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考点 4-2 三角恒等变换
1．（2022·全国·高考真题）若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解.
【详解】
由已知得： ,
即： ，
即： ,
所以 ,
故选：C
2．（2021·全国·高考真题（文）） （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由题意结合诱导公式可得 ，再由二倍角公式即可得解.
【详解】
由题意，
.
故选：D.
3．（2021·全国·高考真题（文））若 ，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由二倍角公式可得 ，再结合已知可求得 ，利用同角三角函数的基本
关系即可求解.
【详解】
，
， ， ，解得 ，
， .
故选：A.
4.（2022·全国·模拟预测）函数 的最大值为______．
【答案】2
【分析】
利用三角诱导公式和恒等变换化简得到 ，从而求出最大值.
【详解】
故函数 的最大值为2
故答案为：2
5．（2023·全国·高三专题练习）已知 , ，则 的值为________.
【答案】
【分析】
根据两角和与差的余弦公式展开,联立方程即可解得.
【详解】
……（1）
……（2）由（1）+（2）得：
故答案为：
6.（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））已知 ，且 是第二象限角，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由同角三角函数的基本关系及二倍角公式化简求解.
【详解】
由题意得 ，则 ．
故选：B
7．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由同角三角函数的基本关系与二倍角公式和诱导公式求解即可
【详解】
因为 ，
所以 ，且 ，
所以 ，所以 ，
所以 ．
故选：C．
8．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， ， ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据待求式的结构， 求解即可．
【详解】
解：因为
= - .
，
；
， ，
所以 ，
故 ．
故选：D.9.（2023·全国·高三专题练习）已知 ，则 ________.
【答案】
【分析】
由已知条件求出所以 ，利用 两角差的正弦展开式可得 ，再根据三
角函数的平方关系和商数关系可得答案.
【详解】
因为 ， ，
所以 ，
所以
，所以 ，
，所以 ，
则 .
故答案为： .
10．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， ，则 ______．
【答案】 ##0.75
【分析】
由 可得答案.
【详解】
，
因为 ，
所以 ，
故答案为： .11.（2022·全国·高三专题练习（理））设 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 值域为 B． 在 上单调递增
C． 在 上单调递减 D．
【答案】B
【分析】
由题可得 ，进而 ，可判断A，利用三角函数的性质可判断B，利用导
函数可判断C，由题可得 ，可判断D.
【详解】
∵ ，
由 ，可得 ，
∴ ，即 或 ，
∴函数的值域为 ，故A错误；
∵ ，
当 时， 单调递增， 单调递减， 单调递增，
故 在 上单调递增，故B正确；
∵ ， ，令 ，则 ，
由 ，可得 ， ，根据正弦函数在 上单调递增，可知在 上存在唯一的
实数 ，
当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，
所以 在 上有增有减，故C错误；
由 ，可得
，故D错误.
故选：B.
12．（2023·全国·高三专题练习）若 ，则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
由于 结合两角和的余弦公式可求解，由已知条件求出 ，
的值，从而可求出答案
【详解】
，
因为
所以 ， ，因为 ， ，
所以 ， ，
则 ．
故选：C
13．（2022·河南·南阳中学模拟预测（文））已知函数 在区间 上的图象如图所示，
则 （ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【分析】
法一：利用导函数研究出极值点，进而结合图象及极值求出 的值；法二：设函数值为 ，使用辅助角公
式及三角函数的有界性及极值列出方程，求出 的值.
【详解】
法一：当 时，
设 ，其中 ，则 ，另外 ，所以 ，故
，解得： ，又因为 ，所以 ，
故选：B.
法二：由 ， ，从而
，由于 ，所以 ，解得： ，又从图象可以看出，即 ，从而 ，解得： ，由于 ，故 .
故选：B.
14．（2021·全国·高三专题练习） ___________.
【答案】
【分析】
先利用两角和差化积公式凑配化简得 ，代入原式即可得解.
【详解】
，
.
故答案为： .
【点睛】
关键点点睛：本题考查三角函数的化简求值，利用两角和差化积公式凑配化简
是解题的关键，考查学生的运算能力，属于较难题.
15．（2020·江苏·南京市第二十九中学高三开学考试）已知 ， ，则正
常数p的值为________.
【答案】
设 ， ，根据题意得到 ， ，故 ，
， ，解得答案.
【详解】
设 ， .故 ，
，故 ， .
，且 ，解得 .
故答案为： .
【点睛】
本题考查了三角恒等变换，意在考查学生的计算能力，取 ， ，是
解题的关键.
