文档内容
微专题：三角函数图象的对称性
【考点梳理】
三角函数的图象和性质
函数性质 y＝sinx y＝cosx y＝tanx
定义域 R R { x | x ≠ k π ＋ ， k ∈ Z }
图象(一
个周期)
值域 [ － 1 ， 1] [ － 1 ， 1] R
最值 当x＝＋2kπ时，y ＝1； 当x＝2kπ时，y ＝1；
max max
无
(k∈Z) 当x＝－＋2kπ时，y ＝－1 当x＝2kπ＋π时，y ＝－1
min min
函数性质 y＝sinx y＝cosx y＝tanx
对称轴： 对称轴：
无对称轴；
对称性 x ＝ k π ＋ ； x ＝ k π ；
对称中心：
(k∈Z) 对称中心： 对称中心：
( k π ， 0)
最小正
2π 2π π
周期
单调递增区间 单调递增区间
单调性 [2 k π － ， 2 k π ＋ ] ； [2 k π － π ， 2 k π] ； 单调递增区间
(k∈Z) 单调递减区间 单调递减区间 ( k π － ， k π ＋ )
[2 k π ＋ ， 2 k π ＋ ] [2 k π ， 2 k π ＋ π]
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
正、余弦函数关于其零点中心对称，在最值点x 处关于直线x＝x 对称；正切函数关于点 (k∈Z)中心对称，需
0 0
要注意的是当k为奇数时，不在y＝tanx的定义域内.
【题型归纳】
题型一：求三角函数的对称轴、对称中心
1．函数 的图象的一个对称轴方程是（ ）
A． B． C． D．
2．函数 的部分图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）
第 1 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A．y＝f(x)的递增区间为 ，k∈Z
B．
C． 成立的区间可以为
D．y＝f(x)其中一条对称轴为
3．已知函数 ，则下列结论中正确的是（ ）
A． 的最小正周期为 B． 的最大值为2
C． 在区间 上单调递增 D． 的图像关于直线 对称
题型二：利用三角函数的对称性求参数
4．将函数 的图象向左平移 个单位长度后，所得到的图象关于 轴对称，则 的最小值是
（ ）
A． B． C． D．
5．已知向量 ，将函数 的图像沿 轴向左平移 个单位后，得到的图
像关于 轴对称，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知 是 上的奇函数，若 的图象关于直线 对称，且 在区间
第 2 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司内是单调函数，则 （ ）
A． B． C． D．
题型三：利用三角函数的对称性求最值
7．已知函数 的部分图象如图所示，将 的图象向右平移 个单
位长度，得到函数 ，若 满足 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．若函数 对任意的x都有 ，则 等于（ ）
A．3或0 B． 或0 C．0 D． 或3
9．将函数 的图象向右平移 个单位长度后得到函数 的图象，且 的图象的一
条对称轴是直线 ，则 的最小值为（ ）
A． B．2 C．3 D．
题型四：由正弦函数的对称性求单调性
10．关于函数 ，有下列命题：
①直线 是 图象的一条对称轴
第 3 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司②存在 ，使得 恒成立；
③ 在区间 上单调递增
④ 的图象可以由函数 向右平移 个单位得到
则其中真命题的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
11．已知函数 ( ， ）满足 ， ，且在区间
上是单调函数，则 的值可能是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
12．已知直线 是函数 的一条对称轴，则 的一个单调递减区间是
A． B． C． D．
【双基达标】
13．已知 （ ）既不是奇函数也不是偶函数，若 的图像关于原点对称，
的图像关于 轴对称，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
14．已知函数 ，下面结论错误的是（ ）
A．函数 的最小正周期为
B．函数 在区间 上是增函数
C．函数 的图像关于直线 对称
第 4 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司D．函数 是偶函数
15．已知函数 满足 ，则 （ ）
A． B．0 C． D．2
16．若函数 在区间 内单调，且 是 的一个对称中心，则 的值可以是
（ ）
A．6 B． C．9 D．
17．函数 图象的对称中心的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
18．函数 图象的一个对称中心为（ ）
A． B．
C． D．
19．已知函数f(x)＝2cos(3x－ )，下面结论错误的是( )
A．函数的最小正周期为
B．函数图像关于(－ ，0)中心对称
C．函数图像关于直线x＝ 对称
D．将y＝2cos3x图像上的所有点向右平移 ，可得到函数y＝f(x)的图像
第 5 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司20．将函数 的图象向右平移 个单位长度，得到函数 的图象关于
对称，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
21．设函数 ，则下列结论正确的是
A． 的一个周期为 B． 的图象关于直线对称
