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第二十八章 锐角三角函数（单元重点综合测试）
一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1．在 中， 为最大角，下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意可得 ，画出图形，根据三角函数的定义即可求解．
【详解】解：依题意， ，如图所示，
，故A选项错误，
，故B选项正确，
，故C选项错误，
，故D选项错误，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角函数的定义，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．
2．（2023上·福建泉州·九年级校考期中）已知在 中， ， ， ，则 的
值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了求余弦，勾股定理，先根据勾股定理求得斜边的长，进而根据余弦的定义求解是解题的关键．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选B．
3．（2023下·河北承德·九年级统考阶段练习）如图，是嘉琪用带有刻度的直尺在数轴上作图的方法，图中
线段a与直尺垂直，线段b与数轴垂直，则点D表示的数是（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【分析】利用等角的余弦值相等列等式即可作答．
【详解】如图，
由图可知： ， ， ，
∵线段a与直尺垂直，
∴ ，
∵线段b与数轴垂直，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴点D表示的数是 ，
故选：B．
【点睛】本题考查了角的余弦值的知识，掌握余弦的定义是解答本题的关键．
4．（2022上·山东济南·九年级统考期末）如图，某水库大坝的横断面是梯形 ，坝高 ，斜坡
的坡比为 ，则斜坡 （ ）
A．13m B．8m C．18m D．12m
【答案】A
【分析】根据斜坡BC的坡比为i=5：12和坝高 ，如图可求出BF的长度，在Rt BCF中根据勾股
定理可求出BC的长度． △
【详解】如图，过点C作CF⊥AB，垂足为F．那么，
∵坝高 ，CF⊥AB，
∴DE=CF=5cm
又斜坡 的坡比为
∴BF=12cm，
在Rt BCF中
BC=
=
=13cm
【点睛】本题考查的直角三角形坡度的问题.解题的关键是理解坡度的定义．
5．（2022上·安徽滁州·九年级校联考阶段练习）正方形网格中， 如图放置，则 的值为( )
A． B． C．1 D．
【答案】B
【分析】连接 ， ，根据勾股定理可以得到 ，则是 等腰三角形底边上的中线，根
据三线合一定理，可以得到 是直角三角形．根据三角函数的定义就可以求解．
【详解】如图，连接 ， ，设正方形的网格边长是 ，则根据勾股定理可以得到：
， ，
在 中，由等腰三角形三线合一得： ，
则 ，
，
故选：B．
【点睛】本题考查锐角三角函数的概念，注意到图中的等腰三角形是解决本题的关键．
6．（2022上·安徽合肥·九年级合肥市第四十八中学校考期末）如图， 是半圆 的直径，弦相交于点P，那么 （ ）
A． B． C． D．以上都不对
【答案】B
【分析】由图，可证 ，得 ．连接 ，则 ，得 ．
【详解】解：由图知，
∴ ．
∴ ．
连接 ，则 ，
∴ ．
故选：B
【点睛】本题考查圆周角定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数；添加辅助线，构造直角三角形
是解题的关键．
7．（2023上·湖南永州·九年级校联考期中）2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场
成功着陆，神舟十三号载人飞行任务收得圆满成功，中国航天，又站在了一个新的起点．如图2021年10
月16日，神舟十三号载人飞船从地面O处成功发射，当飞船到达点A时，地面D处的雷达站测得
米，仰角为 ，3秒后，飞船直线上升到达点B处，此时地面C处的雷达站测得B处的仰角为
．点O，C，D在同一直线上，已知C，D两处相距460米，则飞船从A到B处的平均速度为多少
． 结果精确到1米；参考数据： ，A．332 B．333 C．334 D．335
【答案】D
【分析】本题考查了解直角三角形的应用 仰角俯角问题,勾股定理．根据题意可得： ，先在
中，利用含 角的直角三角形的性质求出 ， 的长，从而求出 的长，然后在
中，利用锐角三角函数的定义求出 的长，从而求出 的长，进行计算即可解答．熟练掌握锐角三角函
数的定义是解题的关键．
【详解】解：由题意得： ，
在 中， 米， ，
米 ，
米 ，
米，
米，
在 中， ，
米，
米，
飞船从 到 处的平均速度 ．
故选：D．
8．（2023上·山东潍坊·九年级统考期中）如图，四边形 为矩形纸片， ，现把矩形纸
片折叠，使得点 落在 边上的点 处（不与 重合），点 落在 处，此时， 交 边于点 ，
设折痕为 ．若 ，则 的值为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、全等三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数与解直
