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专题 02 二次根式综合（压轴 33 题 10 个考点）
一．二次根式的定义（共1小题）
1．若 是整数，则正整数n的最小值是 5 1 ．
【答案】51．
【解答】解：∵204＝4×51，
∴ ，
∴ ，
∵ 是整数，且n是整数，
∴n的最小值为：51．
故答案为：51．
二．二次根式有意义的条件（共3小题）
2．使式子 有意义的x的取值范围是（ ）
A．x≥﹣1 B．﹣1≤x≤2 C．x≤2 D．﹣1＜x＜2
【答案】B
【解答】解：根据题意，得
，
解得，﹣1≤x≤2；
故选：B．
3．已知|2004﹣a|+ ＝a，则a﹣20042＝ 200 5 ．
【答案】2005．
【解答】解：∵ 有意义，
∴a﹣2005≥0，
解得：a≥2005，
∴|2004﹣a|+ ＝a﹣2004+ ＝a，
故 ＝2004，
∴a﹣2005＝20042，∴a﹣20042＝a﹣（a﹣2005）
＝a﹣a+2005
＝2005．
故答案为：2005．
4．已知 ，则x2022y2023＝ ﹣ ．
【答案】 ．
【解答】解：∵ ，即 ，
解得： ，
∴x＝2，
∴ ，
∵x2022y2023＝（xy）2022•y，
将x＝2， 代入，
∴x2022y2023＝（xy）2022•y＝[2×（﹣ ）]2022×（﹣ ）＝（﹣1）2022×（﹣ ）＝﹣ ．
故答案为： ．
三．二次根式的性质与化简（共8小题）
5．已知x＜1，则 化简的结果是（ ）
A．x﹣1 B．x+1 C．﹣x﹣1 D．1﹣x
【答案】D
【解答】解：
＝
＝|x﹣1|
∵x＜1，
∴原式＝﹣（x﹣1）＝1﹣x，故选：D．
6．实数a，b表示的点在数轴上的位置如图，则将 化
简的结果是（ ）
A．4 B．2a C．2b D．2a﹣2b
【答案】A
【解答】解：由数轴知：﹣2＜a＜﹣1，1＜b＜2，a＜b，
∴a+2＞0，b﹣2＜0，a﹣b＜0．
∴
＝|a+2|+|b﹣2|+|a﹣b|
＝a+2+2﹣b+b﹣a
＝4．
故选：A．
7．如图是一个按某种规律排列的数阵：
根据数阵排列的规律，第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n﹣3）个数是（用
含n的代数式表示）（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：由图中规律知，前（n﹣1）行的数据个数为2+4+6+…+2（n﹣1）＝n（n
﹣1），
所以第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n﹣3）个数的被开方数是
n（n﹣1）+n﹣3＝n2﹣3，
所以第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n﹣3）个数是 ．故选：C．
8．已知T ＝ ＝ ＝ ，T ＝ ＝ ＝ ，T ＝
1 2 3
＝ ＝ ，…T ＝ ，其中n为正整数．设S ＝T +T +T +…
n n 1 2 3
+T ，则S 值是（ ）
n 2021
A．2021 B．2022
C．2021 D．2022
【答案】A
【解答】解：由T 、T 、T …的规律可得，
1 2 3
T ＝ ＝1+（1﹣ ），
1
T ＝ ＝1+（ ﹣ ），
2
T ＝ ＝1+（ ﹣ ），
3
……
T ＝ ＝1+（ ﹣ ），
2021
所以S ＝T +T +T +…+T
2021 1 2 3 2021
＝1+（1﹣ ）+1+（ ﹣ ）+1+（ ﹣ ）+…+1+（ ﹣ ）
＝（1+1+1+…+1）+（1﹣ + ﹣ + ﹣ +…+ ﹣ ）
＝2021+（1﹣ ）
＝2021+
＝2021 ，
故选：A．9．已知a≠0，b≠0且a＜b，化简 的结果是 ﹣ a ．
【答案】﹣a ．
【解答】解：由题意：﹣a3b≥0，即ab≤0，
∵a＜b，
∴a＜0＜b，
所以原式＝|a| ＝﹣a ，
故答案为：﹣a ．
10．已知|x+2|+|1﹣x|＝9﹣ ﹣ ，则x+y的最小值为 ﹣ 3 ．
【答案】﹣3．
