易错点3函数概念与基本函数答案-备战2023年高考数学易错题_2.2025数学总复习_赠品通用版（老高考）复习资料_一轮复习_2023年高考数学一轮复习易错题（含解析）

易错点 03 函数概念与基本函数 易错点1：求解与函数有关的问题易忽略定义域优先的原则； 研究与函数有关的问题时，一定要先明确函数的定义域是什么，才能进行下一步工作。 易错点2：判断函数奇偶性时，易忽略检验函数定义域是否关于原点对称； 判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根据 与 的关系得到结 论； 易错点3： 根据定义证明函数的单调性时，规范格式是什么？(取值, 作差, 判正负 王新奎新疆屯敞 )； 判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数，根据单调性的性质和复合函数“同 增异减”性得到结论. 易错点4：指对型函数比较大小 要熟练掌握常用初等函数的单调性如：一次函数的单调性取决于一次项系数的符号，二次 函数的单调性决定于二次项系数的符号及对称轴的位置，指数函数、对数函数的单调性决 定于其底数的范围（大于1还是小于1），特别在解决涉及指、对复合函数的单调性问题 时要树立分类讨论的数学思想（对数型函数还要注意定义域的限制）. 易错点5：用函数图象解题时作图不准 “数形结合”是重要思想方法之一，以其准确、快速、灵活及操作性强等诸多优点颇受数 学学习者的青睐。但我们在解题时应充分利用函数性质，画准图形，不能主观臆造，导致 图形“失真”，从而得出错误的答案。 易错点6：在涉及指对型函数的单调性有关问题时，没有根据性质进行分类讨论的意识和 易忽略对数函数的真数的限制条件； 要熟练掌握常用初等函数的单调性如：一次函数的单调性取决于一次项系数的符号， 二次函数的单调性决定于二次项系数的符号及对称轴的位置，指数函数、对数函数的 单调性决定于其底数的范围（大于1还是小于1），特别在解决涉及指、对复合函数 的单调性问题时要树立分类讨论的数学思想（对数型函数还要注意定义域的限制）； 易错点7：抽象函数的推理不严谨致误； 所谓抽象函数问题，是指没有具体地给出函数的解析式，只给出它的一些特征或性 质。解决这类问题常涉及到函数的概念和函数的各种性质，因而它具有抽象性、综合 性和技巧性等特点;解决抽象函数的方法有：换元法、方程组法、待定系数法、赋值 法、转化法、递推法等； 考点一：函数的单调性和奇偶性 1．(2021年高考全国甲卷理科)设函数 的定义域为R， 为奇函数， 为偶函数，当 时， ．若 ，则( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为 是奇函数，所以 ①； 因为 是偶函数，所以 ②． 令 ，由①得： ，由②得： ， 因为 ，所以 ， 令 ，由①得： ，所以 ． 思路一：从定义入手． 所以 ． 思路二：从周期性入手 由两个对称性可知，函数 的周期 ． 所以 ． 故选：D． 2．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）下列函数中是增函数的为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】1.对于A， 为 上的减函数，不合题意，舍. 对于B， 为 上的减函数，不合题意，舍.对于C， 在 为减函数，不合题意，舍. 对于D， 为 上的增函数，符合题意，故选：D. 3．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）设函数 ，则下列函数中为奇函数 的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得 ， 对于A， 不是奇函数； 对于B， 是奇函数； 对于C， ，定义域不关于原点对称，不是奇函数； 对于D， ，定义域不关于原点对称，不是奇函数. 故选：B 4．(2021年高考全国乙卷理科)设函数 ，则下列函数中为奇函数的是 ( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可得 ， 对于A， 不是奇函数；对于B， 是奇函数； 对于C， ，定义域不关于原点对称，不是奇函数； 对于D， ，定义域不关于原点对称，不是奇函数．故选：B 5. （2021新高考2卷）已知函数 的定义域为 ， 为偶函数， 为奇函数，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B 【 解 析 】 因 为 函 数 为 偶 函 数 ， 则 ， 可 得 ，因为函数 为奇函数，则 ， 所 以 ， ， 所 以 ， ， 即 ， 故 函 数 是 以 为 周 期 的 周 期 函 数 ， 因 为 函 数 为奇函数，则 ，故 ，其它三 . 个选项未知.故选：B 6．