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第2讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式
最新考纲 考向预测
考查利用同角三角函数的基本
关系、诱导公式解决条件求值问
1.理解同角三角函数的基本关系式sin2x 命题 题，常与三角恒等变换相结合起
＋cos2x＝1，＝tan x. 趋势 到化简三角函数关系的作用，强
2.借助单位圆的对称性，利用定义推导 调利用三角公式进行恒等变形
出诱导公式. 的技巧以及基本的运算能力.
核心
数学运算
素养
1．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系： sin 2 x ＋ cos 2 x ＝ 1 ．
(2)商数关系：tan x＝.
2．三角函数的诱导公式
组数 一 二 三 四 五 六
α＋2kπ
角 π＋α －α π－α －α ＋α
(k∈Z)
正弦 sin α － si n__α － si n__α sin__α cos__α cos__α
余弦 cos α － co s__α cos__α － co s__α sin__α － si n__α
正切 tan α tan__α － ta n__α － ta n__α
常用结论
1．诱导公式的记忆口诀
“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变
指函数名称的变化．
2．同角三角函数的基本关系式的几种变形
(1)sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)；
cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)；
(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.
(2)sin α＝tan αcos α.
(3)sin2α＝＝；cos2α＝＝.
常见误区
1．同角三角函数的基本关系式及诱导公式要注意角的范围对三角函数符号
的影响，尤其是利用平方关系求三角函数值，进行开方时要根据角的范围，判断
符号后，正确取舍．
2．注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对任意的角α，β，都有sin2α＋cos2β＝1.( )
(2)若α∈R，则tan α＝恒成立．( )
(3)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．( )
(4)若cos(nπ－θ)＝(n∈Z)，则cos θ＝.( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)×
2．(易错题)已知cos(π＋α)＝，则tan α＝( )
A． B．
C．± D．±
解析：选C.因为cos(π＋α)＝，
所以cos α＝－，
则α为第二或第三象限角，
所以sin α＝±＝±.
所以tan α＝＝＝±.
3．已知sin αcos α＝，则tan α＋＝( )
A．2 B．
C．－2 D．－
解析：选A.tan α＋＝＋＝＝＝2.
4．sin 2 490°＝________；cos＝________．
解析：sin 2 490°＝sin(7×360°－30°)＝－sin 30°＝－.
cos＝cos＝cos＝cos＝－cos＝－.
答案：－ －
5．化简·cos(2π－α)的结果为________．
解析：原式＝·cos α＝sin α.
答案：sin α同角三角函数的基本关系式
角度一 “知一求二”问题
(2020·北京市适应性测试)已知α是第四象限角，且tan α＝－，则sin α＝
( )
A．－ B. C. D．－
【解析】 因为tan α＝＝－，
所以cos α＝－sin α ①.
sin2α＋cos2α＝1 ②，由①②得sin2α＝，又α是第四象限角，所以sin α<0，则
sin α＝－，故选A.
【答案】 A
利用同角三角函数的基本关系求解问题的关键是熟练掌握同角三角函数的
基本关系的正用、逆用、变形．同角三角函数的基本关系本身是恒等式，也可以看
作是方程，对于一些题，可利用已知条件，结合同角三角函数的基本关系列方程
组，通过解方程组达到解决问题的目的．
角度二 sin α，cos α的齐次式问题
已知＝－1，求下列各式的值：
(1)；
(2)sin2α＋sin αcos α＋2.
【解】 由已知得tan α＝.
(1)＝＝－.
(2)sin2α＋sin αcos α＋2＝＋2＝＋2＝＋2＝.
关于sin α与cos α的齐n次分式或齐二次
整式的化简求值的解题策略
已知tan α，求关于sin α与cos α的齐n次分式或齐二次整式的值．角度三 sin α±cos α，sin αcos α之间的关系
已知α∈(－π，0)，sin α＋cos α＝.
(1)求sin α－cos α的值；
(2)求的值．
【解】 (1)由sin α＋cos α＝，
平方得sin2α＋2sin αcos α＋cos2α＝，
整理得2sin αcos α＝－.
所以(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝.
由α∈(－π，0)，知sin α<0，又sin α＋cos α>0，
所以cos α>0，则sin α－cos α<0，
故sin α－cos α＝－.
(2)＝＝
＝＝－.
sin α±cos α与sin αcos α关系的应用技巧
(1)通过平方，sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α之间可建立联系，若令sin
α＋cos α＝t，则sin αcos α＝，sin α－cos α＝±(注意根据α的范围选取正、负号)．
(2)对于sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α这三个式子，可以知一求二．
1．(2020·河南六市一模)已知cos＝，且α∈，则tan α＝( )
A． B．
C．－ D．±
解析：选B.因为cos＝，所以sin α＝－.又α∈，所以cos α＝－＝－，所以tan α
＝＝.2．已知tan α＝－，则sin α(sin α－cos α)＝( )
A. B.
C. D.
解析：选A.sin α(sin α－cos α)＝sin2α－sin αcos α＝＝，将tan α＝－代入得原
式＝＝.
