文档文本内容
微专题：等比数列中的最值(范围)问题
【考点梳理】
1、等比数列的单调性
(1)当a>0，q>1或a＜0，0<q<1时，等比数列{a}是递增数列；
1 1 n
(2)当a>0，0<q<1或a＜0，q>1时，等比数列{a}是递减数列；
1 1 n
(3)当q＝1时，它是一个常数列；
(4)当q<0时，它是一个摆动数列.
2、等比数列中的最值(范围)问题，要抓住基本量a ，q等，充分运用方程、函数、转化等数学思想，合理调
1
用相关知识构造函数，再用基本不等式法、单调性法等求值域.
【题型归纳】
题型一： 等比数列的单调性
1．已知数列 是公比为 的等比数列，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．设等比数列 的公比为 ，其前 项和为 ，前 项积为 ，并满足条件 ， ，
，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．数列 存在最大值 D． 是数列 中的最大值
3．设等比数列 的首项为 ，公比为 ，则 为递增数列的充要条件是（ ）
A． ， B． ，
C． D．
题型二： 求等比数列中的最大（小）项
4．已知等比数列 中， ，那么“ ”是“ 为数列 的最大项”的（ ）
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．设等比数列 的公比为 ，其前 项之积为 ，并且满足条件： ， ， ，给出下列
结论：① ；② ；③ 是数列 中的最大项；④使 成立的最大自然数等于4039；
其中正确结论的序号为（ ）
A．①② B．①③ C．①③④ D．①②③④
6．设数列 ： ， ，…， ，若存在公比为q的等比数列 ： ， ，…， ，使得
，其中 ，2，…，m，则称数列 为数列 的“等比分割数列”.若数列 的通项公式为
，其“等比分割数列” 的首项为1，则数列 的公比q的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【双基达标】
7．等比数列 的公比为 ，则“ ”是“对于任意正整数n，都有 ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
8．对于 有如下4个数列：（1） ；（2） （3） （4）
．其中满足条件 的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．已知等比数列 ，下列选项能判断 为递增数列的是( )
A． ， B． ，
C． ， D． ，
第 2 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司10．在等比数列 中， 若 则（ ）
A． B． C． D．
11．设 是等比数列，则“ ”是“数列 是递增数列”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
12．已知无穷等比数列 满足 ，其前 项和为 ，则（ ）
A．数列 为递增数列 B．数列 为递减数列
C．数列 有最小项 D．数列 有最大项
13．等比数列 中，公比为q，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
14．设 是各项均为正数的等比数列， 为其前 项和.已知 ， ，若存在 使得 的
乘积最大，则 的一个可能值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
15．已知 为无穷等比数列，且公比 ，记 为 的前 项和，则下面结论正确的是（ ）
A． B． C． 是递减数列 D． 存在最小值
16．已知等比数列 的前n项和为 ，且满足公比0＜q＜1， ＜0，则下列说法不正确的是（ ）
A． 一定单调递减 B． 一定单调递增
C．式子 - ≥0恒成立 D．可能满足 = ，且k≠1
17．等比数列 是递增数列，若 ， ，则公比 为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
18．在等比数列 中，公比为 .已知 ，则 是数列 单调递减的（ ）条件
第 3 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分又不必要
19．已知等比数列 的公比为 ，则“ 是递增数列”的一个充分条件是（ ）
A． B．
C． D．
20．以下有四个命题：①一个等差数列 中，若存在 ，则对于任意自然数 ，都有 ；
②一个等比数列 中，若存在 ， ，则对于任意 ，都有 ；③一个等差数列
中，若存在 ， ，则对于任意 ，都有 ；④一个等比数列 中，若存在自然数 ，
使 则对于任意 ，都有 ．其中正确命题的个数是（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
21．已知单调递减的等比数列 中， ，则该数列的公比 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
22．已知数列 是公差不为零的等差数列， 是正项等比数列，若 ， ，则（ ）
A． B． C． D．
23．已知 为等比数列， ， ，以 表示 的前 项积，则使得 达到最大值的 是
（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
24．设 是首项大于零的等比数列，则“ ”是“数列 为递增数列”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
