文档内容
微专题：根据函数零点的分布求参数范围
【考点梳理】
注意结合函数的单调性来确定参数的范围，否则可能出错.
【题型归纳】
题型一：根据函数零点的个数求参数范围
1．已知函数 ，若方程 有5个不同的实数解，则实数a的取值范围
为（ ）
A． B． C． D．
2．设 ，已知关于x的方程 恰有6个不同的实数根，则k的取值范用为
（ ）
A．（-2，0） B．（-3，-2） C．［-3，-2） D．［-2，0）
3．已知函数 ，若函数 恰有两个不同的零点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型一：根据一次函数零点的分布求参数范围
4．若函数f（x）＝3ax＋1－2a在区间（－1，1）内存在一个零点，则a的取值范围是（ ）
A． B． C．（－∞，－1） D．（－∞，－1）∪
5．若函数 在 内恰有一解，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数 在区间 上存在零点，则实数 的取值范围是
A．
第 1 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司B．
C．
D．
题型三：根据二次函数零点的分布求参数的范围
7．关于 的方程 有两个正根 ，下列结论错误的是（ ）
A．
B．
C． 的取值范围是
D． 的取值范围是
8．若函数 有两个不同的极值点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．已知 ，若 有5个零点，则实数 的取值范围（ ）
A． B． C． D．
题型四：根据指对幂函数零点的分布求参数范围
10．函数 ，若函数 有两个零点，则实数 的取值范围是( )
A． B． C． D．
11．已知 ，函数 若关于x的方程 恰有两个互异的实数解，则实数a
第 2 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
12．已知 是方程 的实根，则关于实数 的判断正确的是（ ）
① ② ③ ④
A．①④ B．②③ C．①③ D．②④
【双基达标】
13．函数 图像上一点 向右平移 个单位，得到的点 也在 图像
上，线段 与函数 的图像有5个交点，且满足 ， ，若 ，
与 有两个交点，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
14．已知函数 ．若关于x的方程 在 上有解，则实数m的取
值范围是（ ）
A． B．
C． D．
15．已知二次函数 的二次项系数为 ，且不等式 的解集为 ，若方程 ，有两个相
第 3 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司等的根，则实数 （ ）
A．－ B． C． 或－ D． 或－
16．已知函数 ，若函数 有4个零点，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
17．已知函数 ，若关于 的方程 有5个不同的实数根，则实数 的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
18．若函数 有且只有一个零点，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
19．已知函数 ，其中 ，若方程 有四个不同的实根
、 、 、 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
20．若函数 恰有三个极值点，则 的取值范围是
A． B． C． D．
21．已知函数 ，当 时，有 ，则 的取值范围是
第 4 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（ ）
A． B． C． D．
22．已知函数 ，若函数 在区间 内没有零点，则 的取值范围
是（ ）
A． B．
C． D．
23．设函数 ，对于非负实数t，函数 有四个零点 ， ， ， ．若
，则 的取值范围中的整数个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
24．已知函数 ，若函数 恰有两个零点，则实数m不可能是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
25．已知函数 ．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是
A．[–1，0） B．[0，+∞） C．[–1，+∞） D．[1，+∞）
26．对于函数 ，若存在 ，使 ，则称点 与点 是函数 的一
对“隐对称点”．若函数 的图象存在“隐对称点”，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
27．高斯是世界著名的数学家之一，他一生成就极为丰硕仅以他的名字“高斯”命名的成果就多达110个，为数
学家中之最．对于高斯函数 ，其中 表示不超过 的最大整数，如 ， ， 表示实数 的
非负纯小数，即 ，如 ， ．若函数 （ ，且 ）有且仅有
第 5 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司个不同的零点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
28．已知关于 的方程 恰有四个不同的实数根，则当函数 时，实数 的取值范围是
A． B．
C． D．
29．已知函数 ，若函数 恰有三个不同的零点，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
30．已知函数 有两个零点，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【高分突破】
一、单选题
31．已知函数 在 上有两个零点，则a的取值范是（ ）
A． B．
C． D．
32．设函数 的最小正周期为 ，且 在 内恰有3个零点，则 的取
值范围是（ ）
A． B．
第 6 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司C． D．
33．设函数 ，若关于x的方程 有四个实根 （ ），则
的最小值为（ ）
A． B．16 C． D．17
34．已知函数 ，若函数 有3个零点，则实数m的取值范围（ ）
A． B． C．（0，1） D．
35．已知函数 在 内恰有3个极值点和4个零点，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
36．已知函数 若 ( 互不相等)，则 的取
值范围是（ ）
A． B．
C． D．
37．已知函数 在 ， 上单调递增，在 上单调递减，则实数a的取值范围
为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
第 7 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司38．函数 若函数 只有一个零点，则 可能取的值有（ ）
