文档内容
第 05 讲 指数与指数函数 (精讲+精练）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
高频考点一：指数与指数幂的运算
高频考点二：指数函数的概念
高频考点三：指数函数的图象
①判断指数型函数的图象； ②根据指数型函数图象求参数
③指数型函数图象过定点问题； ④指数函数图象应用
高频考点四：指数（型）函数定义域
高频考点五：指数（型）函数的值域
①指数函数在区间 上的值域； ②指数型复合函数值域
③根据指数函数值域（最值）求参数
高频考点六： 指数函数单调性
①判断指数函数单调性； ②由指数（型）函数单调性求参数
③判断指数型复合函数单调性； ④比较大小
⑤根据指数函数单调性解不等式
高频考点七：指数函数的最值
①求已知指数型函数的值域
②根据指数函数最值求参数
③含参指数（型）函数最值
第四部分：高考真题感悟
第五部分：第 05 讲 指数与指数函数（精练）
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
1、根式的概念及性质（1）概念：式子 叫做根式，其中 叫做根指数， 叫做被开方数．
（2）性质：
① ( 且 )；
②当 为奇数时， ；当 为偶数时，
2、分数指数幂
①正数的正分数指数幂的意义是 ( ， ，且 )；
②正数的负分数指数幂的意义是 ( ， ，且 )；
③0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．
3、指数幂的运算性质
① ；
② ；
③ .
4、指数函数及其性质
（1）指数函数的概念
函数 ( ，且 )叫做指数函数，其中指数 是自变量，函数的定义域是 ．
（2）指数函数 的图象和性质
底数
图象
定义域为 ，值域为
图象过定点
当 时，恒有
性质 当 时，恒有 ；
；
当 时，恒有
当 时，恒有
在定义域 上为增函数 在定义域 上为减函数
指数函数 ( ，且 )的图象和性质与 的取值有关，应分
注意
与 来研究第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
一、判断题
1．（2021·江西·贵溪市实验中学高二阶段练习）函数 （ 且 ）的图象必过定点 (
)
2．（2021·江西·贵溪市实验中学高二阶段练习）
( )
二、单选题
1．（2022·宁夏·银川一中高二期末（文））函数 在 的最大值是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·江苏南通·高一期末）已知指数函数 （ ，且 ），且 ，则 的
取值范围（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·北京·高三专题练习）若函数 （ 且 ）的图像经过定点P，则点P的坐标
是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·河北廊坊·高一期末）指数函数 在R上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·北京·高三专题练习）若函数 是指数函数，则 等于（ ）
A． 或 B．
C． D．
第三部分：典 型 例 题 剖 析
高频考点一：指数与指数幂的运算
1．（2022·广东肇庆·高一期末）设 ， ，则 （ ）A． B．1 C．2 D．3
2．（2022·上海杨浦·高一期末）设 ，下列计算中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·广东深圳·高一期末）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·全国·高三专题练习）化简 的结果为（ ）
A．－ B．－
C．－ D．－6ab
高频考点二：指数函数的概念
1．（2022·浙江·高三专题练习）函数 ，且a≠1)的图象经过点 ，则f(-2)= （ ）
A． B． C． D．9
2．（2022·黑龙江·嫩江市第一中学校高一期末）已知指数函数 在 上单调递增，则
的值为（ ）
A．3 B．2 C． D．
3．（2022·全国·高一课时练习）函数 是指数函数，则（ ）
A． 或 B． C． D． 且
4．（2022·浙江·高三专题练习）若指数函数 在[－1,1]上的最大值与最小值的差是1，则底数a等于
A． B． C． D．
高频考点三：指数函数的图象
①判断指数型函数的图象1．（2022·上海市复兴高级中学高一阶段练习）函数 的大致图像是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·上海市进才中学高二阶段练习）函数 的图像的大致形状是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·全国·高三专题练习）已知0＜m＜n＜1，则指数函数①y＝mx，②y＝nx的图象为（ ）．
A． B． C． D．
4．（2022·全国·高三专题练习（文））函数 的图象可能是 ( )
A． B．C． D．
②根据指数型函数图象求参数
1．（2022·全国·高三专题练习）函数 的图象如图所示，其中 ， 为常数，则下列结论正确的
是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
2．（2022·全国·高三专题练习）函数 与 的图象如图，则下列不等式一定成立的是
（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·全国·高一专题练习）函数 的图像如图所示，其中 为常数，则下列结论正确的是
（ ）A． ， B． ， C． ， D． ，
4．（2021·全国·高一专题练习）若函数 的图象如图所示，则（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
③指数型函数图象过定点问题
1．（2022·吉林·长春市第二中学高一期末）函数 且 的图象恒过定点（ ）
A．(－2，0) B．(－1，0)
C．(0，－1) D．(－1，－2)
2．（2022·全国·高三专题练习）若函数 过定点 ，以 为顶点且过原点的二次函数 的解析
式为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·河南焦作·高一期末）已知函数 （ 且 ）的图象过定点 ，则不等式
的解集为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ( ， )恒过定点 ，则函数
的图像不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
④指数函数图象应用
1．（2021·重庆市涪陵第二中学校高一阶段练习）函数 的图象可能是（ ）A． B．
C． D．
2．（2021·全国·高一课时练习）函数 ，且 ）与 的图像大致是
A． B． C． D．
3．（2021·全国·高一课时练习）若 ， ，则函数 的图像一定经过（ ）
A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限
C．第二、三、四象限 D．第一、二、四象限
高频考点四：指数（型）函数定义域
1．（2022·全国·高三专题练习）函数 的定义域是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高三专题练习）函数 的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2021·江苏·高一专题练习）函数y＝ 的定义域是(－∞，0]，则a的取值范围为( )A．a＞0 B．a＜1
C．0＜a＜1 D．a≠1
4．（2021·广西河池·高一阶段练习）设函数 ，则函数 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
高频考点五：指数（型）函数的值域
①指数函数在区间 上的值域
1．（2022·全国·高一）当x [-1，1]时，函数f(x)=3x-2的值域为________
2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f（x）=9x﹣a 3x+1+a2（x∈[0，1]，a∈R），记f（x）的最大值为
g（a）．
（Ⅰ）求g（a）解析式；
（Ⅱ）若对于任意t∈[﹣2，2]，任意a∈R，不等式g（a）≥﹣m2+tm恒成立，求实数m的范围．
3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 .当 时，求函数 在 的值域；
4．（2022·江西省丰城中学高一开学考试）函数 且 ，函数 .
