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第 01 讲 认识三角形
课程标准 学习目标
1. 理解三角形及与三角形有关的概念,掌握它们的文字、符号语
①三角形的概念
言及图形表述方法；
②三角形三边关系
2. 理解并会应用三角形三边间的关系；
知识点01 三角形的概念及分类
1.三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次联结所组成的图形.
2.三角形的分类
1)按边分类可以分为 ； (2)按角分类可以分为
(
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学科网（北京）股份有限公司【即学即练1】
1．观察图形．
(1)图中有几个三角形？把它们一一写出来；
(2)写出 的边、顶点及三个内角；
(3)以 为内角的三角形有哪些？
(4)以AB为边的三角形有哪些？
【答案】(1)7个，见解析
(2) 的边是AB，BD，AD；顶点是点A，B，D；三个内角是 ， ，
(3) ， ，
(4) ， ，
【分析】查找三角形时可按逆时针方向，先固定一条边，再通过查第三个顶点的方法确定三角形．
【解】（1）图中有7个三角形，分别是 ， ， ， ， ， ， ．
（2） 的边是AB，BD，AD；顶点是点A，B，D；三个内角是 ， ， ．
（3）以 为内角的三角形有 ， ， ．
（4）以AB为边的三角形有 ， ， ．
知识点02 三角形基本元素角与边的有关定理
(1)三角形的内角和等于 .
(2)直接三角形两个锐角互余.
(3)三角形的任意两边之和大于第三边, 任意两边之差小于第三边.
【即学即练2】
1．（24-25八年级上·河南新乡·期末）一个三角形的两边长分别为7和5，若第三条边的长为 ，则 的值
可能是（ ）
A．1 B．2 C．8 D．12
【答案】C
【知识点】三角形三边关系的应用
【分析】本题考查了三角形的三边关系．根据三角形三边关系列式求解即可．
【详解】解：由题意得 ，
，
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学科网（北京）股份有限公司观察四个选项，选项C符合题意，
故选：C．
2．（24-25八年级上·新疆吐鲁番·期中）如图，将一副直角三角板如图放置，使含 角的三角板的短直角
边和含 角的三角板的一条直角边重合，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】与平行线有关的三角形内角和问题
【分析】本题主要考查三角形内角和及平行线的性质，熟练掌握三角形内角和及平行线的性质是解题的关
键；如图，由题意易得 ，然后根据三角形内角和可进行求解．
【详解】解：如图，
由题意得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故选D．
3．（24-25八年级上·湖南娄底·期末）已知 的三边长分别为 ， ， ，其中 ， ，则第三
边 的长度的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】确定第三边的取值范围
【分析】本题考据三角形三边关系，关键是根据三角形三边关系解答．根据三角形三边关系得出取值范围
即可．
【详解】解：∵ 中三边长分别为 ， ， ，已知 ，
∴第三边 的取值范围是 ，
即 ，
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学科网（北京）股份有限公司故答案为： ．
4．（24-25七年级下·福建福州·阶段练习）阅读下列材料，回答问题
我们在小学就已经知道，任意一个三角形的内角和等于 ，我们是通过度量或剪拼得出这一结论的．但
是，这种“验证”不是“数学证明”；所以，需要通过推理的方法去证明：任意一个三角形的内角和一定
等于 ．
探究：在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起，就得到一个平角．如图两种方法．
小明同学受到图1的启发，证明了三角形的内角和等于
证明过程如下：已知：如图3， ．求证：
证明：如图3，过点A作
_________（_________________）
同理
（______________）
(1)证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”．这些根据，可以是已知条件，也可以是学过的定义、
基本事实、定理等，请你补全小明同学证明过程中所缺的内容；
(2)由图2启发，可以得到证明三角形的内角和等于 的另一种证法，请你完成．
【答案】(1) ；两直线平行，内错角相等；等量代换
(2)见解析
【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、三角形内角和定理的证明
【分析】此题考查了三角形内角和定理的证明，熟练掌握平行线的性质，正确地作出辅助线，把三角形的
三个内角转化一个平角是解决问题的关键．
（1）根据两直线平行，内错角相等得 ， ，再根据平角定义得
，然后根据等量代换可得出三角形内角和等于 ；
（2）过点 作 ，延长 到 ，根据平行线的性质得 ， ，再根据平角的
定义得 ，进而可得出三角形内角和等于 ．
【详解】（1）证明：已知：如图3， ．
求证： ．
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学科网（北京）股份有限公司证明：如图3，过点A作 ，
，
（两直线平行，内错角相等），