25．设等比数列{ }的公比为q，其前n项和为 ，前 n项积为 ，并满足条件 ， ，
下列结论不正确的是（ ）
第 4 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B．
C． 是数列{ }中的最大值 D．数列{ }无最小值
【高分突破】
一、单选题
26．若 是公比为 的等比数列，记 为 的前 项和，则下列说法正确的是（ ）
A．若 是递增数列，则 ，
B．若 是递减数列，则 ，
C．若 ，则
D．若 ，则 是等比数列
27．在等比数列{an}中，“a<a<a”是“数列{an}递增”的（ ）
1 2 3
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
28．设等比数列 的公比为 ，其前 项的积为 ，并且满足条件 ， ， ．给出下列
结论：
① ；
② ；
③ 的值是 中最大的；
④使 成立的最大自然数 等于198
其中正确的结论是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
29．设等比数列 的公比为q， ，则“ ”是“ 为递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
第 5 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司30．等比数列 中， ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
二、多选题
31．记单调递增的等比数列{an}的前n项和为Sn，若 ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
32．已知在等比数列 中， ， ， 是 的前 项和，则下列说法正确的是（ ）
A．数列 是等比数列 B．数列 是递增数列
C．数列 是等差数列 D．数列 中， ， ， 仍然构成等比数列
33．若 为等比数列，则下列说法中正确的是（ ）
A． 为等比数列
B．若 则
C．若 则数列 为递减数列
D．若数列 的前 项的和 则
34．已知等比数列 是递增数列， 是其公比，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
35．等比数列 为单调递减数列，写出满足上述条件的一个数列 的通项公式_______.
第 6 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司36．等比数列 的公比为 ，其前 项的积为 ，并且满足下面条件， ， ， .给出
下列结论：① ；② ；③ 的值是 中最大的；④ 成立最大的自然数 等于198.其中正确
的结论是__________.
37．若数列 满足 ，则称数列 为“差半递增”数列.若数列 为
“差半递增”数列，且其通项 与前 项和 满足 ，则实数 的取值范围是______.
38．已知公比为q（ ）的等比数列 的前n项和为 ，给出下列命题：①若 ，则 ， ；②
若 ，则 ；③若 ，则 ；④ .其中真命题的序号为_________.
39．在各项都为正数的等比数列 中，已知 ，其前n项之积为 ，且 ，则 取最小值时，n的值
是___________．
40．下列五个命题不正确的是________.
①若等比数列 的公比 ，则数列 单调递增.
②常数列既是等差数列又是等比数列.
③在 中，角A､B､C所对的边分别为a，b，c，若 则 且 .
④在 中，若 ，则 为锐角三角形.
⑤等比数列 的前n项和为 ，对任意正整数m，则 ， ， ，…仍成等比数列.
四、解答题
41．已知数列 满足 ， ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）记数列 的前 项中最大值为 ，最小值为 ，令 ，称数列 是数列 的“中程数数
列”．
①求“中程数数列” 的前 项和 ；
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司②若 （ 且 ），求所有满足条件的实数对 ．
42．已知等比数列 是递增数列，且 ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 ，求数列 的前 项和 ．
43．已知等比数列 的公比 ，且
（1）求 的通项公式；
（2）在① ，② ，③ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题
中，若问题中的 存在，求 的最小值；若 不存在，说明理由.
问题：设数列 的前 项和为 ，___________，数列 的前 项和为 是否存在 ，使得
44．设公比大于1的等比数列 的前 项和为 ，且 ， ，数列 的前 项和为 ，且 ，
.
（1）求数列 及 的通项公式；
（2）设 ，定义 ，若数列 是单调递减数列，求实数 的取值范围.
45．某工厂去年12月试生产新工艺消毒剂1050升，产品合格率为90%.从今年1月开始，工厂在接下来的两年中
将生产这款消毒剂.1月按去年12月的产量和产品合格率生产，以后每月的产量都在前一个月产量的基础上提高
5%，产品合格率比前一个月增加0.4%.
(1)求今年该消毒剂的年产量（精确到1升）；
(2)从第几个月起，月产消毒剂中不合格的量能一直控制在100升以内？
第 8 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司参考答案
1．D
【解析】
【分析】
分别取特殊等比数列 和 分析判断即可.
