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专题 10 利用导函数研究函数的极值点偏移问题
(典型题型归类训练)
一、必备秘籍
1、极值点偏移的含义
函数 满足对于定义域内任意自变量 都有 ，则函数 关
于直线 对称．可以理解为函数 在对称轴两侧，函数值变化快慢相同，且若
为单峰函数，则 必为 的极值点，如图(1)所示，函数 图象的顶点的
横坐标就是极值点 ；
①若 的两根为 ， ，则刚好满足 ，则极值点在两根的正中
间，也就是极值点没有偏移（如图1）．
若 ，则极值点偏移．若单峰函数 的极值点为 ，且函数 满足
定义域 左侧的任意自变量 都有 或 ，则函数
极值点 左右侧变化快慢不同．如图(2)(3)所示．故单峰函数 定义域内任意不
同的实数 ， ，满足 ，则 与极值点 必有确定的大小关系：若
，则称为极值点左偏如图（2）；若 ，则称为极值点右偏如图
（3）．
2、极值点偏移问题的一般解法2.1对称化构造法
主要用来解决与两个极值点之和，积相关的不等式的证明问题．其解题要点如下：
(1)定函数(极值点为 )，即利用导函数符号的变化判断函数的单调性，进而确定函数的极
值点 ．
(2)构造函数，即对结论 型，构造函数 或
；
(3)对结论 型，构造函数 ，通过研究 的单调性获得
不等式．
(4)判断单调性，即利用导数讨论 的单调性．
(5)比较大小，即判断函数 在某段区间上的正负，并得出 与 的大小关
系．
(6)转化，即利用函数f(x)的单调性，将 与 的大小关系转化为 与
之间的关系，进而得到所证或所求．
2.2．差值代换法（韦达定理代换令 .）
差值换元的目的也是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然
后利用两个极值点之差作为变量，从而实现消参、减元的目的．设法用差值(一般用 表示)
表示两个极值点，即 ，化为单变量的函数不等式，继而将所求解问题转化为关
于 的函数问题求解．
2.3．比值代换法
比值换元的目的也是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然
后利用两个极值点的比值作为变量，从而实现消参、减元的目的．设法用比值(一般用 表
示)表示两个极值点，即 ，化为单变量的函数不等式，继而将所求解问题转化为关于
的函数问题求解．
二、典型题型
1．（2024高三下·全国·专题练习）已知函数 ，
．
(1)若 在 上为增函数，求实数 的取值范围．
(2)当 时，设 的两个极值点为，且 ，求 的最小值．
【答案】(1) ；
(2) ．
【分析】（1）借助导数可得 ，在 上恒成立，结合二次函
数的性质计算即可得；
（2）由题意计算可得 ，从而可设 ，得到
，结合导数研究该函数单调性即可得其最小值，即可得解.
【详解】（1）因为 ，
由题意 ，
即 对 恒成立，
整理得： ，
即 ，在 上恒成立，
显然 时成立．
当 时，设 ，
显然 且对称轴为 ，
所以 在 上单调递增，
所以只要 ，又 ，
所以 ；
综上， ；
（2） ，
即 为方程 的两个根，
由题意可得 ，∴ ，解得 ，
又 ， ，
两式相减得 ，
令 ，则
，
令 ，
，所以 在 递减，
，所以 的最小值为 ．
【点睛】关键点点睛：本题最后一问关键点在于结合题意，得到 的范围，并借助换元
法，令 ，从而将多变量问题转化为单变量问题.
2．（2024·辽宁·模拟预测）已知函数 ．
(1)当 时，判断 在区间 内的单调性；
(2)若 有三个零点 ，且 ．
（i）求 的取值范围；
（ii）证明： .
【答案】(1) 在 上单调递减，在 上单调递增
(2)（i） ；（ii）证明见解析
【分析】（1）多次求导后，借助导数的单调性及正负即可判断原函数的单调区间；
（2）（i）原条件可转化 有三个不等实根，从而构造函数 ，研究该函数即可得；（ii）借助的 单调性，得到 ，从而将证明 ，转化为证明
，再设 ，从而将三个变量的问题转化为单变量问题，即可构造函数
，证明其在 上大于 即可.
