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第2讲 两直线的位置关系
最新考纲 考向预测
1.能根据斜率判定两条
本讲知识高考要求难度不大，一般从下面三个
直线平行或垂直.
方面命题：一是利用直线方程判定两条直线的
2.能用解方程组的方法
命题 位置关系；二是利用两条直线间的位置关系求
求两条直线的交点坐
趋势 直线方程；三是综合运用直线的知识解决诸如
标.
中心对称、轴对称等常见的题目，但大都是客
3.探索并掌握平面上两
观题出现.
点间的距离公式、点到
直线的距离公式，会求
核心
直观想象、逻辑推理
两条平行直线间的距
素养
离.
1．两直线的平行、垂直与其斜率的关系
条件 两直线位置关系 斜率的关系
k ＝ k
1 2
两条不重合的 平行
k 与k 都不存在
1 2
直线l ，l ，斜率
1 2
k k ＝－ 1
1 2
分别为k ，k 垂直
1 2
k 与k 一个为零、另一个不存在
1 2
2.两条直线的交点
3．三种距离
点点距 点P (x ，y )，P (x ，y )间的距离 |P P |＝
1 1 1 2 2 2 1 2
点P (x ，y )到直线l：Ax＋By＋
0 0 0
点线距 d＝
C＝0的距离
两条平行线Ax＋By＋C ＝0与
1
线线距 d＝
Ax＋By＋C ＝0间的距离
2
常用结论1．两个充要条件
(1)两直线平行或重合的充要条件
直线l ：A x＋B y＋C ＝0与直线l ：A x＋B y＋C ＝0平行或重合的充要条件
1 1 1 1 2 2 2 2
是A B －A B ＝0.
1 2 2 1
(2)两直线垂直的充要条件
直线l ：A x＋B y＋C ＝0与直线l ：A x＋B y＋C ＝0垂直的充要条件是A A
1 1 1 1 2 2 2 2 1 2
＋B B ＝0.
1 2
2．六种常用对称关系
(1)点(x，y)关于原点(0，0)的对称点为(－x，－y)．
(2)点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，关于y轴的对称点为(－x，y)．
(3)点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－
y，－x)．
(4)点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为
(x，2b－y)．
(5)点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x，2b－y)．
(6)点(x，y)关于直线x＋y＝k的对称点为(k－y，k－x)，关于直线x－y＝k的对
称点为(k＋y，x－k)．
常见误区
1．在判断两条直线的位置关系时，容易忽视斜率是否存在，若两条直线斜率
存在，则可根据条件进行判断，若斜率不存在，则要单独考虑．
2．在运用两平行直线间的距离公式时，易忽视两方程中的x，y的系数分别相
等这一条件，从而盲目套用公式导致出错．
1判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)当直线l 和l 的斜率都存在时，一定有k ＝k ⇒l ∥l .( )
1 2 1 2 1 2
(2)如果两条直线l 与l 垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.( )
1 2
(3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交．( )
(4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．( )
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√
2．(易错题)若直线mx－3y－2＝0与直线(2－m)x－3y＋5＝0互相平行，则实
数m的值为( )
A．2 B．－1 C．1 D．0解析：选C.由题意可得，若m＝0，则直线－3y－2＝0与2x－3y＋5＝0显然不
平行；若m＝2，则直线－3y＋5＝0与2x－3y－2＝0显然不平行，所以m≠0且
m≠2，又两直线平行，所以－3m－(－3)×(2－m)＝0，解得m＝1.
3．已知点(a，2)(a＞0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a的值为( )
A. B．2－ C.－1 D.＋1
解析：选C.由题意知＝1，所以|a＋1|＝，又a>0，所以a＝－1.
4．已知P(－2，m)，Q(m，4)，且直线PQ垂直于直线x＋y＋1＝0，则m＝
________．
解析：由题意知＝1，所以m－4＝－2－m，所以m＝1.
答案：1
5．若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋2y＋5＝0相交于同一点，则m的值为
________．
解析：由解得所以点(1，2)满足方程mx＋2y＋5＝0，即m×1＋2×2＋5＝0，所
以m＝－9.
答案：－9
两直线的平行与垂直
[题组练透]
1．(2020·济南模拟)“m＝3”是“直线l ：2(m＋1)x＋(m－3)y＋7－5m＝0与
1
直线l ：(m－3)x＋2y－5＝0垂直”的( )
2
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选A.当m＝3时，直线l 为8x－8＝0，l 为2y－5＝0，两直线垂直，充分
1 2
性成立；当l ⊥l 时，2(m＋1)(m－3)＋2(m－3)＝0，解得m＝3或m＝－2，必要性
1 2
不成立．故选A.