C． 的一个零点是 D． 在 单调递增
22．函数 的一个对称中心的坐标是（ ）
A． B． C． D．
23．函数y=tan(3x+ )的一个对称中心是（ ）
A．(0，0) B．( ，0)
C．( ，0) D．以上选项都不对
24．如果函数 的图像关于点 对称，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
25．设函数 在区间 恰有三个极值点、两个零点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【高分突破】
一、单选题
第 6 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司26．关于函数 ，有以下四个命题：
①函数 是偶函数；② 的图像关于直线 对称；③要得到函数 的图像只需
将 的图像向右平移 个单位；④ 在区间 内的单调递增区间是 和 ．
其中真命题的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
27．函数 的部分图象如图所示，则下列叙述正确的是
A．函数 的图象可由 的图象向左平移 个单位得到
B．函数 的图象关于直线 对称
C．函数 在区间 上是单调递增的
D．函数 图象的对称中心为
28．已知函数 ，则（ ）
A． 是偶函数 B．函数 的最小正周期为
C．曲线 关于 对称 D．
29．将函数 的图象向左平移 个单位长度后，所得到的图象关于原点对称，则 的最小值
第 7 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司是（ ）
A． B． C． D．
30．已知函数 （ ， ），若 的图像的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标均不
属于区间 ，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
31．设函数 ，在 上的图象大致如图，将该图象向右平移 个单位后所得
图象关于直线 对称，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
32．已知函数 ， 有三个不同的零点 ， ， ，且 ，则
的范围为（ ）
A． B． C． D．
33．已知函数 ， ，则（ ）
A． 的最大值为 B． 在区间 上只有 个零点
第 8 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司C． 的最小正周期为 D． 为 图象的一条对称轴
34．若将函数 的图象向右平移 个单位后得到的图象关于点 对称，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
35．已知函数 ，给出下列四个命题：① 图象的两条相邻对称轴间的距离为 ；②
的图象关于直线 对称；③ 在区间 上是增函数；④将 的图象向右平移 个单位后，
的图像关于y轴对称，其中正确的命题为（）
A．①③ B．①②③ C．②③ D．①②④
二、多选题
36．对于函数 ，下列四个结论正确的是（ ）
A． 是以 为周期的函数
B．当且仅当 时， 取得最小值-1
C． 图象的对称轴为直线
D．当且仅当 时，
37．下列关于函数 的相关性质的命题，正确的有（ ）
A． 的定义域是
B． 的最小正周期是
C． 的单调递增区间是
D． 的对称中心是
第 9 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司38．将函数 的图象向左平移 个单位后，所得图象关于 轴对称，则实数 的值可能为
（ ）
A． B． C． D．
39．函数 的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．点 是 的对称中心
B．直线 是 的对称轴
C． 在区间 上单调减
D． 的图象向右平移 个单位得 的图象
三、填空题
40．已知函数 的部分图像如图所示，将函数 的图像上所有点的横
坐标伸长到原来的 ，再将所得函数图像向左平移 个单位长度，的到函数 的图像，则下列关于函数 的
说法正确的是___________.（写序号）
第 10 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（1）点 是 图像的一个对称中心
（2） 是 图像的一条对称轴
（3） 在区间 上单调递增
（4）若 ，则 的最小值为
41．方程 的所有根的和为___________．
42．函数 的图象的一个对称中心为__________．
43．关于函数f（x）= 有如下四个命题：
①f（x）的图象关于y轴对称．
②f（x）的图象关于原点对称．
③f（x）的图象关于直线x= 对称．
④f（x）的最小值为2．
其中所有真命题的序号是__________．
44．设定义在 上的函数 ，给出以下四个说法：
① 的周期为 ；
② 在区间 上是增函数；
③ 的图象关于点 对称；
④ 的图象关于直线 对称．
以其中两个说法作为条件，另两个说法作为结论，写出一组你认为正确的一个命题（写成“ ”的形式）
______．（其中用到的说法用序号表示）
45．已知函数 ，给出下列四个命题：
①函数 是周期函数； ②函数 的图象关于原点对称；
第 11 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司③函数 的图象过点 ； ④函数 为R上的单调函数.
其中所有真命题的序号是___________.
四、解答题
46．已知函数 ，其中常数 .
(1)令 ，将函数 的图象向左平移 个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数 的图象，
求函数 的表达式.