A．2 B． C．0 D．1
39．已知函数 若关于x的方程 有5个不同的实根，则实数a的
取值可以为（ ）
A． B． C． D．
40．已知函数 为定义在R上的单调函数，且 .若函数 有3个零
点，则a的取值可能为（ ）
A．2 B． C．3 D．
41．已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A． 是偶函数；
B． 的最小正周期为 ；
C． 在区间 上单调递增；
D．若方程 在 有四个不同的实根，则这四个实根之和为 或 ．
三、填空题
42．已知函数 ，若存在实数 ，使函数 有两个零点，则实数 的取值范围是
___________.
43．已知函数 ，若函数 恰有两个零点，则k的取值范围为____.
44．已知不等式 有且只有两个整数解，则实数a的范围为___________．
45．已知函数 .若函数 有两个不同的零点，则实数 的取值范围是
___________.
第 8 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司46．若关于 的方程 的一根大于1，另一根小于1，则实数 的取值范围为______．
47．若函数 有两个不同的零点，则实数 的取值范围为_______．
四、解答题
48．已知函数 ．
（1）若函数 在范围 上存在零点，求 的取值范围；
（2）当 时，求函数 的最小值 ．
49．已知函数 .
(1)若 的定义域和值域均是[1，a]，求实数a的值；
(2)若 在[1，3]上有零点，求实数a的取值范围.
50．已知关于 的二次函数 ，令集合 ， ，若分别从集合 、 中
随机抽取一个数 和 ，构成数对 .
（1）列举数对 的样本空间；
（2）记事件 为“二次函数 的单调递增区间为 ”，求事件 的概率；
（3）记事件 为“关于 的一元二次方程 有4个零点”，求事件 的概率.
51．已知函数 ， ．
（1）若关于 的方程 有两个不等实根 ， ，求 的值；
（2）是否存在实数 ，使对任意 ，关于 的方程 在区间 上总有3
个不等实根 ， ， ，若存在；求出实数 的取值范围；若不存在，说明理由．
52．已知函数 .
第 9 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（1）若 ， 恒成立，求实数 的取值范围；
（2）若在定义域内存在实数 ，满足 ，则称 为“有点奇函数”，若 为定
义域 上的“有点奇函数”，求实数 的取值范围.
第 10 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司参考答案
1．D
【解析】
【分析】
画出函数 的大致图象，令 ，方程 有5个不同的实数解，转化为
根的分布问题，分情况讨论即可.
【详解】
函数 的大致图象如图所示，对于方程 有5个不同的实数解，
令 ，则 在 ， 上各有一个实数解或 的一个解为-1，另一个解在
内或 的一个解为-2，另一个解在 内.
当 在 ， 上各有一个实数解时，设 ，则 解得
；
当 的一个解为-1时， ，此时方程的另一个解为-3，不在 内，不满足题意；
当 的一个解为-2时， ，此时方程的另一个解为 ，在 内，满足题意.
综上可知，实数a的取值范围为 .
故选：D.
2．B
【解析】
【分析】
设关于 的方程 的两个根分别为 ，由关于 的方程 恰好有6个不同的
实数根，等价于关于 的图象与 公有6个交点，结合图象即可求解.
【详解】
的图象如图所示，令 ，设关于 的方程 的两个根分别为 ，由关于 的方程
恰好有6个不同的实数根，等价于关于 的图象与 公有6个交点，由图
第 11 页可知： 或者 ，设 ，当 时，则
；
当 ， 则 不符合要求；
故
故选：B
3．D
【解析】
【分析】
把函数 恰有两个不同的零点，转化为 与 的图象有两个不同的交点，结合指数
函数与对数函数的图象，即可求解.
【详解】
由题意，函数 ，
当 时，函数 为单调递增函数，其中 ，
当 时，函数 为单调递增函数，且 ，
又由函数 恰有两个不同的零点，
即为 有两个不等的实数根，即 与 的图象有两个不同的交点，
如图所示，当 恰好过点 时，两函数的图象有两个不同的交点，
结合图象，要使得函数 恰有两个不同的零点，则满足 ，
即实数 的取值范围是 .
故选：D.
4．D
【解析】
【分析】
第 12 页当a＝0，不合题意，舍去，根据函数f（x）＝3ax＋1－2a在区间（－1，1）内是单调函数，利用零点存在性定理
列不等式求解.