角三角形等知识，设 ，由矩形的性质得 ，由折叠得 ，
，则 ，因为 ，所以 ，
，可求得 ，由勾股定理得 ，求得符合题意的 值为3，则
， ，所以 ，于是得到问题的答案．正确地找到全等三角形的对应边并且用
代数式表示线段 、 、 的长是解题的关键．
【详解】解：设 ，
四边形 是矩形， ， ，
，
由折叠得 ， ，
，
，
， ，
，且 ，
，
，
，解得 ， （不符合题意，舍去），
， ，
，
故选： ．
9．（2023下·吉林长春·九年级校考期中）某兴趣小组开展了“笔记本电脑的张角大小、顶部边缘离桌面的
高度与用眼舒适度关系”的实践探究活动，如图，当张角 时，顶部边缘A处离桌面的高度AC
的长为 ，此时用眼舒适度不太理想，小组成员调整张角大小继续探究，最后发现当张角
（点 是点 的对应点），用眼舒适度较为理想，则此时顶部边缘 处离地面的高度 为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据 ，得到 ，再根据 ，得到
，在 中根据三角函数即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
由题意得： ，
∵ ，
∴ ，在 中，
∴此时顶部边缘 处离桌面的高度 的长约为 ，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．
10．（2023·山东日照·校考三模）如图，点A、B、C在 上，且AB经过点O， ， ，动点
D在AB上，过点D作DEAB，交折线 于点E，设 ， 的面积为y，则下列能大致
反映y与x函数关系的图象是（ ）
A． B． C．
D．
【答案】D
【分析】可求 ，①点 在 上时，可求 ，从而可求面积解析式；②当点 在 上时，
可求 ，从而可求面积解析式；进而可求解．
【详解】 经过点 ，
，，
，
①如图，点 在 上时，
，
，
，
，
，
；
图象为过原点的开口向上的一段抛物线；
②当点 在 上时，连接， ，
，
；
图象为一段开口向下的抛物线；
故选： ．
【点睛】本题考查了三角函数，二次函数在动点问题与面积问题中的应用，掌握三角函数的定义，求出点
在 上和点 在 上的函数解析式是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上
11．一个斜坡的坡角为 度，它的坡比 ．
【答案】
【分析】坡比，即坡面的垂直高度 和水平宽度的比，即坡角的正切值，由此即可求解．
【详解】解：如图所示， ， ， ，
∴设 ，则 ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查坡比的概念及计算方法，掌握其概念和计算方法是解题的关键．12．若 为锐角， ，则 .
【答案】
【详解】∵ ，tan60o= ,
∴ = ,
又∵ 为锐角,
∴a= ．
故答案是 ．
13．（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级校考阶段练习）如图，渔船向东航行，8点到达O处，看到灯塔A在
其北偏东 方向，距离12海里，10点到达B处，看到该灯塔在其正北方向，则渔船每小时航行
海里．
【答案】
【分析】利用锐角三角函数求出 的长，利用路程除以时间求出速度即可．
【详解】解：由题意，得： 海里，
∴ 海里；
∴渔船每小时航行 海里；
故答案为： ．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用．熟练掌握锐角三角函数的定义，是解题的关键．
14．（2023·上海嘉定·统考二模）如图，在 中， ， ， ，以点C为圆心，
R为半径作圆，使A、B两点一点在圆内，一点在圆外，那么R的取值范围是 ．【答案】 /
【分析】求出线段 、 ，再根据点与圆得位置关系判断即可．
【详解】解：∵在 中， ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵以点C为圆心，R为半径作圆，使A、B两点一点在圆内，一点在圆外，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系，解直角三角形，勾股定理，解题的关键是根据题意求出
， ．
15．（2022上·广东广州·九年级广州大学附属中学校考自主招生）如图，在正方形 中，点E，F分
别是 ， 上的点， 与 相交于点G，连接 交 于点H．若 ， ， ，
则 的面积为 ．
【答案】
【分析】过点H作 ，垂足为M，根据正方形的性质得 ， ，
， ，根据勾股定理得 ，根据 得 ，利用 证
明 ，则 ，根据 得 ，则 ，根据 得是 的垂直平分线，则 ， ， ，根据 得 ，
根据 得 ，则 ，在 中， ， ，
，进行计算得 ，即可得．
【详解】解：如图所示，过点H作 ，垂足为M，
∵四边形 是正方形，
∴ ， ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是 的垂直平分线，
∴ ，∴ ，
，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ， ， ， ，
即 ，
，
，
，
∴ 的面积为：
=
= ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数，解题的关键是
掌握这些知识点，构造辅助线．