【解答】解：∵|x+2|+|1﹣x|＝9﹣ ﹣ ，
∴|x+2|+|x﹣1|+|y+1|+|y﹣5|＝9，
∵|x+2|+|x﹣1|可理解为在数轴上，数x的对应的点到﹣2和1两点的距离之和；|y+1|+|y
﹣5|可理解为在数轴上，数y的对应的点到﹣1和5两点的距离之和，
∴当﹣2≤x≤1，|x+2|+|x﹣1|的最小值为3；
当﹣1≤y≤5时，|y+1|+|y﹣5|的最小值为6，
∴x的范围为﹣2≤x≤1，y的范围为﹣1≤y≤5，
当x＝﹣2，y＝﹣1时，x+y的值最小，最小值为﹣3．
故答案为﹣3．
11．若 ，则m的取值范围是 m ≤ 4 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解： ，得4﹣m≥0，
解得m≤4，
故答案为：m≤4．
12．若x＜2，化简 |﹣x|的正确结果是 2 x + 2 或﹣ 4 x + 2 ．
【答案】2x+2或﹣4x+2．【解答】解：当0≤x＜2时，
原式＝|x﹣2|+3x＝2﹣x+3x＝2x+2；
当x＜0时，
原式＝|x﹣2|﹣3x＝2﹣x﹣3x＝﹣4x+2．
故答案为：2x+2或﹣4x+2．
四．二次根式的乘除法（共4小题）
13．使式子 成立的条件是（ ）
A．a≥5 B．a＞5 C．0≤a≤5 D．0≤a＜5
【答案】B
【解答】解：由题意得： ，
解得：a＞5．
故选：B．
14．“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如： ＝ ＝
7+4 ，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，
如：对于 ﹣ ，设x＝ ﹣ ，易知 ＞ ，故
x＞0，由x2＝（ ﹣ ）2＝3+ +3﹣ ﹣2 ＝2，
解得x＝ ，即 ﹣ ＝ ．根据以上方法，化简 + ﹣
后的结果为（ ）
A．5+3 B．5+ C．5﹣ D．5﹣3
【答案】D【解答】解：设x＝ ﹣ ，且 ＞ ，
∴x＜0，
∴x2＝6﹣3 ﹣2 +6+3 ，
∴x2＝12﹣2×3＝6，
∴x＝ ，
∵ ＝5﹣2 ，
∴原式＝5﹣2 ﹣
＝5﹣3 ，
故选：D．
15．若a，b为有理数且满足 ，则a+b＝ 4 ．
【答案】1．
【解答】解：∵ ，
∴ ＝ ．
∴a＝3，b＝1．
∴a+b＝3+1＝4．
故答案为：4．
16．阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题
化简： ．
解：隐含条件1﹣3x≥0，解得： ．
∴1﹣x＞0．
∴原式＝（1﹣3x）﹣（1﹣x）＝1﹣3x﹣1+x＝﹣2x．【启发应用】
（1）按照上面的解法，试化简 ．
【类比迁移】
（2）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简： ．
（ 3 ） 已 知 a ， b ， c 为 ABC 的 三 边 长 ． 化 简 ：
．
【答案】（1）1；（2）﹣a﹣2b；（3）2a+2b+2c．
【解答】解：（1）隐含条件2﹣x≥0，解得：x≤2，
∴x﹣3＜0，
∴原式＝（3﹣x）﹣（2﹣x）＝3﹣x﹣2+x＝1；
（2）观察数轴得隐含条件：a＜0，b＞0，|a|＞|b|，
∴a+b＜0，b﹣a＞0，
∴原式＝﹣a﹣a﹣b﹣b+a＝﹣a﹣2b；
（3）由三角形的三边关系可得隐含条件：a+b+c＞0，a﹣b＜c，b﹣a＜c，c﹣b＜a，
∴a﹣b﹣c＜0，b﹣a﹣c＜0，c﹣b﹣a＜0，
∴原式＝（a+b+c）+（﹣a+b+c）+（﹣b+a+c）+（﹣c+b+a）
＝a+b+c﹣a+b+c﹣b+a+c﹣c+b+a
＝2a+2b+2c．
五．分母有理化（共1小题）
17．阅读材料：我们已经知道，形如 的无理数的化简要借助平方差公式：
例如： ．下面我们来看
看完全平方公式在无理数化简中的作用．
问题提出： 该如何化简？
建立模型：形如 的化简，只要我们找到两个数a，b，使a+b＝m，ab＝n，这样 ＝m， ，
那么便有： （a＞b），
问题解决：化简： ，