(2)求出（1）中 的对称中心和对称轴.
(3)若 在 上单调递增，求 的取值范围.
47．已知函数 .
x π
(1)填写上表，并用“五点法”画出 在 上的图象；
(2)先将 的图象向上平移1个单位长度，再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的 ，最后将得到的图象
第 12 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司向右平移 个单位长度，得到 的图象，求 的对称轴方程.
48．已知函数 的部分图象如图所示.
(1)求 的解析式及对称中心坐标：
(2)先把 的图象向左平移 个单位，再向上平移1个单位，得到函数 的图象，若当 时，关于
的方程 有实数根，求实数 的取值范围.
49．已知函数 ， .求：
(1) 的图像的对称轴方程；
(2) 的图像的对称中心坐标.
50．已知 同时满足下列四个条件中的三个：① ；②
的图象可以由 的图像平移得到；③相邻两条对称轴之间的距离为 ；
第 13 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司④最大值为2.
（1）请指出这三个条件，并说明理由；
（2）若曲线 的对称轴只有一条落在区间 上，求m的取值范围.
第 14 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司参考答案
1．C
【解析】
【分析】
根据正弦函数的性质计算可得.
【详解】
解：对于函数 ，令 ，
解得 ，故函数的对称轴方程为 ，
令 ，可知函数的一条对称轴为 .
故选：C
2．C
【解析】
【分析】
根据函数图象，应用五点法求得 ，结合余弦型函数的性质求单调区间、解不等式判断A、B、
C，代入法判断对称轴.
【详解】
由题设， ，则 ，故 ，
若 ，则 ，
由 ，则 ， ，
由 ， 满足要求，不妨设 ，
所以 ；
若 ，则 ，
由 ，则 ， ，
由 ， 满足要求，不妨设 ，则 .
综上， ，B错误；
令 ， ，可得 ， ，
所以 递增区间为 ， ，A错误；
，则 ， ，
第 15 页所以 ， ，当 有 ，C正确；
，故 不是对称轴，D错误.
故选：C
3．C
【解析】
【分析】
根据三角函数图象性质结合选项一一判断即可．
【详解】
由
对A项 的最小正周期为 ，故A错；
对B项 的最大值为 ，故B错；
对C.项当 时，有 ，因为 在 上单调递增，
所以 在区间 上单调递增，故C正确；
对D.项，当 时，有 ，所以 不是 的对称轴，故D错．
故选：C
4．B
【解析】
【分析】
先求出平移后的函数解析式，利用对称性可得 的最小值.
【详解】
因为函数 的图象向左平移 个单位长度后，所得函数解析式为 ；
由函数 的图象关于 轴对称，所以 ，
即 ，
因为 ，所以当 时， 取到最小值 .
故选：B.
5．B
【解析】
【分析】
根据平面向量数量积的运算和辅助角公式可得 ，向左平移 个单位，得到 ，从
第 16 页而有 ， ，再结合 ，即可得解．
【详解】
解： ，
将函数 的图像向左平移 个单位，得到 ，
因为该函数关于 轴对称，所以 ， ，解得 ， ，
又因为 ，所以 的最小值为 ．
故选：B．
6．A
【解析】
【分析】
由函数 的奇偶性结合 的取值范围可得出 的值，利用函数 的对称轴可得出 的表达式，结合函数
的单调性可求得 的取值范围，可得出 的值，进而可确定 的解析式，代值计算可得结果.
【详解】
因为 是 上的奇函数，则 ，
所以， ，
因为 的图象关于直线 对称，则 ，可得 ，
当 时， ，
因为函数 在区间 内是单调函数，则 ，解得 ，
所以， ， ，故 ，因此， .
故选：A.
7．D
【解析】
【分析】
根据振幅即可得到 ，再由 可得 ，再由特值可得 ，可得 ，根据题意由
的图象关于直线 对称可得 ，即可得解.
【详解】
根据函数 的部分图象，
第 17 页可得 ， ，∴ ．
再结合五点法作图，可得 ，
求得 ，故 ．
将 的图象向右平移 个单位长度，
得到函数 的图象，
若 满足 ，则 的图象关于直线 对称，
故 ，即 ， ，
故 的最小值为 ，
故选：D．
8．D
【解析】
【分析】
是 的一条对称轴，故而 为 的最大值或最小值．
【详解】
任意实数 都有 恒成立，
是 的一条对称轴， 当 时， 取得最大值3或最小值 ．
故选： ．
9．A
【解析】
【分析】
利用平移变换得出 ，再由对称轴的性质得出 ， ，结合 得出 的最
小值.