【详解】
若 ，满足 ，但 ，故“ ”是“ ”的不充分条件；
若 ，满足 ，但 ，故“ ”是“ ”的不必要条件.
故选：D.
2．D
【解析】
【分析】
根据题意可得 ， ，所以在等比数列 中，从 到 的每一项都大于 ，从 开始后面所有
的项的值都小于 且大于 .再分析每一个选项即可求解.
【详解】
因为 是公比为 的等比数列，且 ， ， ，
所以 ， ，所以 ，所以在等比数列 中，
从 到 的每一项都大于 ，从 开始后面所有的项的值都小于 且大于 .
对于A：因为 ，所以 ，故A不正确；
对于B： ，故B不正确；
对于C：根据上面的分析，等比数列 中每一项都为正值，所以 无最大值，
所以数列 无最大值，故C不正确；
对于D：因为在等比数列 中，从 到 的每一项都大于 ，
从 开始后面所有的项的值都小于 且大于 ，所以 是数列 中的最大值，故D正确.
故选：D.
3．C
【解析】
【分析】
分析可知 ，分 、 两种情况讨论，结合递增数列的定义求出对应的 的取值范围，即可得出结论.
【详解】
因为 ，若 ，则数列 为摆动数列，与题意不符，所以， .
①若 ，则对任意的 ， ，由 可得 ，即 ；
②若 ，则对任意的 ， ，由 可得 ，此时 .
第 9 页所以， 为递增数列的充要条件是 ， 或 ， ，
当 ， 时， ，则 ；
当 ， 时， ，则 .
因此，数列 为递增数列的充要条件是 .
故选：C.
4．A
【解析】
【分析】
利用充分条件和必要条件的定义，结合等比数列的性质判断即可
【详解】
当 时，可知 递减，所以 为数列 的最大项，
当 为数列 的最大项时，则 ，所以 ，解得 且 ，
所以“ ”是“ 为数列 的最大项”的充分而不必要条件，
故选：A
5．B
【解析】
【分析】
由题意可得 ， ，结合等比数列的性质逐一核对四个命题得答案．
【详解】
， ， ，
， ．
，故①正确；
， ，故②不正确；
， 是数列 中的最大项，故③正确；
， ，
使 成立的最大自然数等于4038，故④不正确．
正确结论的序号是①③．
故选：B．
【点睛】
本题考查等比数列的通项公式及其性质、递推关系、不等式的性质，考查推理能力与计算能力，属于中档题．
6．C
【解析】
【分析】
由题意可得， ，从而可得 且 ，可得 ，再根据
指数函数的单调性求出 的最小值即可
第 10 页【详解】
由题意可得， ，
所以 ，且 ，
当 时， 成立；当 ，3，…，10时，应有 成立，
因为 在R上单调递增，所以 随着n的增大而减小，
故 ，综上，q的取值范围是 .
故选：C.
7．D
【解析】
【分析】
结合等比数列的单调性，根据充分必要条件的定义判断．
【详解】
若 ， ，则 ， ，充分性不成立；
反过来，若 ， ，则 时，必要性不成立；
因此“ ”是“对于任意正整数n，都有 ”的既不充分也不必要条件.
故选：D．
8．C
【解析】
【分析】
依题意对各个数列一一判断，即可得解；
【详解】
解：对于（1） ，所以 ，显然 均不成立，故（1）错误；
对于（2） ，易知其为递增数列，又 ， ， ，故
均成立，故（2）正确；
对于（3） ，当 为奇数和 为偶数时， 均为递增，故 成立，而 为奇
数， 为偶数，显然 所以 也成立，故（3）正确；
对于（4） ， ， ， ，
当 为奇数时， ，为递增数列，当 为偶数时， 也为递增数列，所以 成立，
又 ， ，所以 ，所以
，故（4）也成立；
故选：C
9．D
第 11 页【解析】
【分析】
根据指数函数单调性和单调性的性质逐项分析即可．
【详解】
对于A， ， ，则 单调递减，故A不符题意；
对于B， ， ，则 会随着n取奇数或偶数发生符号改变，数列为摆动数列，故B不符
题意；
对于C， ， ，则 为常数数列，不具有单调性，故C不符题意；
对于D， ， ，∵ ，y= 在R上单调递减，故 为递增数列，故D符合题意．
故选：D﹒
10．B
【解析】
【分析】
根据 的取值分类讨论，得出 的范围后判断各选项．
【详解】
当 时， ，不满足题意;
当 时，等式左边 ，所以，等式右边 ，不满足题意，
所以， ，则 中奇数项为正，偶数项为负．
故选B.