【详解】（1）当 时， ， ，
令 ， ，
令 ，可得 ，
则当 时， ，当 时， ，
即 在 上单调递减，在 上单调递增，
又 ， ，
故当 时， ，当 时， ，
故 在 上单调递减，在 上单调递增；
（2）（i） 有三个零点，即 有三个根，
由 不是该方程的根，故 有三个根 ，且 ，
令 ， ，
故当 时， ，当 时， ，
即 在 、 上单调递增，在 上单调递减，
，当 时， ， 时， ，
当 时， ， 时， ，
故 时， 有三个根；
（ii）由 在 上单调递增， ，故 ，
由（i）可得 ，且 ，即只需证 ，设 ，则 ，
则有 ，即有 ，故 ， ，
则 ，即 ，
即只需证 ，
令 ，
则 恒成立，
故 在 上单调递增，
则 ，即得证.
【点睛】方法点睛：极值点偏移问题的一般题设形式：
1.若函数 存在两个零点 且 ，求证： （ 为函数 的极值
点）；
2.若函数 中存在 且 满足 ，求证： （ 为函数
的极值点）；
3.若函数 存在两个零点 且 ，令 ，求证： ；
4.若函数 中存在 且 满足 ，令 ，求证： .
3．（2024高三下·江苏·专题练习）已知函数 （其中e为自然对数的底）
若 ， 是 的极值点且 .若 ，且 .证明：
.
【答案】证明见解析
【分析】求出 ，要证明 ，即证明 ，
即证明 .令 ，对 求导，得出
的单调性，即可证明.
【详解】当 时，函数 ，求导得 ，
由 是 的极值点，得 ，即 ，令 ，求导得 ，当 时， ，当
时， ，
则函数 ，即 在 上单调递减，在 上单调递增，
显然 ， ， ，
因此 是 唯一负极值点，且 在 上单调递增，在 上单调递减，
要证明 ，即证明 ，亦即证明 ，
由 在 上单调递增，且 ， ，知 ，
则 ，从而由 ，得 ，而
，
因此 ，
令 ，求导得
，由 ，得
，
因此函数 在 上单调递增，即 ，则 ，
所以 ，即不等式 成立.
4．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 .
(1)当 时，判断函数 的单调性；
(2)若关于 的方程 有两个不同实根 ，求实数 的取值范围，并证明
.
【答案】(1) 在 上单调递增
(2) ，证明见解析
【分析】（1）对 求导，根据 的符号得出 的单调性；
（2）由题意可知 有两解，求出 的过原点的切线斜率即可得出 的范
围，设 ，根据分析法构造关于 的不等式，利用函数单调性证明不等式恒
成立即可，【详解】（1） 时， ，
故 ，
在 上单调递增.
（2）关于 的方程 有两个不同实根 , ，
即 有两不同实根 ， ，得 ，
令 ， ，
令 ，得 ，
当 时， ， 在 上单调递增，
当 时， ， 在 上单调递减，
时， 取得最大值 ，且 ，得图象如图：.
，则 ，
即当 时， 有两个不同实根 ， ，
两根满足 ， ，
两式相加得： ，两式相减地 ，
上述两式相除得 ，
不妨设 ，要证： ，
只需证： ,即证 ，
设 ，令 ，
则 ，函数 在 上单调递增，且 ,
，即 ，
.
【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题：
1，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；
2，利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关
系；
3，适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；
4，构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
5．（2022·全国·模拟预测）设函数 .
(1)若 ，求函数 的最值；
(2)若函数 有两个不同的极值点，记作 ，且 ，求证：
.
【答案】(1)无最小值，最大值为
(2)证明见解析
【分析】（1）对函数 求导后得 ，分别求出 和
的解集，从而可求解.
（2）由 有两个极值点 ，从而要证
，令 ，构建
函数 ，然后利用导数求解 的最值，从而可求解证明.
【详解】（1）由题意得 ，则 .