【详解】
当a＝0时，f（x）＝1与x轴无交点，不合题意，所以a≠0；
函数f（x）＝3ax＋1－2a在区间（－1，1）内是单调函数，
所以f（－1）·f（1）＜0，即（5a－1）（a＋1）＞0，
解得a＜－1或a＞ .
故选：D.
5．B
【解析】
【分析】
直接解方程得到答案.
【详解】
当 时不成立
取
则 解得
故答案选B
【点睛】
本题考查了函数的零点问题，属于简单题.
6．C
【解析】
【分析】
函数 为一次函数，只要保证其两端点分别在 轴的两侧，就可以保证其在区间 上存在零点，
即 ，从而得到关于 的不等式，求出 的范围.
【详解】
因为函数 为一次函数，
要使其在区间 上存在零点，
要保证其两端点分别在 轴的两侧，
所以
即 ，
解得 或 ，
故选 项.
【点睛】
本题考查一次函数的零点存在定理，属于简单题.
7．D
第 13 页【解析】
【分析】
根据方程有两正根，由二次方程根的分布问题，求出 的取值范围，引出对应的二次函数，
对于A选项，根据零点存在定理，判断A正确；
对于B选项，由零点存在定理，判断B正确；
对于C选项，根据韦达定理，消元得到关于 的分式函数，分离常数，结合 的取值范围及分式函数性质，求出
其范围，判断C正确；
对于D选项，根据韦达定理，消元得到关于 的二次函数，结合 的取值范围，求出其值域，判断D错误.
【详解】
由 有两不相等实数根，
得 ，解得 ,
令 ，
对于A选项，由 ， ，所以 ，故A正确；
对于B选项，由 ， ，所以 ，故B正确；
对于C选项，因为 ，所以 的取值范围是 ，故C正确；
对于D选项，由
所以 取值范围是 ，故D错误.
故选：D.
8．D
【解析】
【分析】
计算 ，然后等价于 在 有2个不同的实数根，然后计算 即可.
【详解】
解： 的定义域是 ，
，
若函数 有两个不同的极值点，
则 在（0，+∞）有2个不同的实数根，
故 ，解得： ，
故选：D.
第 14 页9．A
【解析】
【分析】
令 ，则 有两个不相等的零点，设为 ，利用数形结合结合条件可得 或
，进而即得.
【详解】
令 ，要使 有5个零点，结合函数 的图象
则 有两个不相等的零点，
设为 ，且 ，且需满足 或 ，
当 时， 无解，不合题意，
当 时， ， 的两根均大于或等于1，不合题意，
所以，只需 ，解得 .
故选：A.
10．B
【解析】
【分析】
令 ，可得 ，分别作出直线 和函数 的图象，平移直线即可得到 的取值范围．
【详解】
作出函数 的图象，
第 15 页令 ，可得 ，
画出直线 ，可得当 时，直线 和函数 的图象有两个交点，
则 有两个零点．
故选：B．
11．D
【解析】
【分析】
与分段函数有关的方程根的问题需要分段讨论根的个数，首先讨论 时， 的根的个数，利用
函数的单调性得出 时，在 上有一个根，在 时，在 上无实数根，由此可知需要在 时，
方程 的解的个数情况，即在 时， 需要有一个根， 时， 需要有两个根，
结合二次方程的根的分布可得．
【详解】
时，方程 为 ， ，
函数 在 上是增函数， 时， ， ， ，
所以 时 在 上有一个解， 时， 在 时无实数解，
因为方程 恰有两个互异的实数解，
所以 时，在 时，方程 只有一个解或两个相等的实解，
时， 时，方程 有两个不等实解．
由 得 ，
， ，
，不合要求，
时， ，方程 无实数解，不合题意．
第 16 页或 时，方程 有两个不等的实数解，
记 ，
时， 的对称轴为 ，又 ，所以 的两
个实数解都小于1，满足题意，
时， 的对称轴为 ，因此 的两个根一个大于 也即大于1，此根不
是 的根，因此要使得另一根小于1，
， ，又 ，所以 ，
综上， 或 ．
故选：D．
12．B
【解析】
【分析】
由 进行化简，得到 ，结合函数的单调性判断出正确答案.
【详解】
单调递增，
，
又 在 上单增， .
而 ，
故 ，
故选：B
13．A
【解析】
首先根据已知条件分析出 ，可得 ，再由 可得 对称轴为 ，利用
可以求出符合题意的一个 的值，进而得出 的解析式，再由数形结合的方法求 的取值范围即
可.