11．B
【解析】
【分析】
利用 是等比数列，结合充分条件，必要条件的判断方法求解.
【详解】
因为数列 是递增数列，
所以 ，故必要；
因为 ，即 ，
若 ，有 ，解得 或 ，
当公比可为负数时，数列 是摆动数列，不具有单调性，故不充分．
故选：B
12．C
【解析】
【分析】
由已知分析等比数列的公比范围，然后结合求和公式分析 的单调性，结合选项可求．
第 12 页【详解】
解：因为无穷等比数列 满足 ，所以 ，即 ，
由 ，所以 ，又 ，所以
所以
当 时， ， 递减， 单调递增，所以 有最小项 ；
当 时， ， 不具有单调性， 不单调，但 ， ， ， 且
，所以 有最小项 ；
故选：C
13．D
【解析】
【分析】
由等比数列的性质判断 与 的推出关系，结合充分、必要性的定义即可得答案.
【详解】
由 ，
所以 或 ，故不一定有 ，充分性不成立；
当 时， ，当 则 ，当 则 ，必要性不成立；
所以“ ”是“ ”的既不充分又不必要条件.
故选：D
14．A
【解析】
【分析】
由已知利用等比数列的性质可求 ，又 ，可得 ，解得 或 ，分类讨论可求 的
值，即可求解数列的各项，即可求解．
【详解】
等比数列 中，公比 ；由 ，所以 ，又 ，所以 解得 或 ；
若 时，可得 ，可得 的值为 ，可知数列 单调递增，且各项均大于 ，所以不
会存在 使得 的乘积最大(舍去)；
若 时，可得 ，可得 的值为 ，…，
第 13 页可知数列 单调递减，从第 项起各项小于 且为正数，前 项均为正数且大于等于 ，
所以存在 ，使得 的乘积最大，综上，可得 的一个可能值是 .
故选：A.
15．B
【解析】
【分析】
根据等比数列的性质分别进行判断即可.
【详解】
A：当 时， ， ，成立，当 时， ， ，不成立，A选项错误；
B： 成立，B选项正确；
C：当 时，数列 为递减数列，当 时，数列 为递增数列，C选项错误；
D：当 时， 存在最小值，当 时， 存在最大值，D选项错误；
故选：B.
16．D
【解析】
【分析】
根据等比数列的通项公式，前n项和的意义，可逐项分析求解.
【详解】
因为等比数列 的前n项和为 ，且满足公比0＜q＜1， ＜0，
所以当 时，由 可得 ，故数列 为增函数，故B正确；
由0＜q＜1， ＜0知 ，
所以 ，故 一定单调递减，故A正确；
因为当 时， ， ，所以 ，即 - ，当 时，
，综上 ，故C正确；
若 = ，且k≠1，则 ，即 ，因为 ，故 ，
故矛盾，所以D不正确.
故选：D
17．D
【解析】
【分析】
由题意可知 且 ，由已知条件可得出关于实数 的等式，解出 的值，进一步求出 的值和数列 的通
项公式，对数列 的单调性进行验证，由此可得出结果.
【详解】
因为等比数列 是递增数列，则数列 的公比 满足 且 ，
第 14 页所以， ，即 ，解得 或 .
若 ，则 ，解得 ，
此时 ，此时数列 为递增数列，合乎题意；
若 ，则 ，解得 ，
此时 ，此时数列 为递增数列，合乎题意.
综上所述， 或 .
故选：D.
18．C
【解析】
【分析】
根据等比数列的单调性结合充分条件和必要条件的定义即可得出结论.
【详解】
解： ，
当 时， ，
所以数列 单调递减，故充分性成立，
若数列 单调递减，则 ，即 ，故必要性成立，
所以 是数列 单调递减的充要条件.
故选：C.
