文档内容
第 02 讲 三角形中的高线、中线、角平分线
课程标准 学习目标
1. 理解三角形及与三角形有关的概念,掌握它们的文字、符号语
①三角形的概念
言及图形表述方法；
②三角形三边关系
2. 理解并会应用三角形三边间的关系；
③三角形的三线
3. 理解三角形的高、中线、角平分线的概念，学会它们的画法.
知识点01 三角形的中线、角平分线、中线
三角形的高：从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点与垂足之间的线段；
三角形的中线：联结三角形一个顶点与对边中点的线段；
三角形的重心：三角形有三条中线，它们交于三角形内一点．这点称为三角形重心。
三角形的角平分线：三角形的一个内角的角平分线与对边相交于一点顶点与交点之间的线段；
三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以
后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，列表
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学科网（北京）股份有限公司如下：
线段名称 三角形的高 三角形的中线 三角形的角平分线
三角形一个内角的平分线与
从三角形的一个顶点向它的对边所在的 三角形中，连接一个顶点
文字语言 它的对边相交，这个角的顶
直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 和它对边中点的线段．
点与交点之间的线段．
图形语言
过点A作AD⊥BC于点D． 取 BC 边的中点 D，连接 作∠BAC的平分线 AD，交
作图语言
AD． BC于点D．
标示图形
1．AD是△ABC的高． 1．AD是△ABC的中线． 1．AD 是△ABC 的角平分
2．AD是△ABC中BC边上的高． 2．AD 是△ABC 中 BC 边 线．
3．AD⊥BC于点D． 上的中线． 2．AD 平分∠BAC，交 BC
符号语言
4．∠ADC＝90°，∠ADB＝90°． 于点D．
(或∠ADC＝∠ADB＝90°) 3．BD＝DC＝ BC
4．点D是BC边的中点． 3．∠1＝∠2＝ ∠BAC．
因 为 AD 是 △ ABC 的 高 ， 所 以 因为 AD 是△ABC 的中 因为AD平分∠BAC，所以
AD⊥BC．
推理语言
(或∠ADB＝∠ADC＝90°) 线，所以 BD＝DC＝ ∠1＝∠2＝ ∠BAC．
BC．
1．线段相等．2．面积相
用途举例 1．线段垂直．2．角度相等． 角度相等．
等．
1．与边的垂线不同．
注意事项 — 与角的平分线不同．
2．不一定在三角形内．
三角形的三条高(或它们的延长线)交于 一个三角形有三条中线， 一个三角形有三条角平分
重要特征 一点． 它们交于三角形内一点． 线，它们交于三角形内一
点．
【即学即练1】
1．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图．
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学科网（北京）股份有限公司(1)在 中， ，垂足为 ，则 是___________边上的高， ___________ ___________
；
(2)若 平分 ，交 于点 ，则 叫___________， ___________ ___________
___________， 叫___________；
(3)若 ，则 的中线是___________；
(4)若 ，则 是___________的中线， 是___________的中线．
2．（23-24八年级上·湖南长沙·开学考试）如图， 是 的中线， 是 的中线．
(1)在 中作 边上的高．
(2)若 的面积为 ， ，则点 到 边的距离为多少？
题型01 画三角形的高
例题：（24-25八年级上·浙江金华·期末）在 中，作 边上的高 ，正确的是（ ）
A． B．
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学科网（北京）股份有限公司C． D．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·河北保定·期末）如图 中， 是哪条边上的高（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25八年级上·河北廊坊·期末）下列四个图形中，线段 是 的高的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图， ，垂足分别为C，D，E，则
下列说法不正确的是（ ）
A． 是 的高 B． 是 的高
C． 是 的高 D． 是 的高
题型02 根据三角形的中线求长度
例题：（2025·陕西咸阳·一模）如图，在 中， 是高， 是中线， ， ，则 的
长为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A．2 B．3 C．4 D．6
【变式训练】
1．（24-25八年级上·广东广州·期末）在 中， ， ， 是 边上的中线，若
的周长为41，那么 的周长是（ ）
A．39 B．41 C．43 D．无法确定
2．（24-25八年级上·河南漯河·期末）如图，在 中， 、 是 的中线， 的周长比
的周长长2，若 ， ．
(1)求 ， 的长；
(2)求 的长；
(3)直接写出 的周长．
3．（24-25八年级上·陕西渭南·期末）如图， ， 分别是 的高和中线．
(1)若 ， ，求高 的长；
(2)若 ， ，求 与 的周长之差．
题型03 根据三角形的中线求面积
例题：（24-25八年级上·湖北荆州·期末）如图，在 中，点D，E分别是 的中点，且 ，
则图中阴影部分的面积为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A．1 B．2 C．4 D．8
【变式训练】
1．（24-25八年级上·四川德阳·期中）设 的面积为1．如图①， ， 分别是 ， 的中点，