(1)求 的解析式；
(2)若关于 的方程 在区间 上有实数根，求实数 的取值范围.
②指数型复合函数值域1．（2022·山西·临汾第一中学校高一期末）函数 的值域为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·湖南邵阳·高一期末）函数 的值域为______．
3．（2022·全国·高三专题练习）函数 的值域是___________.
4．（2022·河南·洛宁县第一高级中学高一阶段练习）已知函数 .
(1)当 时，求 的值域；
(2)若 有最大值16，求 的值.
5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 .
（1）求 在 上的值域；
③根据指数函数值域（最值）求参数1．（2022·广东湛江·高一期末）已知函数 的定义域和值域都是 ，则
（ ）
A． B． C．1 D．
2．（2022·辽宁鞍山·高一期末）若函数 的值域为 ，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高一）已知函数 且 在区间 上的最大值比最小值大 ,求 的值.
4．（2022·湖南·高一期末）已知函数 .
(1)求 的值域；
(2)当 时， 的最大值为7，求 的值.
5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 （ 为常数， ）是 上的奇函数．
(1)求实数 的值；
(2)若函数 在区间 上的值域为 ，求 的值．
高频考点六： 指数函数单调性
①判断指数函数单调性
1．（2022·广西南宁·高一期末）设函数 ，则 （ ）
A．是偶函数，且在 单调递增 B．是偶函数，且在 单调递减C．是奇函数，且在 单调递增 D．是奇函数，且在 单调递减
2．（2022·福建宁德·高一期末）已知 是 上的奇函数，且 ．
(1)求 的解析式；
(2)判断 的单调性，并根据定义证明．
3．（2021·贵州·六盘水红桥学校高一阶段练习）若函数 是指数函数
(1)求 ， 的值；
(2)求解不等式
4．（2021·全国·高一期末）设函数 ，
(1)判断 的单调性，并证明你的结论；
②由指数（型）函数单调性求参数
1．（2022·辽宁朝阳·高一开学考试）若函数 在 上单调递减，则实数 的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．2．（2022·内蒙古·赤峰二中高一期末（文））若函数 是R上的减函数，则实数a
的取值范围是___．
3．（2022·河北张家口·高一期末）已知函数 在 上单调递减，则实数 的取值范围
是______.
4．（2022·湖南·高一课时练习）若函数 是指数函数，且为指数增长型函数模型，
则实数 ________.
5．（2022·安徽·歙县教研室高一期末）若函数 在区间 上为增函数，则实数 的取值范
围为______.
6．（2022·湖南·高一课时练习）若函数 是区间 上的减函数，求实数 的取值范围．
③判断指数型复合函数单调性
1．（2022·安徽省蚌埠第三中学高一开学考试）函数 的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·河南·商丘市第一高级中学高一开学考试）已知函数 ，且对于任意的 ，
都有 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·宁夏·吴忠中学高一期末）已知函数 在 上单调递减，则实数 的取值范围
是______．4．（2022·河南·林州一中高一开学考试）已知函数 是奇函数.
(1)求 的值；
(2)判断并证明函数 的单调性.
④比较大小
1．（2022·广东汕尾·高一期末）若 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·陕西·略阳县天津高级中学高三阶段练习（文））设 ， ， ，则a，b，c的大
小关系是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·福建三明·高一期末）已知 ，则它们的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·海南·模拟预测）设 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
⑤根据指数函数单调性解不等式
1．（2022·全国·高一）若 ，则x的取值范围是______．
2．（2022·海南鑫源高级中学高一期末）已知不等式 的解集是__________.