解：首先把 化为 ，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12，即
＝7，
∴ ．
模型应用1：利用上述解决问题的方法化简下列各式：
（1） ；
（2） ；
模型应用2：
（3）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4﹣ ，AC＝ ，那么BC边的长为多少？
（结果化成最简）．
【答案】（1）1+ ；
（2）2 ﹣ ；
（3）2 ﹣2．
【解答】解：（1）这里m＝6，n＝5，由于1+5＝6，1×5＝5，
即12+（ ）2＝6，1× ＝ ，
所以：
＝
＝＝1+ ；
（2）首先把 化为 ，这里m＝13，n＝40，由于5+8＝13，5×8＝
40，
即（ ）2+（ ）2＝13， × ＝ ，
所以
＝
＝
＝
＝ ﹣
＝2 ﹣ ；
（3）在Rt△ABC中，由勾股定理得，AC2+BC2＝AB2，
所以，
所以， ．
六．同类二次根式（共1小题）
18．已知最简二次根式 与 是同类二次根式，则a的值为（ ）
A．16 B．0 C．2 D．不确定
【答案】B
【解答】解：∵ ＝3 ，
而最简二次根式 与 是同类二次根式，
∴a+2＝2，
解得a＝0．
故选：B．
七．二次根式的加减法（共1小题）19．若 ，则x﹣x2的值为 ﹣ 6 ．
【答案】﹣6．
【解答】解：由题意得，x﹣2≥0．
∴x≥2．
∴1﹣x＜0．
∴ ．
∴x﹣1+ ＝x．
∴ ．
∴x＝3．
∴x﹣x2＝3﹣9＝﹣6．
故答案为：﹣6．
八．二次根式的混合运算（共4小题）
20．已知 ， ，则2y﹣3x的平方
根为 ± 4 ．
【答案】±4．
【解答】解：∵ ，
∴96﹣x≥0，
∴x≤96，
∴100﹣x+96﹣x＝200，
解得x＝﹣2，
∵ ，
∴m+23≥0，m﹣2≥0，2﹣m≥0，
解得m＝2，
∴y＝5，
∴± ＝± ＝±4，
故答案为：±4．21．计算 的结果是 + ．
【答案】 + ．
【解答】解：原式＝[（ ﹣ ）（ + ）]2022×（ + ）
＝（2﹣3）2022×（ + ）
＝ + ．
故答案为： + ．
22．已知a＝ ，b＝ ．
（1）求a+b的值；
（2）设m是a小数部分，n是b整数部分，求代数式4m2+4mn+n2的值．
【答案】（1）2 ；
（2）20．
【解答】解：（1）a＝ ＝ ＝ ﹣2，b＝ ＝
＝ +2．
a+b＝ ﹣2+ +2＝2 ，
（2）∵2＜ ＜3，
∴0＜ ﹣2＜1，4＜ +2＜5，
∴m＝ ﹣2，n＝4，
∴4m2+4mn+n2＝（2m+n）2＝（2 ﹣4+4）2＝20．
23．先阅读下面的材料，再解答下列问题．∵ ，
∴ ．
特别地， ，
∴ ．
这种变形叫做将分母有理化．
利用上述思路方法计算下列各式：
（1） ；
（2） ．
【答案】（1）2020；
（2）1．
【 解 答 】 解 ： （ 1 ）
＝
＝
＝2021﹣1
＝2020；
（2）
＝
＝
＝
＝1．
九．二次根式的化简求值（共8小题）
24．已知 ，则代数式x2﹣2x﹣6的值是（ ）
A． B．﹣10 C．﹣2 D．
【答案】C【解答】解：∵ ，
∴x﹣1＝ ，
∴x2﹣2x﹣6
＝（x﹣1）2﹣7
＝（ ）2﹣7
＝5﹣7
＝﹣2，
故选：C．
25．已知 ， ，则a与b的关系是（ ）
A．a＝b B．ab＝1 C．ab＝﹣1 D．a+b＝0
【答案】D
【解答】解：a＝ ＝ ＝3﹣ ＝﹣（ ﹣3），
A．a＝﹣b，故本选项不符合题意；
B．ab
＝（3﹣ ）×（ ﹣3）
＝﹣（ ﹣3）2
＝﹣（5﹣6 +3）
＝﹣5+6 ﹣3
＝﹣8+6 ，故本选项不符合题意；
C．ab＝﹣8+6 ，故本选项不符合题意；
D．a+b＝3﹣ + ﹣3＝0，故本选项符合题意．
故选：D．26．若x2+y2＝1，则 + + 的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解答】解：∵x2+y2＝1，
∴﹣1≤x≤1，﹣1≤y≤1，
∵ ＝ ＝ ，
x+1≥0，y﹣2＜0，（x+1）（y﹣2）≥0，
∴x+1＝0，
∴x＝﹣1，
∴y＝0，
∴ + +
＝2+1+0
＝3．
故选：D．