令 ，解得 ；令 ，解得 ，
在 上单调递增，在 上单调递减，
，
无最小值，最大值为 .（2） ，则 ，
又 有两个不同的极值点 ，
欲证 ，即证 ，
原式等价于证明 ①.
由 ，得 ，则 ②.
由①②可知原问题等价于求证 ，
即证 .
令 ，则 ，上式等价于求证 .
令 ，则 ，
恒成立， 在 上单调递增，
当 时， ，即 ，
原不等式成立，即 .
【点睛】方法点睛： 对于极值点偏移问题，首先找到两极值点的相应关系,然后构造商
数或加数关系 ；
通过要证明的不等式，将两极值点变形后构造相应的函数，
利用导数求解出构造函数的最值，从而证明不等式或等式成立.
6．（2024·吉林·二模）在平面直角坐标系 中， 的直角顶点 在 轴上，另一
个顶点 在函数 图象上
(1)当顶点 在 轴上方时，求 以 轴为旋转轴，边 和边 旋转一周形成的面
所围成的几何体的体积的最大值；
(2)已知函数 ，关于 的方程 有两个不等实根.
（i）求实数 的取值范围;
（ii）证明： .
【答案】(1)
(2)（i） ；（ii）证明过程见详解.
【分析】（1）先确定所求几何体何时能取到最大值，写出函数关系，利用导数分析函数单
调性，求最大值；
（2）（i）根据题意知， ，进行同构 ，将问题
转化为方程 有两个不等的实数根，再进行分离参数，研究 的单调
性和极值，即可求出a的取值范围.
（ii）由 知，先证 ，即极值点偏移问题，构造函数
，求 ， 在 单调递增， ，得
，从而可得 即 ，再由 的单调性，
即可得到 .
【详解】（1）因为 在 轴上方，所以： ；
为直角三角形，所以当 轴时，所得圆锥的体积才可能最大.
设 ，则 ， （ ）.
设 （ ），则 ，由
.
因为 ，所以 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，所以 .
从而： .（2）（i）因为 ，即 ，即 ，
令 ，所以 ，
因为 为增函数，所以 即 ，
所以方程 有两个不等实根 等价于 有两个不等实根 ，
令 ，所以
当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递
减.所以 .
当 时， ；当 时，由洛必达法则知 ；
所以 .
（ii）由（i）知， ，
令 ， ，
因为 ，所以 ，
因为 ， ，所以 ，即 在 单调递增，
，所以 .
因为 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，
因为 ， ，且 在 上单调递减，
所以 ，即 ，所以 ，所以 .
【点睛】方法点睛：
极值点偏移问题的一般方法——对称化构造的步骤如下：
（1）求极值点 ：求出函数 的极值点 ，结合函数 的图像，由
得出 的取值范围；
（2）构造函数：对结论为 的情况，构造函数 ；
① ，则 单调递增；
②注意到 ，则 即 ；
③ ，根据 在 单调减，则
④得到结论 .
7．（23-24高三上·河南·阶段练习）已知函数 ．
(1)若 ，讨论 的单调性．
(2)已知关于 的方程 恰有 个不同的正实数根 ．
（i）求 的取值范围；
（ii）求证： ．
【答案】(1) 在 ， 上单调递增，在 上单调递减
(2)（i） ；（ii）证明见解析
【分析】（1）求导后，根据 的正负可确定 的单调性；
（2）（i）将问题转化为 与 有两个不同交点的问题，利用导数可求得
的单调性和最值，从而得到 的图象，采用数形结合的方式可确定 的范围；
（ii）设 ，根据： ， ，采用取对数、两式作差整理的方式可得
，通过分析法可知只需证 即可，令 ，构造函数
，利用导数可求得 单调性，从而得到 ，由此
可证得结论.【详解】（1）当 时， ，则
；
令 ，解得： 或 ，
当 时， ；当 时， ；
在 ， 上单调递增，在 上单调递减.
