文档内容
微专题：利用导数研究双变量问题
【考点梳理】
破解双参数不等式的方法：
一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等式；
二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；
三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果.
【典例分析】
典例1．已知函数 ．
(1)若 时， ，求 的取值范围；
(2)当 时，方程 有两个不相等的实数根 ，证明： ．
典例2．已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)证明：若 ， ，则 ．
典例3．已知函数 （k为常数），函数 ．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)当 ， 时， 有且只有两个不相等的实数根 ， 且 ； 有且只有两个不相等
的实数 ， ，且 ．证明： ．
第 1 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【双基达标】
4．已知函数 .
(1)求函数 的单调区间；
(2)设 ，若 ， ，且 ，使得 ，求 的最大值.
5．已知函数 .
（1）求 的单调区间与极值.
（2）设 ， 为两个不相等的正数，且 ，证明： .
6．已知对于不相等的正实数a，b，有 成立，我们称其为对数平均不等式．现有函数
．
(1)求函数 的极值；
(2)若方程 有两个不相等的实数根 ， ．
①证明： ；
②证明： ．
7．已知函数 ．
(1)试讨论 的极值；
(2)设 ，若 ， ，使得 ，求实数 的取值范围．
8．已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
第 2 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司(2)若函数 的图像与x轴交于A，B两点，线段 中点的横坐标为 ，证明： .
9．已知函数 .
(1)求函数 的单调区间；
(2)若 ，且 ，证明： .
10．已知函数 ．
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若对 ， ，不等式 恒成立，求实数m的取值范围．
【高分突破】
11．已知函数 ， .
(1)讨论 的单调性；
(2)任取两个正数 ，当 时，求证： .
12．已知函数 ．
(1)若 在 上单调递减，求实数a的取值范围．
(2)若 是方程 的两个不相等的实数根，证明： ．
13．已知函数 ， .
（1）若 存在单调递增区间，求 的取值范围；
（2）若 ， 与为 的两个不同极值点，证明： .
14．已知函数 ，其中a，b为常数， 为自然对数底数， ．
(1)当 时，若函数 ，求实数b的取值范围；
第 3 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司(2)当 时，若函数 有两个极值点 ， ，现有如下三个命题：
① ；② ；③ ；
请从①②③中任选一个进行证明．
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
15．已知函数 ．
(1)当 时，求 的单调区间；
(2)若 有两个极值点 ，且 ，从下面两个结论中选一个证明．
① ；
② ．
16．已知函数 （ ），且 有两个极值点 ．
(1)求实数 的取值范围；
(2)是否存在实数 ，使 成立，若存在求出 的值，若不存在，请说明理由．
17．已知函数 .
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）讨论 的单调性；
（3）当 时，证明： .
18．已知函数 .
(1)当 时，证明： ；
(2)若 的两个零点分别为 ，证明： .
19．已知函数 ．
第 4 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司(1)若存在 ，使 ≤ 成立，求a的取值范围；
(2)若 ，存在 ， ，且当 时， ，求证： ．
20．已知函数 ，且 是函数 的导函数，
(1)求函数 的极值；
(2)当 时，若方程 有两个不等实根 ．
（ⅰ）证明： ；
（ⅱ）证明： ．
21．已知函数f(x)＝x－alnx
(1)求函数f(x)的极值点；
(2)若方程 有2个不等的实根 ，证明： .
22．已知 ，函数 .
(1)当 时，求 的单调区间和极值；
(2)若 有两个不同的极值点 ， .
（i）求实数 的取值范围；
（ii）证明： （ ……为自然对数的底数）.
23．已知 .
(1)若 恒有两个极值点 ， （ ），求实数a的取值范围；
(2)在（1）的条件下，证明 .
24．已知函数 ，实数 ， 为方程 的两个不等的根.
(1)求实数 的取值范围；
(2)证明： .
第 5 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司25．已知函数 .
(1)证明： ；
(2)若 有两个不相等的实数根 ，求证： .
26．已知函数 ，其中 ， 为 的导函数.
(1)当 ，求 在点 处的切线方程；
(2)设函数 ，且 恒成立.
①求 的取值范围；
②设函数 的零点为 ， 的极小值点为 ，求证： .
27．已知函数 ，其中 ，且 .
（1）讨论 的单调性；
（2）若直线 恒在函数 图像的上方，求实数 的取值范围；
（3）若存在 ， ，使得 ，求证： .
28．已知函数 .
（1）证明：曲线 在点 处的切线 恒过定点；
（2）若 有两个零点 ， ，且 ，证明： .