， 相交于点 ， 与 的面积差记为 ；如图②， ， 分别是 ， 的3等分
点， ， 相交于点 ， 与 的面积差记为 ；如图③， ， 分别是 ， 的4
等分点， ， 相交于点 ， 与 的面积差记为 ，依此类推，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25八年级上·浙江丽水·期末）如图，在 中， 是 边的中线， 是 的中点，连接 ，
，若 的面积为 ，则阴影部分的面积为 ．
3．（23-24八年级下·湖南湘西·阶段练习）如图所示， ，若 ，则
．
题型04 重心的概念及有关应用
例题：（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，已知 的面积为8，点O为 的重心，则四边形
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学科网（北京）股份有限公司的面积为（ ）
A． B． C．8 D．
【变式训练】
1．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，小明用铅笔可以支起一张质地均匀的三角形卡片，则他支起
的这个点应是三角形的（ ）
A．三条高的交点 B．三条角平分线的交点 C．无法确定 D．
三条中线的交点
2．（23-24八年级上·河北邯郸·期中）已知 在正方形网格中的位置如图所示，点A，B，C， 均在
格点上，则点 是 的（ ）
A．三条角平分线交点 B．三条中线交点
C．三边垂直平分线交点 D．无法确定
3．（24-25八年级上·贵州遵义·期末）【发现与探究】三角形的重心
三角形三条中线的交点叫三角形的重心．重心是个物理名词．从效果上看，我们可以认为物体所受重力的
合力集中于一点，这一点叫物体的重心．图1中，如果取一块均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心
处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态．为什么会平衡呢？希望你经过下面的探索过程能得到答案．
图2中， 是 的中线， 与 等底等高，面积相等，记作 ．图3中，若
三条中线 、 、 交于点 ，则 是 的中线，利用上述结论可得： ，
同理 ， ．
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学科网（北京）股份有限公司(1)图3中，若设 ， ， ，猜想 ， ， 之间的数量关系，并证明你的猜想；
(2)由（1）可知被三条中线分成的六个三角形面积 ，如果 面积为 ，用含有 的式子表示 的
面积为 ， ： ；
(3)图4中， 是 重心，点 、 在 的边 、 上， 、 交于 ， ， ，
，求四边形 的面积．
题型05 三角形角平分线的定义
例题：（24-25七年级下·全国·课后作业）如图， 是 的角平分线， 是 的角平分线，若
，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图， 是 的角平分线，则 平分 ，
，且点 在边 上．
2．（2024八年级上·北京·专题练习）如图，在 中， 是角平分线， 是中线，若 ，则
，若 ，则 度．
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学科网（北京）股份有限公司3．（23-24七年级下·贵州毕节·期末）如图，已知：在四边形 中， ，点E为线段
延长线上一点，连接 交 于F， ．
(1)求证： ；
(2)若 是 的角平分线， ，求 的度数．
题型06 网格中作三角形中的高线、中线、角平分线
例题：（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图是由边长为1的小正方形组成的 网格，已知点A，B，C
均为格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列步骤完成画图，并回答问题（格线的交点称为格点，保
留画图过程的痕迹）．
(1)图中 的面积为______；
(2)在图1中画出 的高 ；
(3)在图2中的 边上画一点E，使 ；
(4)已知 ，在图2中画出 的角平分线 ．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·广东惠州·阶段练习）如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C
均在小正方形的顶点上．
(1)画出 的边 上的高 ；
(2)画出 的边 上的中线 ；
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学科网（北京）股份有限公司(3) 的面积为______．
2．（24-25八年级上·江西上饶·阶段练习）如图，在 的网格中的每个小正方形边长都是1，每个小正方
形的顶点称作格点， 的顶点都在格点上，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图．
(1)在图1中，作出 的高 ；
(2)在图2中，作出 的中线 ．
3．（24-25八年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，在 的网格中，每个小正方形边长都是1， 的
顶点都在小正方形的顶点上．
(1)请在图中画出 边 上的高 ；
(2)请在边 上找点 ，并连接 ，使得 的面积与 的面积相等；
(3)直接写出（2）中 的面积．
题型07 三角形中高线、中线、角平分线综合求解
例题：（23-24八年级上·新疆阿克苏·阶段练习）① 是 的角平分线，则
② 是 的中线，则
③ 是 的高线，则 ．
【变式训练】
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学科网（北京）股份有限公司1．（24-25八年级上·辽宁盘锦·期中）如图， ， 分别是 的高和中线，若 ， ，
