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第 01 讲 认识三角形
课程标准 学习目标
1. 理解三角形及与三角形有关的概念,掌握它们的文字、符号语
①三角形的概念
言及图形表述方法；
②三角形三边关系
2. 理解并会应用三角形三边间的关系；
知识点01 三角形的概念及分类
1.三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次联结所组成的图形.
2.三角形的分类
1)按边分类可以分为 ； (2)按角分类可以分为
(
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学科网（北京）股份有限公司【即学即练1】
1．观察图形．
(1)图中有几个三角形？把它们一一写出来；
(2)写出 的边、顶点及三个内角；
(3)以 为内角的三角形有哪些？
(4)以AB为边的三角形有哪些？
知识点02 三角形基本元素角与边的有关定理
(1)三角形的内角和等于 .
(2)直接三角形两个锐角互余.
(3)三角形的任意两边之和大于第三边, 任意两边之差小于第三边.
【即学即练2】
1．（24-25八年级上·河南新乡·期末）一个三角形的两边长分别为7和5，若第三条边的长为 ，则 的值
可能是（ ）
A．1 B．2 C．8 D．12
2．（24-25八年级上·新疆吐鲁番·期中）如图，将一副直角三角板如图放置，使含 角的三角板的短直角
边和含 角的三角板的一条直角边重合，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25八年级上·湖南娄底·期末）已知 的三边长分别为 ， ， ，其中 ， ，则第三
边 的长度的取值范围是 ．
4．（24-25七年级下·福建福州·阶段练习）阅读下列材料，回答问题
我们在小学就已经知道，任意一个三角形的内角和等于 ，我们是通过度量或剪拼得出这一结论的．但
是，这种“验证”不是“数学证明”；所以，需要通过推理的方法去证明：任意一个三角形的内角和一定
等于 ．
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学科网（北京）股份有限公司探究：在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起，就得到一个平角．如图两种方法．
小明同学受到图1的启发，证明了三角形的内角和等于
证明过程如下：已知：如图3， ．求证：
证明：如图3，过点A作
_________（_________________）
同理
（______________）
(1)证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”．这些根据，可以是已知条件，也可以是学过的定义、
基本事实、定理等，请你补全小明同学证明过程中所缺的内容；
(2)由图2启发，可以得到证明三角形的内角和等于 的另一种证法，请你完成．
题型01 三角形的识别与有关概念
例题：（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，图中三角形的个数为 ；以 为边的三角形是
，以 为一个内角的三角形是 ；在 中， 的对边是 ．
【变式训练】
1．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，根据图形填空．
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学科网（北京）股份有限公司（1）以 为边的三角形是 ；
（2） 的三个内角是 ，其中 的对边是 ；
（3）以 为一个内角的三角形是 ；
（4）图中共有 个三角形．
2．（24-25七年级下·全国·随堂练习）（1）图中共有_________个三角形，它们分别是_________；
（2）以 为边的三角形有_________；
（3） 分别是 ， ， 中_________，_________，_________边的对角；
（4） 是_________，_________，_________的内角； 是_________，_________的内角．
3．（24-25七年级下·全国·课后作业） 如图，过A、B、C、D、E五个点中的任意三
点画三角形．
(1)以 为边画三角形，能画几个？将其画出来并写出各三角形的名称；
(2)分别指出（1）中的三角形中的等腰三角形和钝角三角形．
题型02 三角形的分类
例题：（24-25七年级下·全国·课后作业）下列关于三角形按边分类的图示中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
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学科网（北京）股份有限公司【变式训练】
1.如图均表示三角形的分类，下列判断正确的是（ ）
A．①对，②不对 B．①不对，②对 C．①、②都不对 D．①、②都对
2．（24-25七年级下·全国·随堂练习）把下列三角形进行分类，并把序号填入到正确的位置．
(1)按边分类：
三边均不相等的______是不等边三角形；
两条边相等的______是等腰三角形；
三条边相等的______是等边三角形．
(2)按角分类：
都是锐角的______是锐角三角形；
有直角的______是直角三角形；
有钝角的______是钝角三角形．
