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专题22 非常规分式方程的解题技巧（原卷版）
技巧一 分式方程的规律问题
典例剖析+针对训练
典例1 先阅读下面的材料，然后解答问题：通过观察，发现方程：
1 1 1
x+ =2+ 的解为x ＝2，x = ；
x 2 1 2 2
1 1 1
x+ =3+ 的解为x ＝3，x = ；
x 3 1 2 3
1 1 1
x+ =4+ 的解为x ＝4，x = ；…
x 4 1 2 4
1 1
（1）观察上述方程的解，猜想关于x的方程x+ =5+ 的解是 ；
x 5
1 1
（2）根据上面的规律，猜想关于x的方程x+ =c+ 的解是 ；
x c
x2−x+1 1 1 1
（3）把关于x的方程 =a+ 变形为方程x+ =c+ 的形式是 ，方程的解是
x−1 a−1 x c
．
针对训练
1 1 1 1 1
1．（2022秋•鼓楼区期末）阅读下列材料，关于x的方程：x+ =c+ 的解是x ＝c，x = ；x− =c−
1 2
x c c x c
−1 −1 1 2 2 2
（即x+ =c+ ）的解是x ＝c，x =− ；x+ =c+ 的解是：x ＝c，x = ，…
1 2 1 2
x c c x c c
m m
（1）观察上述方程及其解的特征，直接写出关于x的方程x+ =c+ （m≠0）的解，并利用“方程的
x c
解”的概念进行验证；
2 2
（2）通过（1）的验证所获得的结论，你能解出关于x的方程：x+ =a+ 的解吗？若能，请求
x−1 a−1
出此方程的解；若不能，请说明理由．
1 1 1 1
（3）已知：a− =b− −2，且a﹣b+2≠0，求 − 的值．
a+1 b−1 a b技巧2 分离常数法解分式方程
x+7 x+9 x+10 x+6
典例2 解方程： + = + ；
x+6 x+8 x+9 x+5
针对训练
x+2 x+5 x+3 x+4
1．解方程： + = + ．
x+1 x+4 x+2 x+3
技巧3 裂项法解分式方程
5．（2023秋•娄底期中）观察下列各式：
1 1 1 1 1 1 1 1
=1− ； = − ； = − ；……
1×2 2 2×3 2 3 3×4 3 4
请利用你所得的结论，解答下列问题：
1 1 1 1
（1）计算： + + +⋯+ ．
1×2 2×3 3×4 n(n+1)
1 1 1 1
（2）解方程 + + +⋯+ =2．
x+10 (x+1)(x+2) (x+2)(x+3) (x+9)(x+10)
1 1 1 1 6
（3）若 + + +⋯+ = ，求n的值．
1×4 4×7 7×10 (3n+1)(3n+4) 19针对训练
1 1 1 1 1 1 1 1
1．（2023秋•栾城区校级月考）因为 =1− ， = − ，⋯， = − ，
1×2 2 2×3 2 3 19×20 19 20
1 1 1 1 1 1 1 1 1 19
所以 + +⋯+ =1− + − +⋯+ − =1− = ．解答下列问题：
1×2 2×3 19×20 2 2 3 19 20 20 20
1 1 1 1
（1）在和式 + + +⋯中，第九项是 ；第n项是 ；
1×2 2×3 3×4 9×10
1 1 1 1
（2）解方程： + +⋯+ = ．
(x+1)(x+2) (x+2)(x+3) (x+2001)(x+2002) x+2002
技巧四 换元法解分式方程（组）
7．（2022秋•湘潭县期末）阅读下面材料，解答后面的问题．
x−1 4x
解方程： − =0．
x x−1
x−1 4
解：设y= ，则原方程化为：y− =0，
x y
方程两边同时乘y得：y2﹣4＝0，
解得：y ＝2，y ＝﹣2．
1 2
4
经检验：y ＝2，y ＝﹣2都是方程y− =0的解．
1 2
y
x−1
当y＝2时， =2，解得：x＝﹣1；
x
x−1 1
当y＝﹣2时， =−2，解得：x= ．
x 3
1
经检验：x ＝﹣1或x = 都是原分式方程的解．
1 2
3
1
∴原分式方程的解为x ＝﹣1或x = ．
1 2
3上述这种解分式方程的方法称为换元法．
问题：
x−1 x x−1
（1）若在方程 − =0中，设y= ，则原方程可化为： ；
4x x−1 x
x−1 4x+4 x−1
（2）若在方程 − =0中，设y= ，则原方程可化为： ；
x+1 x−1 x+1
x−1 3
（3）模仿上述换元法解方程： − −1＝0．
x+2 x−1
针对训练
4 4 2
1．（2022秋•仁寿县校级月考）若 − =−1，则 =（ ）
x2 x x
A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．2
2．（2023春•南岗区校级期中）阅读理解，并根据所得规律答题．
解二元一次方程组的基本方法有“代入法”、“加减法”两种消元策略，有一种方程组，不是二元一次
2 3
{ + =5①)
方程组，但结构类似，如 x y ，我们分析x≠0，y≠0，可以采用“换元法”来解：设1 ，
=m
5 2 x
− =3②
x y
1
=n，原方程组转化为
{2m+3n=5)
，解得
{m=1)
，∴
1
=1，
1
=1，由倒数定义得，原方程组的解
y 5m−2n=3 n=1 x y
{x=1)
为 ．
y=1
3 2
（1）直接写出满足方程 + =4的一个解 ；
x y3 2
{ + =4①)
（2）解方程组 x y ．
5 6
− =2②
x y