19．D
【解析】
【分析】
由等比数列 满足递增数列，可进行 和 两项关系的比较，从而确定 和 的大小关系.
【详解】
由等比数列 是递增数列 ，
若 ，则 ，得 ；
若 ，则 ，得 ；
所以等比数列 是递增数列 ， 或 ， ；
故等比数列 是递增数列是递增数列的一个充分条件为 ， .
故选：D.
20．D
第 15 页【解析】
【分析】
在等差数列中，由 可知数列为递增数列，知①正确；等比数列中，由公比 知数列各项符号
相同或为摆动数列，从而得到②④正误；利用反例可知③错误.
【详解】
对于①，由 知：公差 ， 自第 项起，数列 为递增数列，
又 ， 对于任意自然数 ，都有 ，①正确；
对于②，由 ， 知：公比 ， 数列 各项符号相同，
即对于任意 ，都有 ，②正确；
对于③，若等差数列 中， ， ，则公差 ， ，③错误；
对于④，由 知：公比 ，
等比数列 为摆动数列，奇数项的符号相同，偶数项的符号相同，且奇数项与偶数项异号，
对于任意 ，都有 ，④正确；
综上所述：正确的命题的个数为 个.
故选：D.
【点睛】
关键点点睛：本题考查等差和等比数列的单调性和各项的符号特征；解题关键是能够根据相邻两项之间的关系确
定等差或等比数列的公差或公比的正负，进而得到等差数列的单调性和等比数列各项的符号特征.
21．D
【解析】
【分析】
根据等比数列 单调递减，得到 ， ，再根据 ， 求解.
【详解】
因为等比数列 单调递减，
所以 ， ，
因为 ，
所以 ，
又因为 ，
所以 ，
所以 ，
故选：D
【点睛】
本题主要考查等比数列的通项公式的应用以及数列的单调性的应用，属于基础题.
第 16 页22．D
【解析】
由等差，等比数列的形式特征画函数的图象，根据图象判断选项.
【详解】
等差数列的通项公式是关于 的一次函数， ，图象中的孤立的点在一条直线上，
而等比数列 的通项公式是关于 的指数函数形式，图象中孤立的点在指数函数图象上，
如图所示当 时，如下图所示，
当公差 时，如下图所示，
如图可知当 时， ， ， ， .
故选：D
【点睛】
关键点点睛：本题的关键是判断的方法，选择图象法可以比较快速的判断选项.
23．A
【解析】
先求出首项和公比，得出 是一个减数列，前4项都大于1，从第五项开始小于1，从而得出结论．
【详解】
为等比数列， ， ，
， ， ， ， ．
故 是一个减数列，前4项都大于1，从第五项开始小于1，
以 表示 的前 项积，则使得 达到最大值的 是4，
故选： ．
【点评】
第 17 页本题主要考查等比数列的性质，属于基础题．
24．B
【解析】
根据等比数列通项公式分别讨论充分性与必要性即可得答案.
【详解】
解：设公比为 ，若 ，则 ，即 ，则有 或 ，
所以当 时，数列为摆动数列，故充分性不成立；
若数列 为递增数列，则 ，由于 ，∴ ，故必要性成立.
所以“ ”是“数列 为递增数列”的必要而不充分条件.
故选：B.
【点睛】
本题考查必要不充分条件，等比数列的单调性，是中档题.
25．B
【解析】
【分析】
由题分析出 ，可得出数列 为正项递减数列，结合题意分析出正项数列 前 项都大于 ，而从第
项起都小于 ，进而可判断出各选项的正误.
【详解】
当 时，则 ，不合乎题意；
当 时，对任意的 ， ，且有 ，可得 ，
可得 ，此时 ，与题干不符，不合乎题意；
故 ，对任意的 ， ，且有 ，可得 ，
此时，数列 为单调递减数列，则 ，由 可得 ，故 ，A正确；
，故B不正确； 是数列{ }中的最大值，C正确；
数列{ }无最小值，D正确．
故选：B.
26．D
【解析】
【分析】
选项A，B，C中，分别取特殊数列满足条件，但得不出相应的结论，说明选项A，B，C都是错误的，选项D中，
利用等比数列的定义可以证明结论正确.