【详解】
第 17 页如图假设 ，线段 与函数 的图像有5个交点，则 ，
所以由分析可得 ，所以 ，
可得 ，
因为 所以 ，即 ，
所以 是 的对称轴，
所以 ，即 ，
，
所以 ，可令 得 ，
所以 ，
当 时，令 ，则 ，
作 图象如图所示：
当 即 时 ，当 即 时， ，
由图知若 ， 与 有两个交点，则 的取值范围为 ，
故选：A
第 18 页【点睛】
关键点点睛：本题解题的关键是取特殊点 便于分体问题，利用已知条件结合三角函数图象的特点，以及三
角函数的性质求出 的解析式，再利用数形结合的思想求解 的取值范围.
14．C
【解析】
【分析】
求出函数 在 上的值域后可求实数m的取值范围.
【详解】
,
当 时， ，所以 ，
故 的值域为 ，
因为 在 上有解即 在 上有解，
故 即 ，
故选：C.
15．A
【解析】
【分析】
设 ，可知 、 为方程 的两根，且 ，利用韦达定理可将 、 用 表示，再由方
程 有两个相等的根，由 求出实数 的值.
【详解】
由于不等式 的解集为 ，
即关于 的二次不等式 的解集为 ，则 .
由题意可知， 、 为关于 的二次方程 的两根，
由韦达定理得 ， ， ， ，
，
由题意知，关于 的二次方程 有两相等的根，
即关于 的二次方程 有两相等的根，
则 ， ，解得 ，故选A.
第 19 页【点睛】
本题考查二次不等式、二次方程相关知识，考查二次不等式解集与方程之间的关系，解题的关键就是将问题中涉
及的知识点进行等价处理，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
16．C
【解析】
【分析】
转化为两个函数交点问题分析
【详解】
即
分别画出 和 的函数图像，则两图像有4个交点
所以 ，即
故选 ：C
17．A
【解析】
利用导数求得函数 的单调性与最值，求解 ，转化为
或 ，作出函数的图象，结合图象，列出不等式，即可求解.
【详解】
设 ，可得 ，
当 时， ，函数单调递增；
当 时， ，函数单调递减，
所以当 时，函数取得极大值也是最大值，最大值为 ，
由方程 可化为 ，
解得 或 ，
画出函数 的图象，如图所示，
要使得关于 的方程 有5个不同的实数根，
第 20 页则满足 ，解得 ，
即实数 的取值范围是 .
故选：A
【点睛】
对于方程根的存在性与根的个数的判定及应用，此类问题的解答中通常转化为函数的图象的交点个数，结合函数
点图象列出相应的不等式是解答的关键，着重考查数形结合，以及转化思想的应用，属于中档试题.
18．B
【解析】
【分析】
由 可知当 时，因为 ，所以有一个零点，进而可知当 时，函数 没有零点即可，进
而结合指数函数的性质讨论得出结果.
【详解】
解：当 时，因为 ，所以有一个零点，
所以要使函数 有且只有一个零点，
则当 时，函数 没有零点即可，
当 时， ， ， ，
所以 或 ，即 或 .
即 的取值范围是 .
故选：B.
【点睛】
本题考查函数零点的应用，考查指数函数和对数函数的性质，考查推理能力，属于基础题.
19．B
【解析】
【分析】
作出函数 的图象，求出 的取值范围，利用韦达定理求得 的值，求出 、 关于 的表达式，可得出
第 21 页，再利用函数的单调性结合不等式的基本性质可求得 的取值范围.
【详解】
由 ，可得 ， ，可得 ，即 ，
所以， ，作出函数 的图象如下图所示：
因为方程 有四个不同的实根，则 ，解得 ，
由已知可得 、 是方程 的两根，则 ，
满足 ，可得 ，
满足 ，可得 ，
因此， ，
当 时， 随着 的增大而增大，则 ，
因此， .
故选：B.
第 22 页20．A
【解析】
【分析】
因为二次函数最多有一个极值点，故先分析 的部分； 时，令 ，利用参变分离将 变形为
，构造新函数 ，判断 的单调性，得出结论： 最多仅有两解，因此可确定：
时有两个极值点， 时有一个极值点. 时，利用 与 有两个交点时(数形结合)，对应求出
的范围； 时，利用二次函数的对称轴进行分析可求出 的另一个范围，两者综合即可.