第 6 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司参考答案
1．(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）利用导数，判定单调性，求解最值可得范围；
（2）把双变量问题转化为单变量，结合导数求解单调性和最值，可以证明结论.
（1）∵ ， ，∴ ，设 ， ，当 时，令
得 ，当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增，∴
，与已知矛盾．当 时， ，∴ 在 上单调递增，∴ ，满足条件；
综上， 取值范围是 ．
（2）证明：当 时， ，当 ， ，当 ， ，则 在区间 上单调递增，
在区间 上单调递减，不妨设 ，则 ，要证 ，只需证 ，∵ 在区间 上
单调递增，∴只需证 ，∵ ，∴只需证 ．设 ，则
，∴ 在区间 上单调递增，∴ ，∴ ，即
成立，∴ ．
【点睛】
方法点睛：恒成立问题的处理方法主要有：
（1）分离参数法：转化为函数最值问题；
（2）直接法：直接求解函数最值，必要时进行分类讨论.
双变量问题一般利用等量代换转化为单变量问题进行求解.
2．(1) 时， 在 上单调递增； 时， 在 上单调递减，在 上单调递增
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）先求定义域，再求导，分 与 求解函数的单调性；
（2）由 得到 ，即证 ，构造函数 ， ，
求导后得到 在 上单调递增，
∵ ，∴ ，从而证明出 成立．
(1)
第 7 页由题意知： ．
当 时，当 时， ， 在 上单调递增；
当 时，当 时， ，当 时， ，
在 上单调递减，在 上单调递增
综上， 时， 在 上单调递增；
时， 在 上单调递减，在 上单调递增．
(2)
证明：∵ ，即 ，
又 ，∴要证 ，只需证 ，
即证 ①
设 ， ，则 ，
∴ 在 上单调递增，
∵ ，∴ ，不等式①成立，即 成立．
【点睛】
对于双元问题，要转化为单元问题，构造函数，结合函数单调性和极值等进行求解.
3．(1)详见解析；
(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）由题可得 ，分 ， 讨论即得；
（2）由题可知 ，进而可得 ， ，问题转化为证明 ，构造函数
，利用函数的导数可得函数的单调性，结合函数 的单调性即得.
(1)
因为 ，
当 时， ，函数在 单调递增；
当 时，令 ，解得 ，
第 8 页当 时， ，当 时， ，
∴函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
综上，当 时，函数 在 单调递增；
当 时，函数 在 上单调递减，在 上单调递增．
(2)
当 时， ， ，
∴ ，
所以方程 与 的根互为倒数，
又因为方程 有且只有两个不相等的实数根 ， ，且 ，
方程 有且只有两个不相等的实数根 ， ，且 ，
所以 ， ，可得 ， ，
所以 ，
故要证 ，只需证明 ，
要证 ，只需证 ，
因为 ，所以 ，
因为 在 上单调递增，
所以只需证 ，
进而只需证 ，
因为 ，
只需证明 ，
构造函数 ， ，
则 ，
所以函数 在 上单调递增，又 ，
所以当 时， ，
则 ，即 ，
所以 ，即 ，
故 ．
【点睛】
方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：
第 9 页（1）直接构造函数法：证明不等式 （或 ）转化为证明 （或
），进而构造辅助函数 ；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
4．(1)答案见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）求出导函数 ，然后对 分 、 、 三种情况讨论即可求解；
（2）由题意，当 满足 时， 取得最大值，令 ，
求出 的值即可得答案.
(1)
解：因为 ，所以 ，
当 时，令 ，可得 或 ，令 ，可得 ，
所以 在 和 上单调递增，在 上单调递减；
当 时， ，所以 在R上单调递增；
当 时，令 ，可得 或 ，令 ，可得 ，
所以 在 和 上单调递增，在 上单调递减；
(2)
解：因为 ，所以由（1）知 在 和 上单调递增，在 上单调递减，
因为 ， ，且 ，使得 ，
所以当 满足 时， 取得最大值，
令 ，
所以当 时， ，
同理可得 ，
所以当 时， ，
所以此时 ，即 的最大值为 .
5．（1）单调递增区间为 ，单调递减区间为 ，极大优值 ，无极小值；（2）证明见解析.
【解析】
第 10 页【分析】
首先求函数的导数，利用导数和单调性，极值点的关系，即可求解；
（2）首先由条件变形为 ，即 ，通过构造函数 ，
，转化为极值点偏移问题，即可求解.
【详解】
（1）解： 的定义域为 ， .
当 时， ；当 时，
所以 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .
故 在 处取得极大值，且极大值为 ，无极小值.
（2）证明：易知 ， ，
即 ， .
不妨设 ， ， .
（1）可知 ， ，
当 时， ，
当 时， ，
设 ， ，
则 ，
因为 ， ，
所以 ， 在区间 上单调递增，
，
所以 ，
又因为 ， ，所以 ，
即 ，故 .
6．(1)极大值为 ，无极小值
(2)①证明见解析；②证明见解析
【解析】
【分析】
（1）利用导数求单调区间，由单调区间即可求出极值；
第 11 页（2）由 和 可得 ，由已知条件所给的不等式即可证得①；
由①可得 ，则 ，令 ，构造函数 ，
利用二次求导根据单调性即可证得②.
(1)
函数 的定义域为 ，
，
则当 时， ； 时， ．
即 在 上递增， 上递减，
故 的极大值为 ，无极小值．
(2)
结合（1）由 ， ； ， ，可得 ，
①由题意可得 ，从而 ，
即 ，
结合参考的公式可得： ，
故 ，
且 ，即 ，从而有 ．
②由①可得 ，令 ，则 ，
所以 ，
则 ，
则 ，∴ 递减，
又∵ ，∴ ，
故 递增，∴ ，
第 12 页即 ，
即 ．
7．(1)答案见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）先讨论 的单调性，再确定极值（2） ， ，使得 等价于
，分别求出 与 ，即可求解
(1)
函数 的定义域为 ，
．
当 时， ，所以 在 上为增函数，此时函数不存在极值．
当 时，由 ，解得 ，故 在 上单调递增．
由 ，解得 ，故 在 上单调递减．
此时函数在 处取得极大值．无极小值．
综上所述，当 时，函数不存在极值．
当 时，函数在 处取得极大值，无极小值．
(2)
由（1）知当 时， 在 上为增函数，
故 无最大值，此时不符合题意；当 时， ．
易知 在 上单调递减，所以 ．
因为 ， ，使得 ，
所以 ，即
解得 ，所以实数a的取值范围是 ．
8．(1)见解析
(2)见解析
【解析】
【分析】
第 13 页（1）先写出函数定义域，然后求出 ，并按 ， 讨论，最后判断
即可.
（2）由（1）可得 ，设 ， ， ，计算 ，化简 ，
计算 ，换元并构建函数 ，利用导数判断函数的单调性，最后可证
结果.
(1)
的定义域为 ，
．
①若 ，则 ，所以 在 单调递增．
②若 ，则由 得 ，
且当 时， ，当 时， ．
所以 在 单调递增，在 单调递减．
(2)
由（1）可知：当 时，函数 在 上单调递增，
故 图像与x轴至多有一个交点，不符合题意，从而 ．
当 时， 在 单调递增，在 单调递减，
不妨设 ， ， ，则 ．
由 ，
两式相减得： ，
即： ，
又
第 14 页令 ， ，
则 ，从而函数 在 上单调递减，
故 ，从而 ，又 ，所以 ．
9．(1)答案见解析；
(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
(1)求导并通过导数的正负讨论f(x)的单调性；
(2)换元 ，将问题转化为 即可.
(1)
函数 定义域为 ，
，
①当 时， 在 上恒成立，即函数 的单调递减区间为
②当 时， ，解得 ，当 时， ，
函数 的单调递增区间为 ，
当 时， 函数 的单调递减区间为 ，
综上可知：
①当 时，函数 的单调递减区间为 ，无单调递增区间；
②当 时，函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为
(2)
依题意， 是函数 的两个零点，
设 ，因为 ，
， ，
第 15 页不等式 ，
，所证不等式即
设 ，令 ，
则 ， 在 上是增函数，且 ，
所以 在 上是增函数，且 ，
即 ，从而所证不等式成立.
【点睛】
本题关键是换元 ，结合已知条件可将双变量转换为单变量问题求解.
10．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据导数的几何意义以及直线的点斜式方程即可求解；（2）不等式 恒成立等价于
恒成立，即 ，构造函数 ，
求出其最大值即可得到 的取值范围.
(1)
当 时， ， ，
则 ， ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ．
(2)
，令 得 或 ，
∵ ，所以 ，
当 时， ，所以函数 在 上单调递减，
则 ， ，
∵对 ，不等式 恒成立，
∴ ，
即 对 恒成立，
令 ，则函数 在 上单调递增，
第 16 页所以只需 ．所以 ．
【点睛】
关键点：（1）关键是应用导数的几何意义以及直线的点斜式方程求解切线方程；（2）关键是通过函数 的最
大、最小值去掉不等式 中的绝对值符号，转化为
，即 ，构造函数 ，求出其
最大值即可得到 的取值范围.
