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五年（2019-2023）年高考真题分项汇编
专题 02 函数的基本概念与基本初等函数 I
考点一 函数的值域
1．（2019•上海）下列函数中，值域为 ， 的是
A． B． C． D．
【解析】 ， 的值域为 ，故 错
， 的定义域为 ， ，值域也是 ， ，故 正确．
， 的值域为 ，故 错
， 的值域为 ， ，故 错．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分1 百】故选： ．
2．（2023•上海）已知函数 ，则函数 的值域为 ．
【解析】当 时， ，
当 时， ，
所以函数 的值域为 ， ．
故答案为： ， ．
3．（2022•上海）设函数 满足 对任意 ， 都成立，其值域是
，已知对任何满足上述条件的 都有 ， ，则 的取值范围
为 ．
【解析】法一：令 ，解得 （负值舍去），
当 时， ，
当 时， ，
且当 时，总存在 ，使得 ，
故 ，
若 ，易得 ，
所以 ，
即实数 的取值范围为 ；
法二：原命题等价于任意 ，
所以 恒成立，
即 恒成立，又 ，
所以 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分2 百】即实数 的取值范围为 ．
故答案为： ．
考点二 函数的图象与图象的变换
4．（2021•浙江）已知函数 ， ，则图象为如图的函数可能是
A． B．
C． D．
【解析】由图可知，图象关于原点对称，则所求函数为奇函数，
因为 为偶函数， 为奇函数，
函数 为非奇非偶函数，故选项 错误；
函数 为非奇非偶函数，故选项 错误；
函数 ，则 对 恒成立，
则函数 在 上单调递增，故选项 错误．
故选： ．
5．（2020•浙江）函数 在区间 ， 上的图象可能是
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分3 百】A． B．
C． D．
【解析】 ，
则 ，
为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除 ， ，
当 时， ，故排除 ，
故选： ．
6．（2019•浙江）在同一直角坐标系中，函数 ， 且 的图象
可能是
A． B．
C． D．
【解析】由函数 ， ，
当 时，可得 是递减函数，图象恒过 点，
函数 ，是递增函数，图象恒过 ， ；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分4 百】当 时，可得 是递增函数，图象恒过 点，
函数 ，是递减函数，图象恒过 ， ；
满足要求的图象为：
故选： ．
考点三．复合函数的单调性
7．（2023•新高考Ⅰ）设函数 在区间 单调递减，则 的取值范围是
A． ， B． ， C． ， D． ，
【解析】设 ，对称轴为 ，抛物线开口向上，
是 的增函数，
要使 在区间 单调递减，
则 在区间 单调递减，
即 ，即 ，
故实数 的取值范围是 ， ．
故选： ．
8．（2020•海南）已知函数 在 上单调递增，则 的取值范围是
A． B． ， C． D． ，
【解析】由 ，得 或 ．
令 ，
外层函数 是其定义域内的增函数，
要使函数 在 上单调递增，
则需内层函数 在 上单调递增且恒大于0，
则 ， ， ，即 ．
的取值范围是 ， ．
故选： ．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分5 百】考点四 函数的最值及其几何意义
9．（2021•新高考Ⅰ）函数 的最小值为 ．
【解析】法一、函数 的定义域为 ．
当 时， ，
此时函数 在 ， 上为减函数，
当 时， ，
则 ，
当 ， 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
在 上是连续函数，
当 时， 单调递减，当 时， 单调递增．
当 时 取得最小值为 （1） ．
故答案为：1．
法二、令 ， ，
分别作出两函数的图象如图：
由图可知， （1） ，
则数 的最小值为1．
故答案为：1．
10 ． （ 2019• 浙 江 ） 已 知 ， 函 数 ． 若 存 在 ， 使 得