【详解】
由题可知 ，当 时，令 ，可化为 ，令 ，则
，则函数 在 上单调递增，在 上单调递减， 的图象如图所示，所以当 ，
即 时， 有两个不同的解；当 ，令 ， ，解得 ，综上，
.
【点睛】
分析极值点个数的时候，可转化为导函数为零时方程解的个数问题，这里需要注意：并不是导数值为零就一定是
极值点，还需要在该点左右两侧导数值符号相异.
21．B
【解析】
【分析】
作出函数图象，根据图象判断出 的值以及 的取值范围，由此可分析出 的取值范围.
【详解】
作出 的图象如下图所示：
第 23 页因为 ，所以 ，
由图象可知： 关于 对称，所以 ，
又 ，所以 ，
所以 ，
故选：B.
【点睛】
思路点睛：根据多个自变量对应的函数值相等求解自变量和的范围问题，采用数形结合思想能高效解答问题，通
过数与形的相互转化能使问题转化为更简单的问题，常见的图象应用的命题角度有：
（1）确定方程根的个数；
（2）求参数范围；
（3）求不等式解集；
（4）研究函数性质.
22．C
【解析】
【分析】
先化简函数解析式，由 得，求得 ，利用正弦函数图象的性质可得 或
，求解即可.
【详解】
．
由 得， ，
∵函数 在区间 内没有零点，且 ，
∴ 或 ，
第 24 页解得 或 ，
则 的取值范围是 .
故选： ．
23．B
【解析】
画出图形，将问题转化为 与 图像的交点，可得 ，根据 的范围，可得 ，然后可得
，简单判断可得结果.
【详解】
如图所示：
依据题意可知：非负实数t，所以 ，
当 时，则 ，即
所以
当 时，则 ，即 ，所以
所以
所以只有 一个整数在这个范围，
故选：B
【点睛】
关键点睛：本题关键在于数形结合以及依据 的范围，求得 ，进行判断.
24．D
【解析】
依题意画出函数图象，函数 的零点，转化为函数 与函数 的交点，数形结合即可求出
参数 的取值范围；
【详解】
解：因为 ，画出函数图象如下所示，
函数 的有两个零点，即方程 有两个实数根，即 ，即函数 与函数
第 25 页有两个交点，由函数图象可得 或 ，
故选：D
【点睛】
函数零点的求解与判断方法：
(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图
象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，
就有几个不同的零点．
25．C
【解析】
【详解】
分析：首先根据g（x）存在2个零点，得到方程 有两个解，将其转化为 有两个解，即直
线 与曲线 有两个交点，根据题中所给的函数解析式，画出函数 的图像（将 去掉），
再画出直线 ，并将其上下移动，从图中可以发现，当 时，满足 与曲线 有两个交点，
从而求得结果.
详解：画出函数 的图像， 在y轴右侧的去掉，
再画出直线 ，之后上下移动，
可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，
并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，
即方程 有两个解，
也就是函数 有两个零点，
此时满足 ，即 ，故选C.
第 26 页点睛：该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数
零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数的图像以及相
应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果.
26．B
【解析】
【分析】
由隐对称点的定义可知函数 图象上存在关于原点对称的点，由函数奇偶性的定义将问题转化为方程
的零点问题，再结合基本不等式得出实数 的取值范围．
【详解】
解：由隐对称点的定义可知函数 图象上存在关于原点对称的点
设 的图象与函数 ， 的图象关于原点对称
令 ，则 ，
故原题义等价于方程 有零点，解得
又因为 ，当且仅当 时取等号
．
故选：B．
27．D
【解析】
【分析】
将函数的零点问题转化为 的图象与函数 的图象有且仅有 个交点的问题，根据高斯函数的定义，
求出 的解析式，作出其图象，数形结合即可得参数的取值范围．
【详解】
函数 有且仅有3个零点，
即 的图象与函数 的图象有且仅有 个交点．
第 27 页而 ，
画出函数 的图象，
易知当 时， 与 的图象最多有1个交点，故 ，
作出函数 的大致图象，结合题意可得 ，解得： ，
所以实数 的取值范围是 ，
故选：D．
28．B
【解析】
【分析】
利用导数判断 的单调性和极值，得出方程 的根分布情况，从而得出方程 恰有四个
不同的实数根等价于关于 的方程 在 上有一个解，在 上有一个解，利用二次函数
的性质列不等式可求出 的范围.
