文档内容
第6讲 指数与指数函数
最新考纲 考向预测
1.了解指数函数模型的实际背景． 在指数函数中，比较大小、
2．理解有理数指数幂的含义，了解实数 与其他知识结合考查指数型
指数幂的意义，掌握幂的运算． 命题 函数图象的识别与应用以及
3．理解指数函数的概念，理解指数函数 趋势 指数型函数单调性的应用是
考查的热点，题型一般为选
的单调性，掌握指数函数图象通过的特
殊点．
择、填空题，中档难度.
4．知道指数函数是一类重要的函数模 核心
数学运算、直观想象
型． 素养
1．根式
(1)根式的概念
①若 x n ＝ a ，则x叫做a的n次方根，其中n>1且n∈N*.式子叫做根式，这里n
叫做根指数，a 叫做被开方数．
②a的n次方根的表示：
xn＝a⇒
(2)根式的性质
①()n＝a(n∈N*，且n>1)．
②＝
2．有理数指数幂
(1)幂的有关概念
①正分数指数幂：a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；
②负分数指数幂：a－＝＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；
③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义．
(2)有理数指数幂的运算性质
①aras＝ a r ＋ s(a>0，r，s∈Q)；
②＝ a r － s(a>0，r，s∈Q)；
③(ar)s＝ a r s(a>0，r，s∈Q)；
④(ab)r＝ a r b r(a>0，b>0，r∈Q)．3．指数函数的图象与性质
y＝ax
(a>0且 a>1 00时， y >1 ； 当x>0时， 0< y <1 ；
性质
当x<0时， 0< y <1 当x<0时， y >1
在R上是增函数 在R上是减函数
常用结论
指数函数图象的特点
(1)指数函数的图象恒过点(0，1)，(1，a)，，依据这三点的坐标可得到指数函数
的大致图象．
(2)函数y＝ax与y＝(a>0，且a≠1)的图象关于y轴对称．
(3)指数函数y＝ax与y＝bx的图象特征：在第一象限内，图象越高，底数越大；
在第二象限内，图象越高，底数越小．
常见误区
解决与指数函数有关的问题时，若底数不确定，应注意对a>1及01)的值域是(0，＋∞)．( )
(5)函数y＝2x－1是指数函数．( )
(6)若am0，且a≠1)，则m0时，函数f(x)＝(3a－2)x的值总大于1，则实数a的取值范围是(
)
A． B．(－∞，1)
C．(1，＋∞) D．
解析：选C.根据指数函数性质知3a－2>1，解得a>1.故选C.
4．(易错题)若函数 f(x)＝ax(a>0，且 a≠1)的图象经过点 P，则 f(－1)＝
________．
解析：由题意知＝a2，所以a＝，
所以f(x)＝，所以f(－1)＝＝.
答案：
5．(易错题)已知函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在[1，2]上的最大值比最小值大，则实
数a的值为________．
解析：当01时，a2－a＝，
所以a＝或a＝0(舍去)．
综上所述，a＝或a＝.
答案：或
指数幂的化简与求值
[题组练透]
1．若实数a>0，则下列等式成立的是( )
A．(－2)－2＝4 B．2a－3＝
C．(－2)0＝－1 D．(a－)4＝
解析：选D.对于A，(－2)－2＝，故A错误；对于B，2a－3＝，故B错误；对于C，(－2)0＝1，故C错误；对于D，(a－)4＝.
2．计算：－＋＋(0.002) ＝________．
解析：原式＝－＋＋
＝－＋＋10＝10.
答案：10
3．已知f(x)＝2x＋2－x，若f(a)＝3，则f(2a)＝________．
解析：由f(a)＝3得2a＋2－a＝3，
所以(2a＋2－a)2＝9，即22a＋2－2a＋2＝9.
所以22a＋2－2a＝7，故f(2a)＝22a＋2－2a＝7.
答案：7
4．化简下列各式：
(1)[(0.064)－2.5]－ －π0；
(2)a·b－2·(－3ab－1)÷(4a·b－3).
解：(1)原式＝－－1＝－－1＝－－1＝－－1＝0.
(2)原式＝－ab－3÷(4a·b－3)＝－ab－3÷(a·b)＝－a·b＝－·＝－.