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分6 百】，则实数 的最大值是 ．
【解析】存在 ，使得 ，
即有 ，
化为 ，
可得 ，
即 ，
由 ，
可得 ，可得 的最大值为 ．
故答案为： ．
考点五 函数奇偶性的性质与判断
11．（2023•新高考Ⅱ）若 为偶函数，则
A． B．0 C． D．1
【解析】由 ，得 或 ，
由 是偶函数，
，
得 ，
即 ，
，得 ，
得 ．
故选： ．
12．（2021•上海）以下哪个函数既是奇函数，又是减函数
A． B． C． D．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分7 百】【解析】 在 上单调递减且为奇函数， 符合题意；
因为 在 上是增函数， 不符合题意；
， 为非奇非偶函数， 不符合题意；
故选： ．
13．（2019•上海）已知 ，函数 ，存在常数 ，使
为偶函数，则 的值可能为
A． B． C． D．
【解析】由于函数 ，存在常数 ，
为偶函数，
则： ，
由于函数为偶函数，
故： ，
所以： ，
当 时．
故选： ．
14．（2021•新高考Ⅱ）写出一个同时具有下列性质①②③的函数 ．
① ；②当 时， ；③ 是奇函数．
【 解 析 】 时 ， ； 当 时 ，
； 是奇函数．
故答案为： ．
另解：幂函数 即可满足条件①和②；偶函数即可满足条件③，
综上所述，取 即可．
15．（2021•新高考Ⅰ）已知函数 是偶函数，则 ．
【解析】函数 是偶函数，
为 上的奇函数，
故 也为 上的奇函数，
所以 ，
所以 ．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分8 百】法二：因为函数 是偶函数，
所以 ，
即 ，
即 ，
即 ，
所以 ．
故答案为：1．
16．（2023•上海）已知 ， ，函数 ．
（1）若 ，求函数的定义域，并判断是否存在 使得 是奇函数，说明理由；
（2）若函数过点 ，且函数 与 轴负半轴有两个不同交点，求此时 的值和 的
取值范围．
【解析】（1）若 ，则 ，
要使函数有意义，则 ，即 的定义域为 ，
是奇函数， 是偶函数，
函数 为非奇非偶函数，不可能是奇函数，故不存在实数 ，使得 是
奇函数．
（2）若函数过点 ，则 （1） ，得 ，
得 ，
此时 ，若数 与 轴负半轴有两个不同交点，
即 ，得 ，当 时，有两个不同的交点，
设 ，
则 ，得 ，得 ，即 ，
若 即 是方程 的根，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分9 百】则 ，即 ，得 或 ，
则实数 的取值范围是 且 且 ，
即 ， ， ．
考点六 奇偶性与单调性的综合
17．（2021•新高考Ⅱ）已知函数 的定义域为 不恒为 ， 为偶函数，
为奇函数，则
A． B． C． （2） D． （4）
【解析】 函数 为偶函数，
，
为奇函数，
，
用 替换上式中 ，得 ，
， ，即 ，
故函数 是以4为周期的周期函数，
为奇函数，
，即 ，
用 替换上式中 ，可得， ，
关于 对称，
又 （1） ，
（1） ．
故选： ．
18．（2020•海南）若定义在 的奇函数 在 单调递减，且 （2） ，则满足
的 的取值范围是
， ， B． ， ，
A．
C． ， ， D． ， ，
【解析】 定义在 的奇函数 在 单调递减，且 （2） ， 的大致图象
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分10百】如图：
在 上单调递减，且 ；
故 ；
当 时，不等式 成立，
当 时，不等式 成立，
当 或 时，即 或 时，不等式 成立，
当 时，不等式 等价为 ，
此时 ，此时 ，
当 时，不等式 等价为 ，
即 ，得 ，
综上 或 ，
即实数 的取值范围是 ， ， ，
故选： ．
考点七 分段函数的应用
19．（2022•上海）若函数 ，为奇函数，求参数 的值为 ．
【解析】 函数 ，为奇函数， ，
（1）， ，即 ，求得 或 ．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分11百】当 时， ，不是奇函数，故 ；
当 时， ，是奇函数，故满足条件，
综上， ，
故答案为：1．
20．（2022•浙江）已知函数 则 ；若当 ，