【详解】
将函数 的图象向右平移 个单位长度后得到函数 的图象对应的函数为
因为函数 的图象的一条对称轴是直线
第 18 页所以 ，
解得 ， ，又
所以当 时， 取最小值，为
故选：A
【点睛】
关键点睛：解决本题的关键在于利用对称轴的性质结合 得出 的最小值.
10．B
【解析】
【分析】
对①、②、③、④一一分析：
对于①用代入法验证；对于②用函数的周期验证；对于③求单增区间验证；对于④利用相位变换验证.
【详解】
对于①：因为 时， ，所以直线 不是 图象的一条对称轴，所以①不对．
对于②：因为 的最小正周期为 ，所以使得 恒成立时 ，即 ，而
时， ，所以②不对．
对于③：因为 时， ，所以 在区间 上单调递增，所以③正确．
对于④：因为函数 向右平移 个单位得到函数 ，所以④不对．
综上所述，真命题的个数为1．
故选：B．
【点睛】
(1)三角函数问题通常需要把它化为“一角一名一次”的结构，借助于 或 的性质解题；
(2)求单调区间，最后的结论务必写成区间形式，不能写成集合或不等式．
11．C
【解析】
先由题意得出 的表达式，易知 是奇数，再根据选项求出 的解析式，判断在 上是否单调即可.
【详解】
解： ，
关于 对称，
又 ，
第 19 页关于 对称，
设 的周期为 ，
，
而 ，
；
对A，当 时， ，
又 关于 对称，
，
解得： ，
又 ，
，
，
当 时， ，显然不单调，所以A错误；
对B， 是奇数， 显然不符合；
对C，当 时， ，
又 关于 对称，
，
解得： ，
又 ，
，
，
当 时， ，显然单调，所以C正确；
对D， 是奇数， 显然不符合.
第 20 页故选：C.
【点睛】
方法点睛：求三角函数的解析式时，由 即可求出 ；确定 时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下
降)的“零点”横坐标 ，则令 (或 )，即可求出 ，否则需要代入点的坐标，利用一些已知
点的坐标代入解析式，再结合函数的性质解出 和 ，若对 。 的符号或对 的范围有要求，则可用诱导公式
变换使其符合要求.
12．B
【解析】
【分析】
利用周期公式计算出周期，根据对称轴对应的是最值，然后分析单调减区间.
【详解】
因为 ，
若 取到最大值，则 ，即 ，此时 处最接近的单调减区间是：
即 ，故B符合；
若 取到最小值，则 ，即 ，此时 处最接近的单调减区间是：
即 ，此时无符合答案；
故选B.
【点睛】
对于正弦型函数，对称轴对应的是函数的最值，这一点值得注意.
13．C
【解析】
【分析】
结合五点作图法及函数图象进行计算求解即可.
【详解】
可设 满足 , 且 （ ）,则 ,
注意到五点作图法的最左边端点为 ,而 , ,
故有 , ,
当 时， ， ，此时 ；
当 时， ， ，此时 ,
第 21 页故选：C．
14．B
【解析】
【分析】
先化简函数得 ，然后逐个分析判断即可
【详解】
解： ，
对于A， 的最小正周期为 ，所以A正确；
对于B， 在区间 上是减函数，所以B错误；
对于C，因为 ，所以 的图像关于直线 对称，所以C正确；
对于D，因为 ，所以 是偶函数，所以D正确，
故选：B
15．B
【解析】
由 可知函数关于x＝ 对称，根据正弦函数对称轴处取得函数的最值可求 ，然后代入即可
求解．
【详解】
解：由f（ ﹣x）＝f（ +x）可知函数关于x＝ 对称，
根据正弦函数对称轴处取得函数的最值可知， ,
故 .
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了正弦函数的对称性的简单应用，属于基础试题．
16．A
【解析】
【分析】
由对称中心得到 (k∈Z)，当 时，根据正弦函数的单调性结合 的范围得到 ，
求得 ，
当 时，根据正弦函数的单调性结合 的范围得到 ，求得 ，从而求得 的值.
【详解】
第 22 页,解得 , (k∈Z)
若 ,则 ，解得 ；
若 ，则 ，解得 ；
故 ，或 ，
如图所示，经检验符合题意.
故选：A.
【点睛】
本题考查三角函数的对称性和单调性，关键是注意ω正负的讨论.