3．（2022·福建·莆田一中高一开学考试）已知 是定义在R上的偶函数，且在区间 上单调递增，
若实数 满足 ，则 的取值范围是______．
4．（2022·福建福州·高一期末）已知函数 是定义在 上的偶函数，当 时， ．
(1)求 的解析式；
(2)解不等式 ．高频考点七：指数函数的最值
①求已知指数型函数的值域
1．（2022·新疆·石河子第二中学高二阶段练习）已知函数 ， ，若 ，
，使得 ，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·北京·高三学业考试）已知函数 ， ，则 （ ）
A．有最大值，有最小值 B．有最大值，无最小值
C．无最大值，有最小值 D．无最大值，无最小值
3．（2022·全国·高三专题练习（文））设函数 ，则 ________；函数 在区间
的最大值为_________．
4．（2022·贵州贵阳·高一期末）已知函数 ，若 ，使得
，则实数a的取值范围是___________.
5．（2022·甘肃·兰州一中高一期末）已知 ，则函数 的最大值为__________.
②根据指数函数最值求参数
1．（2022·辽宁·渤海大学附属高级中学高一期末）若函数 在 上有最大值 ，则实数a
的值为（ ）
A．1 B． C．1或 D．1或
2．(多选）（2022·江苏常州·高一期末）若函数 （ 且 ）在区间 上的最大值和最小
值的和为 ，则 的值可能是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·上海虹口·高一期末）已知函数 （ 且 ）在 的最大值与最小值之差等于 ，则
实数 的值为______．
4．（2022·青海·海南藏族自治州高级中学高一期末）已知指数函数 （ 且 ）在区间
上的最大值是最小值的2倍，则 ______．5．（2022·全国·高三专题练习）若函数 在区间 上的最大值和最小值之和为6，则实
数 ______.
6．（2022·湖南·高一课时练习）若函数 （ 且 ）在区间 上的最小值为 ，
求 的值．
③含参指数（型）函数最值
1．（2022·全国·高三专题练习）如果函数y=a2x+2ax-1(a>0，且a≠1)在区间[-1，1]上的最大值是14，则a的
值为________.
2．（2022·宁夏吴忠区青铜峡市教育局高一开学考试）已知函数 ．
（1）当 时，求函数 的零点；
（2）若 ，求 在区间 上的最大值 ．
3．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数 ．
（1）若函数 在 ， 上有最大值 ，求实数 的值；
（2）若方程 在 ， 上有解，求实数 的取值范围．
4．（2022·全国·高一课时练习）求函数 的最值.第四部分：高考真题感悟
1．（2020·山东·高考真题）已知函数 是偶函数，当 时， ，则该函数在
上的图像大致是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2021·湖南·高考真题）已知函数
（1）画出函数 的图象；
（2）若 ，求 的取值范围.
第五部分：第 05 讲 指数与指数函数（精练）
一、单选题
1．（2022·江苏江苏·一模）设全集 ，集合 ， ，则集合
（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·河南·模拟预测（文））已知 ， ，则ab=（ ）A．2 B． C． D．1
3．（2022·辽宁朝阳·高二开学考试）已知函数 ，若 ，则
a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·四川宜宾·二模（文））物理学家和数学家牛顿（IssacNewton）提出了物体在常温下温度变化的
冷却模型：设物体的初始温度是 （单位： ），环境温度是 （单位： ），且经过一定时间 （单位：
）后物体的温度 （单位： ）满足 （ 为正常数）.现有一杯100 热水，环境温度 ℃，
冷却到40℃需要 ，那么这杯热水要从 继续冷却到 ，还需要的时间为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·湖北·石首市第一中学高一阶段练习）已知函数 ，则不等式 的解集为
（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·河南·模拟预测（文））已知函数 是定义在R上的奇函数，当 时，
．则关于 的不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·云南玉溪·高一期末）函数 ， ，则函数 的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2022·全国·高三专题练习）已知 ， ， ，则（ ）A． B． C． D．
二、填空题
9．（2022·江苏连云港·二模）函数 的最小值是___________.
10．（2022·全国·高一）下列函数中，满足“ ”的单调递增函数是________. （填序
号）
① ；② ；③ ；④f（x）＝3x
11．（2022·江西宜春·高三期末（文））高斯是德国著名的数学家，近代数学莫基者之一，享有“数学王
子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设 ，用[x]表示不超过x的最大整数，则 称为高斯
函数，也称取整函数，例如： .已知 ，则函数 的值域为
_________.
12．（2022·全国·高三专题练习）设函数 ，则使得不等式 成立的实数
的取值范围是________
三、解答题
13．（2022·湖南·高一课时练习）已知 ，且 ，求下列各式的值：
(1) ；
(2) ；
(3) ．
14．（2022·贵州·凯里一中高一开学考试）已知函数 是定义在 上的奇函数，且 时，
， .
(1)求 在区间 上的解析式；
(2)若对 ，则 ，使得 成立，求 的取值范围.15．（2022·河南·高一阶段练习）已知函数 .
(1)当 时，求关于 的不等式 的解集；
(2)若对 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
16．（2022·辽宁丹东·高一期末）已知函数 是奇函数．
(1)求实数a的值；
(2)求 的值域．