时， ，则 的最大值是 ．
【解析】 函数 ， ，
；
作出函数 的图象如图：
由图可知，若当 ， 时， ，则 的最大值是 ．
故答案为： ； ．
考点八 抽象函数及其应用
21．（2022•新高考Ⅱ）已知函数 的定义域为 ，且 ，
（1） ，则
A． B． C．0 D．1
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分12百】【解析】令 ，则 ，即 ，
， ，
，则 ，
的周期为6，
令 ， 得 （1） （1） （1） ，解得 ，
又 ，
（2） （1） ，
（3） （2） （1） ，
（4） （3） （2） ，
（5） （4） （3） ，
（6） （5） （4） ，
，
（1） （2） （3） （4）
．
故选： ．
22．【多选】（2023•新高考Ⅰ）已知函数 的定义域为 ， ，
则
A． B． （1）
C． 是偶函数 D． 为 的极小值点
【解析】由 ，
取 ，可得 ，故 正确；
取 ，可得 （1） （1），即 （1） ，故 正确；
取 ，得 （1） ，即 （1） ，
取 ，得 ，可得 是偶函数，故 正确；
由上可知， （1） ，而函数解析式不确定，
不妨取 ，满足 ，
常数函数 无极值，故 错误．
故选： ．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分13百】23．（2020•上海）已知非空集合 ，函数 的定义域为 ，若对任意 且
，不等式 恒成立，则称函数 具有 性质．
（1）当 ，判断 、 是否具有 性质；
（2）当 ， ， ， ，若 具有 性质，求 的取值范围；
（3）当 ， ， ，若 为整数集且具有 性质的函数均为常值函数，求所有
符合条件的 的值．
【解析】（1） 为减函数，
，
具有 性质；
为增函数，
，
不具有 性质；
（2）依题意，对任意 ， 恒成立，
为增函数（不可能为常值函数），
由双勾函数的图象及性质可得 ，
当 时，函数单调递增，满足对任意 ， 恒成立，
综上，实数 的取值范围为 ， ．
（3） 为整数集，具有 性质的函数均为常值函数，
当 时，取单调递减函数 ，两个不等式恒成立，但 不为常值函数；
当 为正偶数时，取 ，两个不等式恒成立，但 不为常值函数；
当 为正奇数时，根据对任意 且 ，不等式 恒成立，
可得 ，
则 ，所以 为常值函数，
综上， 为正奇数．
考点九 函数的周期性
24．（2019•上海）已知函数 周期为1，且当 时， ，则 ．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分14百】【解析】因为函数 周期为1，所以 ，
因为当 时， ，所以 ，
故答案为： ．
考点十 函数恒成立问题
25．（2021•上海）已知 ， ，若对任意的 ， ，则有定义：
是在 关联的．
（1）判断和证明 是否在 ， 关联？是否有 ， 关联？
（2）若 是在 关联的， 在 ， 时， ，求解不等式：
．
（3）证明： 是 关联的，且是在 ， 关联的，当且仅当“ 在 ， 是关
联的”．
【解析】（1） 在 ， 关联，在 ， 不关联，
任取 ， ，则 ， ， 在 ， 关联；
取 ， ，则 ， ，
， ， 在 ， 不关联；
（2） 在 关联， 对于任意 ，都有 ，
对任意 ，都有 ，
由 ， 时， ，得 在 ， 的值域为 ， ，
在 ， 的值域为 ， ，
仅在 ， 或 ， 上有解，
， 时， ，令 ，解得 ，
， 时， ，令 ，解得 ，
不等式 的解为 ， ，
（3）证明：①先证明： 是在 关联的，且是在 ， 关联的 在 ， 是
关联的，
由已知条件可得， ，
， ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分15百】又 是在 ， 关联的，
任意 ， 成立，
若 ，
，
，即 ，
，
是 ， 关联，
②再证明： 在 ， 是关联的 是在 关联的，且是在 ， 关联的，
在 ， 是关联的， 任取 ， ，都有 ， 成立，
即满足 ，都有 ，
下面用反证法证明 ，
若 ，则 ，与 在
， 是关联的矛盾，
若 ，而 在 ， 是关联的，则 ，矛盾，
成立，即 是在 关联的，
再证明 是在 ， 关联的，
任取 ， ，则存在 ，使得任取 ， ，
，
， ，
， ， ，
是在 ， 关联的；