【详解】
，
令 ，解得 或 ，
当 或 时， ；当 时， ，
在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，
第 28 页当 时，函数 取得极大值 ，
当 时，函数 取得极小值 ，
作出 的大致函数图象如图所示，
令 ，则当 或 时，关于 的方程 只有一个解；
当 时，关于 的方程 有两个解；
当 时，关于 的方程 有三个解，
恰有四个零点，
关于 的方程 在 上有一个解，
在 上有一个解，
显然 不是方程 的解，
关于 的方程 在 和 上各有一个解，
，解得 ，
即实数 的取值范围是 ，故选B.
【点睛】
已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的
不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数
形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个
函数 的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是
转化为 的交点个数的图象的交点个数问题 .
29．C
【解析】
【分析】
根据解析式可确定 至多有 个零点，从而利用函数图象可确定 恰有三个不同的零点的大致图象，从而确
定 的取值范围.
【详解】
由题意得： ；
令 得： ；令 得： 或 ；
第 29 页即 至多有 个零点；
若函数 恰有三个不同的零点，则需 大致图象如下图所示，
即需 ， 恰有三个不同的零点，
实数 的取值范围为 .
故选：C.
30．D
【解析】
【分析】
令 ，再参变分离得到 ，再求导分析 的单调性，进而得到函数图象，数形结
合即可得实数a的取值范围
【详解】
函数 有两个零点，即 有两根，又 ，故可转换为
有两根，令 ， 则 ，令
，则 ，故 在 上单调递减，在 上单调递增，故 ，当且仅
当 时等号成立，故在 上 ， 单调递减；在 上 ， 单调递增，所以
，又当 与 时 ，故实数a的取值范围为
故选：D
【点睛】
本题主要考查了利用导数解决函数的零点个数问题，需要根据题意参变分离，再求导分析单调性与最值，属于难
题
31．C
【解析】
【分析】
根据解析式可得 ，原题转化为求 在 上有一个零点，当 时，求导可得 的
单调性，分析不符合题意；当 时，令 ，解得 ，分别讨论 、 和
第 30 页三种情况下 的单调性，结合题意，即可求得a的范围.
【详解】
由题意得： ， ，
所以原题转化为求 在 上有一个零点，
，
当 时， ，则 在 上单调递减，且 ，不符合题意，
当 时，令 ，解得 ，
当 ，即 时， ，此时 在 上单调递减，且 ，不符合题意，
当 ，即 时， ，此时 在 上单调递增，且 ，不符合题意，
当 ，即 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，当 时，
在 上有一个零点，
所以 ，解得 ，所以 .
综上：a的取值范是
故选：C
【点睛】
解题的关键是当 时，进行分段讨论，结合函数的单调性及零点的定义，分析求解，考查分析理解，分段讨论
的思想，属中档题.
32．D
【解析】
【分析】
根据周期求出 ，结合 的范围及 ，得到 ，把 看做一个整体，研究
在 的零点，结合 的零点个数，最终列出关于 的不等式组，求得 的取值范围
【详解】
因为 ，所以 .由 ，得 .
当 时， ，又 ，则 .
因为 在 上的零点为 ， ， ， ，且 在 内恰有3个零点，所以
或 解得 .
故选：D
第 31 页33．B
【解析】
【分析】
作出函数 的大致图象，可知 ，由 与 的图象有四个交点可得 ，计算
求得 的值即可得 的范围，根据 可得 与 的关系，再根据基本
不等式计算 的最小值即可求解.
【详解】
作出函数 的大致图象，如图所示：
当 时， 对称轴为 ，所以 ，
若关于 的方程 有四个实根 ， ， ， ，则 ，
由 ，得 或 ，则 ，
又 ，所以 ，
所以 ，所以 ，且 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
故 的最小值为 .
故选：B.
【点睛】
方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数
形结合的方法求解.
34．C
第 32 页【解析】
【分析】
函数 有3个零点，所以 有三个实根，即直线 与函数 的图象有三个交
点，作出图象，即可求出实数 的取值范围．
【详解】
因为函数 有3个零点，所以 有三个实根，即直线 与函数 的图象有三
个交点．
作出函数 图象，由图可知，实数 的取值范围是 ．
故选：C．
35．A
【解析】
【分析】
由第4个正零点小于1，第4个正极值点大于等于1可解.
【详解】
，因为 ，
所以 ，
又因为函数 在 内恰有 个极值点和4个零点，
由图像得： 解得： ，所以实数 的取值范围是 .
故选：A.
36．D
【解析】
【分析】
先画函数图象，再进行数形结合得到 和 ，结合对勾函数单调性解得 的范围，即
得结果.
【详解】
作出函数 的图象，如图所示:
第 33 页设 ，则 .