11．(1)答案见解析；
(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据函数解析式求出定义域以及导数，对参数 进行讨论，根据导函数的正负取值情况得出函数的单调性；
（2）求出 ，运用分析法将需要证明成立的不等式转化，再利用换元法写出表达式，利用导数研究函数的单
调性，进而证明原不等式成立.
(1)
.
当 时， ，令 ，得 ；令 ，得 .
所以 在 上单调递增，在 上单调递减.
当 ，即 时，令 ，得 或 ；令 ，得 .
所以 在 ， 上单调递增，在 上单调递减.
当 ，即 时， 恒成立，所以 在 上单调递增.
当 ，即 时，令 ，得 或 ；令 ，得 .
所以 在 ， 上单调递增，在 上单调递减.
综上所述，
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减；
当 时， 在 ， 上单调递增，在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 ， 上单调递增，在 上单调递减；
(2)
证明：由题意得， .
第 17 页要证 ，
只需证 ，
即证 ，
即证 .
令 ，
所以只需证 在 上恒成立，
即证 在 上恒成立.
令 ，则 ，
令 ，则 .
所以 在 上单调递减，即 在 上单调递减，
所以 ，所以 在 上单调递增，
所以 .
所以 .
12．(1) ；
(2)详见解析
【解析】
【分析】
（1）首先求函数的导数，结合函数的导数与函数单调性的关系，参变分离后，转化为求函数的最值，即可求得实
数 的取值范围；
（2）将方程 的实数根代入方程，再变形得到 ，利用分析法，转化为证明
，通过换元，构造函数，转化为利用导数证明 ， 恒成立.
(1)
，
第 18 页， 在 上单调递减，
在 上恒成立，即 ，
即 在 ，
设 ， ， ，
当 时， ，函数单调递增，当 时， ，函数单调递减，
所以函数 的最大值是 ，所以 ；
(2)
若 是方程 的两个不相等的实数根，
即 又2个不同实数根 ，且 ， ，
得 ，即 ，
所以 ，
不妨设 ，则 ，
要证明 ，
只需证明 ，
即证明 ，即证明 ，
令 ， ，
令函数 ，
所以 ，
所以函数 在 上单调递减，
当 时， ，所以 ， ，
第 19 页所以 ，即 ，即得
【点睛】
本题考查利用导数的单调性求参数的取值范围，以及证明不等式，属于难题，导数中的双变量问题，往往采用分
析法，转化为函数与不等式的关系，通过构造函数，结合函数的导数，即可证明.
13．（1） ；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）由题意知 有解，分离 可得 有解，令 ，可得 ，利用导数求
的最大值即可求解；
（2）由题意知 ， 是 的两根，将 ， 代入 整理可得 ，所证明不等
式为 ，令 ， 问题转化为证明 成立，利用导
数证明单调性求最值即可求证.
【详解】
（1）函数定义域为 ，根据题意知 有解，
即 有解，令 ， ，
且当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
所以 ，所以 ；
（2）由 ， 是 的不同极值点，知 ， 是 的两根，
即 ，所以 ①，
联立可得： ②，
要证 ，由①代入即证 ，即 ，
由②代入可得 ③，
第 20 页因为 ，则③等价于 ，
令 ， 问题转化为证明 ④成立，
而 ，
在 上单调递增，当 ， ④成立，即得证.
【点睛】
方法点睛：破解双参数不等式的方法：
一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等式；
二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；
三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果.
14．(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）分 ， 讨论，当 时，求 的最小值，根据 可得；
（2）将问题转化为 有两个零点，先利用导数研究两个零点的范围，然后由 ，
，作商取对数得 .若选①，令 ，构造函数
，若选②，构造函数 ，根据极值点偏移问题的方法可证；若选③，构造函数
，由单调性可证.
