思维拓展04指对幂值的比较大小的常见七大类型（精讲+精练）-2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）原卷版_2.2025数学总复习_2025年新高考资料_一轮复习

2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用） 思维拓展 04 指对幂值的比较大小的常见七大类型 （精讲+精练） ①利用单调性 ②作差作商法 ③利用中间值 ④利用构造函数 ⑤数形结合法 ⑥估算法 ⑦放缩法 一、必备知识整合 一、常规思路 1. ①底数相同，指数不同时，如 和 ，利用指数函数 的单调性； ②指数相同，底数不同，如 和 利用幂函数 单调性比较大小； ③底数相同，真数不同，如 和 利用指数函数 单调性比较大小； 注：除了指对幂函数，其他函数（比如三角函数，对勾函数等）也都可以利用单调性比较大小。 2.底数、指数、真数、三角函数名都不同，寻找中间变量0，1或者其它能判断大小关系的中间量，借助 “媒介数”进行大小关系的判定. 3.通过做差与0的比较来判断两数的大小；通过做商与1的比较来判断两数的大小。 二、估值比较大小 根式： ， ， ， 分式： ， 指数式： ， ， 对数式： ， ， ，三角式： ， 三、同构构造函数或者利用作差或作商法构造函数 1.同构是构造函数的一种常用方法.常利用x=ln⁡ex (x∈R),x=eln⁡x (x>0)将要比较的三个数化为结构相 同的式子,再将其看作同一个函数的三个值,用常值换元构造函数,利用函数的单调性比较大小. 2.对于同时含有指数、对数结构的两个变量的等式,或者含两个变量,且结构相似的等式,比较相关的两个变 量间的大小问题时,思考的逻辑路径为先分离变量,再将等式通过合理变形,放缩成结构相同的不等式,然后利 用同构函数思想,转化为比较某个函数的两个函数值f(g(x))与f(h(x))的大小,最后利用函数f(x)的单调 性,转化为比较自变量g(x)与h(x)的大小,实现将超越函数普通化的目的,达到事半功倍的效果。 3.常见的构造函数有 （1）与 和 相关的常见同构模型 ① ，构造函数 或 ； ② ，构造函数 或 ； ③ ，构造函数 或 . （2）六大超越函数图像 表达式 图像 表达式 图像三、放缩法 常用的放缩不等式 （1） ； （2） （ ），当 时取等号；变式： ,当 时取等号； （3） （ ），当 时取等号；变式： ； （4） （ ），当 时取等号； （5） （ ），当 时取等号. 二、考点分类精讲 【典例1】（2024.福建宁德高三统考）设 ，则 的大小关系 为（ ） A． B． C． D． 【典例2】（2023·河南·安阳高中高三模拟）设 ， ， ，则a，b、c的大小关 系为（ ） A． B． C． D． 【典例3】（2023·天津河东一模）已知 ， ， ，则 ， ， 的大小顺序为（ ） A． B． C． D．【典例4】（2023·江西九江高三专题检测）已知实数a，b，c满足 ，则a，b，c的 大小关系为（ ） A． B． C． D． 【典例5】（2024·广东广州一模）已知 均为大于0的实数，且 ，则 大小关系正 确的是（ ） A． B． C． D． 【典例6】（2023·安徽高三校联考模拟）若 ，b=1.2，c=ln3.2，则a，b，c的大小关系为（ ） A．a>b>c B．c>b>a C．a>c>b D．b>a>>c 【典例7】（2023·云南大理高三模拟）若 ， ， ，则 的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【题型训练-刷真题】 一、单选题 1．（2024·北京·高考真题）已知 ， 是函数 的图象上两个不同的点，则（ ） A． B． C． D． 2．（2024·天津·高考真题）若 ，则 的大小关系为（ ） A． B． C． D． 3．（2024·全国·高考真题）已知函数 的定义域为R， ，且当 时 ， 则下列结论中一定正确的是（ ） A． B． C． D． 4．（2023·全国·高考真题）已知函数 ．记 ，则（ ） A． B． C． D． 5．（2023·天津·高考真题）设 ，则 的大小关系为（ ）A． B． C． D． 6．（2022·天津·高考真题）已知 ， ， ，则（ ） A． B． C． D． 7．（2022·全国·高考真题）设 ，则（ ） A． B． C． D． 8．（2022·全国·高考真题）已知 ，则（ ） A． B． C． D． 【题型训练-刷模拟】 1 . 利用单调性 一、单选题 1．