同理 ，
，
（等量代换）．
故答案为： ；两直线平行，内错角相等；等量代换．
（2）证明：如图，过点 作 ，延长 到 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ．
题型01 三角形的识别与有关概念
例题：（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，图中三角形的个数为 ；以 为边的三角形是
，以 为一个内角的三角形是 ；在 中， 的对边是 ．
【答案】 ， ， ， ，
【知识点】三角形的识别与有关概念
【分析】此题主要考查了三角形，关键是掌握三角形的相关概念．
根据三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形可得图中三角
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学科网（北京）股份有限公司形的个数；根据组成三角形的线段叫做三角形的边；根据相邻两边组成的角叫做三角形的内角进行分析．
【详解】图中的三角形有 、 、 、 、 、 ，共 个；以 为边的三
角形有 、 、 ，以 为一个内角的三角形是 、 、 ； 中
的对边是
故答案为： ； ； ； ．
【变式训练】
1．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，根据图形填空．
（1）以 为边的三角形是 ；
（2） 的三个内角是 ，其中 的对边是 ；
（3）以 为一个内角的三角形是 ；
（4）图中共有 个三角形．
【答案】 6
【知识点】三角形的分类、三角形的个数问题
【分析】本题主要考查三角形的定义，熟练掌握三角形的角，边是解题的关键．根据三角形的角，边定义
进行求解即可．
【详解】解：以 为边的三角形是 ；
的三个内角是 ；其中 的对边是 ；
以 为一个内角的三角形是 ；
图中共有 ， 个三角形；
故答案为： ； ； ； ； ；
2．（24-25七年级下·全国·随堂练习）（1）图中共有_________个三角形，它们分别是_________；
（2）以 为边的三角形有_________；
（3） 分别是 ， ， 中_________，_________，_________边的对角；
（4） 是_________，_________，_________的内角； 是_________，_________的内角．
【答案】（1）6， ， ， ， ， ，
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学科网（北京）股份有限公司（2） ， ，
（3） ， ，
（4） ， ， ； ，
【知识点】三角形的识别与有关概念、三角形的个数问题
【分析】本题考查认识三角形，根据三角形的相关定义解答即可．
【详解】解：（1）图中的三角形为： ， ， ， ， ， ，共6个；
（2）以 为边的三角形有 ， ， ；
（3） 分别是 ， ， 中 ， ， 边的对角；
（4） 是 ， ， 的内角， 是 ， 的内角．
故答案为：6； ， ， ， ， ， ； ， ， ； ，
， ； ， ， ； ， ．
3．（24-25七年级下·全国·课后作业） 如图，过A、B、C、D、E五个点中的任意三
点画三角形．
(1)以 为边画三角形，能画几个？将其画出来并写出各三角形的名称；
(2)分别指出（1）中的三角形中的等腰三角形和钝角三角形．
【答案】(1)3个，见解析；各三角形的名称分别为
(2) 是等腰三角形， 是钝角三角形
【知识点】三角形的分类、三角形的识别与有关概念、等腰三角形的定义
【分析】本题考查本题考查了三角形的定义，网格结构的知识，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的
关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）根据网格结构作出图形并回答问题；
（2）根据等腰三角形的定义和钝角三角形的定义分别作答．
【详解】（1）解：以 为边的三角形能画3个，如图所示，
即为所求；
（2）解： 是等腰三角形， 是钝角三角形．
题型02 三角形的分类
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学科网（北京）股份有限公司例题：（24-25七年级下·全国·课后作业）下列关于三角形按边分类的图示中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的分类
【分析】本题主要考查了三角形按边分类，根据分类情况分为三边不相等的三角形和等腰三角形，而等腰
三角形分为腰和底不相等的三角形、等边三角形，根据分类的情况即可得到答案．
【详解】解：根据三角形按边分类情况：
等边三角形应该分在等腰三角形里，故选项A错误，不符合题意；
等腰三角形包含等边三角形，故选项B错误，不符合题意；
分类混乱，故选项C错误，不符合题意；
分类正确，故选项D正确，符合题意．
故选项为：D．
【变式训练】
1.如图均表示三角形的分类，下列判断正确的是（ ）
A．①对，②不对 B．①不对，②对 C．①、②都不对 D．①、②都对
【答案】B
【分析】根据三角形的分类进行判断．
【详解】解：等腰三角形包括等边三角形，故①的分类不正确；图②中的三角形的分类正确．
故选：B．
【点睛】考查了三角形的分类，解题关键是掌握分类方法．按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三
角形，注：等腰三角形包括等边三角形．