(1)
当 时， ，
当 时，因为 ，所以此时不合题意；
当 时，当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
所以 ，
要 ，只需 ，
令 ，则 ，
当 时， ， 单调递增；
第 21 页当 时， ， 单调递减，
所以 ，则由 得 ，
所以 ，故实数b的取值范围为 ．
(2)
当 时， ， ，
令 ，则 ，
因为函数 有两个极值点 ， ，所以 有两个零点，
若 ，则 ， 单调递增，不可能有两个零点，所以 ，
令 得 ，
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增；
所以 ，
因为 有两个零点，所以 ，则 ，
设 ，因为 ， ，则 ，
因为 ，所以 ， ，
则 ，取对数得 ，
令 ， ，则 ，即
①令 ，则 ，因为 ，所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
令 ，
则 ， 在 上单调递减，
因为 ，所以 ，即 ，
亦即 ，
因为 ， ， 在 上单调递增，所以 ，
则 ，整理得 ，
所以 ，故①成立
②令 ，则 ，
因为 ，所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
第 22 页令 ，则 ， 在 上单调递增，
又 ，所以当 时， ，即 ，
因为 ， ， 在 上单调递增，所以 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
即 ，故②成立．
③令 ， ，则 ，
令 ，则 ，
∴ 在 上单调递增，则 ，
∴ ，则 ，
两边约去 后化简整理得 ，即 ，
故③成立．
【点睛】
双变量的不等式证明问题，主要通过换元构造函数，利用单调性证明即可.本题属极值点偏移问题，关键在于构造
适当的对称函数.
15．(1) 的单增区间为 ；单减区间为 ，
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）首先求函数的导数，根据导数与函数单调性的关系，即可求解；
（2）若选①，不等式转化为证明 ，变形为证明 ，通过构造函
数 ，即可证明；
若选②，首先根据函数有两个极值点，证得 ， ，再变换为
第 23 页，通过构造函数，利用导数，即可证明.
（1） ，当 时， ，
令 ，解得 ；令 ，解得 或 ，所以 的单增区间为 ；单减区间为
， ．
（2）证明①：由题意知， 是 的两根，则 ，
，将 代入得， ，要
证明 ，只需证明 ，即 ，因为 ，
所以 ，只需证明 ，令 ，则 ，只需证明 ，即
，令 ， ，所以 在 上单调递减，可
得 ，所以 ，综上可知， ．证明②：
设 ，因为 有两个极值点，所以 ，解得
，因为 ，所以 ， ，由题意可知
，可得 代入得， ，令
， ，当 ，所以 在
上单调递减，当 ，所以 在 上单调速增，因为 ，所以
，由 ，可得 ，所以 ，所以
，所以 ，即 ．
16．(1)
(2)不存在；理由见解析
【解析】
【分析】
第 24 页（1）求导之后，根据导函数在 上有两个变号零点，列式即可求解（2），假设存在，由（1）知 ，
则 ，不妨设 ，代入 ，消元得 ，构造函数
（ ）可知上述方程无实解，故不存在实数a，使 成立
(1)
由题设，知函数 的定义域为 ，
且 ，
因为函数 有两个极值点 ，
所以 在 上有两个不等的实数根，
即 在 上有两个不等的实数根 ，
则有 ，
解得 ，即所求实数 的取值范围是 ．
(2)
由题意，得 ，
又由（1）知 ，
所以
．
要使 成立，只需 ．
由（1）知 ，则只需 ，
即 ．（※）
由于 ，所以 不妨设 ，
则（※）式成立，等价于 成立．
设 （ ），
第 25 页则 ，
所以函数 在区间 上单调递减，且 ，
所以
所以 无实数解，即（※）式不成立，
所以不存在实数a，使 成立．
17．（1） ；（2） ， 在 单调递减； ， 在 单调递增，在 单调递减；
（3）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）求得导函数，利用导数的几何意义得到切线的斜率，进而得出切线方程；
（2）分类讨论，函数的定义域，在定义域内研究讨论导数的正负，进而得到单调性；
（3）解法1：等价转化为 .先将不等式左边看成以a为自变量的函数，设
，利用导数研究其单调性，进而得到
.由（1）可知，当 时， ，得 ，然后利用 放缩
证得；
解法2：（3）不等式 等价于 .
由（1）可知，当 时， ，得 ，先利用 ，得到 ，从而为证原不
等式，只需证
构造函数 ，利用导数研究其单调性，进而得证.
【详解】
（1） ，则 ，
于是点 处切线方程为： ，即 .
（2）若 ，则 定义域 ， ， 在 单调递减.
若 ，则 定义域为 ， .
由 得 ，由 得 ，所以 在 单调递增，在 单调递减.
解法1：（3）不等式 等价于 .
设 ， .
设 ，则 ，所以 .
第 26 页而 ，所以 ， 在 单调递减，所以 .
由（1）可知，当 时， ，得 .所以
.
因此当 时， .
解法2：（3）不等式 等价于 .
由（1）可知，当 时， ，得 ，从而 .
设 ， 在 单调递增.
因为 ，所以当 时， ，当 时， .