综上所述， 是 关联的，且是在 ， 关联的，当且仅当“ 在 ， 是关联
的”，
故得证．
考点十一 对数的运算性质
26．（2022•浙江）已知 ， ，则
A．25 B．5 C． D．
【解析】由 ， ，
可得 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分16百】则 ，
故选： ．
考点十二 对数值大小的比较
27．（2022•新高考Ⅰ）设 ， ， ，则
A． B． C． D．
【解析】构造函数 ， ，
则 ， ，
当 时， ，
时， ， 单调递减；
时， ， 单调递增，
在 处取最小值 （1） ，
， 且 ，
， ， ；
， ，
， ；
设 ，
则 ，
令 ， ，
当 时， ，函数 单调递减，
当 时， ，函数 单调递增，
， 当 时， ，
当 时， ， 单调递增，
， ， ，
．
故选： ．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分17百】28．（2021•新高考Ⅱ）已知 ， ， ，则下列判断正确的是
A． B． C． D．
【解析】 ， ，
．
故选： ．
考点十三 反函数
29．（2021•上海）已知 ，则 （1） ．
【解析】因为 ，
令 ，即 ，解得 ，
故 （1） ．
故答案为： ．
30．（2020•上海）已知函数 ， 是 的反函数，则 ．
【解析】由 ，得 ，
把 与 互换，可得 的反函数为 ．
故答案为： ．
考点十四 函数与方程的综合运用
31 ． （ 2019• 浙 江 ） 设 ， ， 函 数 若 函 数
恰有3个零点，则
A． ， B． ， C． ， D． ，
【 解 析 】 当 时 ， ， 得 ；
最多一个零点；
当 时， ，
，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分18百】当 ，即 时， ， 在 ， 上递增， 最
多一个零点．不合题意；
当 ，即 时，令 得 ，函数递增，令 得 ， ，
函数递减；函数最多有2个零点；
根据题意函数 恰有3个零点 函数 在 上有一个零
点，在 ， 上有2个零点，
如右图：
且 ，
解得 ， ， ．
，
故选： ．
32．（2019•上海）已知 ， 与 轴交点为 ，若对于
图象上任意一点 ，在其图象上总存在另一点 、 异于 ，满足 ，且
，则 ．
【解析】由题意，可知：
令 ，解得： ，
点 的坐标为： ， ．
则 ．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分19百】大致图象如下：
由题意，很明显 、 两点分别在两个分段曲线上，
不妨设点 在左边曲线上，点 在右边曲线上．
设直线 的斜率为 ，则 ．
联立方程： ，
整理，得： ．
．
，
．
再将 代入第一个方程，可得：
．
点 的坐标为： ， ．
．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分20百】，
直线 的斜率为 ，则 ．
同理类似求点 的坐标的过程，可得：
点 的坐标为： ．
，及 的任意性，可知：
，解得： ．
故答案为： ．
33．（2019•上海）已知 ， ．
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）若 在 ， 时有零点，求 的取值范围．
【解析】（1） ．
当 时， ．
所以： 转换为： ，
即： ，
解得： ．
故： ．
（2）函数 在 ， 时， 有零点，
即函数在该区间上有解，
即： ，
即求函数 在 ， 上的值域，
由于： 在 ， 上单调递减，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分21百】故： ， ，
所以： ，
故：
考点十五 根据实际问题选择函数类型
34．（2020•山东）基本再生数 与世代间隔 是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生
数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺
炎疫情初始阶段，可以用指数模型： 描述累计感染病例数 随时间 （单位：
天）的变化规律，指数增长率 与 ， 近似满足 ．有学者基于已有数据估计