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学科网（北京）股份有限公司2．（24-25七年级下·全国·随堂练习）把下列三角形进行分类，并把序号填入到正确的位置．
(1)按边分类：
三边均不相等的______是不等边三角形；
两条边相等的______是等腰三角形；
三条边相等的______是等边三角形．
(2)按角分类：
都是锐角的______是锐角三角形；
有直角的______是直角三角形；
有钝角的______是钝角三角形．
【答案】(1) ， ，
(2) ， ，
【知识点】三角形的分类
【分析】本题考查了三角形的分类，熟练掌握三角形的分类标准是解题的关键：主要有两种分类标准，一
是按角分类，分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形；二是按边分类，分为不等边三角形、等腰三角
形和等边三角形．
（1）由三角形的分类（按边分类）即可直接得出答案；
（2）由三角形的分类（按角分类）即可直接得出答案．
【详解】（1）解：按边分类，由图可知：
三边均不相等的 是不等边三角形，
两条边相等的 是等腰三角形，
三条边相等的 是等边三角形，
故答案为： ， ， ；
（2）解：按角分类，由图可知：
都是锐角的 是锐角三角形，
有直角的 是直角三角形，
有钝角的 是钝角三角形，
故答案为： ， ， ．
题型03 三角形内角和定理的证明
例题：（24-25八年级上·广西崇左·期末）下面是证明三角形内角和定理两种添加辅助线的方法．请选择一
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学科网（北京）股份有限公司种，完成证明．
三角形内角和定理：三角形的三个内角的和等于 ．
已知：如图， ，求证： ．
方法一 证明：如图，过点A做 ．
方法二 证明：如图，过点C做 ，并延长 到D．
【答案】见解析
【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、三角形内角和定理的证明
【分析】本题考查三角形内角和定理的证明，以及平行线性质，解题的关键在于熟练掌握相关知识．
方法一 ：根据平行线性质得到 ， ，再结合平角定义，即可证明三角形的三个内
角的和等于 ；
方法二：根据平行线性质得到 ， ，再结合平角定义，即可证明三角形的三个内角的
和等于 ．
【详解】证明：方法一：如图，过点A做 ．
因为 ，
所以 ， ．
又因为D，A，E在同一条直线上，
所以 ，
即 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以三角形的三个内角的和等于 ．
方法二：如图，过点C做 ，并延长 到D．
因为 ，
所以 ， ．
又因为B，C，D在同一条直线上，
所以 ，
即 ，
所以三角形的三个内角的和等于 ．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·山西大同·阶段练习）“三角形的内角和为 ”是《几何原本》中的第五公设的推
论，在探究证明这个定理时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是
”的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、三角形内角和定理的证明
【分析】本题考查三角形内角和定理的证明，熟练掌握转化的思想以及平角的定义是解决本题的关键．本
题运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义解决即可．
【详解】解：A．由 ，则 ， ．由 ，得
，故能证明“三角形内角和是 ”，不符合题意
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学科网（北京）股份有限公司B．由 于D，则 ，无法证得“三角形内角和是 ”，符合题意．
C．由 ，得 ， ．由 ，得 ， ，所以
．由 ，得： ，故能证明“三角形内角和是
”，不符合题意
D．由 ，得 ， ．由 ，得
，故能证明“三角形内角和是 ”，不符合题意．
故选B．
2．（24-25七年级下·全国·课后作业）数学课上老师提出“请对三角形内角和等于 进行说理．”
已知： 是 的三个内角．
对 进行说理．
小明给出如下说理过程，请补全过程．
解：过点A作 ．
【答案】见解析
【知识点】三角形内角和定理的证明、两直线平行内错角相等
【分析】本题考查三角形内角和定理的证明，由平行线的性质可得 ，再根据
，通过等量代换可得 ．
【详解】解：过点A作 ．
，
（两直线平行，内错角相等）．
（平角定义），
．
3．（24-25八年级上·江西南昌·阶段练习）追本溯源
我们知道，三角形三个内角的和等于 ，利用该定理我们可以得到推论：三角形的外角等于与它不相邻
的两个内角的和．
推论证明
（1）已知：如图1， 是 的一个外角．
求证： ．
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学科网（北京）股份有限公司知识应用
（2）如图2，在 中， ，点 在边 上， 交 于点 ．若 ，求 的度
数．
【答案】（1）见解析（2）
【知识点】两直线平行同位角相等、三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的证明
【分析】本题考查三角形内角和定理、外角的性质、平行线的性质；
（1）利用三角形内角和为180度，平角为180度，等量代换即可证明；