【详解】
A选项中， ，满足 单调递增，故A错误；
第 18 页B选项中， ，满足 单调递减，故B错误；
C选项中，若 ，则 ，故C错误；
D选项中， ，所以 是等比数列.故D正确.
故选：D.
27．C
【解析】
运用判断充分条件、必要条件的方法进行判断.
【详解】
当a<a<a 时，设公比为q，
1 2 3
由a<aq<aq2得
1 1 1
若a>0，则1<q<q2，即q>1，
1
此时，显然数列{an}是递增数列，
若a<0，则1>q>q2，即0<q<1，
1
此时，数列{an}也是递增数列，
反之，当数列{an}是递增数列时，显然a<a<a.
1 2 3
故“a<a<a”是“等比数列{an}递增”的充要条件．
1 2 3
故选：C
【点睛】
关键点点睛：本题考查充分必要条件与等比数列的单调性结合的简单应用，本题的关键是当 时，讨论
和 两种情况，求等比数列的公比，判断函数的单调性.
28．B
【解析】
【分析】
利用等比数列的性质及等比数列的通项公式判断出①正确．利用等比数列的性质及不等式的性质判断出②正确．
利用等比数列的性质判断出③错误．利用等比数列的性质判断出④正确，从而得出结论．
【详解】
解：① ， ， ．
， ．
又 ， ，且 ． ，即①正确；
② ， ，即 ，故②错误；
③由于 ，而 ，故有 ，故③错误；
④中 ，
，故④正确．
正确的为①④，
第 19 页故选： ．
【点睛】
本题考查的知识点是等比数列的性质：若 则有 ．其中根据已知条件得到 ， ，
是解答本题的关键，属于中档题．
29．A
【解析】
【分析】
利用等比数列的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【详解】
设等比数列 的首项为 ，即 ，
当 时， ，即数列 为递增数列；
反之，当 为递增数列时， 也符合；
综上“ ”是“ 为递增数列”的充分不必要条件.
故选：A.
30．C
【解析】
【分析】
由 ，得到 ，由 ，得到 或 ，再利用子集思想结合充分必要条件的定义即可求解．
【详解】
解：①若 时， 等比数列 ， ， ， ， ，
②若 时， 等比数列 ， ， ， ， 或 ，
或 ，
是 的充分不必要条件．
故选： ．
31．BC
【解析】
根据数列的增减性由所给等式求出 ，写出数列的通项公式及前n项和公式，即可进行判断.
【详解】
数列{an}为单调递增的等比数列，且 ，
， ，解得 ，
， 即 ，解得 或 ，
又数列{an}为单调递增的等比数列，取 ， ，
， ， .
第 20 页故选：BC
【点睛】
本题考查等比数列通项公式基本量的求解、等比数列的增减性、等比数列求和公式，属于基础题.
32．AC
【解析】
【分析】
由题意利用等比数列的性质、通项公式及前n项和公式，判断各个选项是否正确，从而得出结论.
【详解】
等比数列 中， ， ，所以 ，
对于选项A： ，数列 依旧是等比数列，正确；
对于选项B： ，显然数列 是递减数列，错误；
对于选项C： ，显然数列 是等差数列，正确；
对于选项D： ， ， ，显然这三项不构成等比数列，错误.
故选：AC.
33．ABC
【解析】
【分析】
利用等比数列的定义可以判定A;根据等比数列的性质可以判定B;利用等比数列的通项公式列出不等式组，根据不
等式得性质进行分析，可得 时， , 当 时， ，利用等比数列的通项公式，结合指数函数的单
调性，可以判定C；利用一般数列的和与项的关系求得通项公式，根据等比数列的通项公式的性质求得 的值，进
而判定D错误.
【详解】
为等比数列，∴ 为定值，∴ 为常数，
∴ 为等比数列，故A正确；
∵ ,∴ ，又∵ ,∴ ,故B正确；
由 得 ,
同号，∴ ,∴ ,当 时， ,由指数函数的性质可知 是单调递减的，∴
是单调递减数列，
当 时， ,由指数函数的性质可知 是单调递增的， 为单调递减数列，故C正确；
若数列 的前 项的和 则当 时， ,当 时， ,
第 21 页由于等比数列的通项公式对于 时也是成立的，故 ,故 ,故D错误；
故选：ABC.