3．(一题多解)已知sin α－cos α＝，α∈(0，π)，则tan α＝( )
A．－1 B．－
C． D．1
解析：选A.方法一：由
得2cos2α＋2cos α＋1＝0，即(cos α＋1)2＝0，
所以cos α＝－.
又α∈(0，π)，所以α＝，
所以tan α＝tan＝－1.
方法二：因为sin α－cos α＝，
所以sin＝，所以sin＝1.
因为α∈(0，π)，所以α＝，所以tan α＝－1.
法三：由sin α－cos α＝得1－sin 2α＝2，所以sin 2α＝－1.
设sin α＋cos α＝t，
所以1＋sin 2α＝t2，所以t＝0.
由得sin α＝，cos α＝－，
所以tan α＝－1.
诱导公式的应用
(1)sin(－1 200°)cos 1 290°＝________．
(2)已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边在直线3x－y＝
0上，则等于________．
【解析】 (1)原式＝－sin 1 200°cos 1 290°
＝－sin(3×360°＋120°)cos(3×360°＋210°)
＝－sin 120°cos 210°
＝－sin(180°－60°)cos(180°＋30°)
＝sin 60°cos 30°＝×＝.
(2)由题意可知tan θ＝3，原式＝＝＝.【答案】 (1) (2)
【引申探究】 (变问法)若本例(2)的条件不变，则＝________．
解析：由题意可知tan θ＝3，
原式＝
＝
＝＝＝＝3.
答案：3
(1)诱导公式用法的一般思路
①化负为正，化大为小，化到锐角为止；
②角中含有加减的整数倍时，用公式去掉的整数倍．
(2)常见的互余和互补的角
①常见的互余的角：－α与＋α；＋α与－α；＋α与－α等；
②常见的互补的角：＋θ与－θ；＋θ与－θ等．
1．已知sin＝，则cos的值是( )
A．－ B. C. D．－
解析：选A.因为sin＝，所以cos＝cos＝－sin＝－.
2．(多选)已知A＝＋＋，则A的值可以是( )
A．3 B．－3 C．1 D．－1
解析：选AD.由已知可得，当k为偶数时，A＝＋＋＝＋＋＝3；当k为奇数时，
A＝＋＋＝＋＋＝－1，所以A的值可以是3或－1.故答案为AD.
同角三角函数的基本关系式与诱导公式的综合应用
(2020·湖北宜昌一中期末)已知α是第三象限角，且cos α＝－.
(1)求tan α的值；
(2)化简并求的值．
【解】 (1)因为α是第三象限角，cos α＝－，
所以sin α＝－＝－，所以tan α＝＝3.
(2)原式＝＝＝，由(1)知tan α＝3，所以原式＝＝.求解诱导公式与同角关系综合问题的
基本思路和化简要求
①分析结构特点，选择恰当公式；
基本
②利用公式化成单角三角函数；
思路
③整理得最简形式
①化简过程是恒等变换；
化简
②结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的
要求
要求出值
1．已知sin＝，所以tan α的值为( )
A．－ B．－ C．± D．±
解析：选C.sin＝sin＝cos α＝，所以sin α＝±，tan α＝＝±.
2．已知tan(π－α)＝－，且α∈，则的值为( )
A．－ B．－ C. D.
解析：选A.因为tan(π－α)＝－，所以tan α＝，所以＝＝＝＝－，故选A.
[A级 基础练]
1．(多选)已知x∈R，则下列等式恒成立的是( )
A．sin(－x)＝sin x B．sin＝cos x
C．cos＝－sin x D．cos(x－π)＝－cos x
解析：选CD.sin(－x)＝－sin x，故A不成立；sin＝－cos x，故B不成立；cos＝
－sin x，故C成立；cos(x－π)＝－cos x，故D成立．
2．(多选)若sin α＝，且α为锐角，则下列选项中正确的有( )
A．tan α＝ B．cos α＝
C．sin α＋cos α＝ D．sin α－cos α＝－
解析：选AB.因为sin α＝，且α为锐角，
所以cos α＝＝ ＝，故B正确，
所以tan α＝＝＝，故A正确，
所以sin α＋cos α＝＋＝≠，故C错误，
所以sin α－cos α＝－＝≠－，故D错误．
3．已知角α是第二象限角，且满足sin＋3cos(α－π)＝1，则tan(π＋α)＝( )
A． B．－C．－ D．－1
解析：选B.由sin＋3cos(α－π)＝1，
得cos α－3cos α＝1，所以cos α＝－，
因为角α是第二象限角，所以sin α＝，
所以tan(π＋α)＝tan α＝＝－.
4．已知f(α)＝，则f＝( )
A． B．
C． D．－
解析：选A.f(α)＝＝＝＝cos α，则f＝cos＝.