（2）根据平行线的性质可得 ，再利用三角形外角的性质先求出 ，．
【详解】（1）证明：如图1中，∵ ， ，
∴ ．
（2）如图2中，∵ ，
∴ ；
∵ ，
∴ ，
题型04 与平行线有关的三角形内角和问题
例题：（24-25七年级上·河南南阳·期末）如图，直线 ，直线 与直线 ， 分别相交于点 ， ，
，垂足为 ．若 ，则 （ ）．
A． B． C． D．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】B
【知识点】与平行线有关的三角形内角和问题、两直线平行同位角相等
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
根据题意得到 ， ，根据三角形内角和定理计算即可得到答案．
【详解】解： ， ， ，
， ，
，
故选： B．
【变式训练】
1．（23-24七年级下·河北保定·期末）如图是某款婴儿手推车的平面示意图，若 ， ，
，求 的度数．
【答案】
【知识点】利用邻补角互补求角度、两直线平行内错角相等、与平行线有关的三角形内角和问题
【分析】本题考查求角度，涉及平行线性质、邻补角定义、三角形内角和定理等知识，先由平行性质得到
，再由邻补角定义及三角形内角和得到 即可确定答案，数形结合，准确表示出各
个角度是解决问题的关键．
【详解】解：如图所示：
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，则 ．
2．（23-24七年级下·河南郑州·期末）如图，已知 ，点 在直线 上， 与 交于点 ，
.
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学科网（北京）股份有限公司(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的度数.
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】根据平行线判定与性质证明、与平行线有关的三角形内角和问题
【分析】本题考查了平行线的性质和判定以及三角形内角和定理，解题的关键在于熟练掌握相关性质定理.
（1）根据两直线平行，内错角相等，推出 ，利用已知条件，通过等量代换求证 ，
最后根据同位角相等，两直线平行求证 .
（2）利用垂直性质和平行线的性质推出 ，根据三角形内角和即可求出 度数.
【详解】（1）证明： ，
，
，
，
.
（2）解： ，
，
，
.
，
，
.
3．（24-25八年级上·四川绵阳·阶段练习）如图，D是三角形 外一点，E，F是 上的点，G，H分
别是 ， 上的点，连接 ，已知 ， ， ．
(1)判断 与 的位置关系，并说明理由；
(2)若 ， ，求 的度数．
【答案】(1)平行，理由见解析
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学科网（北京）股份有限公司(2)
【知识点】根据平行线判定与性质证明、与平行线有关的三角形内角和问题
【分析】本题考查了平行线的判定与性质、三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关
键．
（1）先根据平行线的判定可得 ，根据平行线的性质可得 ，从而可得 ，再根
据平行线的判定即可得；
（2）先求出 ，再根据平行线的性质可得 ，然后根据三角形的内
角和定理求解即可得．
【详解】（1）解： ，理由如下：
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
（2）解：∵ ， ， ，
∴ ，
由（1）已证： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
题型05 构成三角形的条件
例题：（24-25八年级上·安徽合肥·期末）下列长度的三条线段首尾相接能构成三角形的是（ ）
A．1，2，3 B．3，4，5 C．2，4，6 D．3，3，8
【答案】B
【知识点】构成三角形的条件
【分析】本题考查三角形三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较
短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断．
【详解】解：A、 ，不能构成三角形，故A不符合题意；
B、 ，能构成三角形，故B符合题意；
C、 ，不能构成三角形，故C不符合题意；
D、 ，不能构成三角形，故D不符合题意．
故选：B．
【变式训练】
1．（24-25八年级下·重庆·阶段练习）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． ， ， B． ， ， C． ， ， D．
， ，
【答案】D
【知识点】构成三角形的条件
【分析】本题考查了构成三角形的条件，由构成三角形的条件：“任意两边之和大于第三边” 逐一进行
判断，即可求解；掌握构成三角形的条件是解题的关键．
【详解】解：A. ， 不能组成三角形，故不符合题意；
B. ， 不能组成三角形，故不符合题意；
C. ， 不能组成三角形，故不符合题意；
D. ， 能组成三角形，故符合题意；
故选：D．
2．（24-25八年级上·云南昆明·期末）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
【答案】A
【知识点】构成三角形的条件
【分析】本题考查三角形的三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条