【点睛】
本题考查等比数列的判定、性质，等比数列的前 项和的性质，等比数列的单调性，难点是数列单调性的分析和判
定，另外一般数列的和与项的关系 时， ,当 时， 一定要熟练掌握.
34．BD
【解析】
【分析】
根据等比数列的性质可知，递增的等比数列包括两种情况： 时 或 时 .
【详解】
由题意知，
递增的等比数列包括两种情况： 时 或 时 .
故 ， ，
故选：BD
35．
【解析】
【分析】
根据等比数列的性质进行求解即可.
【详解】
等比数列 为单调递减数列， ， 或 ， ， 满足上述条件的一个数列 的通项公
式为：
故答案为：
36．①④
【解析】
【分析】
由 得 ， 且 得 ，① ；② ；③
；④ ， ，即可判断各项正误.
【详解】
①：由 ，得 ，即 ，又 且 ，
∴ ，即 ，故正确；
②：由 且 ，知： ，即 ，故错误；
③： 且 ，知： ，故错误；
第 22 页④：
，故正确.
故答案为：①④.
【点睛】
关键点点睛：应用已知条件证明 、 ，再结合等比中项及单调性，判断各项的正误.
37．
【解析】
【分析】
根据 ,利用递推公式求得数列 的通项公式.再根据新定义的意义,代入解不等式即可求得实数 的
取值范围.
【详解】
因为
所以当 时,
两式相减可得 ,即 ,所以数列 是以公比 的等比数列
当 时,
所以
则
由“差半递增”数列的定义可知
化简可得
解不等式可得
即实数 的取值范围为
故答案为:
【点睛】
本题考查了数列递推公式的简单应用,等比数列通项公式在新定义里的应用,属于中档题.
38．④
【解析】
第 23 页对于①，由 得 ，从而可求出 的范围；对于②，作差比较即可；对于③，由 ，
得 ，从而有 ，进而可求出 的值，对于④，分 和 ，求 的值即
可
【详解】
解：对于①，若 ，则 ，即 ，因为 ，所以 ，所以 ， 或
， ，所以 ①错误；
对于②，若 ， ，则 ，当 时， ，即
，当 时， ，即 ，所以②错误；
对于③，若 ，则 ，所以 ，所以 ，所以 ，所以
，所以③错误；
对于④，若 ，则 ，
若 ，则 ，综上 ，所以④正确，
故答案为：④
39．9
【解析】
由 得 ，依题意得 故 时， 取最小值.
【详解】
由 得 ，即 故
因为 ，则 ，由于 ，得
所以等比数列 是递增数列，故
则 取最小值时，
故答案为：9
40．①②④⑤
【解析】
【分析】
对所有选项进行逐一分析判断即可.
【详解】
对①：等比数列的单调性取决于首项 和公比 ，即当 时，若 ，则数列为增数列；
若 ，则数列为减数列，故①不正确；
对②：常数列0,0,0,是等差数列，但不是等比数列，故②不正确；
第 24 页对③：若 ，则由正弦定理可得 ；由大边对大角可得 ；
若角A为钝角， ，此时角B显然为锐角， ，满足 ；
若角A为直角， ，此时角B显然为锐角， ，满足 ；
若角A为锐角，则角B为比A角还小的锐角，由同角三角函数关系，知 .
故③正确.
对④：由 ，可得 ，由余弦定理知 ，
得到角A为锐角，无法证明角B和角C为锐角，故不正确；
对⑤：此为等比数列前 项和的性质，但需注意 ，故⑤不正确.
故答案为：①②④⑤.
【点睛】
本题考查等比数列的单调性以及其它性质、同时考查了解三角形中的一些重要结论，需要重视细节.
41．（1）证明见解析， ；（2）① ；② ．
【解析】
【分析】
（1）先利用递推关系推出 ，即证结论，再利用等比数列通项公式求数列 的通项公式即可；
（2）①先判断数列单调性得到最大项和最小项，求得数列 ，再利用错位相减法求和即可；②先利用通项公式
判断 和 ，再逐一代入求解满足题意的m，即得结果.