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，即 .
当 时，解得 或 ，所以 .
设 ，
因为函数 在 上单调递增，所以 ，即 ，
所以 .
故选：D.
37．A
【解析】
【分析】
由题意可得 两个根分别位于 和 上，所以 ，从而解不等式组可求出实数 的取值范围.
【详解】
由 ，得 ．
因为 在 ， 上单调递增，在 上单调递减，
所以方程 的两个根分别位于区间 和 上，
所以 ，即
解得 .
故选：A．
38．ABC
第 34 页【解析】
【分析】
只有一个零点可化为函数 与函数 有一个交点，作函数 与函
数 的图象，结合图象可直接得到答案.
【详解】
解：∵ 只有一个零点，
∴函数 与函数 有一个交点，
作函数函数 与函数 的图象如下，
结合图象可知，当 时；函数 与函数 有一个交点；
当 时， ，可得 ，令 可得 ，所以函数在 时，直线与 相切，可
得 .
综合得： 或 .
故选：ABC.
【点睛】
本题考查了函数的零点与函数图象的交点的关系应用及数形结合的思想应用，属于中档题.
39．BCD
【解析】
【分析】
换元，将原方程根的个数问题转化二次函数零点的分布问题，结合图象可解.
【详解】
令 ，记 的两个零点为 ，则由 的图象可知：方程
有5个不同的实根 与 的图象共有5个交点 ，且
（不妨设 ）.
则 解得 .
第 35 页故选：BCD
40．BC
【解析】
【分析】
设 ，则 求出 值，可得 ，由 分离参数，结合图象即可求解．
【详解】
因为 为定义在R上的单调函数，所以存在唯一的 ，使得 ，
则 ， ，即 ，
因为函数 为增函数，且 ，所以 ， .
当 时，由 ，得 ；当 时，由 ，得 .
结合函数的图象可知，若 有3个零点，则 ．
故选：BC
41．BC
【解析】
【分析】
由题意，结合函数的图象以及函数的单调性和奇偶性分别判断即可得出答案.
【详解】
第 36 页函数
所以
由 ，可知A错误；
画出函数 在 的图象，如图所示：
显然有 ，结合图象 的最小正周期为 ，所以B正确；
在区间 上 ， 为增函数，C正确.
当 时，四个实根之和为 ，当 时，四个实根之和为 ，
当 时，四个实根之和为 ，所以D错误.
故选：BC.
42．（-∞，2）∪（4，+∞）
【解析】
【分析】
根据函数解析式作出函数图像，对参数a分类讨论，数形结合求得函数有2个零点时满足的参数范围.
【详解】
作出函数图像，易知 与 有3个交点，其中 ， 是其两个交点的横坐标，
第 37 页①当 时，函数 的图像为：
由图知，存在实数b，使函数 有两个零点；
②当 时，函数 的图像为：
由图知，函数单调递增，不存在实数b，使函数 有两个零点；
③当 时，函数 的图像为：
第 38 页或
由图知，存在实数b，使函数 有两个零点；
综上所述，存在实数b，使函数 有两个零点的参数a的范围为
故答案为：
43．
【解析】
先根据条件得到 的解析式，作出 的图像，知道函数的单调区间和最值，根据函数 恰有两
个不同的零点，得到 与 图像有且仅有两个交点，数形结合即可求解.
【详解】
因为函数 在 上单调递减， 在 上单调递增，
令 ，可得
当 时， ；当 时， ；
，作出函数 的图像，如图所示
由图可知， 在 单调递增，在 单调递减，
若函数 恰有两个不同的零点，得到 与 图象有且仅有两个交点，故 ，
故答案为：
第 39 页【点睛】
方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数
形结合的方法求解
44．
【解析】
【分析】
参变分离后研究函数单调性及极值，结合与 相邻的整数点的函数值大小关系求出实数a的范围.
【详解】
整理为： ，即函数 在 上方及线上存在两个整数点， ，故
显然 在 上单调递增，在 上单调递减，且与 相邻的整数点的函数值为： ，
， ， ，显然有 ，要恰有两个整数点，则为0和1，此时
，解得： ，如图
故答案为：
45．
【解析】
【分析】
画出 的图象，由 与 的图象有两个交点来求得 的取值范围.
【详解】
画出 的图象如下图所示，
，
即 与 的图象有两个交点，
由图可知， 的取值范围是 .
第 40 页故答案为：
46．
【解析】
【分析】
设 ，根据二次函数的图象与性质，定点 ，即可求解.