2．(2021·湖北大冶一中月考)已知过点A(－2，m)和点B(m，4)的直线为l ，直
1
线2x＋y－1＝0为l ，直线x＋ny＋1＝0为l ，若l ∥l ，l ⊥l ，则实数m＋n的值为
2 3 1 2 2 3
( )A．－10 B．－2 C．0 D．8
解析：选A.因为l ∥l ，所以＝－2(m≠－2)，解得m＝－8(经检验，l 与l 不重
1 2 1 2
合)．因为l ⊥l ，所以2×1＋1×n＝0，即n＝－2.所以m＋n＝－10.故选A.
2 3
3．求满足下列条件的直线方程．
(1)过点P(－1，3)且平行于直线x－2y＋3＝0；
(2)已知点A(1，2)，B(3，1)，线段AB的垂直平分线．
解：(1)设直线方程为x－2y＋c＝0(c∈R且c≠3)，把P(－1，3)代入直线方程
得c＝7，
所以直线方程为x－2y＋7＝0.
(2)由题得，AB的中点坐标为，即，
直线AB的斜率k ＝＝－，
AB
故线段AB的垂直平分线的斜率k＝2，
所以其方程为y－＝2(x－2)，即4x－2y－5＝0.
(1)两直线平行、垂直的判断方法
若已知两直线的斜率存在．
①两直线平行⇔两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等．
②两直线垂直⇔两直线的斜率之积等于－1.
[提醒] 判断两条直线位置关系应注意：
〈1〉注意斜率不存在的特殊情况．
〈2〉注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件．
(2)解决两直线平行与垂直的参数问题要“前思后想”
两直线的交点问题
[题组练透]
1．对于任给的实数m，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5都通过一定点，则该定
点的坐标为( )
A．(9，－4) B．(－9，－4)
C．(9，4) D．(－9，4)解析：选A.(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5即为m(x＋2y－1)＋(－x－y＋5)＝0，
故此直线过直线x＋2y－1＝0和－x－y＋5＝0的交点．由得定点的坐标为(9，－
4)．故选A.
2．已知直线kx－y＋2k＋1＝0与直线2x＋y－2＝0的交点在第一象限，则实
数k的取值范围是( )
A．－<k<－1 B．k<－或k>－1
C．k>－1 D．－<k<
解析：选D.联立直线方程得解得x＝，y＝(k≠－2)．因为直线kx－y＋2k＋1＝
0与直线2x＋y－2＝0的交点在第一象限，所以>0，>0，解得－<k<.
求过两直线交点的直线方程的方法
求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其
他条件写出直线方程．
距离问题
(1)(2021·山西太原期中)已知直线l ：mx＋y－3＝0与直线l ：x－y－m＝
1 2
0平行，则它们之间的距离是( )
A．2 B．4 C. D．2
(2)已知点P(－1，－1)，A(1，0)，B(0，1)，则△ABP的面积为________．
【解析】 (1)因为直线l ：mx＋y－3＝0与直线l ：x－y－m＝0平行，所以＝≠，
1 2
解得m＝－1.所以直线l 的方程为x－y＋3＝0，直线l 的方程为x－y＋1＝0.由平
1 2
行直线间的距离公式，得d＝＝＝.故选C.
(2)因为A(1，0)，B(0，1)，所以|AB|＝，直线AB的方程为x＋y－1＝0，则点P(－
1，－1)到直线AB的距离d＝，所以△ABP的面积为××＝.
【答案】 (1)C (2)
两种距离的求解思路
(1)点到直线的距离的求法
可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式
(2)两平行直线间的距离的求法
①利用“转化法”将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另
一条直线的距离；②利用两平行线间的距离公式(利用公式前需把两平行线方程中 x，y的系数
化为相同的形式)．
1．若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的
最小值为( )
A. B. C. D.
解析：选C.因为＝≠，所以两直线平行，
将直线3x＋4y－12＝0化为6x＋8y－24＝0，
由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，
即＝，所以|PQ|的最小值为.
