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微专题：同角三角函数基本关系式的应用
【考点梳理】
1. 同角三角函数的基本关系
sin 2 α ＋ cos 2 α ＝1.
＝tan α.
这就是说，同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切.
2. 同角关系的几种变形
(1)sin2α＝ 1 － cos 2 α ＝(1＋cosα)(1－cosα)；
cos2α＝1－sin2α＝ (1 ＋ sin α )(1 － sin α ) .
(2)sinα＝tanαcosα.
(3)sin2α＝＝.
(4)cos2α＝＝.
3.sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα三者之间的关系
(1)(sinα＋cosα)2＝1＋sin2α.
(2)(sinα－cosα)2＝1－sin2α.
(3)(sinα＋cosα)2＋(sinα－cosα)2＝2.
(4)(sinα＋cosα)2－(sinα－cosα)2＝2sin2α.
【题型归纳】
题型一：已知正（余）弦求余（正）弦
1．若 ，则 （ ）
A． B． C．7 D．
2．已知 为锐角， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
3．已知 为锐角， ，则 （ ）
A． B． C．2 D．3
第 1 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司题型二：sinα±cosα和sinα·cosα的关系
4．已知 ，且 ，给出下列结论：
① ；
② ；
③ ；
④ .
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②④ B．②③④
C．①②③ D．①③④
5．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
6．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
题型三：正、余弦齐次式的计算
7．若 ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
8．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
9．直线 的倾斜角为 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．4
第 2 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【双基达标】
10．已知 ，则角 的值不可能是（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数 （ 且 ）的图像经过定点 ，且点 在角 的终边上，则
（ ）
A． B．0 C．7 D．
12．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
13．已知直线 与坐标轴的交点分别为A，B，则线段 的中点C的轨迹与坐标轴围成
的图形面积为（ ）
A． B． C． D．
14．若 ， ，则 的值为（ ）
A． 或 B． C． D．
15．已知 ， 都是锐角， ， ，则 （ ）
A．1 B． C． D．
16．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
17．已知 ， ，则 （ ）
第 3 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B． C． D．
18．当 时， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
19．已知函数 的图像与函数 的图像交于M，N两点，则 的面积为
（ ）
A． B． C． D．
20．已知 ，且 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
21．已知 且 则 =（ ）
A． B． C． D．
22．已知 ，且 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
23．已知角 的顶点与原点重合，始边与 轴的正半轴重合，点 在角 的终边上，则
（ ）
A． B． C． D．
24．已知 ，则
第 4 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B． C．2 D．
25．若 ， ， ， ，则
A． B． C． D．
【高分突破】
一、单选题
26．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．2
27．已知 为三角形的内角，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
28．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
29．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
30．已知 ，那么 的值是（ ）
A． B． C．3 D．
31．已知 ， ， 、 ，则 的值为（ ）
A． B．
C． D．
第 5 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司32．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
33．已知 ， ， ，则 ＝（ ）
A． B． C． D．
34．已知 ， ，则 （ ）
A． B．12 C．－12 D．
二、多选题
35．已知 ，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
36．若 是第二象限的角，则下列各式中成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
E．
37．已知 ， ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
第 6 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司C． D．
38．已知 ，则 的可能取值为（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
39．已知 ， ，则 __________．
40．在△ABC中，若 ， ，则A=________
41．已知 ，则 ___________.
42．在 中， 若 的面积为2，则 ___________
43．若cos(α－β)＝ ，cos 2α＝ ，并且α，β均为锐角且α<β，则α＋β的值为________.
44．已知 ， ，且 ，则 ______．
四、解答题
45．已知 ， ， ．
求：（1） 的值．
（2） 的值．
46．已知 是方程 的根，且 是第三象限的角，求 的值．
47．已知 .
(1)化简 ；
(2)若 是第三象限角，且 ，求 的值.
第 7 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司48．（1）化简：设 ，求 ；
（2）计算： ．
49．请完成下列小题:
（1）若 ，求 ， 的值；
（2）化简： .
第 8 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司参考答案
1．B
【解析】
【分析】
由三角恒等式求出 以及 的值，再根据两角和的正切公式即可得结果.
【详解】
因为 ，
所以 ， ，
所以 ，
故选：B.
2．C
【解析】
【分析】
由诱导公式与同角三角函数的基本关系求解即可
【详解】
因为 ，
所以 ，
又 为锐角，
所以 ，
故选：C
3．B
【解析】
【分析】
利用余弦的二倍角公式，结合同角三角函数的关系即可求解.