（2021年上海卷）以下哪个函数既是奇函数，又是减函数( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题易知，只有 既是奇函数又是减函数，故选A 考点二：指对型函数比较大小 1. （2021年天津卷5）设 ，则a，b，c的大小关系为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 ， ， ， ， ， ， .故选：D. 2.（2021年新高考2卷7）已知 ， ， ，则下列判断正确的是 （） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 ，即 .故选：C. 3．（2020年全国2卷11）若 ，则 A． B． C． D．【答案】A 【解析】 ． 设 ，则 ， 所以函数 在 上单调递增， 因为 ，所以 ， 所以 ， 从而 ，故选A． 4．（2021年全国1卷理12）若 ，则 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由指数与对数运算可得： ， 又因为 ，即 ， 令 ，由指对函数单调性可得 在 内单调递增， 由 可得： ，所以选B. 5．（2019全国Ⅲ理11）设 f(x) 是定义域为 R的偶函数，且在 (0,) 单调递减，则 ( ) 1  3  2 1  2  3 f(log ) f(2 2) f(2 3) f(log ) f(2 3) f(2 2) A． 3 4 B． 3 4  3  2 1  2  3 1 f(2 2) f(2 3) f(log ) f(2 3) f(2 2) f(log ) C． 3 4 D． 3 4 【答案】C 1 【解析】 f x是定义域为 R 的偶函数，所以 f(log 3 4 ) f(log 3 4)， 3 2 3 2   因为log 4log 31， 02  2 2  3 20 1 ，所以02 2 2 3 log 4， 3 3 3  3  2 1 又 f x在 (0,) 上单调递减，所以 f(2 2) f(2 3) f(log 3 4 ). 故选C． f(x)(xR) 6.（2015年全国 2卷12）设函数 f’(x)是奇函数 的导函数， ，当 x0 xf '(x) f(x)0 f(x)0 时， ，则使得 成立的x的取值范围是（ ）A. B. C. D. ,1 0,1  【答案】 f(x) h(x)= 【解析】令 x ，因为 f(x) 为奇函数，所以 h(x) 为偶函数，由于 xf(x) f(x) h(x) x2 ，当 x>0 时， xf '(x) f(x) 0 ，所以 h(x) 在 (0,) h(x) (,0) f(1)0 f(1)=0 上单调递减，根据对称性 在 上单调递增，又 ， ， f(x)>0 x ,1  0,1 数形结合可知，使得 成立的 的取值范围是 ． 考点三、函数的图像与性质 1. （2021年天津卷3）函数 的图像大致为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 设 ，则函数 的定义域为 ，关于原点对称， 又 ，所以函数 为偶函数，排除AC； 当 时， ，所以 ，排除D. 故选：B. 2.（2019全国Ⅲ理7）函数 在 的图像大致为 A． B． C． D．【解析】 因为 ， 所以 是 上的奇函数，因此排除C， 又 ，因此排除A，D．故选B． 3．（2021年浙江卷7）已知函数 ，则图象为右图的函数可能是（ ）. A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 是偶函数， 是奇函数，由于图象是奇函数，所以 C，D正确，由于 ，则 ， C选项 不符合，故选D． 4．（2021年全国甲卷16）已知函数 的部分图象如图所示，则满足 条件 的最小正整数 为_____________. y 2 x O π 13π 3 12 【答案】2 【 解 析 】 由 ， 得 ， ， 将 代 入 得 ， ， ， 所 以 .等价于 ，等价于 或 ，由图像得最小整数 ，所以 y 2 1 7π 12 x O π π 5π 13π 4 3 6 12 ★5.（2015年全国2卷）如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着 边BC，CD与DA运动，记∠BOP=x．将动点P到A、B两点距离之和表示为x的函数f （x），则f（x）的图像大致为（ ） 【答案】B 【解析】由于 ，故排除选项C、D；当点 在 上时， ．不难发现 的图像是非线性，排除A．故选B. ★6.（2014年全国1卷） 如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是 圆上的动点，角 的始边为射线 ，终边为射线 ，过点 作直线 的垂线，垂足为 ，将点 到直线 的距离表示为 的函数 ，则 = 在[0, ]上的图像大致为（ ） 【答案】C 【解析】由题意知， ，当 时， ； 当 时， ，故选C． 