2025.10东北育才高一上数学月考试卷+答案_2025年10月高一试卷_251019辽宁省沈阳市东北育才高中2025--2026学年度上学期高一第一次月考

东北育才高中 2025—2026 学年度上学期 高一年级数学月考试卷 答题时间：120 分钟 满分：150 分 命题人 校对人：庞德艳 袁野 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1．已知集合𝐴={1,2,3,5},𝐵 ={2,3,5,7,11}，则A B=（ ） A．2,3,5 B．1,2,3,5 C．{2,3,5,7,11} D．{1,2,3,5,7,11} 2．已知命题p:xR, x 0，则p:（ ） A．xR, x 0 B．xR, x 0 C．xR, x 0 D．xR, x 0 1 1  3．不等式 −x −x0的解集是（ ） 2 3   1 1  1 1 A．x x  B．x x 或x   3 2  3 2  1  1 C．x x  D．x x   3  2 4. 如果对于任意实数x，[x]表示不超过的x最大整数，例如[]=3,[0.6]=0, [−1.6]=-2， 那么"[x]=[y]"是"|x-y|1"的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件  2  5．已知关于x的不等式ax2−bx+10的解集为−,  (m,+)，其中m0，则  m 3 b+ 的最小值为（ ） m A．4 2 B．4 C．2 2 D．26. 已知集合U为全集，集合MN ，MN U，则（ ） A．M ( N)M B．M ( N)=M U U C． (M N)( N) D． (M N)( M) U U U U 1 7. 设P= ，Q= 7− 5，R= 11−3，则P,Q,R的大小顺序是（ ） 3 A．PQR B．QRP C．RPQ D．QPR 8. 已知关于 x 的不等式( a2 −1 ) x2 −2ax+10恰有 3 个整数解，则实数 a 的取值范围是 ( ) 4 5 5 4 3 4 4 3 A. {a |− a − 或 a } B. {a|− a − 或 a } 3 4 4 3 2 3 3 2 3 3 3 4 3 C. {a |− a −1或1 a } D. {a|− a − 或1 a } 2 2 2 3 2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中正确的是( ). a b A. 若ab，则  B. 若−2a3，1b2，则−3a−b1 c2 c2 m m C. 若ab0，m0，则  D. 若ab，cd ，则acbd a b 10. 下列命题为真命题的有( ) A. ∀𝑥 ∈𝑅，𝑥2+𝑥+1 >0 B. 当𝑎𝑐 >0时，∃𝑥 ∈𝑅，𝑎𝑥2+𝑏𝑥−𝑐 =0 C. |𝑥−𝑦|=|𝑥|+|𝑦|成立的充要条件是𝑥𝑦 ⩾0 D. “−2<𝑥 <3”是“(𝑥2−2|𝑥|+4)(𝑥2 −2𝑥−3) <0”的必要不充分条件 b 11. 已知a−b,b0，且a(a+2b−2)=(1+b)(3−b)，则 的值可能为（ ）． a2+16 1 3 1 1 A． B． C． D． 4 4 3 5三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若“x1,4，使得2x+a+10”是假命题，则实数a的取值范围为 . 13. 在实数范围内，不等式|2x−1|+|2x+1|6的解集为 14. 若𝑥 、𝑥 、…、𝑥 均为正实数，则𝑥 + 𝑥2+ 𝑥3 + 𝑥4 +⋯+ 𝑥2025 + 4 1 2 2025 1 𝑥1 𝑥1𝑥2 𝑥1𝑥2𝑥3 𝑥1𝑥2…𝑥2024 𝑥1𝑥2…𝑥2025 的最小值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13分） 已知全集U =R，集合A=x|−3x7，集合B=x|3−2ax2a−5，其中aR. (1) 当a=4时，求 (AB)； R (2) 若AB = A，求a的取值范围. 16．（15分） (1) 命题p:“x1,2,x2−a0”，命题q:“x R,x 2+2ax +2−a=0”，当p和q都 0 0 0 为真命题时，求实数a的取值范围； x−1 (2) 已知p：1− 2，q：x2−2x+1−m2 0(m0)，若p是q的充分而不必要条 3 件，求实数m的取值范围． 