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第2讲 两直线的位置关系
最新考纲 考向预测
1.能根据斜率判定两条
本讲知识高考要求难度不大，一般从下面三个
直线平行或垂直.
方面命题：一是利用直线方程判定两条直线的
2.能用解方程组的方法
命题 位置关系；二是利用两条直线间的位置关系求
求两条直线的交点坐
趋势 直线方程；三是综合运用直线的知识解决诸如
标.
中心对称、轴对称等常见的题目，但大都是客
3.探索并掌握平面上两
观题出现.
点间的距离公式、点到
直线的距离公式，会求
核心
直观想象、逻辑推理
两条平行直线间的距
素养
离.
1．两直线的平行、垂直与其斜率的关系
条件 两直线位置关系 斜率的关系
k ＝ k
1 2
两条不重合的 平行
k 与k 都不存在
1 2
直线l ，l ，斜率
1 2
k k ＝－ 1
1 2
分别为k ，k 垂直
1 2
k 与k 一个为零、另一个不存在
1 2
2.两条直线的交点
3．三种距离
点点距 点P (x ，y )，P (x ，y )间的距离 |P P |＝
1 1 1 2 2 2 1 2
点P (x ，y )到直线l：Ax＋By＋
0 0 0
点线距 d＝
C＝0的距离
两条平行线Ax＋By＋C ＝0与
1
线线距 d＝
Ax＋By＋C ＝0间的距离
2
常用结论1．两个充要条件
(1)两直线平行或重合的充要条件
直线l ：A x＋B y＋C ＝0与直线l ：A x＋B y＋C ＝0平行或重合的充要条件
1 1 1 1 2 2 2 2
是A B －A B ＝0.
1 2 2 1
(2)两直线垂直的充要条件
直线l ：A x＋B y＋C ＝0与直线l ：A x＋B y＋C ＝0垂直的充要条件是A A
1 1 1 1 2 2 2 2 1 2
＋B B ＝0.
1 2
2．六种常用对称关系
(1)点(x，y)关于原点(0，0)的对称点为(－x，－y)．
(2)点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，关于y轴的对称点为(－x，y)．
(3)点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－
y，－x)．
(4)点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为
(x，2b－y)．
(5)点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x，2b－y)．
(6)点(x，y)关于直线x＋y＝k的对称点为(k－y，k－x)，关于直线x－y＝k的对
称点为(k＋y，x－k)．
常见误区
1．在判断两条直线的位置关系时，容易忽视斜率是否存在，若两条直线斜率
存在，则可根据条件进行判断，若斜率不存在，则要单独考虑．
2．在运用两平行直线间的距离公式时，易忽视两方程中的x，y的系数分别相
等这一条件，从而盲目套用公式导致出错．
1判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)当直线l 和l 的斜率都存在时，一定有k ＝k ⇒l ∥l .( )
1 2 1 2 1 2
(2)如果两条直线l 与l 垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.( )
1 2
(3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交．( )
(4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．( )
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√
2．(易错题)若直线mx－3y－2＝0与直线(2－m)x－3y＋5＝0互相平行，则实
数m的值为( )
A．2 B．－1 C．1 D．0解析：选C.由题意可得，若m＝0，则直线－3y－2＝0与2x－3y＋5＝0显然不
平行；若m＝2，则直线－3y＋5＝0与2x－3y－2＝0显然不平行，所以m≠0且
m≠2，又两直线平行，所以－3m－(－3)×(2－m)＝0，解得m＝1.
3．已知点(a，2)(a＞0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a的值为( )
A. B．2－ C.－1 D.＋1
解析：选C.由题意知＝1，所以|a＋1|＝，又a>0，所以a＝－1.
4．已知P(－2，m)，Q(m，4)，且直线PQ垂直于直线x＋y＋1＝0，则m＝
________．
解析：由题意知＝1，所以m－4＝－2－m，所以m＝1.
答案：1
5．若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋2y＋5＝0相交于同一点，则m的值为
________．
解析：由解得所以点(1，2)满足方程mx＋2y＋5＝0，即m×1＋2×2＋5＝0，所
以m＝－9.
答案：－9
两直线的平行与垂直
[题组练透]
1．(2020·济南模拟)“m＝3”是“直线l ：2(m＋1)x＋(m－3)y＋7－5m＝0与
1
直线l ：(m－3)x＋2y－5＝0垂直”的( )
2
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选A.当m＝3时，直线l 为8x－8＝0，l 为2y－5＝0，两直线垂直，充分
1 2
性成立；当l ⊥l 时，2(m＋1)(m－3)＋2(m－3)＝0，解得m＝3或m＝－2，必要性
1 2
不成立．故选A.
2．(2021·湖北大冶一中月考)已知过点A(－2，m)和点B(m，4)的直线为l ，直
1
线2x＋y－1＝0为l ，直线x＋ny＋1＝0为l ，若l ∥l ，l ⊥l ，则实数m＋n的值为
2 3 1 2 2 3
( )A．－10 B．－2 C．0 D．8
解析：选A.因为l ∥l ，所以＝－2(m≠－2)，解得m＝－8(经检验，l 与l 不重
1 2 1 2
合)．因为l ⊥l ，所以2×1＋1×n＝0，即n＝－2.所以m＋n＝－10.故选A.
2 3
3．求满足下列条件的直线方程．
(1)过点P(－1，3)且平行于直线x－2y＋3＝0；
(2)已知点A(1，2)，B(3，1)，线段AB的垂直平分线．
解：(1)设直线方程为x－2y＋c＝0(c∈R且c≠3)，把P(－1，3)代入直线方程
得c＝7，
所以直线方程为x－2y＋7＝0.
(2)由题得，AB的中点坐标为，即，
直线AB的斜率k ＝＝－，
AB
故线段AB的垂直平分线的斜率k＝2，
所以其方程为y－＝2(x－2)，即4x－2y－5＝0.
(1)两直线平行、垂直的判断方法
若已知两直线的斜率存在．
①两直线平行⇔两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等．
②两直线垂直⇔两直线的斜率之积等于－1.
[提醒] 判断两条直线位置关系应注意：
〈1〉注意斜率不存在的特殊情况．
〈2〉注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件．
(2)解决两直线平行与垂直的参数问题要“前思后想”
两直线的交点问题
[题组练透]
1．对于任给的实数m，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5都通过一定点，则该定
点的坐标为( )
A．(9，－4) B．(－9，－4)
C．(9，4) D．(－9，4)解析：选A.(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5即为m(x＋2y－1)＋(－x－y＋5)＝0，
故此直线过直线x＋2y－1＝0和－x－y＋5＝0的交点．由得定点的坐标为(9，－
4)．故选A.
2．已知直线kx－y＋2k＋1＝0与直线2x＋y－2＝0的交点在第一象限，则实
数k的取值范围是( )
A．－－1
C．k>－1 D．－0，>0，解得－