（2）（i）由 得： ，
恰有 个正实数根 ， 恰有 个正实数根 ，
令 ，则 与 有两个不同交点，
， 当 时， ；当 时， ；
在 上单调递减，在 上单调递增，又 ，
当 从 的右侧无限趋近于 时， 趋近于 ；当 无限趋近于 时， 的增速远大
于 的增速，则 趋近于 ；
则 图象如下图所示，
当 时， 与 有两个不同交点，
实数 的取值范围为 ；
（ii）由（i）知： ， ，
， ，
，不妨设 ，则 ，
要证 ，只需证 ，
， ， ，则只需证 ，
令 ，则只需证当 时， 恒成立，
令 ，
，
在 上单调递增， ，
当 时， 恒成立， 原不等式 得证.
【点睛】思路点睛：本题考查利用导数求解函数单调性、方程根的个数问题和极值点偏移
问题的求解；本题求解极值点偏移的基本思路是通过引入第三变量 ，将问题转化为
单变量问题，进而通过构造函数的方式证明关于 的不等式恒成立.
三、题型归类练
1．（23-24高二下·广东东莞·阶段练习）已知函数 的导函数为 ，
若 存在两个不同的零点 .
(1)求实数 的取值范围；
(2)证明： .
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）设 ，求出 ，讨论其符号后结合零点存在定理可得参数的取
值范围.
（2）结合 的单调性可得 等价于 ， ，
，讨论 的单调性后可得原不等式成立.【详解】（1） ，设 ，则 ，
当 时， ；当 时， ；
故 在 上为减函数，在 上为增函数，故 ，
因 存在两个不同的零点 ，故 即 .
此时 且 ，
故 在 有且只有一个零点.
令 ，则 ，
当 时， ；当 时， ；
故 在 上为减函数，在 上为增函数，故 ，
故 ，
故当 时，有 ，
故此时 在 有且只有一个零点.
综上， .
（2）由（1）分析可得 ，
要证： ，即证： ，
因 即 ，故即证 ，
即证： ，其中 ，
设 ， ，
则 ，
故 （因为 ，等号不可
取），所以 在 上为增函数，故 即 ，
故 成立即 .
2．（23-24高二下·安徽宿州·开学考试）已知函数 （其中 为
自然对数的底数）.
(1)求函数 的单调区间；
(2)若 为两个不相等的实数，且满足 ，求证： .
【答案】(1)增区间为 ，减区间为
(2)证明见解析
【分析】（1）求导，然后根据导函数的正负来判断 得单调性；
（2）将 变形为 得到 ，然后构造函数
，根据 得单调性和 得到 ，最后根据
和 得单调性即可证明 .
【详解】（1） ，
令 ，解得 ，令 ，解得 ，
所以 的增区间为 ，减区间为 .
（2）证明：将 两边同时除以 得 ，即
，
所以 ，
由（1）知 在 上单调递增，在 上单调递减，
又 ， ，当 时， ，
设 ，则 ，
令 ，
则 ，
由 得 ，所以 ， ，
所以 ， 在 上单调递增，又 ，所以 ，
当 时， ，即 ，即 ，
又 ，所以 ，
又 ， ， 在 上单调递减，
所以 ，即 .
【点睛】方法点睛：处理极值点偏移问题中的类似于 的问题的基
本步骤如下：
①求导确定 的单调性，得到 的范围；
②构造函数 ，求导可得 恒正或恒负；
③得到 与 的大小关系后，将 置换为 ；
④根据 与 的范围，结合 的单调性，可得 与 的大小关系，由此证得结
论.
3．（2024·广东湛江·一模）已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)若方程 有两个根 ， ，求实数a的取值范围，并证明： ．
【答案】(1) 在 上单调递增， 上单调递减，
(2)见解析
【分析】（1）求出 ，根据导数的符号判断函数的单调性；
（2）由 ，得 ，设 ，画出 的图象可得 ；由
，设 ，对 求导可得 ，又
，再由 在 上单调递减，可得 ，即可证明 .