17．（15分） (1) 已知 a，b，c 是互不相等的非零实数，用反证法证明三个方程ax2 +2bx+c=0， bx2 +2cx+a=0，cx2 +2ax+b=0中至少有一个方程有两个相异实根. x y z (2) 设x0，y0，z 0，证明：1 + + 2. x+ +z z+x18．（17分） 已知函数y=ax2 −(a+2)x+2，aR， (1) 若不等式y3−2x恒成立，求实数a的取值范围； (2) 当a0时，求不等式y0的解集； (3) 若关于x的方程ax2−(a+2)|x|+2=−1有四个不同的实根，求实数a的取值范围. 19．（17分） 已知实数a，b，c满足abc. 1 1 1 (1) 求证： + + 0. a−b b−c c−a 1 (2) 将上述不等式加以推广，把 的分子1改为另一个大于1的自然数p，使得 c−a 1 1 p + + 0对任意的a，b，c恒成立，求p的值. a−b b−c c−a m n p (3) 继续推广，自然数m，n，p满足什么条件时，不等式 + + 0对任意 a−b b−c c−a a，b，c恒成立？东北育才高中 2025—2026 学年度上学期高一年级数学月考试卷 答题时间：120 分钟 满分：150 分 命题人 校对人：庞德艳，袁野 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的. 1．已知集合𝐴={1,2,3,5},𝐵={2,3,5,7,11}，则AB（ ） A．2,3,5 B．1,2,3,5 C．{2,3,5,7,11} D．{1,2,3,5,7,11} 【答案】A【详解】因为𝐴={1,2,3,5},𝐵={2,3,5,7,11}，所以AB2,3,5 . 故选：A. 2已知命题p:xR, x 0，则p:（ ） A．xR, x 0 B．xR, x 0 C．xR, x 0 D．xR, x 0 【答案】D 【详解】由全称命题的否定为特称命题，则p:xR, x 0. 故选：D 1 1  3.不等式 x x0的解集是（ ） 2 3   1 1  1 1 A．x x  B．x x 或x   3 2  3 2  1  1 C．x x  D．x x   3  2 【答案】B 1 1   1 1 1 1 【详解】原不等式 x x0可化为x x 0，解得x 或x ， 2 3   2 3 3 2 1 1   1 1 所以不等式 x x0的解集为x x 或x .故选：B. 2 3   3 2 4. 如果对于任意实数x，[x]表示不超过的x最大整数，例如[]=3,[0.6]=0 ,[1.6]=-2，那么"[x][y]" 是"|x-y|1"的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解答】解：因为[𝑥]表示不超过𝑥的最大整数，所以[𝑥]=[𝑦]即𝑥,𝑦在某相邻的两个整数之间， 而|𝑥―𝑦|<1表示𝑥,𝑦这两个数可以在两个相邻整数之间，也可在某个整数两侧距离不超过1 例如0.9与1.1，|𝑥―𝑦|<1但是[𝑥]≠[𝑦]，故“[𝑥]=[𝑦]”是“|𝑥―𝑦|<1”的充分不必要条件．故选：𝐴．  2  3 5．已知关于x的不等式ax2bx10的解集为, Um,，其中m0，则b 的最小值为  m m （ ） A．4 2 B．4 C．2 2 D．2 【答案】C 2 【详解】由题意可知： ，m是方程ax2bx10的两根，且a0， m 2 b m  m a 1 1 m 3 4 m 则 ，可得a ，b  ，则b   2 2，当且仅当m2 2时取等号， 2 1 2 m 2 m m 2  m m a 所以的最小值为2 2. 故选：C. 6. 已知集合U为全集，集合M N ，M N U ，则（ ） A．M ð NM B．M ð NM U U C．ð M Nð N D．ð M Nð M U U U U 【答案】D 【分析】取N M ，可得出M ð NU ，可判断A选项；取M  N ，可判断B选项；根据 U ð M Nð Mð N ，可判断C选项；根据ð M Nð Mð N ，可判断D选项. U U U U U U 【详解】对于A选项，因为M N ，则M 、N 均不为空集， 因为M N U ，所以，当N M 时，则M ð NU ， U 又因为M 为U的真子集，A错； 对于B选项，若M  N ，则M ð N，B错； U 对于C选项，因为ð M Nð Mð N ， U U U 所以，ð M Nð N ，C错； U U 对于D选项，因为ð M Nð Mð N ，所以，ð M Nð M ，D对. 