16．（2022下·湖北武汉·九年级统考自主招生）如图，在四边形 中， ，E是线段 上的一
动点， ．
（1）当 时， ；（2）当 时，点E到 的距离是 ．
【答案】 21
【分析】（1）由题意得 ，证明 ，则 ，即 ，解得， ；
（2）由题意得 ，如图，过 作 于 ， 于 ，由（1）得 ，则
，即 ，设 ， ，则 ， ， ，
， ， ， ， ，
由勾股定理得， ，即 ，整理得， ，由勾股定
理得， ，即 ，整理得， ，则
，设点E到 的距离为 ，由 ，可得 ，计
算求解即可．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，解得， ，
故答案为：21；
（2）解：∵ ，∴ ，
如图，过 作 于 ， 于 ，
由（1）得 ，
∴ ，即 ，
设 ， ，
则 ， ，
∴ ， ， ， ，
∴ ， ，
由勾股定理得， ，即 ，整理得， ，
由勾股定理得， ，即 ，整理得， ，
∴ ，
设点E到 的距离为 ，
∵ ，
∴ ，
解得， ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，正弦，余弦，勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
三、解答题（本大题共7小题，共62分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2023上·山东青岛·九年级统考期中）计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)0
【分析】本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值．
（1）把特殊角的三角函数值代入进行计算，即可解答；
（2）把特殊角的三角函数值代入进行计算，即可解答．
【详解】（1）解：
；
（2）．
18．（2023上·湖南岳阳·九年级岳阳市弘毅新华中学校考阶段练习）如图，在矩形 中， ，
垂足为点E，设 ，且 ， ．求 的长．
【答案】 ．
【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，同角的余角相等的性质．由已知条件
可知： ， ，在 中， ，由此可以求出
，然后根据勾股定理求出 ，最后在 中，利用余弦函数的定义即可求出 ．
【详解】解： 四边形 是矩形， ，
， ，
，
，
在 中， ，即 ，
，
根据勾股定理得： ，
在 中， ，即 ，
．
19．（2023上·江苏无锡·九年级校考阶段练习）如图，已知 的直径 ，点 是弦 上一点，连
接 ， ， ，求：(1)弦 的长；
(2) 的正切值．
【答案】(1)8
(2)
【分析】（1）作 于 ，则 ，由 得到 ，
得到 ，设 ，则 ， ，由 得到 ，由勾股定理得
，求出 的值即可得到答案；
（2）由（1）得： ， ， ，根据正切的定义进行计算即可得到答案．
【详解】（1）解：如图，作 于 ，则 ，
，
，
，
，
设 ，则 ，
，
，
是 的弦， ，
，
，且 是 的直径，
，在 中， ，
，
解得： 或 （不符合题意，舍去），
， ，
；
（2）解：由（1）得： ， ， ，
．
【点睛】本题考查了垂径定理、等腰直角三角形的性质、勾股定理、正切的定义，熟练掌握以上知识点，
添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键．
20．（2023上·陕西西安·九年级西安市铁一中学校考期中）如图，在平行四边形 中，对角线 的
垂直平分线分别与 ， ， 相交于点 ， ， ．
(1)求证：四边形 是菱形；
(2)若 ， ，且 ，求 ．
【答案】(1)见详解；
(2) ．
【分析】本题考查了菱形的判定和性质，勾股定理，三角函数等知识点．
（1）先根据平行四边形的性质得到 ， ，再证明 得到 ，根据对
角线互相平分的四边形为平行四边形得到四边形 为平行四边形，接着根据线段垂直平分线的性质得
，然后根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可得到结论；
（2）利用菱形对角线求出菱形面积和边长，再根据 求出 即可．
【详解】（1）证明： 四边形 为平行四边形，
∴ ，
，垂直平分 ，
， ，
，
，
在 和 中
，
，
，
四边形 为平行四边形，
垂直平分 ，
四边形 是菱形；
（2）解：如图，作 垂足为 ，
， ，四边形 是菱形，
， ，
，
，
，
，
在 中， ，
，
．
21．（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级校考阶段练习）阅读材料完成下面问题：求一个锐角的三角函数值．我们往往需要找出（或构造出）一个直角三角形，观察（图1）发现 并不在直角三角形中，无法直
接求其三角函数值．此类问题我们常常利用网格画平行线等方法解决，例如：连接格点M，N，可得
，则 ，连接 ，那么 就变换到 中．
(1)直接写出图一中 的值为__________；
(2)如图2，在边长为1的正方形网格中， 与 相交于点P，求 的值；
(3)如图3， ， ，点M在 上，且 ，延长 到N，使 ，连接 交
的延长线于点P，用上述方法构造网格求 的值．
【答案】(1)
(2)
(3)1
【分析】（1）连接格点M，N，可得 ，则 ，连接 ，再利用定义求解即可．
（2）如图2中，取格点D，连接 ， ，证明 ， 是等腰直角三角形，从而可
得答案．