2．直线l过点P(－1，2)且到点A(2，3)和点B(－4，5)的距离相等，则直线l的
方程为________．
解析：方法一：当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k(x＋1)，即
kx－y＋k＋2＝0.由题意知＝，即|3k－1|＝|－3k－3|，所以k＝－，所以直线l的方
程为y－2＝－(x＋1)，即x＋3y－5＝0；当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为
x＝－1，也符合题意．故所求直线l的方程为x＋3y－5＝0或x＝－1.
方法二：当AB∥l时，有k＝k ＝－，直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋
AB
3y－5＝0；当l过AB的中点时，AB的中点为(－1，4)，所以直线l的方程为x＝－
1，故所求直线l的方程为x＋3y－5＝0或x＝－1.
答案：x＋3y－5＝0或x＝－1
对称问题
已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：
(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；
(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程．
【解】 (1)设A′(x，y)，由已知得
解得所以A′.
(2)在直线m上取一点，如M(2，0)，
则M(2，0)关于直线l的对称点M′必在直线m′上．
设M′(a，b)，则
解得M′.设直线m与直线l的交点为N，
则由得N(4，3)．
又因为m′经过点N(4，3)，
所以由两点式得直线m′的方程为9x－46y＋102＝0.
【引申探究】 (变问法)在本例条件下，求直线l关于点A(－1，－2) 对称的
直线l′的方程．
解：设P(x，y)为l′上任意一点，则P(x，y)关于点A(－1，－2)的对称点为P′(－2
－x，－4－y)，
因为P′在直线l上，
所以2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，
即2x－3y－9＝0.
1．(2021·岳阳模拟)直线x－2y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是(
)
A．x＋2y－1＝0
B．2x＋y－1＝0
C．2x＋y－3＝0
D．x＋2y－3＝0
解析：选D.方法一：设所求直线上任一点为(x，y)，则它关于x＝1的对称点(2
－x，y)在直线x－2y＋1＝0上，所以2－x－2y＋1＝0，化简得x＋2y－3＝0.
方法二：根据直线x－2y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线斜率是互为相反数
得答案A或D，再根据两直线交点在直线x＝1上知选D.2．已知点A(1，3)关于直线y＝kx＋b对称的点是B(－2，1)，则直线y＝kx＋b
在x轴上的截距是________．
解析：由题意得线段AB的中点在直线y＝kx＋b上，故解得k＝－，b＝，所以
直线方程为y＝－x＋.令y＝0，即－x＋＝0，解得x＝，故直线y＝kx＋b在x轴上
的截距为.
答案：
思想方法系列15 活用直线系方程
在求解直线方程的题目中，可采用设直线系方程的方式简化运算，常见的直
线系有平行直线系、垂直直线系和过直线交点的直线系．
直线系方程的常见类型
(1)平行于已知直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程是：Ax＋By＋λ＝0(λ是参数
且λ≠C)；
(2)垂直于已知直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程是：Bx－Ay＋λ＝0(λ是参数)
(3)过两条已知直线l ：A x＋B y＋C ＝0和l ：A x＋B y＋C ＝0的交点的直线
1 1 1 1 2 2 2 2
系方程是：A x＋B y＋C ＋λ(A x＋B y＋C )＝0(λ∈R，但不包括l )．
1 1 1 2 2 2 2
类型一 平行直线系
求与直线3x＋4y＋1＝0平行且过点(1，2)的直线l的方程．
【解】 由题意，可设所求直线方程为3x＋4y＋c＝0(c≠1)，又因为直线l过点
(1，2)，
所以3×1＋4×2＋c＝0，解得c＝－11.
因此，所求直线方程为3x＋4y－11＝0.
类型二 垂直直线系
求经过点A(2，1)，且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程．
【解】 因为所求直线与直线2x＋y－10＝0垂直，所以设该直线方程为x－2y
＋c＝0，又直线过点A(2，1)，所以有2－2×1＋c＝0，解得c＝0，即所求直线方程
为x－2y＝0.
类型三 相交直线系
(一题多解)已知两条直线l ：x－2y＋4＝0和l ：x＋y－2＝0的交点为
1 2
P，求过点P且与直线l ：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程．
3
【解】 方法一：解l 与l 组成的方程组得到交点P(0，2)，因为k ＝，所以直线
1 2 3l的斜率k＝－，方程为y－2＝－x，即4x＋3y－6＝0.
方法二：设所求直线l的方程为4x＋3y＋c＝0，由法一可知：P(0，2)，将其代
入方程，得c＝－6，所以直线l的方程为4x＋3y－6＝0.