【详解】（1）由题意可得 ，所以 ，
的定义域为 ，
又 ，由 ，得 ，当 时， ，则 在 上单调递增，
当 时， ，则 在 上单调递减，
（2）由 ，得 ，设 ，
，由 ，得 ，
当 时， ，则 在 上单调递增，
当 时， ，则 在 上单调递减，
又 ， ，且当 趋近于正无穷， 趋近于 ，
的图象如下图，
所以当 时，方程 有两个根，
证明：不妨设 ，则 ， ，
设 ，
，所以 在 上单调递增，
又 ，所以 ，即 ，
又 ，所以 ，
又 ， ， 在 上单调递减，所以 ，
故 .
【点睛】关键点点睛：（1）解此问的关键在于求出 的导数，并能根据导数的符号结合相关知识判断出单调性；（2）解此问的关键在于把 转化为 来证，
又 ，构造 ，对 求导，得到 的单调性和最值可证
得 ，即可证明 .
4．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ．
(1)求 的单调区间；
(2)若 有两个零点 ， ，且 ，求证： ．
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）先求出函数 的导数，然后分类讨论 的取值情况，从而可求解.
（2）结合（1）中结论可知 ，从而求出 ， ，然后设
并构造函数 ，然后利用导数求解 ，然后再构造函数
证明 ，从而求解.
【详解】（1）因为函数 的定义域是 ， ，
当 时， ，所以 在 上单调递减；
当 时，令 ，解得 ，
当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递
减．
综上所述，当 时， 的减区间为 ，无增区间；
当 时， 的增区间为 ，减区间为 ．
（2）因为 是函 的两个零点，由（1）知 ，
因为 ，设 ，则 ，
当 ， ，当 ， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减， ．
又因为 ，且 ，所以 ， ．
首先证明： ．
由题意，得 ，设 ，则
两式相除，得 ．
要证 ，只要证 ，即证 ．
只要证 ，即证 ．
设 ， ．
因为 ，所以 在 上单调递增．
所以 ，即证得 ①．
其次证明： ．设 ， ．
因为 ，所以 在 上单调递减．
所以 ，
即 ．
所以 ②．
由①②可证得 ．
【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要
的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：
（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．
（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．
（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．
（4）利用导数研究函数的零点问题．
5．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ， ．
(1)若对任意的 都有 ，求实数 的取值范围；
(2)若 且 ， ，证明： ．
【答案】(1)
(2)证明见解析【分析】（1）分别计算 ， 的导函数，接着分析它们的单调性，求得
在 时， 的最大值为 ， 的最小值为 ，问题得解；
（2）先将 转化为 ，再设 ，数形结合得到 ，接着
构造函数，利用函数的单调性得到 ，最后利用放缩法证明不等式.
【详解】（1）由 ， ，
得 ， ，
当 时， ， 在区间 上单调递增，当 时， ， 在区
间 上单调递减，所以当 时， 的最大值为 ．
当 时， ， 在区间 上单调递减，当 时， ， 在区
间 上单调递增，所以当 时， 的最小值为 ．
所以 ，故实数 的取值范围为 ．
（2）由 得 ，两边取对数并整理，
得 ，即 ，即 ．
由（1）知，函数 在 上单调递增，在
上单调递减， ，（技巧：注意对第（1）问结论的应用）
而 ，当 时， 恒成立，不妨设 ，则 ．
记 ， ，
则
，所以函数 在 上单调递增，
所以 ，即 ， ，
于是 ， ，
又 在 上单调递减，因此 ，即 ，
所以 ．【点睛】利用对称化构造的方法求解极值点偏移问题的“三步曲”：
（1）求导，得到函数 的单调性、极值情况，作出函数图象，由 得到
的大致范围．
（2）构造辅助函数（若要证 ，则构造函数 ；若要证
，则构造函数 .），限定 的范围，求导，判定符号，获
得不等式．
（3）代入 ，利用 及 的单调性即得所证结论．
6．（2023高三·全国·专题练习）已知函数 的图像与直线 交于不同的两点
， ，求证： ．
【答案】证明见解析
【分析】利用构造函数且结合导数求解极值点偏移问题.
【详解】证明：由题意 ， ，令 ，得 ，
当 ， ，所以 在区间 上单调递减，
当 ， ，所以 在区间 上单调递增，
所以当 时， 取到极小值.