（3）如图取格点H，连接 、 ，构造等腰直角三角形解决问题即可；
【详解】（1）解：如图1中， 连接 ， ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：2；
（2）如图2中，取格点D，连接CD，DM．
∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
同理可得： ， ， ，
∴ ， ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ．
（3）如图3中，如图取格点H，连接 、 ．同理可得：四边形 为平行四边形，
∴ ，
∴ ，
同理可得： ， ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查三角形综合题、平行线的性质、勾股定理及逆定理的应用、平行四边形的判定和性质，
锐角三角函数的定义等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，学会用转化的思想思考问
题．
22．（2023上·山东济南·九年级济南育英中学校考期中）遮阳伞可以遮住灼灼骄阳，站在伞下会凉爽很多，
如图①，把遮阳伞（伞体的截面示意图为 ）用立柱 固定在地面上的点O处，此时 垂直于地面
，遮阳伞顶点A与P重合．需要遮阳时，向上调节遮阳伞立柱 上的滑动调节点 ，打开支架 ，
伞面撑开如图②，其中， ， ， 为 中点， ，根据生活经验，当太阳光
线与伞口 垂直时，遮阳效果最佳．（图中的虚线就是太阳光线，同一时刻的太阳光线是平行的）(1)某天上午10点，太阳光线与地面的夹角为 ，如图③，为使遮阳效果最佳，滑动调节点 ，此时立柱
与支梁 夹角_________度．
(2)在（1）的情况下，若 为遮阳伞落在地面上的阴影如图④所示，求出这个阴影的长度．
(3)如图⑤，正午时分，太阳光与地面的夹角约为 ，滑动调节点 到 ，使遮阳效果最佳，此对调节点
滑动的距离约为多少？（ ， ， ，结果精确到 ）
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意可得 ， ，由 可得 ，从而得到
，由 即可得到柱 与支梁 夹角度数；
（2）过点 作 交 于点 ，过点 作 交 于点 ，可得四边形 为平行
四边形，根据 ， 可得 ，再 利用 可求出 的长度，即可
得到阴影的长度；（3）过点 作 交 于点 ，根据题可求出 ，由 ，
， 即可得到调节点 滑动的距离；
【详解】（1）解：∵遮阳效果最佳，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
，
∵ 为 中点， ，
∴ ， ，
∴立柱 与支梁 夹角 度；
（2）解：如图，过点 作 交 于点 ，过点 作 交 于点 ，
∵ ， ，
∴ ， ，
，
∵ ， ， ，∴ ，
∵ ，
∴四边形 为平行四边形，
∴ ,
∴阴影的长度为 ．
（3）如图，过点 作 交 于点 ，
∵遮阳效果最佳，即 ， ，
∴由四边形内角和知： ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
，
．
∴调节点 滑动的距离约为 ．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握直角三角形的三角函数值，平行四边形的判定及性质是解决本题的关键．
23．（2023上·山西运城·九年级统考期中）综合与实践
【模型探索】如图1，在正方形 中，点E，F分别在边 ， 上，若 ，则 与 的数
量关系为________．
【模型应用】如图2，将边长为2的正方形 折叠，使点B落在 边的中点E处，点A落在点F处，
折痕交 于点M，交 于点N，则线段 的长度是_________
【知识迁移】如图3，在矩形 中， ，点E在边 上，点P，Q分别在边 ， 上，
且 ，则 的值为________
【综合应用】如图4，正方形 的边长为12，点F是 上一点，将 沿 折叠，使点B落在
点 处，连接 并延长交 于点E．若 ，求 的长度．
【答案】（1） （2） （3） （4）
【分析】（1）利用 证明 即可．
（2）过点M作 ，交 于点G，连接 ，交 于点H，利用 证明 即
可．
（3）过点Q作 ，证明 计算即可．
（4）根据（1）得到 ， ，利用三角函数求得 得长度即可．
【详解】（1）∵正方形 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
（2）过点M作 ，交 于点G，连接 ，交 于点H，交 于点P．
∵正方形 ， ，
∴ ， ，四边形 是矩形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ．
∵边长为2的正方形 折叠，使点B落在 边的中点E处，
∴ ,
∴ ．
故答案为： ．
(3)过点Q作 ，证明
∵矩形 ， ，
∴ ， ，矩形 ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ,
故答案为： ．
(4) ∵正方形 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ．
【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理，三
角函数的应用，矩形的判定和性质，熟练掌握三角形相似的判定和性质，三角函数的应用是解题的关键．