较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断．
【详解】解：A、 ，能组成三角形，故A符合题意；
B、 ，不能组成三角形，故B不符合题意；
C、 ，不能组成三角形，故C不符合题意；
D、 ，不能组成三角形，故D不符合题意．
故选：A．
3．（24-25八年级上·陕西渭南·期末）以下列各组线段长为边，能组成三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】构成三角形的条件
【分析】本题考查三角形的三边关系：三角形的两边之和大于第三边．根据三角形的三边关系判断即可．
【详解】解：A选项： ，故不能组成三角形；
B选项： ，故能组成三角形；
C选项： ，故不能组成三角形；
D选项： ，故不能组成三角形；
故选：B．
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学科网（北京）股份有限公司题型06 确定第三边的取值范围
例题：（24-25八年级上·安徽亳州·期末）已知三角形两边的长分别是3和5，则该三角形第三边的长不可
能是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【知识点】确定第三边的取值范围
【分析】本题主要考查了三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理．根据三角形两边之和大于第
三边，三角形两边的差小于第三边，由此得到 ，进而即可得到答案．
【详解】解：设该三角形第三边的长是 ，
∴ ，
∴ ，
∴该三角形第三边的长不可能是2．
故选：A．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·浙江金华·期末）一个三角形的两边长分别为2和5，第三边长可以是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】确定第三边的取值范围
【分析】本题主要考查三角形三边关系，掌握两边之和大于三边，两边之差小于第三边，属于基础题．根
据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可判断．
【详解】解：设第三边为x，则 ，
∴
所以第三边长可能是4．
故选：D．
2．（24-25八年级上·湖北荆州·期末）如图，为了估计池塘岸边A，B的距离，小聪在池塘的一侧选取一点
，测得 米， 米，则A，B间的距离不可能是（ ）
A．50米 B．40米 C．30米 D．20米
【答案】A
【知识点】确定第三边的取值范围
【分析】本题主要考查了三角形的三边关系．
根据三角形的三边关系定理三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得
，计算出 的取值范围即可解答．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解：连接 ，
根据三角形的三边关系可得 ，即 ，
∴A，B间的距离不可能是50米．
故选：A．
3．（23-24八年级上·四川南充·开学考试）已知三角形三边长分别为2，9， ，则 的取值范围 ．
【答案】
【知识点】确定第三边的取值范围
【分析】根据三角形存在的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，解答即可．
本题考查了三角形的存在，熟练掌握三角形的存在性条件是解题的关键．
【详解】解：∵三角形三边长分别为2，9， ，
∴ ，
故答案为： ．
题型07 利用三边关系去绝对值化简
例题：（24-25八年级上·云南文山·期中）若 ， ， 分别为 三边，化简：
．
【答案】
【知识点】三角形三边关系的应用、整式的加减运算、化简绝对值
【分析】本题考查了三角形三边关系，化简绝对值以及整式的加减；根据三角形的三边关系结合绝对值的
意义，化简即可.
【详解】解：因为三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，
所以 ， ， ，
∴
.
【变式训练】
1．（24-25八年级上·安徽滁州·期中）已知a，b，c为三角形的三边，则式子 （ ）
A． B． C．0 D．
【答案】D
【知识点】化简绝对值、整式的加减运算、三角形三边关系的应用
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学科网（北京）股份有限公司【分析】本题考查三角形三边关系和绝对值，解题的关键是熟练掌握三角形三边关系．根据三角形的三边
关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，得到 ， ，再根据绝
对值的性质进行化简计算．
【详解】解：根据三角形的三边关系，得到 ， ，
．
故选：D．
2．（22-23七年级下·重庆·期末）已知 的三边分别为a、b、c，化简：
．
【答案】
【知识点】化简绝对值、整式的加减运算、三角形三边关系的应用
【分析】本题考查三角形的三边关系，化简绝对值，根据三角形的三边关系，判断式子的符号，再化简绝
对值即可．
【详解】解：由题意，得： ，
∴ ，
∴原式
．
故答案为：
3．（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）a，b，c为 的三边，化简：
．
【答案】 ．
【知识点】化简绝对值、整式的加减运算、三角形三边关系的应用