题型03 三角形内角和定理的证明
例题：（24-25八年级上·广西崇左·期末）下面是证明三角形内角和定理两种添加辅助线的方法．请选择一
种，完成证明．
三角形内角和定理：三角形的三个内角的和等于 ．
已知：如图， ，求证： ．
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学科网（北京）股份有限公司方法一 证明：如图，过点A做 ．
方法二 证明：如图，过点C做 ，并延长 到D．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·山西大同·阶段练习）“三角形的内角和为 ”是《几何原本》中的第五公设的推
论，在探究证明这个定理时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是
”的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25七年级下·全国·课后作业）数学课上老师提出“请对三角形内角和等于 进行说理．”
已知： 是 的三个内角．
对 进行说理．
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学科网（北京）股份有限公司小明给出如下说理过程，请补全过程．
解：过点A作 ．
3．（24-25八年级上·江西南昌·阶段练习）追本溯源
我们知道，三角形三个内角的和等于 ，利用该定理我们可以得到推论：三角形的外角等于与它不相邻
的两个内角的和．
推论证明
（1）已知：如图1， 是 的一个外角．
求证： ．
知识应用
（2）如图2，在 中， ，点 在边 上， 交 于点 ．若 ，求 的度
数．
题型04 与平行线有关的三角形内角和问题
例题：（24-25七年级上·河南南阳·期末）如图，直线 ，直线 与直线 ， 分别相交于点 ， ，
，垂足为 ．若 ，则 （ ）．
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学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
【变式训练】
1．（23-24七年级下·河北保定·期末）如图是某款婴儿手推车的平面示意图，若 ， ，
，求 的度数．
2．（23-24七年级下·河南郑州·期末）如图，已知 ，点 在直线 上， 与 交于点 ，
.
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的度数.
3．（24-25八年级上·四川绵阳·阶段练习）如图，D是三角形 外一点，E，F是 上的点，G，H分
别是 ， 上的点，连接 ，已知 ， ， ．
(1)判断 与 的位置关系，并说明理由；
(2)若 ， ，求 的度数．
题型05 构成三角形的条件
例题：（24-25八年级上·安徽合肥·期末）下列长度的三条线段首尾相接能构成三角形的是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A．1，2，3 B．3，4，5 C．2，4，6 D．3，3，8
【变式训练】
1．（24-25八年级下·重庆·阶段练习）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ）
A． ， ， B． ， ， C． ， ， D．
， ，
2．（24-25八年级上·云南昆明·期末）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
3．（24-25八年级上·陕西渭南·期末）以下列各组线段长为边，能组成三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
题型06 确定第三边的取值范围
例题：（24-25八年级上·安徽亳州·期末）已知三角形两边的长分别是3和5，则该三角形第三边的长不可
能是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式训练】
1．（24-25八年级上·浙江金华·期末）一个三角形的两边长分别为2和5，第三边长可以是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（24-25八年级上·湖北荆州·期末）如图，为了估计池塘岸边A，B的距离，小聪在池塘的一侧选取一点
，测得 米， 米，则A，B间的距离不可能是（ ）
A．50米 B．40米 C．30米 D．20米
3．（23-24八年级上·四川南充·开学考试）已知三角形三边长分别为2，9， ，则 的取值范围 ．
题型07 利用三边关系去绝对值化简
例题：（24-25八年级上·云南文山·期中）若 ， ， 分别为 三边，化简：
．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·安徽滁州·期中）已知a，b，c为三角形的三边，则式子 （ ）
A． B． C．0 D．
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学科网（北京）股份有限公司2．（22-23七年级下·重庆·期末）已知 的三边分别为a、b、c，化简：
．
3．（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）a，b，c为 的三边，化简：
．
一、单选题