， ．
(1)求 的长．
(2)求 与 的周长之差．
2．（24-25八年级上·安徽合肥·期中） 如图所示， 分别是 的高，已知 ．
(1)请画出 的高 和 ；
(2)求 的面积；
(3)若 ，求 的长．
3．（23-24八年级上·湖南湘西·阶段练习）数学课上，老师给大家展示了三幅图，然后让同学们任选一幅，
自给条件，自设问题．有三名同学的作品如下：
(1)小香：如图1，已知 的高 ，面积为 ，求 的长度．
(2)小涵：如图2，已知D是 中点， ， ，求 ．
(3)小宇：如图3，已知 平分 ， ， ，求 ．
一、单选题
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学科网（北京）股份有限公司1．（24-25八年级上·广东湛江·阶段练习）下列四个图形中，线段 是 的高的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25七年级下·上海青浦·阶段练习）下列说法中，正确的是（ ）
A．三角形的高、中线是线段，角平分线是射线
B．三角形的三条高中，至少有一条在三角形的内部
C．钝角三角形的三条角平分线在三角形的外部
D．在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的直线叫作三角形的中线
3．（24-25七年级上·山东威海·期末）如图，已知 中， 分别是三角形的高线，角平分
线和中线，下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25八年级上·山东滨州·期末）如图， 的角平分线 、中线 相交于点O，① 是
的角平分线；② 是 的中线；③ 是 的中线；④ 是 的角平分线．以上结论正
确的是（ ）
A．①② B．①③ C．①④ D．②③
5．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）大约在公元 年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股
圆方图”，亦称“赵爽弦图”（如图1）某数学兴趣小组类比“赵爽弦图”构造出图2， 为等边三角
形， 、 、 围成的 也是等边三角形．已知点 、 、 分别是 、 、 的中点，若
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学科网（北京）股份有限公司的面积为 ，则 的面积是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．（22-23八年级上·辽宁鞍山·期中）如图， 是 的中线，已知 的周长为 ， 比
长 ，则 的周长为 ．
7．（23-24八年级上·四川南充·阶段练习）在直角 中，已知 ， ， ，
，在 的内部找一点P，使得P到 的三边距离相等，则这个距离是 ．
8．（24-25八年级上·广西玉林·期末）如图， 都是 的中线，连接 的面积是
，则 的面积是 ．
9．（23-24八年级下·全国·单元测试）（1）在 中， 是 的平分线， 是 边上的中线．
若 ，则 ；若 ，则 ．
（2）在 中， ， 是边 上的中线， 的周长为 ， 的周长为 ，
则 ．
10．（23-24七年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，对 逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长
、 、 至点 、 、 ，使得 ， ， ，顺次连接 、 、 ，得到
，，记其面积为 ；第二次操作，分别延长 、 、 至点 、 、 ，使得 ，
， 顺次连接 、 、 ，得到 ，记其面积为 ；…；按此规律继续下去，
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学科网（北京）股份有限公司可得到 ，若 ，则 ．（结果用含a的代数式表示）
三、解答题
11．（24-25八年级上·陕西渭南·期末）如图， 是 的中线， ， 的周长是18，
求 的长．
12．（24-25八年级上·安徽六安·期中）在 中， ， ．
(1)若 是偶数，求 的长；
(2)已知 是 的中线，若 的周长为13，求 的周长．
13．（24-25八年级上·云南普洱·期末）如图，在 中， 是边 上的中线， 交 于点 ，
为 的中点，连接 ．已知 ， 的面积为24．
(1)求 的长．
(2)若 ，求 与 的周长差．
14．（24-25八年级上·江西上饶·期末）请仅用无刻度的直尺完成以下作图．（保留作图痕迹，不写作法）
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学科网（北京）股份有限公司(1)如图1，在 中，D，E分别为边 的中点，请作出边 的中点；
(2)如图2，在 中， ， 是边 的中点， 于点 ，请过点 作边 的垂线．
15．（24-25八年级上·山东临沂·期末）等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法．
(1)如图1，在 中， ， ， ， ， ，垂足为点 ，则 的
长是______________；
(2)如图2，在 中， ， ，则 的高 与 的比是____________；
(3)如图3，在 中， ， ，点 ， 分别在边 ， 上，且 ，
， ，垂足分别为点 ， ．若 ， ，求 的值．
16．（24-25七年级下·上海青浦·阶段练习）在 中， ， 为直线 上任意一点，连结 ，
于点 ， 于点 ． 为 边上的高；（第一小问7分，第二小问2分，第三小问2
分）
【画图探究】（1）如图①，当点 在边 上时，请画出 ，猜想 ， ， 之间的数量关系并证
明．
【运用】（2）如图②，当点 为 中点时， 与 的数量关系为___________
【拓展】（3）如图③，当点 在 的延长线上时， 、 、 之间的数量关系为___________；
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