【分析】本题考查了三角形的三边关系，以及绝对值的意义．由三角形的三边关系以及绝对值的意义进行
化简，即可得到答案．
【详解】解：∵a，b，c为 的三边，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴
．
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学科网（北京）股份有限公司一、单选题
1．（24-25八年级上·四川泸州·期末）下列各组线段中，能构成三角形的是（ ）
A．6，8，10 B．4，3，7 C．3，5，9 D．4，5，9
【答案】A
【知识点】构成三角形的条件
【分析】本题考查构成三角形的条件．根据两短边之和大于第三边时，三条线段能构成三角形，进行判断
即可．
【详解】解：A， ，能构成三角形；
B， ，不能构成三角形；
C， ，不能构成三角形；
D， ，不能构成三角形；
故选：A．
2．（24-25八年级上·浙江金华·期末）若一个三角形三边长分别为3，7，a，则a的值可以是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【知识点】确定第三边的取值范围
【分析】本题考查三角形三边关系，三角形两边之和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，由此得到
，即可得到答案．
【详解】解：由三角形三边关系定理得： ，
∴ ，
∴a的值可以是5．
故选：D．
3．（24-25九年级下·重庆南岸·开学考试）如图， ，过点 作 于点 ．若 ，则
的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形内角和定理的应用
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学科网（北京）股份有限公司【分析】本题考查了平行线的性质、垂直的性质及三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的性质是解答本
题的关键．利用平行线的性质先求出 ，再利用三角形的内角和定理求出 的度数即可．
【详解】解： ，
，
，
，
，
，
．
故选：D．
4．（24-25八年级上·安徽滁州·期末）在 中， ，则这个三角形是（ ）
A．含 角的直角三角形 B．等腰三角形
C．钝角三角形 D．锐角三角形
【答案】A
【知识点】三角形的分类、三角形内角和定理的应用
【分析】此题考查了三角形的内角和定理，三角形的分类，掌握知识点的应用是解题关键．
由 ，设 ， ， ，再根据三角形的内角和定理得出 ，
解得 ，然后求出各内角即可判断．
【详解】解：∵ ，
设 ， ， ，
∵ ，
∴ ，解得： ，
∴ ， ， ，
∴这个三角形是含 角的直角三角形，
故选： ．
5．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在 中， ， 是 边上的高，E是 的
中点，连接 ，则图中的直角三角形共有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
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学科网（北京）股份有限公司【知识点】三角形的分类
【分析】本题主要考查了直角三角形，能根据所给条件找出图中的所有直角三角形是解题的关键．
根据有一个是直角的三角形是直角三角形，找出图中的直角三角形即可解决问题．
【详解】解：因为 ，
所以 是直角三角形．
因为 是 边上的高，
所以 ，
所以 都是直角三角形，
所以图中的直角三角形共有4个．
故选：C．
6．（24-25七年级上·四川资阳·期末）已知：三角形的三个角的和为 ．如图， 三点在同一条直
线上， 四点在同一条直线上， ， 平分 ， 平分 , ,
．下列结论：① ；② ；③ ；④ ．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【答案】B
【知识点】角平分线的有关计算、两直线平行内错角相等、三角形内角和定理的应用
【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题的
关键.
根据平行线的性质得到 ，求出 ，得到
，得到 ， ，根据三角形内角和定理求出 ，
；求出 ， ， ，得出 ，即可得到答案.
【详解】解： ， ，
，
平分 ，
，
∵ ，
平分 ，
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学科网（北京）股份有限公司，
，
，
，
故结论②正确；
，
， ，
故结论④正确；
，
故结论③错误；
，
，
故结论①正确，
综上正确的结论是①②④，
故选：B.
二、填空题
7．（24-25八年级上·江西吉安·期末）在 中， ，则 的度数为 ．
【答案】 /40度
【知识点】三角形内角和定理的应用
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，根据三角形内角和定理可得出 代入计算
即可．
【详解】解：在 中， ，
则 ，
故答案为：
8．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，在 中，有 （填“ ”“ ”或
“ ”），理由是 ，这个结论是由基本事实 得到的．
【答案】 三角形的任意两边之和大于第三边 两点之间线段最短
【知识点】两点之间线段最短、构成三角形的条件
【分析】本题考查了三角形三边关系及两点之间线段最短，是基础题型，比较简单．根据三角形的三边关