所以 .因此 .
所以当 时， .
【点睛】
利用 ， 进行放缩是解决同时含有指数对数的不等式证明得常用方法，值得注意体会和掌握.
18．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）先构造函数 得到 ，把 放缩为 ，
构造函数求导确定单调性即可证明；
（2）先由两个零点 得到 ， ，消去参数 ，再构造函数
及 ，
求导确定函数单调性即可证明.
(1)
令 ，则 在 上恒成立，
所以 在 ， 上单调递增，所以 ，即 在 上恒成立.
当 时，要证 ，即证 ，
又 ，所以只需证 ，即 .
令 ，则 .
第 27 页令 ，解得 ，令 ，解得 ，
故 在 上单调递增，在 上单调递减，故 .
所以 .
(2)
由题意知 ，
两式相加得 ，
两式相减得 ，即 .
所以 ，
即 .
显然 ，记 ，
令 ，则 .
所以 在 上单调递增，则 ，
所以 ，则 ，即 .
所以 ，
所以 ，
所以 ，即 .
令 ，则 时， ，
所以 在 上单调递增，又 ，故 .
所以 ，
第 28 页所以 ，则 ，即
【点睛】
本题的关键点在于利用 ， 消去参数 ，
得到 ，再通过构造函数
及 ，求导确定函数单调性进而证明结论.
19．(1) ；
(2)证明见解析．
【解析】
【分析】
(1)参变分离不等式 ≤ ，构造函数 ，求h(x)的最小值即可得a的取值范围；
(2)整理化简 可得 ，构造函数 并判断单调性，从而
可利用 将等式中 替换掉，问题即可转化为证明 ，令
即可进一步转化为证明 即可．
(1)
由 ，得 ， ，即 ，
令 ， ，则 ，
设 ， ，则 ，
在 上单调递增， ，
在 上， ， 单调递增，
，
取值范围是 ；
(2)
第 29 页不妨设 ，
， (*)，
，
令 ，故 ，故函数 在 上单调递增．
，从而 ，
由(*)得 ，
，
下面证明： ，
令 ，则 .即证明： ，则只要证明 ，
设 ， 在 恒成立，
在 单调递减，故 ，
，
．
【点睛】
本题第二问关键是构造函数 ，将 转化为 ，构造 ，将问题转化为
即可．
20．(1)极小值为 ，没有极大值．
(2)（ⅰ）证明见解析，（ⅱ）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）求出函数 的定义域和 ，利用导数研究函数的单调性，然后确定极值；
（2）（ⅰ）将不等式等价变形，进行比值换元，构造函数 ，利用导数证明；（ⅱ）由 ， 是方程
的两个不等实根，得到同构方程，两方程相减转化，利用（ⅰ）的结论和重要不等式进行推理证明．
(1)
由题意可知函数 的定义域为 ．
由 ，
第 30 页所以 ．
令 ，解得 ．
当 时， ；当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以当 时，函数 有极小值为 ，函数 没有极大值．
(2)
（ⅰ）由题意， ，
因为 ．
设 ，则 , ，
构造函数 ，则 ．
当 时， ，所以函数 在 上单调递减，
故 ，所以 ．
（ⅱ）因为当 时，方程 有两个不等实根 ，
所以
即
两式相减得 ，
所以 ．
由（ⅰ）得 ．
由重要不等式得 ，
所以 ，
即 ，所以 ，
所以 ，
第 31 页所以 ，即 ．
因为 ，
所以 ，所以 ．
故由（Ⅰ）得
【点睛】
方法点睛：1、对于不等式的证明，需要构造函数，然后转化为的求函数的最值问题；
2、对于双变量问题，需要通过换元法，转化为单变量问题.
21．(1) 时无极值点；a＞0时，极小值点是 ，无极大值点；
(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
(1)求f(x)导数 ，讨论f(x)的单调性即可求函数的极值点；
(2)构造函数 ，证明g(x)在(0，a)上单调递减，得到 ，即
，即可转化为 ，再根据f(x)单调性可得结论.
(1)
f(x)的定义域是 ，求导得 ，
当 ， ，函数f(x)没有极值点；
当 时，令 ，得
在(0，a)上， ，f(x)单调递减，在 上， ，f(x)单调递增，
∴函数f(x)有极小值点 ，无极大值点；
(2)
由(1)知方程 有2个不等的实根 时，f(x)在定义域上不单调，一定有 ，在(0，a)上f(x)单调递减，
在 上f(x)单调递增，不妨设 ，
令 ，
∵ ，
∴ ，
由 得 ，∴ ，
∴g(x)在(0，a)上单调递减，∴ ，
即 ，
第 32 页结合题设有 ，
∵ ，而f(x)在 上单调递增，
∴ ，即 .