出 ， ．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时
间约为
A．1.2天 B．1.8天 C．2.5天 D．3.5天
【解析】把 ， 代入 ，可得 ， ，
当 时， ，则 ，
两边取对数得 ，解得 ．
故选： ．
35．【多选】（2023•新高考Ⅰ）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强
弱，定义声压级 ，其中常数 是听觉下限阈值， 是实际声压．下
表为不同声源的声压级：
声源 与声源的 声压级
距离
燃油汽车 10
混合动力汽 10
车
电动汽车 10 40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车 处测得实际声压分别为 ， ， ，
则
A． B． C． D．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分22百】【解析】由题意得， ， ，
， ，
， ，
可得 ， 正确；
， 错误；
， 正确；
， ， 正确．
故选： ．
36．（2023•上海）为了节能环保、节约材料，定义建筑物的“体形系数” ，其中
为建筑物暴露在空气中的面积（单位：平方米）， 为建筑物的体积（单位：立方米）．
（1）若有一个圆柱体建筑的底面半径为 ，高度为 ，暴露在空气中的部分为上底面和
侧面，试求该建筑体的“体形系数” ；（结果用含 、 的代数式表示）
（2）定义建筑物的“形状因子”为 ，其中 为建筑物底面面积， 为建筑物底面
周长，又定义 为总建筑面积，即为每层建筑面积之和（每层建筑面积为每一层的底面面
积）．设 为某宿舍楼的层数，层高为3米，则可以推导出该宿舍楼的“体形系数”为
．当 ， 时，试求当该宿舍楼的层数 为多少时，“体形系
数” 最小．
【解析】（1）由圆柱体的表面积和体积公式可得：
，
所以 ．
（2）由题意可得 ， ，
所以 ，
令 ，解得 ，
所以 在 ， 单调递减，在 ， 单调递增，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分23百】所以 的最小值在 或7取得，
当 时， ，
当 时， ，
所以在 时，该建筑体 最小．
37．（2021•上海）已知一企业今年第一季度的营业额为1.1亿元，往后每个季度增加0.05
亿元，第一季度的利润为0.16亿元，往后每一季度比前一季度增长 ．
（1）求今年起的前20个季度的总营业额；
（2）请问哪一季度的利润首次超过该季度营业额的 ？
【解析】（1）由题意可知，可将每个季度的营业额看作等差数列，
则首项 ，公差 ，
，
即营业额前20季度的和为31.5亿元．
（2）解法一：假设今年第一季度往后的第 季度的利润首次超过该季度营业额的
，
则 ，
令 ， ，
即要解 ，
则当 时， ，
令 ，解得： ，
即当 时， 递减；当 时， 递增，
由于 （1） ，因此 的解只能在 时取得，
经检验， ， ，
所以今年第一季度往后的第25个季度的利润首次超过该季度营业额的 ．
解法二：设今年第一季度往后的第 季度的利润与该季度营业额的比为 ，
则 ，
数列 满足 ，
注意到， ， ，
今年第一季度往后的第25个季度利润首次超过该季度营业额的 ．
38．（2020•上海）在研究某市交通情况时，道路密度是指该路段上一定时间内通过的车辆
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分24百】数除以时间，车辆密度是该路段一定
时间内通过的车辆数除以该路段的长度，现定义交通流量为 ， 为道路密度， 为车
辆密度，交通流量 ．
（1）若交通流量 ，求道路密度 的取值范围；
（2）已知道路密度 时，测得交通流量 ，求车辆密度 的最大值．
【解析】（1）按实际情况而言，交通流量 随着道路密度 的增大而减小，
故 是单调递减函数，
所以 ，
当 时， 最大为85，
于是只需令 ，解得 ，
故道路密度 的取值范围为 ．
（2）把 ， 代入 中，
得 ，解得 ．
，
①当 时， ，
．
②当 时， 是关于 的二次函数， ，
对称轴为 ，此时 有最大值，为 ．
综上所述，车辆密度 的最大值为 ．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分25百】