故选：D. U U U U U1 7. 设P ，Q 7 5，R 113，则P,Q,R的大小顺序是（ ） 3 A．PQR B．QRP C．RPQ D．QPR 【答案】D 【分析】对P,Q作差可求出PQ，再对R,P作差可求出PR，即可得出答案. 1 1  【详解】解：PQ ( 7 5)  5 7 ， 3 3  1  2 1 2 46 2 5 466 5  2 63 因为   5  5 5    ， 7 7 ， 3  9 3 9 3 9 9 466 5 63 1 1  10 而  ，所以PQ0，所以PQ，PR ( 113) 3 11  11， 9 9 3 3  3 10 2 100 2 99 100 99 而    ， 11 11 ，  ，而PR0，所以PR，综上，QPR. 故选：D.  3  9 9 9 9 8. 已知关于x的不等式 a2 1  x2 2ax10恰有3个整数解，则实数a的取值范围是 ( ) 4 5 5 4 3 4 4 3 A. {a | a„  或 „ a } B. {a| a„  或 „ a } 3 4 4 3 2 3 3 2 3 3 3 4 3 C. {a | a„ 1或1„ a } D. {a| a„  或1„ a } 2 2 2 3 2 【答案】A 【解答】解：因为  a2 1  x2 2ax10恰有3个整数解，所以a2 10，解得a 1或a1. 又  a2 1  x2 2ax10，即[(a1)x1][(a1)x1]0. 1 1 1  1 ①当a 1时，不等式的解集为{x| x }，因为 0, ，故3个整数解为1，2，3，则 a1 a1 a1  2 1 5 4 3 „ 4，解得 „ a ; a1 4 3 1 1 1  1  ②当a1时，不等式的解集为{x| x }，因为  ,0，故3个整数解为1,2,3， a1 a1 a1  2  1 4 5 则4„ 3，解得 a„  . a1 3 4 4 5 5 4 综上所述，实数a的取值范围为 a„  或 „ a . 故选：A. 3 4 4 3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 下列说法中正确的是( ). a b A. 若ab，则  B. 若2a3，1b2，则3ab1 c2 c2 m m C. 若ab0，m0，则  D. 若ab，cd ，则acbd a b 【答案】AC 1 解：对于A，ab， 0， ，A正确； c2 3 3 对于B，若a  ，b ，则ab3，B错误； 2 2 1 1 对于C，ab0，0  ，又m0， ，C正确； a b 对于D，若a2，b0，c1，d 3，则ac2，bd 0，acbd ，D错误. 故选AC. 10. 下列命题为真命题的有( ) A. ∀𝑥∈𝑅，𝑥2+𝑥+1>0 B. 当𝑎𝑐>0时，∃𝑥∈𝑅，𝑎𝑥2+𝑏𝑥―𝑐=0 C. |𝑥―𝑦|=|𝑥|+|𝑦|成立的充要条件是𝑥𝑦⩾0 D. “―2<𝑥<3”是“(𝑥2―2|𝑥|+4)(𝑥2―2𝑥―3)<0”的必要不充分条件 【答案】ABD 【解答】对于𝐴，因为𝑥2+𝑥+1=(𝑥+ 1 )2+ 3 ⩾ 3 >0，故A正确； 2 4 4 对于𝐵，由于𝑎𝑐>0，所以对于𝑎𝑥2+𝑏𝑥―𝑐=0，𝛥=𝑏2+4𝑎𝑐>0， 所以方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥―𝑐=0有实数根，故B正确； 对于𝐶，由|𝑥―𝑦|=|𝑥|+|𝑦|，得|𝑥―𝑦|2=(|𝑥|+|𝑦|)2，整理得―𝑥𝑦=|𝑥𝑦|，所以𝑥𝑦⩽0，故|𝑥―𝑦|=|𝑥|+ |𝑦|成立的充要条件是𝑥𝑦⩽0，故C错误； 对于𝐷，因为𝑥2―2|𝑥|+4=(|𝑥|―1)2+3>0， 所以(𝑥2―2|𝑥|+4)(𝑥2―2𝑥―3)<0等价于𝑥2―2𝑥―3<0， 由𝑥2―2𝑥―3<0，可得―1<𝑥<3，因为(―1,3)⫋(―2,3)， 所以“―2<𝑥<3”是“(𝑥2―2|𝑥|+4)(𝑥2―2𝑥―3)<0”的必要不充分条件，故D正确． 故选：𝐴𝐵𝐷． b 11. 