17．D
【解析】
【分析】
由 可得解.
【详解】
令 ，得 ，
故函数 图象的对称中心的坐标为 .
故选:D.
18．D
第 23 页【解析】
【分析】
根据余弦函数的对称中心整体代换求解即可.
【详解】
令 ，可得 ．
所以当 时， ，故 满足条件，
当 时， ，故 满足条件；
故选：D
19．C
【解析】
【分析】
A：y＝Acos(ωx＋φ)＋B的最小正周期为 ；
B：f(x)的对称中心处函数值为零；
C：f(x)的对称轴过函数图像最高点或最低点；
D：根据函数图像平移对解析式的影响“左加右减”即可判断﹒
【详解】
A：y＝Acos(ωx＋φ)＋B的最小正周期为 ，∴f(x)的最小正周期T＝ ，A正确；
B：f(－ )＝2cos[3×(－ )－ ]＝0，所以(－ ，0)是f(x)的中心对称，B正确；
C：f( )＝0，所以f(x)关于( ，0)中心对称，C错误；
D：将y＝2cos3x图像上的所有点向右平移 变为y＝2cos3(x－ )＝2cos(3x－ )，D正确﹒
故选：C．
20．A
【解析】
【分析】
先利用余弦的二倍角公式和辅助角公式化简 ，再由图象的平移可得 的图象，由 的图象的对称轴列
方程结合 即可求得 的最小值.
【详解】
第 24 页，
所以 ，
因为函数 的图象关于 对称，所以 ，
所以 ，因为 ，所以 时， 最小，
故选：A.
21．B
【解析】
【分析】
根据周期公式计算可知，选项A错误；根据 的余弦值可知，选项B正确且选项C错误；根据区间 的长
度大于半个周期可知，选项D错误.
【详解】
因为 ，所以选项A错误；
因为 ，所以选项B正确；
因为 ，所以选项C错误；
的最小正周期为 ，在 内不可能是单调的，选项D错误.
故选：B.
【点睛】
本题考查了余弦函数的周期性，对称轴，零点和单调性，属于基础题.
22．D
【解析】
【分析】
解方程 即得解.
【详解】
解：令 ，
令 ，
所以函数 的一个对称中心的坐标是 .
故选：D
23．C
第 25 页【解析】
【分析】
根据正切函数y=tanx图象的对称中心是( ，0)求出函数y=tan(3x+ )图象的对称中心，即可得到选项.
【详解】
解：因为正切函数y=tanx图象的对称中心是( ，0)，k∈Z；
令3x+ = ，解得 ，k∈Z；
所以函数y=tan(3x+ )的图象的对称中心为( ，0)，k∈Z；
当k=3时,C正确，
故选：C.
24．B
【解析】
【分析】
根据三角函数的对称性，带值计算即可.
【详解】
根据题意， ，即 ，
解得 ；当 时， 取得最小值 .
故选：B.
25．C
【解析】
【分析】
由 的取值范围得到 的取值范围，再结合正弦函数的性质得到不等式组，解得即可．
【详解】
解：依题意可得 ，因为 ，所以 ，
要使函数在区间 恰有三个极值点、两个零点，又 ， 的图象如下所示：
第 26 页则 ，解得 ，即 ．
故选：C．
26．B
【解析】
【分析】
代入解析式，利用函数的奇偶性即可判断①；根据函数的对称性可判断②；根据三角函数的平移变换原则可判断
③；根据单调区间可判断④.
【详解】
对于①，因为函数 ，
所以
，函数不是偶函数，故①不正确；
对于②， 时， ，
所以函数图像关于 对称，故②正确；
对于③，将 的图像向右平移 个单位，
得到
，故③不正确；
对于④， ，
由 ，
解得 ，
第 27 页当 时， ，
当 时， ，
所以 在区间 内的单调递增区间是 和 ，故④正确.
所以②④正确.
故选：B
【点睛】
本题考查了三角函数的图像与性质，掌握三角函数的图像与性质是解题的关键，属于中档题.
27．D
【解析】
根据题意求出解析式，利用正弦函数的对称性及单调性依次判断选项.