【详解】
由 ，得 ，解得 或 （舍），
因为 为锐角， ，所以 ，
所以 .
故选：B.
第 9 页4．A
【解析】
【分析】
由 ，且 ，将等式两边平方可得 ，可判断 ，即可判断①②③；
继而利用 求得 ，判断④，可得答案.
【详解】
∵ , ，
等式两边平方得 ，
解得 ，故②正确；
∵ ， ，
∴ ， ,故①正确，③错误；
由 可知， ，
且 ，
解得 ，故④正确，
故选：A
5．A
【解析】
【分析】
根据题意得 ， ，进而得 ，再根据二倍角公式求解即可.
【详解】
解：因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ， ，
所以， ，即 ，
所以，
故选：A
第 10 页6．D
【解析】
【分析】
利用平方关系和二倍角公式求解.
【详解】
解：由 平方得：
，
所以 ，
故选：D
7．A
【解析】
【分析】
利用同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算可得；
【详解】
解：因为 ，
所以
.
故选：A
8．A
【解析】
【分析】
由商数关系化为正切，然后代入已知计算．
【详解】
，
故选：A．
9．C
【解析】
【分析】
首先得到直线的斜率，从而得到 ，再利用同角三角函数的基本关系将弦化切，最后代入计算可得.
【详解】
解：因为直线 的斜率 ，倾斜角为 ，所以 ，
所以 .
第 11 页故选：C
10．D
【解析】
把 代入等式，逐步化简，可得到本题答案.
【详解】
或 ，所以 都满足题意，而 不满足.
故选：D
【点睛】
本题主要考查三角函数化简求角的问题.
11．D
【解析】
【分析】
由题知 ,进而根据三角函数定义结合齐次式求解即可.
【详解】
解:令 得 ,故定点 为 ,
所以由三角函数定义得 ，
所以
故选：D
12．C
【解析】
【分析】
利用同角三角函数基本关系化弦为切即可求解.
【详解】
由 可得 ，
解得： ，
故选：C.
13．D
【解析】
【分析】
先求出点C的坐标，得到其轨迹后可求其与坐标轴围成的面积.
【详解】
第 12 页不妨设 为直线与 的轴的交点， 为直线与 的轴的交点，
则 ，故 ，
设 ，则 且 ，
故C的轨迹与坐标轴为 ，
故选：D.
14．C
【解析】
【分析】
根据同角三角函数的基本关系及诱导公式求解.
【详解】
由 可得： ，
平方得：
所以 ，
解得 或 ，
又 ，
所以 ，
故 ，
故选：C
15．C
【解析】
【分析】
先利用平方关系求得 ， ，再由 求解.
【详解】
因为 ， ，
所以 ，
所以 ， ，
所以 ，
，
第 13 页.
故选：C
16．A
【解析】
【分析】
利用同角三角函数基本关系式先化简再求值.
【详解】
，
.
故选：A.
【点睛】
利用三角公式求三角函数值的关键：
(1)角的范围的判断；
(2)选择合适的公式进行化简求值．
17．A
【解析】
由已知可求得 ，利用同角三角函数基本关系式化简所求即可得解.
【详解】
∵ ，
∴ ， ，可得 ，
∵ ，
∴
.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题.
18．D
【解析】
【分析】
先求得 的取值范围，再由同角三角函数的平方关系可得 的值，最后由诱导公式，得出答案.
【详解】
第 14 页解：由 ，所以 ，
由 ，所以 ，则 ，
所以 .
故选：D.
19．B
【解析】
由题意 ，利用同角三角函数商数关系和平方关系可得 ，解方程即可得
， ，即可得解.
【详解】
由 得 即 ，
即 ，
解得 或 ，由 可得 ，
或 ，
， ，显然MN与x轴交于点 ，
.
故选：B.
【点睛】
本题考查了同角三角函数关系的应用，考查了转化化归思想，属于中档题.
20．B
【解析】
【分析】
利用同角公式化正弦为余弦，求出 的值，再利用二倍角的余弦公式求解即得.
【详解】
依题意，原等式化为： ，整理得： ，
因 ，则 ，解得： ，
所以 .
第 15 页故选：B
21．D
【解析】
【分析】
首先根据同角三角函数的基本关系求出 ， ，再由 利用两角和的余弦公式计
算可得；
【详解】
解：因为 ，且 ，所以 ，因为 ，所以 ，所以
， ，
所以
因为 ，所以
故选：D
22．A
【解析】
【分析】
用二倍角的余弦公式，将已知方程转化为关于 的一元二次方程，求解得出 ，再用同角间的三角函数关
系，即可得出结论.