【详解】
由题意，关于 的方程 的一根大于1，另一根小于1，
设 ，根据二次函数的性质，可得 ，解得 ，
所以实数 的取值范围为 .
故答案为： .
47． 或
【解析】
【分析】
根据函数两个不同的零点，由方程 有两个不同的实数根求解.
【详解】
因为函数 有两个不同的零点，
所以方程 有两个不同的实数根.
所以 ，
解得 或 .
故答案为： 或 .
48．（1） （2）
【解析】
【分析】
（1）参变分离转化为存在 ，使得 成立，求导分析 的单调性和取值范
第 41 页围，即得解；
（2）函数 对称轴为 ，分 ， ， 三种情况讨论，即得解
【详解】
（1）由题意，函数 在范围 上存在零点
即存在 ，使得 成立
令 ，则
令 （舍）
所以当 时， ；当 时，
即 在 单调递增，在 单调递减，又
即 的取值范围是
（2） ，对称轴为
当 时，即 时， ；
当 时，即 时， ；
当 时，即 时， ；
综上：
49．（1） （2）
【解析】
【分析】
（1）根据二次函数的对称轴判断出 在 上递减，由此列方程组，解方程组求得 的值.
（2）令 ，然后分离常数 ，根据 的取值范围，求得 的取值范围，由此求得 的取值范围.
【详解】
（1）函数 的对称轴为 ，所以 在 上单调递减，
所以 ，∴ .
（2） 在 上有零点，
即 在 上有解， 在 上有解，
∵ 在 上是减函数，在 上是增函数，
故 ，所以 ，
第 42 页∴ .
【点睛】
本小题主要考查二次函数的对称轴和单调性，考查二次函数在指定区间上有零点的问题的求解策略，考查化归与
转化的数学思想方法，属于中档题.
50．（1）
；（2） ；（3） .
【解析】
【分析】
（1）直接列举即可；
（2）由二次函数的性质可得， ，求出总的基本事件数和符合条件的基本事件数，利用古典概型的概率公式
求解即可；
（3）由函数与方程的关系，求出 ，求出总的基本事件数和符合条件的基本事件数，利用古典概型的概率
公式求解即可.
【详解】
（1）由题意可得， ， ，
数对 的样本空间为
；
（2）若二次函数 的单调递增区间为 ，
则二次函数 的对称轴 ，即 ，
由（1）可得，总的基本事件个数为20个，
符合 的基本事件为： ， ， ， 共4个，
所以 ；
（3）因为 ，二次函数的图象开口向上，
方程 有4个零点，即方程 和 各有2个零点，
等价于二次函数 的最小值小于 ，
所以 ，即 ，
样本空间中符合 的基本事件有： ， ， ， ， ， ， ， ， ，
， ，共11个，
所以 .
51．（1） ；（2） .
第 43 页【解析】
【分析】
（1）根据对数运算求得 的值.
（2）先求得 的取值范围，设为 ，构造函数 ，将问题转化为：对任意 ，关于
的方程 在区间 上总有 个不相等的实数根 （ ），且 有两个不相等的实数根，
只有一个根，由此列不等式组来求得 的取值范围.
【详解】
（1）依题意关于 的方程 有两个不等实根 ， ，
所以 .
（2） ， 在 上递减，所以 ，
所以 ，设 ，则 .
由于 在 上递减，在 上递增，且 ， .
令 ，则当 时，方程 有两个不相等的实数根，且两个根的积为 ；当 时， 方
程 有且仅有一个根，且这个根在 内或为 .
令 ，原问题等价于：对任意 ，关于 的方程 在区间 上总有 个不相等的
实数根 （ ），且 有两个不相等的实数根， 只有一个根.
则 ，
所以 ，解得 ，
【点睛】
若函数 ，则 在 上递减，在 上递增.
52．（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）分离出 ，然后再根据单调性求出最值即可；
（2）先根据 将等式具体化，然后通过整理换元后转化为一元二次方程根的分布问题.
【详解】
（1）由 恒成立，可得 ，
第 44 页∵ 在 单调递增∴ ，
∴ .
（2）由题意可知 有解即可，
即 ，
∴ ，
即 有解即可.
设 ，则 ，
∴方程等价于 在 时有解，
对称轴 .
① ，则 ，即 ，∴
此时 ；
②若 ，要使 在 时有解，
则 ，即 ，
解得 ，
综上： .
【点睛】
关键点睛：第（1）问的关键是分离参数以及根据单调性求最值；第（2）问的关键是换元与分类讨论.
第 45 页第 46 页