【详解】
由图象可知A＝2，f（0）＝1，
∵f（0）＝2sinφ＝1，且 ，
∴ ，
∴f（x）＝2sin（ωx ），
∵f（ ）＝0且为单调递减时的零点，
∴ ，k∈Z，
∴ ，k∈Z，
由图象知 ，
∴ω ，
又∵ω＞0，
∴ω＝2，
∴f（x）＝2sin（2x ），
∵函数f（x）的图象可由y＝Asinωx的图象向左平移 个单位得，
∴A错，
令2x ，k∈Z，对称轴为x ，则B错，
第 28 页令2x ,则x ，则C错，
令2x kπ，k∈Z，则x＝ ，则D对，
故选：D．
【点睛】
本题考查三角函数图象及其性质，考查了正弦函数的对称性及单调性，属于中档题．
28．C
【解析】
根据二倍角公式及诱导公式可得 ，结合正弦函数的性质逐一判断即可.
【详解】
函数 ，
由于 ，即 是奇函数，故A错误；
的最小正周期为 ，故B错误；
由于 为最值，即曲线 关于 对称，故C正确；
由于 ， ， ，故D错误；
故选：C.
29．D
【解析】
【分析】
由三角函数平移变换可得平移后函数为 ，根据对称性得到 ，结合 可得
所求最小值.
【详解】
将 向左平移 个单位长度得： ，
图象关于原点对称，
，解得： ，又 ，
当 时， 取得最小值 .
故选：D.
30．C
【解析】
【分析】
第 29 页由已知得 ， ，且 ，解之讨论k，可得选项.
【详解】
因为 的图像的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标均不属于区间 ，所以 ，所以
，故排除A，B；
又 ，且 ，解得 ，
当 时， 不满足 ，
当 时， 符合题意，
当 时， 符合题意，
当 时， 不满足 ，故C正确，D不正确，
故选：C.
【点睛】
关键点睛：本题考查根据正弦型函数的对称性求得参数的范围，解决问题的关键在于运用整体代换的思想，建立
关于 的不等式组，解之讨论可得选项.
31．C
【解析】
【分析】
根据五点作图法可构造方程求得 ，得到 ；由三角函数平移变换可求得平移后解析式，利用代入检验的方法，
根据图象关于 可构造方程求得 ，由此确定最小值.
【详解】
根据五点法作图知： ，解得： ， ；
将 向右平移 个单位得： ，
图象关于 对称， ，
解得： ，
由 ，可令 得 的最小值 .
故选：C.
【点睛】
方法点睛：根据余弦型函数 的对称轴、对称中心和单调区间求解参数值时，通常采用代入检验的
第 30 页方式，即将 的取值代入 ，整体对应 的对称轴、对称中心和单调区间，由此求得结果.
32．D
【解析】
【分析】
令 ，将函数 的零点问题，转化为函数 的图象与直线
的交点横坐标问题进行研究.根据正弦函数的图象的对称性质得到 ,进而得到 ，结
合图象和正弦函数的最大值，得到 的取值范围，进而得到 的取值范围.
【详解】
令 ，当 时， ， 的图象如图所示，
由对称性可知 ，∴ ,
又∵ ，
∴ ，
,故 ，
∴ ,
故选： .
33．D
【解析】
【分析】
首先利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简，再结合正弦函数的性质计算可得；
【详解】
解：函数
，
第 31 页可得 的最大值为2，最小正周期为 ，故A、C错误；
由 可得 ，即 ，
可知 在区间 上的零点为 ，故B错误；
由 ，可知 为 图象的一条对称轴，故D正确．
故选：D
34．A
【解析】
【分析】
写出平移后的解析式，代入对称点坐标可求得 ．
【详解】
由题意平移后函数式为 ，
又新函数图象关于点 对称，所以 ，而 ，
所以 的最小值为 ．
故选：A．
35．C
【解析】
【分析】
由条件利用正弦函数的周期性单调性，以及图像的对称性， 的图像变换规律，得出结论.
【详解】
函数 的周期 ，两个相邻的对称轴之间的距离为 ，故①错误；
令 ，可得 ，因此 的图象关于直线 对称，故②正确；
当 时， ，可知 为增函数，故③正确；
将 的图象向右平移 个单位后，可得到 的图像不关于 轴对称，故④错误.
故选： .
【点睛】
本题主要考查的是正弦函数图像和性质，根据三角函数的对称性是解决本题的关键，是中档题.