【详解】
，得 ，
即 ，解得 或 （舍去），
又 .
故选：A.
【点睛】
本题考查三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.
23．D
【解析】
【分析】
先根据三角函数的定义求出 ，然后采用弦化切，代入 计算即可
【详解】
因为点 在角 的终边上，所以
第 16 页故选：D
24．D
【解析】
【分析】
先求 ，再利用同角三角函数基本关系化为齐次式求解即可
【详解】
∵ ，∴ ，
∴ ．
故选D
【点睛】
本题考查同角三角基本关系式，考查诱导公式，准确计算是关键，是基础题
25．D
【解析】
【分析】
利用同角三角函数的平方关系求得 、 的值，利用两角差的余弦公式可求得 的值.
【详解】
， ，则 ， ，
， ，
因此，
.
故选：D.
【点睛】
本题考查利用两角差的余弦公式求值，考查计算能力，属于中等题.
26．D
【解析】
【分析】
利用诱导公式化简可得 的值，再利用弦化切可求得所求代数式的值.
【详解】
解：由诱导公式可得 ，所以， .
第 17 页因此， .
故选：D.
27．A
【解析】
【分析】
根据同角三角函数的基本关系，运用“弦化切”求解即可.
【详解】
计算得 ，所以 ， ，
从而可计算的 ，
，
,选项A正确，选项BCD错误.
故选：A.
28．B
【解析】
【分析】
将条件分子分母同除以 ，可得关于 的式子，代入计算即可．
【详解】
解：由已知 ．
故选：B．
【点睛】
本题考查同角三角函数的基本关系，针对正弦余弦的齐次式，转化为正切是常用的方法，是基础题．
29．C
【解析】
【分析】
利用同角三角函数的关系结合公式 即可求解.
【详解】
解：由题知
所以
解得：
第 18 页所以
故选：C.
30．A
【解析】
【分析】
对于正余弦的齐次式，进行弦化切，代入求解.
【详解】
，将 代入上式，得原式 ．
故选：A．
31．A
【解析】
【分析】
由 、 的范围求出 的范围，由题意，利用平方关系求出 和 ，由两角和与差的余弦公式求出
的值即可.
【详解】
解： 、 ， ，
，
，
.
.
.
故选：A.
【点睛】
本题考查两角和与差的余弦公式，同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题.
32．A
【解析】
第 19 页【分析】
由二倍角正弦公式和同角关系将 转化为含 的表达式，由此可得其值.
【详解】
．
故选：A.
33．C
【解析】
【分析】
由已知，结合同角平方关系可求cos( )、sin( )，然后根据 ，由两角差的余弦展
开可求值．
【详解】
∵ ，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ，则cos( )＝ ，
∵ ，
∴sin( )＝ ．
＝cos( )cos( )+sin( )sin( )
＝ ．
故选：C．
34．C
【解析】
【分析】
先求出 和 ，利用二倍角公式求出 ，直接代入即可求解.
【详解】
因为 ， ，
第 20 页解得： ，所以 .
所以 .
所以 .
故选：C
35．BD
【解析】
【分析】
利用平方关系式可得 ，利用诱导公式计算可得 ， ，
.
【详解】
由 ，可得 ，
，
，
．
故选：BD
36．BC
【解析】
利用 ，结合三角函数在各个象限的符号，代入每个式子进行化简、求值.
【详解】
对A，由同角三角函数的基本关系式，知 ，所以A错；
对B，C，D，E，因为 是第二象限角，所以 ，所以 的符号不确定，
所以 ，所以B，C正确；D，E错．
故选：BC.
【点睛】
本题考查同角三角函数的基本关系、三角函数在各个象限的符号，考查运算求解能力.
第 21 页37．ABD
【解析】
【分析】
对 两边平方，利用同角关系化简可得 ，在根据 范围，确定 ， ；根据
，求出 的值，将其与 联立，求出 ，再根据三角
函数同角的基本关系，结合各选项，即可得到结果．
【详解】
①，
，即 ，
，
， ， ，
，故A正确；
，
②，故D正确；
①加②得 ，①减②得 ，故B正确；
，故C错误.
故选：ABD．
【点睛】
关键点睛：本题主要考查了三角函数同角的基本关系的应用，解题的关键是正确利用平方关系进行化简．
38．AC
【解析】
【分析】
利用诱导公式以及同角三角函数关系式即可
【详解】
， ，
则 为第二或第三象限角，
第 22 页当 为第二象限角时， ， ；
当 为第三象限角时， ， ；
故选：AC.