所以 与 交于不同的两点 ， ，
所以不妨设 ，且 ，
令 ，则 ，代入上式得 ，得 ，
所以 ，
设 ，则 ，
所以当 时， 为增函数， ，
所以 ，
故证： .【点睛】关键点睛：通过构造函数并结合函数的导数从而求解极值点偏移.
7．（2023·云南大理·模拟预测）已知函数 ．
(1)讨论 的极值；
(2)若 （e是自然对数的底数），且 ， ， ，证明：
．
【答案】(1)答案见解析；
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据题意，求导得 ，然后分 讨论，即可得到结果；
（2）根据题意，将原式变形为 ，然后构造函数 ，
，求导可得函数 在 上单调递增，即可证明.
【详解】（1）函数 的定义域为 ，求导得 ，
若 ，则 ，无极值；
若 ，由 ，可得 ，
若 ，当 时， ，则 单调递减，当 时， ，则 单
调递增，
此时，函数 有唯一极小值 ，无极大值；
若 ，当 时， ，则 单调递增，当 时， ，则 单
调递减，
此时，函数 有唯一极大值 ，无极小值；
所以当 时，函数 无极值；
当 时，函数 有极小值 ，无极大值；
当 时，函数 有极大值 ，无极小值；
（2）证明：由 ，两边取对数可得 ，即
，
当 时， ， ，
由（1）可知，函数 在 上单调递增，在 上单调递减，所以，
而 ， 时， 恒成立，
因此，当 时，存在 且 ，满足 ，
若 ，则 成立；
若 ，则 ，
记 ， ，
则 ，
即有函数 在 上单调递增，所以 ，即 ，
于是 ，而 ， ， ，
函数 在 上单调递增，因此 ，即 .
【点睛】关键点睛：本题主要考查了利用导数研究函数极值问题以及极值点偏移问题，难
度较大，解决本题的关键在于构造函数 ， ，结合其单调性
证明.
8．（22-23高二下·河北张家口·期末）已知函数 .
(1)求函数 的单调区间和极值；
(2)若方程 的两个解为 、 ，求证： .
【答案】(1)减区间为 ，增区间为 ，极小值为 ，无极大值；
(2)证明见解析
【分析】（1）求出函数 的定义域与导数，利用函数的单调性、极值与导数的关系可
得出结果；
（2）设 ，利用导数分析函数 的单调性与极值，分析可知
，要证 ，即证 ，构造函数
，其中 ，利用导数分析函数 在 上的单调性，证明出 对任意的
恒成立，即可证得结论成立.
【详解】（1）解：函数 的定义域为 ，且 ，
令 可得 ，列表如下：减 极小值 增
所以，函数 的减区间为 ，增区间为 ，极小值为 ，无极大值.
（2）解：设 ，其中 ，则 ，
令 ，可得 ，此时，函数 在 上单调递减，
令 ，可得 ，此时，函数 在 上单调递增，
所以， 是函数 的极小值点，
因为函数 有两个零点 、 ，设 ，则 ，
即 且 ，要证 ，即证 ，
因为函数 在 上单调递增，
所以，只需证明： ，即证 ，
令 ，其中 ，
则 ，
因为 ，则 ，
所以， ，故函数 在 上为减函数，
又因为 ，所以， 对任意的 恒成立，
则 ，即 ，故 成立.
【点睛】方法点睛：证明极值点偏移的相关问题，一般有以下几种方法：
（1）证明 （或 ）：
①首先构造函数 ，求导，确定函数 和函数 的单调
性；
②确定两个零点 ，且 ，由函数值 与 的大小关系，得
与零进行大小比较；
③再由函数 在区间 上的单调性得到 与 的大小，从而证明相应问
题；（2）证明 （或 ）（ 、 都为正数）：
①首先构造函数 ，求导，确定函数 和函数 的单调
性；
②确定两个零点 ，且 ，由函数值 与 的大小关系，得
与零进行大小比较；
③再由函数 在区间 上的单调性得到 与 的大小，从而证明相应问题；
（3）应用对数平均不等式 证明极值点偏移：
①由题中等式中产生对数；
②将所得含对数的等式进行变形得到 ；
③利用对数平均不等式来证明相应的问题.