考点四、分段函数 1．（2021年浙江卷12）已知 ，函数 若 则 ． 【答案】2 【解析】 ，即 ．解得 ． 2．（2015新课标Ⅱ）设函数 ，则 A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【解析】由于 ， ， 所以 ． 3.（2017新课标Ⅲ）设函数 则满足 的 的取值范 围是________． 【答案】 【解析】当 时，不等式为 恒成立； 当 ，不等式 恒成立； 当 时，不等式为 ，解得 ，即 ； 综上， 的取值范围为 ． 4．(2014 新课标)设函数 则使得 成立的 的取值范围是______． 【答案】 【解析】当 时，由 得 ，∴ ；当 时， 由 得 ，∴ ，综上 ． 5. （2021年天津卷9）设 ，函数 ，若 在区间 内恰有6个零点，则a的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 最多有2个根，所以 至少有4 个根， 由 可得 ， 由 可得 ， （1） 时，当 时， 有4个零点，即 ； 当 ， 有5个零点，即 ； 当 ， 有6个零点，即 ； （2）当 时， ， ， 当 时， ， 无零点； 当 时， ， 有1个零点； 当 时，令 ，则 ，此时 有2 个零点； 所以若 时， 有1个零点.综上，要使 在区间 内恰有6个零点，则应满足 或 或 ， 则可解得a的取值范围是 . 6.(2018全国卷Ⅰ)已知函数 ， ．若 存在2个 零点，则a的取值范围是（ ） y A．[–1，0） B．[0，+∞） 3 C．[–1，+∞） D．[1，+∞） 2 1 【答案】C x –2 –1 O 1 2 3 【解析】函数 存在 2个零点，即关于 –1 –2 的方程 有2 个不同的实根，即函数 的图象与直线 有2个交点，作出直线 与函数 的图象，如图所 示，由图可知， ，解得 ，故选C． f(x) (,) f(1)1 1 f(x2)1 1.函数 在 单调递减，且为奇函数．若 ，则满足 x 的 的取值范围是（ ）. A．[-2,2] B．[-1,2] C．[0,4] D．[1,3]【答案】D 【解析】由函数 为奇函数，得 ， 不等式 即为 ， 又 在 单调递减，所以得 ，即 ，选D． 2．设函数 ， 的定义域都为 ，且 是奇函数， 是偶函数，则下列结 论正确的是（ ） A． 是偶函数 B． | |是奇函数C．| | 是奇函数 D．| |是奇函数 【答案】B 【解析】 为奇函数， 为偶函数，故 为奇函数， | |为奇函 数，| | 为偶函数，| |为偶函数，故选B． 3．下列函数中，既是偶函数又在 单调递增的函数是( ) A． B． C． D． 【答案】B y  2x 【解析】 为奇函数， 在 上为减函数， 在 上为 减函数． 4.已知 ， ， ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】因为 ， ， ，且幂函数 在 上单调递 增，指数函数 在 上单调递增，所以 ，故选A． 5.若 ，则（ ） A. B. D. C. 【答案】C 【解析】选项A，考虑幂函数 ，因为 ，所以 为增函数，又 ， 所以 ，A错．对于选项B， ，又 是减函数， 所以B错．对于选项D，由对数函数的性质可知D错，故选C． 6．设函数 ，则 A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【解析】由于 ， ，所以 ． 7.函数 在 的图像大致为 B． B． C． D． 【答案】B 【解析】 因为 ， 所以 是 上的奇函数，因此排除C， 又 ，因此排除A，D．故选B． 8.偶函数 的图像关于直线 对称， ，则 =___ 【答案】3 【解析】∵函数 的图像关于直线 对称，所以 ， ，又 ，所以 ， 则 ． 9．函数 的图像与函数 的图像所有交点的横坐标之和 等于________. 【答案】2 1 y  x1 y 2sinx(2 x4) 【解析】图像法求解． 的对称中心是 也是 的中 2 x 4 心， 他们的图像在 的左侧有4个交点，则 右侧必有4个交点． x x ,x ,x ,x ,x ,x ,x 不妨把他们的横坐标由小到大设为 1, 2 3 4 5 6 7 8， x  x  x  x  x  x  x  x 2 则 1 8 2 7 3 6 4 5 10．已知函数 的部分图像如图所示，则满足条件 的最小正整数x为________．【答案】2 【解析】 由图可知 ，即 ，所以 ； 由五点法可得 ，即 ； 所以 ． 因为 ， ； 所以由 可得 或 ； 因为 ，所以， 方法一：结合图形可知，最小正整数应该满足 ，即 ， 解得 ，令 ，可得 ， 可得 的最小正整数为2． 方法二：结合图形可知，最小正整数应该满足 ，又 ， 符合题意，可得 的最小正整数为2． 故答案为：2．