，函数 的最大值为4，
（1）求实数 的值；
（2）若实数 ， ， 满足 ，求 的最小值．
【 解 答 】 解 ： （ 1 ）
，
， ，当 时取等号，
，又 的最大值为4， ，即 ．
（2）根据柯西不等式得： ，
，
当且仅当 ，即 ， ， 时等号成立．
的最小值为 ．
15．设 ．（1）求不等式 的解集 ；
（2）若函数 在 上最小值为 ，求实数 的值；
（3）若对任意的正实数 ，存在 ，使得 ，求实数 的最大值．
【解答】解：（1） ，
，即 ，也即
所以
若 ，该不等式无解；
若 ， ，所以 或 ；
若 ， ，所以
综上，当 时， ；当 时， ， ， ；当 时，
；
（2）若 ， 在 单调递增，故 在 上无最小值；
若 ， 在 单调递增，故 在 上无最小值；
若 ， ，
所以 ，解得 或 ，
所以 或 ；
（3）因为对任意的正实数 ，存在 ，使得 ，所以 ，
当 时， 在 上单调递增，所以 ，
所以 ，
当 ，即 ，由 ，解得 ，
当 时， ，即 （1） ，所以 ，
当 时， ，即 ，所以 ，
所以 ，
所以实数 的最大值为 ．