【详解】
（1）证明：依题意， ，即 ，
故 ，故数列 是等比数列，首项为 ，公比为 的等比数列，
故 ，即 ；
（2）因为 ，即 ，
故 时 ，即 ， 时， ，即 ，
故 ，故 ， ，
所以 .
①设数列 的前n项和为 ，则 ，
第 25 页，
两式作差得， ，
即 ，
故 ；
②因为 ， ， ，
所以 ，即 ，
又因为 ， ， ，且 ，
可知 且 ，即 ，由 知，
时， ，故 ，即 ，但 ，故 符合题意；
时， ，故 ，即 ，但 ，故无解；
时， ，故 ，即 ，又 ，故 符合题意；
综上，所有满足条件的实数对 有 ．
42．(1) (2)
【解析】
【分析】
（1）先利用等比数列的性质，可分别求出 的值，从而可求出数列 的通项公式；（2）利用错位相减求和
法可求出数列 的前 项和 ．
【详解】
解：（1）由 是递增等比数列， ，
联立 ，解得 或 ，
因为数列 是递增数列，所以只有 符合题意，
第 26 页则 ，结合 可得 ，
∴数列 的通项公式： ；
（2）由 ，
∴ ；∴ ；
那么 ，①
则 ，②
将②﹣①得：
．
【点睛】
本题考查了等比数列的性质，考查了等比数列的通项公式，考查了利用错位相减法求数列的前 项和.
43．（1） ；（2）条件①，k存在，6，理由见解析；（条件②，k存在，6，理由见解析或条件③，k不存
在，理由见解析也正确）
【解析】
【分析】
（1）根据条件求得公比，写出等比数列通项即可.
（2）选择一个条件，由递推关系求得数列 的通项公式，然后求得数列 的前 项和为 根据数列单调
性判断是否存在 ，使得 ，若存在则求得最小值.
【详解】
（1）由 知 ，
则 或 （舍），故 ；
（2）（i）若选条件①， ，
则 ，又 满足，即
故 ，
又 ，则 ，
根据分组求和得 ，
易知在 ， 单增， ， ，
故使 的 存在，且最小值为6.
（ii）若选择条件②， ，
， ，
第 27 页则 ， ，
，易知在 ， 单增，
， ，
故使 的 存在，且最小值为7.
（iii）若选条件③， ，
则 ， ，
则 是以1为首项，3为公比的等比数列，
，在 时， ， ；当 ， ，
即 ， ，故不存在k使
【点睛】
方法点睛：（1）递推关系中出现前n项和的表达式时，可以利用 消去，从而求得数列的通项；
（2）两个数列相加减求和时采用分组求和求得前n项和.
44．（1） ， ；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据 ， ，列出关于 的方程，解方程求出 的值，然后求出数列 的通项公式；因为
，所以累乘可求得数列 的通项公式.（2）代入 ，得到 ，因为数列 是单
调递减数列，所以 恒成立，解关于 的不等式，求出 的范围.
【详解】
（1）由 ，得 ，即 ，∴ 或 （舍），
所以 .
又 ，
∴ .
（2）由（1）得 ， ，∴ ，
从而 ，若数列 是单调递减数列，
则 对 都成立，
第 28 页即 ，
，
可得当 或 时， ，所以 .
【点睛】
本题考查等比数列基本量的运算，累乘法求通项公式，考查已知数列的单调性求参数的范围，考察了学生的运算
能力，属于中档题.
45．(1)16173升
(2)第13个月
【解析】
【分析】
（1）设今年第n个月生产了 升消毒剂，再根据 ，结合等比数列的求和公式求解即可；
（2）设第n个月生产的消毒剂中不合格的量为 升，由题意 ，再分析 的单调性，
结合 求解即可
(1)
设今年第n个月生产了 升消毒剂，则 ， ，从而所求年产量为
（升）.
故今年消毒剂的年产量为16173升.
(2)
设第n个月生产的消毒剂中不合格的量为 升.由题意，
， .
则 ，故当 时， .
而 ，故从第13个月起，不合格的量将始终小于100升.
故从第13个月起，月产消毒剂中不合格的量能一直控制在100升以内.
第 29 页第 30 页