【点睛】
本题关键点点睛： ，联想到 ，而 ，则 ，
故构造函数 ，证明其在(0，a)上单调递减得 ，即 .
22．(1)递减区间为 ，递增区间为 ，极小值为 ，无极大值
(2)（i） ；（ii）证明见解析
【解析】
【分析】
(1)求出 解析式，利用导数研究函数的单调性，即可求出函数的极值；
(2)(i)由 ，构造函数 ( )，将问题转化函数 有个不同的零点 ，
利用导数分类讨论函数当 、 、 时的单调性，结合极值点的定义即可得出结果；
(ii)由(i)，利用换元法可得 ，令 ，整理可得 ，
利用放缩法和导数证明 在 上恒成立即可.
(1)
当 时， ( )，则 ，
故当 时， ，当 时， ，
故 的递减区间为 ，递增区间为 ，
极小值为 ，无极大值；
(2)
(i)因为 ( )，
令 ( )，问题可转化函数 有个不同的零点 ，
又 ，令 ，
故函数 在 上递减，在 上递增，
第 33 页故 ，故 ，即 ，
当 时，在 时，函数 ，不符题意，
当 时，则 ， ， ，
即当 时，存在 ， ，
使得 在 上递增，在 上递减，在 上递增，
故 有两个不同的极值点 的a的取值范围为 ；
（ii）因为 ， ，且 ，
令 ，则 ， ，
又 ，
令 ，即只要证明 ，即 ，
令 ，
则 ，
故 在 上递增，且 ，所以 ，即 ，
从而 ，
又因为二次函数 的判别式 ，
即 ，即 ，
所以 在 上恒成立，故 .
【点睛】
破解含双参不等式证明题的3个关键点
（1）转化，即由已知条件入手，寻找双参所满足的关系式，并把含双参的不等式转化为含单参的不等式.
（2）巧构造函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值.
（3）回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果.
第 34 页23．(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
(1)根据极值点的定义可知方程 有两个不等实根，即函数 与 图像有两个交点，利
用导数研究函数 的单调性求出 的值域，结合图形即可得出结果；
(2)构造函数 ，根据导数研究它的单调性进而得 ，有 ，
构造函数 （ ），
利用导数证明 ，结合 即可证明.
(1)
函数 的定义域为 ， ，
则方程 有两个不同的正根，
即函数 与 图像有两个交点，
，令 ，令 ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，且当 时， ，
当 时， ，如图，
由图可知 ；
(2)
设 ，
则 ，
在 单调递增，故 ，
即 .
而 ，故 ，
又 ， ， 在 单调递减，故 ，即 ；
由 知 ；
由(1)知， ， 为函数 的极值点，
第 35 页当 时 ，函数 单调递减，
当 时 ，函数 单调递增，
时 ，函数 单调递减，
所以 ，故 ，
令 （ ）.
，
，令 ，故当 时，
单调递增，且 ，所以 ，故 单调递减，
由 ，得 ，
即 ，即 .
【点睛】
破解含双参不等式证明题的3个关键点：
(1)转化，即由已知条件入手，寻找双参所满足的关系式，并把含双参的不等式转化为含单参的不等式.
(2)巧构造函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值.
(3)回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果.
24．(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）利用函数的单调性即可求解；
（2）通过观察发现 在 处的切线方程为 ，在 处的切线方程为 ，利用导数即
可证明 和 ，再利用 在区间 和 上的切线与 的交点的横
坐标与 零点的关系即可证明.
(1)
函数 的定义域为 ，
，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
则 ，
所以
(2)
在 处的切线的斜率为 ，其切线方程为 ，
第 36 页首先证明：
，
,
在 上单调递增，在 上单调递减,
的最大值 ，所以 成立,
在 处的切线的斜率为 ，其切线方程为 ，
再证明： ,
，
在 上单调递增，在 上单调递减,
的最大值 ，所以 成立,
不妨设 ，实数 ， 为方程 的两个不等的实根,
设直线 与 在 处的切线的交点的横坐标为 ，
则 可得 ,
由 可得 ，
设直线 与 在 处的切线的交点的横坐标为 ，
则 可得 ,
由 可得 ，
所以 .
（注：不等式 ， 可以直接使用）
25．(1)见解析
(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）令 ，利用导数证明不等式即可；
第 37 页（2）先由 的单调性得出 ，再由 等价于 ，构造函数
，由导数得出 ，即可证明 .