1．（24-25八年级上·四川泸州·期末）下列各组线段中，能构成三角形的是（ ）
A．6，8，10 B．4，3，7 C．3，5，9 D．4，5，9
2．（24-25八年级上·浙江金华·期末）若一个三角形三边长分别为3，7，a，则a的值可以是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．（24-25九年级下·重庆南岸·开学考试）如图， ，过点 作 于点 ．若 ，则
的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25八年级上·安徽滁州·期末）在 中， ，则这个三角形是（ ）
A．含 角的直角三角形 B．等腰三角形
C．钝角三角形 D．锐角三角形
5．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在 中， ， 是 边上的高，E是 的
中点，连接 ，则图中的直角三角形共有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
6．（24-25七年级上·四川资阳·期末）已知：三角形的三个角的和为 ．如图， 三点在同一条直
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学科网（北京）股份有限公司线上， 四点在同一条直线上， ， 平分 ， 平分 , ,
．下列结论：① ；② ；③ ；④ ．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
二、填空题
7．（24-25八年级上·江西吉安·期末）在 中， ，则 的度数为 ．
8．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，在 中，有 （填“ ”“ ”或
“ ”），理由是 ，这个结论是由基本事实 得到的．
9．（24-25八年级上·浙江丽水·期末）如图，小明在池塘一侧选取了一点 ，测得 ， ，
则池塘两岸A， 间的距离可以是 （答案不唯一，写出一个即可）．
10．（24-25八年级上·广东深圳·期末）如图所示为某城市几条道路的位置关系，道路 与道路 平行，
．城市规划部门计划新修一条道路 ，要求 ，则 的度数是 ．
11．（24-25八年级上·河北廊坊·期末）实践活动课上，老师组织大家用小棒摆三角形．已知三根小棒的长
分别是 ， ， ，若它们能构成三角形，则正整数 的值可以为 ．（写出1个即可）
12．（24-25七年级下·上海青浦·阶段练习）定义：一个三角形的一边长是另一边长的 倍，这样的三角形
叫作“倍长三角形”．若 是“倍长三角形”，有两条边的长分别为 和 ，则第三条边的长为
．
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学科网（北京）股份有限公司三、解答题
13．（24-25八年级上·全国·随堂练习）如图，在 中，D，E分别是边 ， 上的点，连接 ，
，相交于点F．
(1)图中共有多少个三角形？用符号表示这些三角形．
(2)请写出 的三个顶点、三条边及三个内角．
(3)以线段AB为边的三角形有哪些？
(4)以 为内角的三角形有哪些？
14．（24-25七年级下·全国·单元测试）小明有长 的三根木条，但是不小心将 长的
木条折断了．
(1)最长的木条被折断的情况如何时，小明将不能与另两条木条钉成三角形架？
(2)如果最长的木条折去了 ，小明可以通过怎样再折木条的办法钉成一个三角形架？
15．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）若 ， ， 为 的三边长，化简：
．
16．（2025七年级下·河南·专题练习）如图，已知 ， ．
(1) 吗？请说明理由．
(2)若 ， ，求 的度数．
17．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，已知 分别是 和 上的点，
．
(1)如图①，试说明： ；
(2)如图②，连接 ．若 ，求 的度数．
18．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）综合实践：
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学科网（北京）股份有限公司【知识发现】古希腊七贤之一，著名哲学家泰勒斯（ ）最早从拼图实践中发现了“三角形内角和等
于 ”，但这种发现完全是经验性的，泰勒斯并没有给出严格的证明．之后古希腊数学家毕达哥拉斯、
欧几里得、普罗科拉斯等相继给出了基于平行线性质的不同的证明．其中欧几里得利用辅助平行线和延长
线，通过一组同位角和内错角证明了该定理．请同学们帮助欧几里得将证明过程补充完整．
（1）已知：如图1，在 中，
求证：
证明：延长线段 至点 ，并过点 作 ．
∵ ，
∴______ ，______ ．
∵ （______）
∴ ；
【结论运用】（2）如图2，已知 ，点H、Q分别在 、 上，连接 ，作 的角平分线
交 于点M，过点M作 交 于点N．若 ， ，求 的度数．
【拓展延伸】（3）如图3，在（2）的条件下，若 绕点O逆时针旋转，交直线 于点E，作 的
角平分线 交射线 于点D，则在旋转的过程中， 的值是否变化？若不变，请求出其值；若变
化，请说明理由．
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