系及两点之间，线段最短作答．
【详解】解：如图，在 中，有 （填“>”“<”或“=”），理由是三角形的任意两边之和
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学科网（北京）股份有限公司大于第三边，这个结论是由基本事实两点之间线段最短得到的．．
故答案为： ；三角形的任意两边之和大于第三边；两点之间线段最短．
9．（24-25八年级上·浙江丽水·期末）如图，小明在池塘一侧选取了一点 ，测得 ， ，
则池塘两岸A， 间的距离可以是 （答案不唯一，写出一个即可）．
【答案】5（答案不唯一）
【知识点】确定第三边的取值范围
【分析】本题主要考查三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键；连接 ，由题意
易得 ，然后问题可求解．
【详解】解：连接 ，如图所示：
∵ ， ，
∴ ，
∴A、B间的距离可以是5、6、7等等；
故答案为：5（答案不唯一）．
10．（24-25八年级上·广东深圳·期末）如图所示为某城市几条道路的位置关系，道路 与道路 平行，
．城市规划部门计划新修一条道路 ，要求 ，则 的度数是 ．
【答案】 /24度
【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形内角和定理的应用
【分析】本题考查了平行线的性质和内角和定理，解题的关键是掌握平行线的性质并灵活运用．
先根据平行线的性质，由 得到 ，然后根据 得出 ，求出
即可．
【详解】解： ，
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学科网（北京）股份有限公司，
， ，
，
．
故答案为： ．
11．（24-25八年级上·河北廊坊·期末）实践活动课上，老师组织大家用小棒摆三角形．已知三根小棒的长
分别是 ， ， ，若它们能构成三角形，则正整数 的值可以为 ．（写出1个即可）
【答案】 （不唯一）
【知识点】求一元一次不等式的解集、确定第三边的取值范围
【分析】本题考查三角形的三边关系，一元一次不等式，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．在运
用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度
即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此列不等式即可．
【详解】解：∵ ，它们能构成三角形，
∴ ，
解得： ，
故答案为： （不唯一）．
12．（24-25七年级下·上海青浦·阶段练习）定义：一个三角形的一边长是另一边长的 倍，这样的三角形
叫作“倍长三角形”．若 是“倍长三角形”，有两条边的长分别为 和 ，则第三条边的长为
．
【答案】 或
【知识点】确定第三边的取值范围、三角形三边关系的应用
【分析】本题考查三角形三边关系，设第三边的长为 ，先根据三角形三边关系定理得 ，再根据
是“倍长三角形”，分四种情况讨论并求解即可．正确理解题意并利用分类讨论的思想解决问题是
解题的关键．
【详解】解：设第三边的长为 ，
则 ，即 ，
∵ 是“倍长三角形”，则：
①若 ，则 （不符合题意，舍去）；
②若 ，则 ；
③若 ，则 ；
④若 ，则 （不符合题意，舍去）；
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学科网（北京）股份有限公司综上所述，第三条边的长为 或 ．
故答案为： 或 ．
三、解答题
13．（24-25八年级上·全国·随堂练习）如图，在 中，D，E分别是边 ， 上的点，连接 ，
，相交于点F．
(1)图中共有多少个三角形？用符号表示这些三角形．
(2)请写出 的三个顶点、三条边及三个内角．
(3)以线段AB为边的三角形有哪些？
(4)以 为内角的三角形有哪些？
【答案】(1)8；
(2) 的三个顶点是点B，D，F，三条边是线段 ， ， ，三个内角是
(3)以线段 为边的三角形有
(4)以 为内角的三角形有
【知识点】三角形的识别与有关概念、三角形的个数问题
【分析】本题考查了三角形的基本特征，解答此题的关键是根据三角形的角和边的概念进行解答．
（1）由题意观察图形，结合三角形的特征进行判断即可；
（2）由题意依据三角形顶点、边以及角的表示方法进行表示即可；
（3）由题意观察图形，结合三角形的特征寻找以 为边的三角形即可；
（4）由题意观察图形，结合三角形的特征寻找以 为内角的三角形即可．
【详解】（1）解：图中共有8个三角形，分别是：
．
（2）解： 的三个顶点是点B，D，F，三条边是线段 ， ， ，三个内角是
．
（3）解：以线段 为边的三角形有 ．
（4）解：以 为内角的三角形有 ．
14．（24-25七年级下·全国·单元测试）小明有长 的三根木条，但是不小心将 长的
木条折断了．
(1)最长的木条被折断的情况如何时，小明将不能与另两条木条钉成三角形架？
(2)如果最长的木条折去了 ，小明可以通过怎样再折木条的办法钉成一个三角形架？
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学科网（北京）股份有限公司【答案】(1)见解析
(2)见解析
【知识点】三角形三边关系的应用
【分析】本题主要考查三角形三边数量关系，掌握三角形三边数量关系是解题的关键．
（1）根据三角形三边数量关系，即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，确定第三根木条的长满