39．
【解析】
构造角 ， ，再用两角和的余弦公式及二倍公式打开.
【详解】
， ， ， ，
，
故答案为：
【点睛】
本题是给值求值题，关键是构造角，应注意的是确定三角函数值的符号.
40．
【解析】
【分析】
由条件利用诱导公式化简可得： ， ，两式平方相加可解出 ，进一步求出角
.
【详解】
由 ，得 (1).
由 ，得 (2).
由 得： ,即 .
由(2)和 为三角形的内角，可知角 均为锐角，则 .
第 23 页所以 .
故答案为： .
【点睛】
本题考查利用诱导公式化简和同角三角函数间的基本关系，属于中档题.
41． ##0.5
【解析】
【分析】
直接利用 ，转化为齐次式计算得到答案.
【详解】
因为 ，所以 .
故答案为： .
42．
【解析】
【分析】
由条件将切化为弦，结合正弦的和角公式、辅助角公式先求出角 ，由面积公式可得答案
【详解】
解：在 中， ，则 ,
所以 ，可得 ，
所以
所以
可得 ，
由正弦定理可得 ，可得 ，
又因为 ，
所以 ，
又因为 ，
所以 ，
又 则
所以 或 解得 或 (舍去)
第 24 页所 ，解得 ．
故答案为： ．
43．
【解析】
【分析】
求得 的值，由此求得 .
【详解】
，
∴cos(α＋β)＝cos[2α－(α－β)]
＝cos 2αcos(α－β)＋sin 2αsin(α－β)
，
所以 .
故答案为：
44．
【解析】
【分析】
由 求得 值，注意 的范围进行取值，然后由商数关系计算
【详解】
解析：由 ，即 ，得 或 ．又 ，∴ ， ，
∴当 时， ， ，此时 ；当 时， ， ，不符合题意．综上知
．
故答案为： ．
45．（1） ．（2） ．
【解析】
【分析】
（1）利用两角差的余弦公式展开可得 ，平方化简可得 ，根据 ， ，
第 25 页求得 的值．
（2）利用（1）的结果及倍角公式，即可求得 的值．
【详解】
（1） ， ， ， ，
，平方化简可得 ． 又 ， ，
， ， ．
（2）
。
【点睛】
本题考查两角和与差的三角函数，同角三角函数的基本关系的应用，考查转化与化归思想的运用，考查逻辑推理
能力和运算求解能力．
46．
【解析】
【分析】
求出方程的根，确定sinα、 、 的值，用诱导公式化简原式，代入数值即可得到答案﹒
【详解】
解：方程 的两根分别为 与 ，由于 是第三象限的角，则 ，
所以 ，所以 ，
∴原式 ．
47．(1) ;(2) .
【解析】
【分析】
(1)根据诱导公式直接化简即可;
(2)由 ,可以利用诱导公式计算出 ,再根据角所在象限确定 ,进而得出结论.
【详解】
(1)根据诱导公式
第 26 页,
所以 ;
(2)由诱导公式可知 ,即 ,
又 是第三象限角,
所以 ,
所以 .
【点睛】
本题主要考查诱导公式的运用,属于基础题.使用诱导公式时,常利用口诀“奇变偶不变,符号看象限”进行记忆.
48．（1）2；（2）1．
【解析】
【分析】
（1）利用诱导公式化简得原式为 ，代入 的值即得解；
（2）直接利用诱导公式化简求值得解.
【详解】
解：（1）∵ ，则
（2）
．
.
【点睛】
方法点睛：诱导公式口诀：纵变横不变，符号看象限.用诱导公式化简，一般先把角化成 的形式，然
后利用诱导公式的口诀化简（如果前面的角是纵轴（即 轴）上的角，就是 “纵”，是横轴（即 轴）上的角，
就是“横”；符号看象限是，把 看作是锐角，判断角 在第几象限，在这个象限的前面三角函数的符号是
“+”还是“--”，就加在前面）.
49．（1）答案见解析；（2） .
第 27 页【解析】
【分析】
（1）利用同角三角函数关系，列出方程组，求解即可；
（2）利用诱导公式化简，即可求得结果.
【详解】
（1）∵ ，
∴ 是第二或第四象限角.由 ，可得 .
当 是第二象限角时， ， ；
当 是第四象限角时， .
（2）
.
【点睛】
本题考查诱导公式的使用，以及用诱导公式进行化简求值，属综合基础题.
第 28 页第 29 页