[提醒] 运算结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有
负指数，形式力求统一．
指数函数的图象及应用
(1)已知y ＝，y ＝3x，y ＝10－x，y ＝10x，则在同一平面直角坐标系内，它
1 2 3 4
们的图象为( )(2)若函数y＝|3x－1|在(－∞，k]上单调递减，则k的取值范围为________．
【解析】 (1)y ＝3x与y ＝10x在R上单调递增；y ＝与y ＝10－x＝在R上单调
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递减，在第一象限内作直线x＝1(图略)，该直线与四条曲线交点的纵坐标对应各
底数，易知选A.
(2)函数y＝|3x－1|的图象是由函数y＝3x的图象向下平移一个单位后，再把位
于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如图所示．
由图象知，其在(－∞，0]上单调递减，所以k的取值范围为(－∞，0]．
【答案】 (1)A (2)(－∞，0]
【引申探究】
1．(变条件)本例(2)变为：若函数f(x)＝|3x－1|－k有一个零点，则k的取值范围
为________．
解析：函数f(x)有一个零点，即y＝|3x－1|与y＝k有一个交点．由本例(2)得y
＝|3x－1|的图象如图所示，
故当k＝0或k≥1时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图象有唯一的交点，所以
函数f(x)有一个零点．
答案：{0}∪[1，＋∞)
2．(变条件)若本例(2)的条件变为：若函数y＝|3x－1|＋m的图象不经过第二象限，则实数m的取值范围是________．
解析：作出函数y＝|3x－1|＋m的图象如图所示．
由图象知m≤－1，即m∈(－∞，－1]．
答案：(－∞，－1]
指数函数图象问题的求解策略
对指数型函数的图象与性质问题(单调性、最值、大小比较、零点等)
变换
的求解往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其
作图
图象，然后数形结合使问题得解
数形 一些指数型方程、不等式问题的求解，往往利用相应指数型函数图
结合 象数形结合求解
1．函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(
)
A．a>1，b<0 B．a>1，b>0
C．00 D．0b>c B．a>c>b
C．b>c>a D．c>b>a
【解析】 方法一：由指数函数y＝0.3x在定义域内单调递减，得ab，故选D.
方法二：因为＝0.3<1，且＝<1，又a，b，c都为正数，所以c>b>a，故选D.
【答案】 D
比较指数幂大小的常用方法
一是单调性法，不同底的指数函数化同底后就可以应用指数函数的单调性比
较大小，所以能够化同底的尽可能化同底．
二是取中间值法，不同底、不同指数的指数函数比较大小时，先与中间值(特
别是0，1)比较大小，然后得出大小关系．
三是图解法，根据指数函数的特征，在同一平面直角坐标系中作出它们的函
数图象，借助图象比较大小．
角度二 解简单的指数方程或不等式
x2＋1
(1)若2 ≤，则函数y＝2x的值域是( )
A． B．
C． D．[2，＋∞)
(2)已知实数a≠1，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(a－1)，则a的值为________．
x2＋1
【解析】 (1)因为2 ≤＝24－2x，
则x2＋1≤4－2x，即x2＋2x－3≤0，
所以－3≤x≤1，所以≤y≤2.(2)当a<1时，41－a＝21，解得a＝；当a>1时，不成立应舍去．故a的值为.
【答案】 (1)B (2)
解简单的指数方程或不等式问题时，应利用指数函数的单调性转化为一般方
程或不等式求解．要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论．
角度三 研究指数型函数的性质
(1)函数f(x)＝的单调递减区间为________．
(2)已知函数f(x)＝2|2x－m|(m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，则m
的取值范围是________．
【解析】 (1)设u＝－x2＋2x＋1，因为y＝在R上为减函数，所以函数f(x)＝的
单调递减区间即为函数u＝－x2＋2x＋1的单调递增区间．
又u＝－x2＋2x＋1的单调递增区间为(－∞，1]，
所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，1]．
(2)令t＝|2x－m|，则t＝|2x－m|在区间上单调递增，在区间上单调递减．而y＝
2t为R上的增函数，所以要使函数f(x)＝2|2x－m|在[2，＋∞)上单调递增，则有≤2，
即m≤4，所以m的取值范围是(－∞，4]．
【答案】 (1)(－∞，1] (2)(－∞，4]