足大于 且小于 ，由此即可求解；
（2）根据三角形三边数量关系即可求解．
【详解】（1）解：∵两根木条的长为 ， ，
∴第三根木条的长满足大于 且小于 ，
∵第三根木条为 ，
∴小明折断后的木条长度小于等于70厘米时，将不能钉成三角形架；
（2）解：最长的木条折去了 ，
∴ ，
∵ ，
∴要想钉成一个三角形架可以将 长的木条折去大于 小于 的一部分．
15．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）若 ， ， 为 的三边长，化简：
．
【答案】
【知识点】化简绝对值、三角形三边关系的应用
【分析】本题考查了三角形三边关系、化简绝对值，由三角形三边关系得出 ， ，
，再根据绝对值的性质化简即可得解．
【详解】解：∵ ， ， 为 的三边长，
∴ ， ，即 ， ， ，
∴ ．
16．（2025七年级下·河南·专题练习）如图，已知 ， ．
(1) 吗？请说明理由．
(2)若 ， ，求 的度数．
【答案】(1)平行，理由见解析
(2)
【知识点】根据平行线判定与性质证明、三角形内角和定理的应用
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学科网（北京）股份有限公司【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握平行线的判定与
性质是解题的关键．
（1）由两直线平行同旁内角互补可得 ，再结合 ，可得 ，然
后根据同旁内角互补两直线平行即可得出结论；
（2）由 ， 可得 ，由三角形的内角和定理可得 ，
再结合 ，可得 ，于是可得 ，由两直线平行内错角相等可得
，由此即可求出 的度数．
【详解】（1）解： ，理由如下：
，
，
，
，
；
（2）解： ， ，
，
， ，
，
，
，
，
即 的度数为 ．
17．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，已知 分别是 和 上的点，
．
(1)如图①，试说明： ；
(2)如图②，连接 ．若 ，求 的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】垂线的定义理解、根据平行线判定与性质证明、三角形内角和定理的应用
【分析】本题考查平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
（1）证明 得 ，等量代换得 ，进而可证 ；
（2）先证明 ，再由 ，得 ，由三角形内角和得
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学科网（北京）股份有限公司，即可由 求解．
【详解】（1）解：因为 ，
所以 ，
所以 ．
因为 ，
所以 ，
所以 ．
（2）解：因为 ，
所以 ，
由（1），得 ，
所以 ，
所以 ．
因为 ，
所以 ，
所以 ．
18．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）综合实践：
【知识发现】古希腊七贤之一，著名哲学家泰勒斯（ ）最早从拼图实践中发现了“三角形内角和等
于 ”，但这种发现完全是经验性的，泰勒斯并没有给出严格的证明．之后古希腊数学家毕达哥拉斯、
欧几里得、普罗科拉斯等相继给出了基于平行线性质的不同的证明．其中欧几里得利用辅助平行线和延长
线，通过一组同位角和内错角证明了该定理．请同学们帮助欧几里得将证明过程补充完整．
（1）已知：如图1，在 中，
求证：
证明：延长线段 至点 ，并过点 作 ．
∵ ，
∴______ ，______ ．
∵ （______）
∴ ；
【结论运用】（2）如图2，已知 ，点H、Q分别在 、 上，连接 ，作 的角平分线
交 于点M，过点M作 交 于点N．若 ， ，求 的度数．
【拓展延伸】（3）如图3，在（2）的条件下，若 绕点O逆时针旋转，交直线 于点E，作 的
角平分线 交射线 于点D，则在旋转的过程中， 的值是否变化？若不变，请求出其值；若变
化，请说明理由．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】（1） 、 、平角的定义；（2） ；（3）不变，
【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质证明、三角形内角和定理的应用
【分析】本题考查角平分线的性质，平角的性质，平行线的判定和性质，熟练掌握角平分线的性质是解题
的关键；
（1）根据平行线的性质可得 ， ，再利用平角的定义即可求解；
（2）根据 ，可得 ，进而根据三角形的内角和求解即可；
（3）根据 ，可得 ，进而得到 ，根
据 ，可得 ，进而得到 ，从而求解；
【详解】（1）证明：延长线段 至点 ，并过点 作 ．
∵ ，
∴ ， ．
∵ （平角的定义）
∴
故答案为： 、 、平角的定义
（2）因为 ，
所以 ，
又因为 ，
根据三角形内角和为 ，
（3）
因为 ，三角形 内角和为 ，
所以 ，同理可得 ，
因为 平分 ，所以 ，
又因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ．
所以 ，
31 / 32
学科网（北京）股份有限公司又因为 平分 ，
所以 ．
所以 ，
所以 ．
又因为 与 是对顶角，
所以 ，
根据三角形内角和为 ，
所以 ，
即 ，
所以 ；
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学科网（北京）股份有限公司