27．若a＝2+ ，b＝2﹣ ，则 ＝ 8 ．
【答案】8 ．
【解答】解：∵a＝2+ ，b＝2﹣ ，
∴a2＝（2+√5）2＝4+4 +5＝9+4 ，
b2＝（2﹣ ）2＝4﹣4 +5＝9﹣4 ，
ab＝（2+ ）（2﹣ ）＝4﹣5＝﹣1．
﹣ ＝
＝＝8 ．
故答案为：8 ．
28．若m＝ ，则m3﹣m2﹣2017m+2015＝ 403 0 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵m＝ ＝
＝
＝ ，
∴原式＝m2（m﹣1）﹣2017m+2015
＝（ +1）2× ﹣2017（ +1）+2015
＝（2017+2 ） ﹣2017 ﹣2017+2015
＝2017 +2×2016﹣2017 ﹣2017+2015
＝4032﹣2
＝4030
29．已知a＝2+ ，b＝ ，则a2﹣3ab+b2的值为 1 1 ．
【答案】11．
【解答】解：当a＝2+ ，b＝ 时，
a2﹣3ab+b2，
＝ ﹣ + ，
＝ ，
＝ ，
＝11．
30．某同学在解决问题：已知 ，求2a2﹣8a+1的值．他是这样分析与求解的：
先将a进行分母有理化，过程如下，
，
∴ ，
∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3，
∴a2﹣4a＝﹣1，
∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．
请你根据上述分析过程，解决如下问题：
（1）若 ，请将a进行分母有理化；
（2）在（1）的条件下，求a2﹣2a的值；
（3）在（1）的条件下，求2a3﹣4a2﹣1的值．
【答案】（1） ；（2）1；（3） ．
【解答】解：（1）a＝
＝
＝ ；
（2）∵ ，
∴（a﹣1）2＝2，（a﹣1）2＝a2﹣2a+1，
∴a2﹣2a+1＝2，
∴a2﹣2a＝1；
（3）根据（2）可知，a2﹣2a＝1，
∴2a3﹣4a2﹣1
＝2a（a2﹣2a）﹣1
＝2a﹣1，
当a＝ 时，
原式＝2（ ）﹣1＝2 ．
31．小芳在解决问题：已知a＝ ，求2a2﹣8a+1的值．他是这样分析与解的：
a＝ ＝2﹣ ，∴a＝2﹣ ，
∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3，∴a2﹣4a＝﹣1，
∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．
请你根据小芳的分析过程，解决如下问题：
（1）计算： ．
（2）若a＝ ．
①化简a，求4a2﹣8a﹣1的值；
②求a3﹣3a2+a+1的值．
【答案】（1）9；
（2）①a＝ +1，4a2﹣8a﹣1的值是3；②0．
【解答】解：（1）
＝ ﹣1+ + +…+
＝﹣1+
＝﹣1+10
＝9；
（2）①a＝ ＝ ＝ ＝ +1，
∴a＝ +1，
∴（a﹣1）2＝（ ）2＝2，
∴a2﹣2a+1＝2，∴a2﹣2a＝1，
∴4a2﹣8a﹣1
＝4（a2﹣2a）﹣1
＝4×1﹣1
＝4﹣1
＝3；
②由①知a2﹣2a＝1，
∴a3﹣3a2+a+1
＝a（a2﹣2a）﹣（a2﹣2a）﹣a+1
＝a×1﹣1﹣a+1
＝a﹣1﹣a+1
＝0．
十．二次根式的应用（共2小题）
32．俊俊和霞霞共同合作将一张长为 ，宽为1的矩形纸片进行裁剪（共裁剪三次），裁
剪出来的图形刚好是4个等腰三角形（无纸张剩余）．霞霞说：“有一个等腰三角形的
腰长是1”；俊俊说：“有一个等腰三角形的腰长是 ﹣1”；那么另外两个等腰三角
形的腰长可能是 1 或 或 2 ﹣ ．
【答案】1或 或2﹣ ．
【解答】解：如图1方式裁剪，另两个等腰三角形腰长是 或 ；
如图2方式裁剪，另两个等腰三角形腰长都是1．故答案为：1或 或2﹣ ．
33．古希腊几何学家海伦通过证明发现：如果一个三角形的三边长分别为 a，b，c．记
，那么三角形的面积为 ，俗称海伦公式，若在
△ABC中，AB＝3，BC＝6，AC＝7，则用海伦公式求得△ABC的面积为 ．
【答案】
【解答】解：由题意可得：a＝6，b＝7，c＝3，
∴ ，
∴
＝
＝
＝ ，
故答案为： ．