36．CD
【解析】
求得 的最小正周期为 ，画出 在一个周期内的图象，通过图象可得对称轴、最小值和最大值，即可判断
第 32 页正确答案．
【详解】
解：函数 的最小正周期为 ，
画出 在一个周期内的图象，
可得当 ， 时，
，
当 ， 时，
，
可得 的对称轴方程为 ， ，
当 或 ， 时， 取得最小值 ；
当且仅当 时， ，
的最大值为 ，可得 ，
综上可得，正确的有 ．
故选： ．
【点睛】
本题考查三角函数的图象和性质，主要是正弦函数和余弦函数的图象和性质的运用，考查对称性、最值和周期性
的判断，考查数形结合思想方法，属于中档题．
37．AC
【解析】
分别求出函数 的定义域、最小正周期、单调递增区间和对称中心坐标，即可判断出四个选项的正误.
【详解】
对于A选项，令 ，解得 ，
则函数 的定义域是 ，A选项正确；
对于B选项，函数 的最小正周期为 ，B选项错误；
第 33 页对于C选项，令 ，解得 ，
则函数 的单调递增区间是 ，C选项正确；
对于D选项，令 ，解得 ，
则函数 的对称中心为 ，D选项错误.
故选：AC.
【点睛】
本题考查正切型函数的基本性质，考查计算能力，属于基础题.
38．BD
【解析】
【分析】
利用辅助角公式可得 ，根据图象平移有 ，确定平移后的解析式，根据对称性
得到 的表达式，即可知可能值.
【详解】
由题意，得： ，图象向左平移 个单位，
∴ 关于 轴对称，
∴ ，即 ，
故当 时， ；当 时， ；
故选：BD
39．CD
【解析】
【分析】
由图知 且 求 ，再由 过 求 ，将A、B中的点代入验证是否为对称中心、对称轴，根据正
弦函数的性质判断给定区间是否为减区间，应用诱导公式化简 ，进而判断平移后解析式是否为 .
【详解】
由图知： 且 ，则 ，
∴ ，可得 ，
又 过 ，
第 34 页∴ ，得 ，又 ，
∴当 时， .
综上， .
A： 代入得： ，故错误；
B： 代入得： ，故错误；
C：由 ，故在 上 单调递减，则 上递减，而
，故正确；
D： ，故正确；
故选：CD
【点睛】
关键点点睛：利用函数部分图象确定 的参数，写出解析式，进而根据各选项的描述，判断对称中心、对称轴、
单调区间及平移后的解析式.
40．（2）（4）
【解析】
【分析】
首先根据函数的图象，求函数的解析式，再根据图象变换规律求函数 的解析式，再根据三角函数的性质，即
可判断.
【详解】
由图象可知 ， ，解得： ，
，解得： ， ,
因为 ，所以 ，
所以 ， 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的 ，得 ，再将所得函
数图像向左平移 个单位长度，得
当 时， ，所以 不是函数的对称中心， 是函数的对称轴，故（1）错误；（2）正确；
当 时， ，所以 在区间 上单调递增，在 单调递减，故（3）错误；
第 35 页若 ，则 是函数的最大值和最小值点，所以 ，故（4）正确.
故答案为：（2）（4）
41．8
【解析】
【分析】
由于函数 与 都关于点 成中心对称，结合图像以 为中心的两个函数有8个交点，
利用对称性得解.
【详解】
设 ， ，等价于求两个函数的交点的横坐标的和的问题．
显然，以上两个函数都关于点 成中心对称，作出两个函数的图象，如图所示，
函数 在 上出现1.5个周期的图象，在 和 上是减函数；在 和 上是增函数．
函数 在 上函数值为负数，且与 的图象有四个交点 、 、 、 ，
相应地， 在 上函数值为正数，且与 的图象有四个交点 、 、 、 ，
且： ，
故所求的横坐标之和为8，
故答案为：8．
【点睛】
方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数
形结合的方法求解
42． （答案不唯一）
【解析】
【分析】
第 36 页先根据二倍角公式将函数进行化简为 ，再整体法求出对称中心即可．
【详解】
得 ， 故图象的对称中心为（ ）当k=1 ,其一个对称中心为
故答案为： （答案不唯一）
43．②③
【解析】
【分析】
利用特殊值法可判断命题①的正误；利用函数奇偶性的定义可判断命题②的正误；利用对称性的定义可判断命题
③的正误；取 可判断命题④的正误.综合可得出结论.
【详解】
对于命题①， ， ，则 ，
所以，函数 的图象不关于 轴对称，命题①错误；
对于命题②，函数 的定义域为 ，定义域关于原点对称，
，
所以，函数 的图象关于原点对称，命题②正确；
对于命题③， ，
，则 ，
所以，函数 的图象关于直线 对称，命题③正确；
对于命题④，当 时， ，则 ，
命题④错误.