5．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上一点
A(2sin α，3)(sin α≠0)，则cos α＝( )
A． B．－
C． D．－
解析：选A.由三角函数定义得tan α＝，即＝，得3cos α＝2sin2α＝2(1－cos2α)，
解得cos α＝或cos α＝－2(舍去)．故选A.
6．计算：sin ＋cos 的值为________．
解析：原式＝sin＋cos＝－sin －cos ＝－－＝－1.
答案：－1
7．已知sincos＝，且0＜α＜，则sin α＝________，cos α＝________．
解析：sincos＝－cos α·(－sin α)＝sin αcos α＝.
因为0＜α＜，所以0＜sin α＜cos α.
又因为sin2α＋cos2α＝1，所以sin α＝，cos α＝.
答案：
8．化简＝________．
解析：原式＝
＝＝
＝＝1.
答案：1
9．已知sin(3π＋α)＝2sin，求下列各式的值：
(1)；(2)sin2α＋sin 2α.
解：由已知得sin α＝2cos α.(1)原式＝＝－.
(2)原式＝＝＝.
10．已知角θ的终边与单位圆x2＋y2＝1在第四象限交于点P，且点P的坐标
为.
(1)求tan θ的值；
(2)求的值．
解：(1)由θ为第四象限角，终边与单位圆交于点P，得＋y2＝1，y<0，
解得y＝－，所以tan θ＝＝－.
(2)因为tan θ＝－，
所以
＝＝＝＝2－.
[B级 综合练]
11．(多选)已知角θ的终边与坐标轴不重合，式子化简的结果为－cos θ，则(
)
A．sin θ>0，tan θ>0 B．sin θ<0，tan θ>0
C．sin θ<0，tan θ<0 D．sin θ>0，tan θ<0
解析：选BD.＝＝＝|cos θ|＝－cos θ，所以cos θ<0，角θ的终边落在第二或三
象限，所以sin θ>0，tan θ<0或sin θ<0，tan θ>0，故选BD.
12．(2020·陕西汉中月考)已知角α为第二象限角，则cos α·＋sin2α ＝( )
A．1 B．－1 C．0 D．2
解析：选B.因为角α为第二象限角，所以sin α>0，cos α<0，所以cos α ＝cos α
＝cos α·＝－1－sin α，sin2α＝sin2α＝sin2α＝sin2α＝sin2α＝sin α，所以cos α ＋sin2α
＝－1－sin α＋sin α＝－1.故选B.
13．是否存在α∈，β∈使等式sin(3π－α)＝cos，cos(－α)＝－cos(π＋β)同时成
立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．
解：假设存在角α，β满足条件．
由已知条件可得
由①2＋②2，得sin2α＋3cos2α＝2.
所以sin2α＝，所以sin α＝±.
因为α∈，所以α＝±.
当α＝时，由②式知cos β＝，
又β∈(0，π)，所以β＝，此时①式成立；当α＝－时，由②式知cos β＝，又β∈(0，π)，
所以β＝，此时①式不成立，故舍去．
所以存在α＝，β＝满足条件．
14．在△ABC中，
(1)求证：cos2＋cos2 ＝1；
(2)若cossintan(C－π)＜0，求证：△ABC为钝角三角形．
证明：(1)在△ABC中，A＋B＝π－C，
所以＝－，
所以cos＝cos＝sin ，
所以cos2＋cos2＝1.
(2)若cossintan(C－π)＜0，
所以(－sin A)(－cos B)tan C＜0，
即sin Acos Btan C＜0.
因为在△ABC中，0＜A＜π，0＜B＜π，0＜C＜π且sin A＞0，
所以或
所以B为钝角或C为钝角，所以△ABC为钝角三角形．
[C级 创新练]
15．(2020·山东肥城统考)公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正
五边形和正十边形的作图，发现黄金分割比例为≈0.618，这一数值也可以表示为
m＝2sin 18°.若m2＋n＝4，则＝( )
A．4 B．3 C．2 D．1
解析：选C.因为m＝2sin 18°，且m2＋n＝4，
所以n＝4－m2＝4－4sin218°＝4(1－sin218°)＝4cos218°，所以＝＝＝2.故选C.
16．已知α，β∈(0，2π)且α<β，若关于x的方程(x＋sin α)(x＋sin β)＋1＝0有实
数根，则代数式＝________．
解析：整理方程(x＋sin α)(x＋sin β)＋1＝0得x2＋x(sin α＋sin β)＋sin αsin β＋
1＝0.
由题意得Δ＝(sin α＋sin β)2－4sin αsin β－4≥0，
即(sin α－sin β)2≥4①.
因为－1≤sin α≤1，－1≤sin β≤1，所以sin α－sin β∈[－2，2]，从而(sin α－
sin β)2≤4②.
由①②得sin α－sin β＝±2，所以或因为α，β∈(0，2π)且α<β，所以α＝，β＝，即
因此＝＝＝.
答案：