9．（21-22高三上·广东深圳·期末）已知函数 .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)①证明函数 （ 为自然对数的底数）在区间 内有唯一的零点；
②设①中函数 的零点为 ，记 （其中 表示 中的较
小值），若 在区间 内有两个不相等的实数根 ，证明：
.
【答案】(1)当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减.
(2)①证明见解析；②证明见解析；
【分析】（1）由题设有 ，讨论 、 判断 的符号，进而确
定 的单调性；
（2）①由题意得 ，利用导数研究函数在 上的单调性，结合零点存在性
定理确定证明结论，
②根据题设确定函数 解析式，应用导数研究单调性，进而应用分析法：要证只需要证 ，构造函数 ，应用导数研究单调
性并确定 ，即可证结论.
【详解】（1）由已知 ，
函数 的定义域为 ，导函数
当 时， 恒成立，所以 在 上单调递增；
当 时，令 有 ，
∴当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减.
综上所述：
当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减.
（2）① 的定义域为 ，导函数 ，
当 时， ，即 在区间 内单调递增，
又 ， ，且 在区间 内的图像连续不断，
∴根据零点存在性定理，有 在区间 内有且仅有唯一零点.
②当 时， ，函数 在 上单调递增，
又 ，
∴当 时， ，故 ，即 ；
当 时， ，故 ，即 ，
∴可得 ，
当 时， ，由 得 单调递增；
当 时， ，由 得 单调递减：若 在区间 内有两个不相等的实数根 ， ，
则 ，
∴要证 ，需证 ，又 ，
而 在 内递减，
故需证 ，又 ，
即证 ，即
下证 ：
记 ， ，
由 知： ，
记 ，则 ：
当 时， ；
当 时， ，
故 ，而 ，所以 ，
由 ，可知 .
∴ ，即 单调递增，
∴当 时， ，即 ，故 ，得证.
【点睛】关键点点睛：
（1）分类讨论参数的范围，应用导数在对应区间的符号研究函数的单调性；
（2）由导数研究 在 上零点的个数，写出 解析式并判断单调性，利用分析
法：将要证明的结论转化为函数不等式恒成立.
10．（2023·北京通州·三模）已知函数
(1)已知f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为 ，求实数a的值；
(2)已知f（x）在定义域上是增函数，求实数a的取值范围.
(3)已知 有两个零点 ， ，求实数a的取值范围并证明 .
【答案】(1)(2)
(3) ，证明见解析
【分析】（1）切线方程的斜率为1，所以有 ，解方程即得实数a的值；
（2）依题意 在（0，+∞）上恒成立.，分参求解即可；
（3）求出函数 的单调性，结合零点存在性定理即可求实数a的取值范围；通过分析
法要证明 ，只需证 ，构造函数 即可证得
【详解】（1）因为 ，所以 .
所以 ，又f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为 ，
所以 ，解得 ..
（2）f（x）的定义域为（0，+∞），因为f（x）在定义域上为增函数，
所以 在（0，+∞）上恒成立.
即 恒成立. ，即 ，
令 ，所以 ，
时 ， 时 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，即 .
（3）
定义域为
当 时， ，所以 在（0，+∞）上单调递减，不合题意.
当 时，
在（0， ）上单调递减，在 上单调递增，所以 的最小值为 ，
函数 存在两个零点的必要条件是 ，
即 ，又 ，
所以 在（1， ）上存在一个零点（ ）.
当 时， ，所以 在（ ，+∞）上存在一个零点，
综上函数 有两个零点，实数a的取值范围是 .
不妨设两个零点
由 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
要证 ，
只需证 ，
只需证 ，
由 ，
只需证 ，
只需证 ，
只需证 ，
令 ，只需证 ，
令 ，
，
∴H（t）在（0，1）上单调递增，∴ ，即 成立，
所以 成立.
【点睛】极值点偏移问题，应熟练掌握对称构造的基本方法，同时结合处理双变量问题的
常用方法比值代换的技巧.