故答案为：②③.
【点睛】
本题考查正弦型函数的奇偶性、对称性以及最值的求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
44．①④ ②③（答案不唯一）
第 37 页【解析】
【分析】
由① 的周期为 ，得到 ，再由④ 的图象关于直线 对称，求得 判断；再如：由① 的周
期为 ，得到 ，再由③ 的图象关于点 对称，求得 判断.
【详解】
解析：答案不唯一，比如：
① 的周期为 ，则 ，函数 ．
若再有④ 的图象关于直线 对称，则 取得最值，
又因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，此时②③成立，故①④ ②③．
再如：
若① 的周期为 ，则 ，函数 ，
若再有③ 的图象关于点 对称，
则 ，又因为 ，所以 ，
所以 ，此时②④成立，故①③ ②④．
故答案为：①④ ②③（答案不唯一）
45．①②③
【解析】
【分析】
直接利用三角函数的性质，函数的单调性，对称性，函数的周期的应用判断①、②、③、④的结论．
【详解】
解：函数 ，
对于①，函数 ，故①正确；
对于②，由于函数 ，故②正确；
对于③，当 时， ，故③正确；
对于④，函数 和 都不是单调函数，故④错误．
第 38 页故答案为：①②③．
46．(1)
(2)对称轴： ，对称中心：
(3)
【解析】
【分析】
（1）由函数图象变换结论求得函数 的解析式；
（2）利用整体代入法求对称轴和对称中心；
（3）求条件可得 ，由此可求 的取值范围.
(1)
，即 .
(2)
.即对称轴为 又
.即对称中心为：
(3)
当 时，
，
解得 .
又
即 的取值范围为 .
47．(1)表格见解析，图象见解析
第 39 页(2)
【解析】
【分析】
（1）利用解析式以及五点作图法即可求解.
（2）根据三角函数的平移、伸缩变换可得 ，再由正弦函数的对称轴整体代入可得
，解方程即可求解.
(1)
（1）由题意可得表格如下：
x 0
0 0
可得图象如图所示.
(2)
将 的图象向上平移1个单位长度得到 的图象，
再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的 可得到 的图象，
最后将得到的图象向右平移 个单位长度，
第 40 页可得 的图象，
即 ，
令 ，解得 ，
所以 的对称轴方程是 .
48．(1) ，
(2)
【解析】
【分析】
（1）由最大值和最小值求得 ， 的值，由 以及 可得 的值，再由最高点可求得 的值，即可
得 的解析式，由正弦函数的对称中心可得 对称中心；
（2）由图象的平移变换求得 的解析式，由正弦函数的性质可得 的值域，令 的取值为 的值域，
解不等式即可求解.
(1)
由题意可得： ，可得 ，所以 ，
因为 ，所以 ，可得 ，
所以 ，
由 可得 ，
因为 ，所以 ， ，所以 .
令 可得 ，所以对称中心为 .
(2)
由题意可得： ，
当 时， ， ，
若关于 的方程 有实数根，则 有实根，
所以 ，可得： .
第 41 页所以实数 的取值范围为 .
49．(1) ，
(2) ，
【解析】
【分析】
先将函数化简为y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式，然后整体代换ωx＋φ即可求出对称轴和对称中心﹒
(1)
由 ，得 ；
(2)
由 ，得 ，
∴对称中心为
50．（1）①③④，理由见解析；（2） .
【解析】
【分析】
（1）先分析②③④成立时的情况，然后推出矛盾即可确定出满足的三个条件；
（2）先根据（1）求解出 的解析式，然后采用整体替换的方法求解出 的对称轴方程，然后对 进行赋值，
确定出在区间 上仅有一条对称轴时 的取值范围.
【详解】
（1）三个条件是：①③④，理由如下：
若满足②：因为 ，所以 ；
若满足③：因为 ，所以 ，所以 ，
若满足④： ，
由此可知：若满足②，则③④均不满足，
所以满足的三个条件是：①③④；
（2）由③④知： ，
由①知： ，所以 ，所以 ，
第 42 页又因为 ， 或 ，
所以 或 ，
所以 ，所以 ，
不妨令 ，所以 ，
当 时， ；当 时， ；当 时， ，
所以若要 的对称轴只有一条落在区间 上，只需 ,
所以 的取值范围是 .
【点睛】
方法点睛：已知函数 ，
若求函数 图象的对称轴，则令 ， ；
若求函数 图象的对称中心或零点，则令 ， ．
第 43 页第 44 页