求指数型复合函数的单调区间和值域的方法
(1)形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)的函数求值域时，要借助换元法：令u＝f(x)，先
求出u＝f(x)的值域，再利用y＝au的单调性求出y＝af(x)的值域．
(2)形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)的函数单调性的判断，首先确定定义域D，再分
两种情况讨论：
当a>1时，若f(x)在区间(m，n)上(其中(m，n)⊆D)具有单调性，则函数y＝af(x)
在区间(m，n)上的单调性与f(x)在区间(m，n)上的单调性相同；
当00且a≠1)的值域为[1，＋∞)，则f(－4)与f(1)的关系是
( )
A．f(－4)>f(1) B．f(－4)＝f(1)
C．f(－4)1，所以f(－4)＝a3，f(1)＝a2，由指数函数的单调性知
a3>a2，所以f(－4)>f(1)．
2．若函数f(x)＝，则f(x)的单调递减区间是( )
A．(－∞，2] B．[2，＋∞)
C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]
解析：选B.将原函数看成复合函数f(x)＝，u＝|x－2|，f(x)是关于u的减函数，u
在[2，＋∞)为增函数，在(－∞，2]为减函数，由复合函数的性质知，f(x)的单调递减
区间是[2，＋∞)．
3．定义：区间[x ，x ](x 1且a≠2)在区间(0，＋∞)上具有不同的单
调性，则M＝(a－1)0.2与N＝的大小关系是( )
A．M＝N B．M≤N
C．MN
解析：选D.因为f(x)＝x2－a与g(x)＝ax(a>1且a≠2)在区间(0，＋∞)上具有不
同的单调性，所以a>2，所以M＝(a－1)0.2>1，N＝<1，所以M>N，故选D.3．(多选)已知函数f(x)＝ax－1＋1(a>0，a≠1)的图象恒过点A，下列函数图象经
过点A的是( )
A．y＝＋2 B．y＝|x－2|＋1
C．y＝log (2x)＋1 D．y＝2x－1
2
解析：选ABC.函数f(x)＝ax－1＋1(a>0，a≠1)的图象恒过点A，令x－1＝0，得x
＝1，f(1)＝2，所以恒过点A(1，2)．把x＝1，y＝2代入各选项验证，只有D中的函
数没经过该点．
4．已知函数f(x)＝－，则f(x)是( )
A．奇函数，且在R上是增函数
B．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数
C．奇函数，且在R上是减函数
D．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数
解析：选C.易知f(x)的定义域为R，f(－x)＝－＝－，则f(－x)＋f(x)＝0，所以
f(x)是奇函数．函数f(x)＝－显然是减函数．故选C.
5．当x∈[－2，2]时，ax<2(a>0且a≠1)，则实数a的取值范围是( )
A．(1，) B．
C．∪(1，) D．(0，1)∪(1，)
解析：选C.x∈[－2，2]时，ax<2(a>0且a≠1)．
若a>1，y＝ax是增函数，
则有a2<2，可得a<，故有1，故有0且a≠1)的图象经过第二、三、四象限，则ab的取值范围
是________．
解析：因为函数y＝ax－b的图象经过第二、三、四象限，所以函数y＝ax－b单
调递减且其图象与y轴的交点在y轴的负半轴上．令x＝0，则y＝a0－b＝1－b，由
题意得解得故ab∈(0，1)．答案：(0，1)
8．已知函数f(x)＝的值域是[－8，1]，则实数a的取值范围是________．
解析：当0≤x≤4时，f(x)∈[－8，1]，
当a≤x<0时，f(x)∈，
所以[－8，1]，
即－8≤－<－1，即－3≤a<0.
所以实数a的取值范围是[－3，0)．
答案：[－3，0)
9．已知函数f(x)＝ax＋b(a>0且a≠1)的图象过点(0，－2)，(2，0)．
(1)求a与b的值；
(2)求x∈[－2，4]时，f(x)的最大值与最小值．
解：(1)因为点(0，－2)，(2，0)在函数f(x)＝ax＋b(a>0且a≠1)的图象上，所以所
以
又a＝－不符合题意，所以
(2)由(1)可得f(x)＝()x－3.因为>1，所以y＝()x在其定义域上是增函数，所以
f(x)＝()x－3在区间[－2，4]上单调递增．所以f(x)在区间[－2，4]上的最小值为f(－
2)＝－，最大值为f(4)＝6.
10．已知函数f(x)＝.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)的最大值等于，求a的值．
解：(1)令t＝|x|－a，则f(x)＝，不论a取何值，t在(－∞，0]上单调递减，在(0，
＋∞)上单调递增，又y＝是单调递减的，
因此f(x)的单调递增区间是(－∞，0]，
单调递减区间是(0，＋∞)．
(2)由于f(x)的最大值是，
且＝，
所以函数g(x)＝|x|－a应该有最小值－2，从而a＝2.