(1)
令 ，
当 时， ；当 时，
即函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
故
(2)
，当 时， ；当 时，
即函数 在 上单调递减，在 上单调递增
当 时， ，且
又 有两个不相等的实数根 ，不妨设 ，所以
，即
等价于 ，即
令 ，
，则函数 在 上单调递增
当 时， ，
则存在 ，使得 ，即 ；
即 在 上单调递减，在 上单调递增
当 时， ， ，即 成立，故 .
【点睛】
关键点睛：解决问题二时，对于双变量 ，关键是由单调性得出 等价于 ，从而将双变
量变为单变量问题.
26．(1)
(2)① ;②详见解析
【解析】
第 38 页【分析】
（1）利用导数的几何意义即可求解.
（2）①先对函数 求导，得到 ，推出 ，求导，
得到 ，解对应不等式，得到 单调性，求出其最小值，再根据 恒成立，即可得出
结果；
②先设 ，求导得 .
设 ，对其求导，判定单调性，从而得到函数 单调性，得到 是函数 的
极小值点，得到 ，再由①得 时， ，推出所以 ，得到 ，得到函数
在区间 上单调递增，再由题意，即可得出结论成立.
(1)
时， , , , ，所以函数在 处的切线方程
，即 .
(2)
①由题设知， ，
， ，
由 ，得 ，所以函数 在区间 上是增函数；
由 ，得 ，所以函数 在区间 上是减函数.
故 在 处取得最小值，且 .
由于 恒成立，所以 ，得 ，
所以 的取值范围为 ；
②设 ，则 .
设 ，
则 ，
故函数 在区间 上单调递增，由（1）知， ，
第 39 页所以 ， ，
故存在 ，使得 ，
所以，当 时， ， ，函数 单调递减；
当 时， ， ，函数 单调递增.
所以 是函数 的极小值点.因此 ，即 .
由①可知，当 时， ，即 ，整理得 ，
所以 .
因此 ，即 .
所以函数 在区间 上单调递增.
由于 ，即 ，
即 ，
所以 .
又函数 在区间 上单调递增，所以 .
27．（1）答案见解析；（2） ；（3）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）写出函数的定义域并求导，进而讨论参数a，最后求出函数的单调性；
（2）将问题转化为不等式 恒成立问题，进而求出a的范围；
（3）构造函数 ，进而求出函数的单调性，然后将 化到同一单调区间，最后得到答案.
【详解】
（1） 的定义域为 ， .
①当 时， ，∴函数 在 上单调递增.
②当 时，在区间 上， ；在区间 上， ，
第 40 页∴ 在 上单调递增，在 上单调递减.
综上，当 时，函数 在 上单调递增，当 时，函数 在 上单调递增，在 上
单调递减.
（2）当 时，取 ，
则 ，不符合题意.
当 时，令 ，
则 .
问题转化为当 恒成立时，求实数 的取值范围.
∵ ，
∴在区间 上， ， 单调递减；在区间 上， ， 单调递增.
∴ 的最小值为 ，∴只需 ，即 ，
∴ ，∴ .
即实数 的取值范围为 .
（3）由题意知， .
构造函数 （ ），
则 ，
∴ ，
∴函数 在区间 上单调递减.
∵ ，∴ ，∴ .
又 ，∴ .
由（1）知，当 时 在 上单调递减，∴ ，即 .
第 41 页【点睛】
本题第（3）问是双变量问题，采用了构造函数法，比较典型，自己可以总结归纳；另外，双变量问题大多数采取
转化为单变量问题，如本题的“ ，又 ，∴ ”，注意总结技
巧.
28．（1）恒过定点 ，证明见解析；
（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）利用导数求出曲线在点 处的切线方程，进而可证得结论；
（2）令 ，可得 ，构造 ，用导数可证得 在 上
单调递增，则 ，即 ，故 .
【详解】
（1）函数 的定义域为 ，由 ，得 ，则 ，又
，则曲线 在点 处的切线 的方程为 ，即 ，显
然恒过定点 .
（2）若 有两个零点 ， ，则 ， ，得 .
因为 ，令 ，则 ，
得 ，则 ，
所以 .
令 ，则 ，
令 ，则 ，
则 在 上单调递增，所以 .
所以 ，则 在 上单调递增，
所以 ，即 ，故 .
【点睛】
第 42 页关键点点睛：本题第（2）问的关键点是：构造 ，用导数证得 在 上单调递增，
进而得到 .
第 43 页第 44 页