已知ab,b0，且aa2b21b3b，则 的值可能为（ ）． a216 1 3 1 1 A． B． C． D． 4 4 3 5 【答案】AD 【详解】aa2b21b3b，a22ab2ab22b30， ab22ab30，ab,ab0，ab3，b b b 1 1 1       , a216 3b2 16 b26b25 25 2 256 4 b 6 b 25 b 1 当且仅当b ，即b5时等号成立，此时 取最大值 ．故答案为：A D b a216 4 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若“x1,4，使得2xa10”是假命题，则实数a的取值范围为 . 【答案】(,9) 【详解】由于“x1,4，使得2xa10”是假命题， 则“x1,4，使得2xa10”是真命题， 故24a10，则a9， 故答案为：(,9) 13. 在实数范围内，不等式|2x1||2x1|6的解集为  3 3 【答案】xR| x   2 2 【详解】试题分析：解：由不等式|2x-1|+|2x+1|≤6，可得 1 ①-(2x-1)+(-2x-1)≤6, x＜- ， 2 1 1 或 ②-(2x-1)+(2x+1)≤6 - ≤x＜ ， 2 2 1 或③2x-1+2x+1≤6, x 2 3 1 1 1 1 3 解①得- ≤x＜- ，解②得- ≤x＜ ，解③得 ≤x≤ 2 2 2 2 2 2  3 3 把①②③的解集取并集可得不等式的解集为x| x   2 2 14. 若𝑥 、𝑥 、…、𝑥 均为正实数，则𝑥 + 𝑥 2+ 𝑥 3 + 𝑥 4 +…+ 𝑥 2025 + 4 的最小值为 ． 1 2 2025 1 𝑥 1 𝑥 1 𝑥 2 𝑥 1 𝑥 2 𝑥 3 𝑥 1 𝑥 2 …𝑥 2024 𝑥 1 𝑥 2 …𝑥 2025 【答案】4 【解答】解：原式= 4 + 𝑥 2025 +⋯+ 𝑥 4 + 𝑥 3 + 𝑥 2+𝑥 𝑥 1 𝑥 2 ⋅⋅⋅𝑥 2025 𝑥 1 𝑥 2 ⋅⋅⋅𝑥 2024 𝑥 1 𝑥 2 𝑥 3 𝑥 1 𝑥 2 𝑥 1 1≥2 𝑥 1 𝑥 2 ⋅⋅ 4 ⋅𝑥 2025 ⋅ 𝑥 1 𝑥 2 𝑥 2 ⋅⋅ 0 ⋅ 2 𝑥 5 2024 + 𝑥 1 𝑥 2 𝑥 2 ⋅⋅ 0 ⋅ 2 𝑥 4 2023 +⋯+ 𝑥 1 𝑥 𝑥 4 2 𝑥 3 + 𝑥 𝑥 1 𝑥 3 2 + 𝑥 𝑥 2 1 +𝑥 1 4 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 2024 4 3 2 = + +⋯+ + + +𝑥 𝑥 𝑥 ⋯𝑥 𝑥 𝑥 ⋅⋅⋅𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 1 1 2 2024 1 2 2023 1 2 3 1 2 1 4 4 ≥⋯≥ +𝑥 ≥2 ⋅𝑥 ≥2 𝑥 1 𝑥 2 ⋯ 4 𝑥 2024 ⋅ 𝑥 1 𝑥 2 𝑥 2 ⋅⋅ 0 ⋅ 2 𝑥 4 2023 +⋯+ 𝑥 1 𝑥 𝑥 4 2 𝑥 3 + 𝑥 𝑥 1 𝑥 3 2 + 𝑥 𝑥 2 1 +𝑥 1 𝑥 1 1 𝑥 1 1 4 𝑥 𝑥 𝑥 4 3 2 = +⋯+ + + +𝑥 𝑥 𝑥 ⋯𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 1 1 2 2023 1 2 3 1 2 1 =4， 4 当且仅当 =𝑥(𝑖=1,2,3,⋯,2025,𝑥 >0)时，即当𝑥 =𝑥 =⋯=𝑥 =𝑥 =2时，等号成立， 𝑥 𝑖 𝑖 1 2 2024 2025 𝑖 故𝑥 + 𝑥 2+ 𝑥 3 + 𝑥 4 +⋅⋅⋅+ 𝑥 2025 + 4 的最小值为4． 1 𝑥 1 𝑥 1 𝑥 2 𝑥 1 𝑥 2 𝑥 3 𝑥 1 𝑥 2 ⋅⋅⋅𝑥 2024 𝑥 1 𝑥 2 ⋅⋅⋅𝑥 2025 故答案为：4． 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13分） 已知全集U R，集合Ax|3x7，集合Bx|32ax2a5，其中aR. (1)当a4时，求ð AB； R (2)若AB A，求a的取值范围. 【详解】（1）a4，故Bx|5x3，ABx 5x7 ， ð AB{x|x5或x7} . …………4分 R （2）若AB A，则B A， 当B时，32a2a5a2， . …………8分 32a2a5  当B时，32a3 ，解得2a3， . …………12分  2a57 综上，a3. . …………13分 16．