[B级 综合练]
11．(多选)关于函数f(x)＝的性质，下列说法中正确的是( )
A．函数f(x)的定义域为R
B．函数f(x)的值域为(0，＋∞)
C．方程f(x)＝x有且只有一个实根D．函数f(x)的图象是中心对称图形
解析：选ACD.函数f(x)＝的定义域为R，所以A正确；因为y＝4x在定义域内
单调递增，所以函数f(x)＝在定义域内单调递减，所以函数的值域为，所以方程
f(x)＝x只有一个实根，所以B不正确，C正确；因为f(x＋1)＋f(－x)＝＋＝＋＝，
所以f(x)关于点对称，所以D正确．
12．已知函数f(x)＝|2x－1|，a＜b＜c，且f(a)＞f(c)＞f(b)，则下列结论中，一定
成立的是________．
①a＜0，b＜0，c＜0；②a＜0，b≥0，c＞0；③2－a＜2c；④2a＋2c＜2.
解析：作出函数f(x)＝|2x－1|的图象，由图象可知a<0时，b
的符号不确定，1>c>0，故①②错；因为f(a)＝|2a－1|，f(c)＝|2c－
1|，所以|2a－1|>|2c－1|，即1－2a>2c－1，故2a＋2c<2，④成立；又
2a＋2c>2，所以2a＋c<1，所以a＋c<0，所以－a>c，所以2－a>2c，③不成立．
答案：④
13．已知函数y＝a＋b的图象过原点，且无限接近直线y＝2，但又不与该直线
相交．
(1)求该函数的解析式，并画出图象；
(2)判断该函数的奇偶性和单调性．
解：(1)因为函数y＝a＋b的图象过原点，所以0＝a＋b，即a＋b＝0，所以b＝
－a.函数y＝a－a＝a.
又0<≤1，－1<－1≤0.
且y＝a＋b无限接近直线y＝2，但又不与该直线相交，所以a<0且0≤a<－
a，所以－a＝2，函数y＝－2＋2.用描点法画出函数的图象，如图．
(2)显然函数的定义域为R.
令y＝f(x)，则f(－x)＝－2＋2
＝－2＋2＝f(x)，所以f(x)为偶函数．
当x>0时，y＝－2＋2＝－2＋2为单调增函数．
当x<0时，y＝－2＋2＝－2＋2为单调减函数．所以y＝－2＋2在(－∞，0)上
为减函数，在(0，＋∞)上为增函数．
14．定义在D上的函数f(x)，如果满足：对任意x∈D，存在常数M>0，都有|f(x)|≤M成立，则称f(x)是D上的有界函数，其中M称为函数f(x)的上界，已知函数
f(x)＝＋＋1.
(1)当a＝－1时，求函数f(x)在(－∞，0)上的值域，并判断函数f(x)在(－∞，0)
上是否为有界函数，请说明理由；
(2)若函数f(x)在[0，＋∞)上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围．
解：(1)不是．理由如下：设y＝f(x)＝＋＋1.
当a＝－1时，y＝f(x)＝－＋1(x<0)，
令t＝，x<0，
则t>1，y＝t2－t＋1＝＋.
所以y>1，即函数f(x)在(－∞，0)上的值域为(1，＋∞)．
所以不存在常数M>0，使得|f(x)|≤M成立．
所以函数f(x)在(－∞，0)上不是有界函数．
(2)由题意知，|f(x)|≤3对x∈[0，＋∞)恒成立．
即－3≤f(x)≤3对x∈[0，＋∞)恒成立．
令t＝，x≥0，则t∈(0，1]．
所以－≤a≤－t对t∈(0，1]恒成立，
所以≤a≤，
设h(t)＝－，p(t)＝－t，t∈(0，1]．
因为h(t)在(0，1]上单调递增，p(t)在(0，1]上单调递减，
所以h(t)在(0，1]上的最大值为h(1)＝－5，p(t)在(0，1]上的最小值为p(1)＝1.
所以实数a的取值范围为[－5，1]．
[C级 创新练]
15．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称
号，用其名字命名的“高斯函数”为设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则
y＝[x]称为高斯函数．例如：[－2.1]＝－3，[3.1]＝3，已知函数f(x)＝，则函数y＝
[f(x)]的值域为( )
A．{0，1，2，3} B．{0，1，2}
C．{1，2，3} D．{1，2}
解析：选D.f(x)＝＝＝1＋，
因为2x>0，所以1＋2x>1，
所以0<<1，
则0<<2，所以1<1＋<3，
即10，满足方程有解
②若m<4，要使t2－mt－8＝0在t≥2时有解，
则需
解得－2≤m<4.
综上可得实数m的取值范围为[－2，＋∞)．