（2024·上海宝山·二模）已知 ，则（ ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·广西河池·阶段练习）已知函数 ， ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（ ） A． B． C． D． 3．（2024·云南·一模）已知 ，若 ，则（ ） A． B． C． D． 4．（2024·陕西渭南·模拟预测）已知定义域为 的函数 为偶函数，且 在区间 上单调递减， 则下列选项正确的是（ ） A． B． C． D． 5．（2024·云南·模拟预测）已知函数 为 上的偶函数，且当 时，，若 ， ，则下列选项正确的是（ ） A． B． C． D． 6．（23-24高三下·辽宁·阶段练习）已知偶函数 满足 ，且在区间 上是减函数，则 ， ， 的大小关系是（ ） A． B． C． D． 2 . 作差作商法 一、单选题 1．（2024·北京东城·一模）已知 ，且 ，则（ ） A． B． C． D． 2．（2023·广东·二模）若 ，则（ ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·湖南长沙·开学考试）已知 ， ， ，则（ ） A． B． C． D． 4．（2024·全国·模拟预测）若 ，则 的大小关系为（ ） A． B． C． D． 5．（22-23高一下·四川泸州·阶段练习）设 ， ， ，则（ ） A． B． C． D． 3 . 利用中间值 一、单选题 1．（2023·天津和平·三模）设 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（ ）A． B． C． D． 2．（2024·江西上饶·模拟预测）设 ，则有（ ） A． B． C． D． 3．（2024·天津河西·三模）若 ， ， ，则a，b，c的大小关系为（ ） A． B． C． D． 4．（2024·宁夏石嘴山·模拟预测）已知 ， ， ，则 ， ， 大小关系为（ ） A． B． C． D． 5．（2024·河南·三模）已知 ，则（ ） A． B． C． D． 6．（2024·天津·二模）设 ，则 的大小关系为（ ） A． B． C． D． 7．（2024·河南·模拟预测）若 ，则 的大小关系为（ ） A． B． C． D． 8．（2024·山东临沂·二模）若实数 ， ， 满足 ， ， ，则（ ） A． B． C． D． 4 . 利用构造函数 一、单选题 1．（2024·湖北黄冈·模拟预测）已知 ， ， ，则 的大小关系为（ ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·湖南衡阳·期中）已知 ，则 的大小关系是（ ） A． B． C． D． 3．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（ ）A． B． C． D． 4．（2024·青海西宁·模拟预测）已知 ， ， ，则（ ） A． B． C． D． 5．（2024·安徽·三模）已知 ，则（ ） A． B． C． D． 6．（2024·安徽芜湖·三模）设 ，则（ ） A． B． C． D． 5 . 数形结合法 一、单选题 1．（23-24高一上·浙江温州·期末）设 ， ， ，则（ ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·安徽芜湖·期末）已知 ，则以下四个数中最大的是（ ） A． B． C． D． 3．（2024·江西·模拟预测）若 ，则（ ） A． B． C． D．无法确定 6 . 估算法 一、单选题 1．已知 ， ， ，则 的大小关系为（ ） A. B. C. D. 2．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为 （ ） A． B． C． D．3．（2023·陕西榆林高三专题检测）若 ， ， ， ，则 ， ， 这三个 数的大小关系为（ ） A． B． C． D． 7 . 放缩法 一、单选题 1．已知 ， ， ，则 的大小关系是（ ） A. B. C. D. 2．（2023·山东青岛·统考模拟预测）已知 ， ， ，则 、 、 的大小关系为 （ ） A． B． C． D． 3．（2023·全国·高三专题练习）已知m＝log π，n＝log ee，p＝ ，则m，n，p的大小关系是（其中e为 4π 4 自然对数的底数）（ ） A．p＜n＜m B．m＜n＜p C．n＜m＜p D．n＜p＜m 4．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系是 （ ） A． B． C． D． 5．（2023·广东·统考二模）已知 ， ， ，则（参考数据： ）（ ） A． B． C． D．