（15分） （1）命题p:“x1,2,x2a0”，命题q:“x R,x 22ax 2a0”，当p和q都为真命题时，求 0 0 0 实数a的取值范围；x1 （2）已知p：1 2，q：x22x1m2 0m0，若p是q的充分而不必要条件，求实数m的 3 取值范围． 【详解】1若p是真命题，则a x2，因为x1,2，所以a1； . …………2分 若q为真命题，则方程x22ax2a0有实根， 所以Δ4a242a0，即a1或a2， . …………5分 由p真q也真时，所以a2或a1； 故实数a的取值范围为：,21 . …………7分 2由x22x1m2≤0得1mx1mm0． 所以“q”：A  x x1m或x1m} . …………9分 x1 由1 2得2x10，所以“p”：Bx x10或x2． . …………11分 3 由p是q的充分而不必要条件知:B是A的真子集，故 m0 m0   1m2或1m2,解得：0m3或0m3，结果为0m3,   1m10 1m10 故m的取值范围为0,3 . …………15分 17．（15分） （1）已知a，b，c是互不相等的非零实数，用反证法证明三个方程ax2 2bxc  0，bx2 2cxa0， cx2 2axb0中至少有一个方程有两个相异实根. x y z (2)设x0， y0，z 0，证明：1   2. x y y z z x 【答案】（1）证明：假设三个方程都没有两个相异实根. 则 ， ， ， 上述三个式子相加得， ， 即a2 2abb2 b2 2bcc2 c2 2aca2„ 0，即(ab)2 (bc)2 (ca)2„ 0. 所以abc，这与a，b，c是互不相等的非零实数相矛盾.因此假设不成立，故三个方程ax2 2bxc  0，bx2 2cxa0，cx2 2axb0中至少有一个方程有两个相异实根. . …………7分 x x y y z z （2）由不等式的性质知，  ，  ，  ， x y x yz yz x yz zx x yz x y z x y z 所以      1， x y y z z x x y z x y z x y z x xz 又根据糖水不等式，证出  ， x y x yz y x y z yz 同理可得  ，  ， yz x yz zx x yz x y z xz x y yz 所以      2， x y yz zx x yz x yz x yz x y z 所以1   2. . …………15分 x y y z z x 18．（17分） 已知函数y ax2 a2x2，aR， (1)若不等式y32x恒成立，求实数a的取值范围； (2)当a0时，求不等式y0的解集； (3)若关于x的方程ax2(a2)|x|21有四个不同的实根，求实数a的取值范围. 【详解】（1）不等式y32xax2(a2)x232xax2ax10， 当a0时，10恒成立，则a0； . …………2分 a0 当a0时， ，解得-40，bc0，ac0，  1 1   1 1  所以   ac    abbc  ab bc ab bc ab bc ab bc 2  22  4， bc ab bc ab ab bc 当且仅当  ，即abbc，即ac2b时等号成立， bc ab 1 1 4 1 1 1 1 所以    ，所以   0. . …………5分 ab bc ac ac ab bc ca 1 1 p  1 1  （2）   0可变形为p    abbc  ， ab bc ca ab bc  1 1  由（1）知    abbc  的最小值为4，所以p4. ab bc 又p1，且pN，所以p2或3. . …………10分 m n p  m n  （3）类似（2），不等式   0恒成立，即p    abbc  恒成立， ab bc ca ab bc  m n  mbc nab 而    abbc  mn  mn2 mn， ab bc ab bc mbc nab 当且仅当  ，即 mbc nab时等号成立， ab bc  2 所以pmn2 mn，即p m n ，即 p  m n. m n p 所以当自然数m，n，p满足 p  m n时，不等式   0对任意a，b，c恒成立. ab bc ca . …………17分