方法三：设所求直线l的方程为x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0，即(1＋λ)x＋(λ－
2)y＋4－2λ＝0，因为直线l与l 垂直，所以3(1＋λ)－4(λ－2)＝0，所以λ＝11，所以
3
直线l的方程为4x＋3y－6＝0.
1．若直线l ：y＝kx－k＋2与直线l 关于点(2，1)对称，则直线l 过定点( )
1 2 2
A．(3，1) B．(3，0)
C．(0，1) D．(2，1)
解析：选B.因为y＝kx－k＋2＝k(x－1)＋2，所以l ：y＝kx－k＋2过定点(1，
1
2)．设定点(1，2)关于点(2，1)对称的点的坐标为(x，y)，则得所以直线l 过定点(3，
2
0)，故选B.
2．已知直线l 与直线l ：x－3y＋6＝0平行，l 与x轴、y轴围成面积为8的三
1 2 1
角形，则直线l 的方程为________．
1
解析：设直线l 的方程为x－3y＋c＝0(c≠6)，则令y＝0，得x＝－c；令x＝0，
1
得y＝，依照题意有×|－c|×＝8，解得c＝±4.所以l 的方程是x－3y±4＝0.
1
答案：x－3y±4＝0
[A级 基础练]
1．(2020·黑龙江大庆实验中学期中)过点(2，0)且与直线2x－4y－1＝0平行的
直线的方程是( )
A．x－2y－1＝0 B．2x＋y－4＝0
C．x－2y－2＝0 D．x＋2y－2＝0
解析：选C.因为直线2x－4y－1＝0的斜率k＝，所以过点(2，0)且与直线2x－
4y－1＝0平行的直线的方程为y－0＝(x－2)，即x－2y－2＝0.故选C.
2．若直线l过点A(3，4)，且与点B(－3，2)的距离最远，则直线l的方程为(
)
A．3x－y－5＝0 B．3x－y＋5＝0
C．3x＋y＋13＝0 D．3x＋y－13＝0
解析：选D.由题意得，直线l与AB垂直，所以k＝－＝－＝－3，所以l：y－4
l＝－3(x－3)，即3x＋y－13＝0，选D.
3．若点P在直线3x＋y－5＝0上，且P到直线x－y－1＝0的距离为，则点P
的坐标为( )
A．(1，2) B．(2，1)
C．(1，2)或(2，－1) D．(2，1)或(－1，2)
解析：选C.设P(x，5－3x)，
则d＝＝，化简得|4x－6|＝2，
即4x－6＝±2，解得x＝1或x＝2，
故P(1，2)或(2，－1)．
4．(多选)(2020·山东模拟)若三条直线l ax＋y＋1＝0，l x＋ay＋1＝0，l x＋y
1: 2: 3:
＋a＝0不能围成三角形，则( )
A．a＝1 B．a＝－1
C．a＝－2 D．a＝2
解析：选ABC.①当a＝1时，直线l ，l ，l 重合，不能构成三角形，符合题意．
1 2 3
②当a≠1时，若三条直线交于一点，则也不能构成三角形．由，得直线l ，l 的交
2 3
点坐标为(－a－1，1)．代入直线l 的方程ax＋y＋1＝0得a2＋a－2＝0，解得a＝
1
－2或a＝1(舍去)，符合题意．
③三直线中有两条平行或重合，若l 和l 平行或重合，则a＝1；若l 和l 平行
1 3 2 3
或重合，则a＝1；若l 和l 平行或重合，则－a＝－，得a＝±1.综上，可得实数a所
1 2
有可能的值为－1，1，－2.故选ABC.
5．已知直线l：x－y－1＝0，l ：2x－y－2＝0.若直线l 与l 关于l对称，则l 的
1 2 1 2
方程是( )
A．x－2y＋1＝0 B．x－2y－1＝0
C．x＋y－1＝0 D．x＋2y－1＝0
解析：选B.因为l 与l 关于l对称，所以l 上任一点关于l的对称点都在l 上，
1 2 1 2
故l与l 的交点(1，0)在l 上．又易知(0，－2)为l 上一点，设它关于l的对称点为
1 2 1
(x，y)，则解得即(1，0)，(－1，－1)为l 上两点，可得l 的方程为x－2y－1＝0.故选
2 2
B.
6．已知点A(3，2)和B(－1，4)到直线ax＋y＋1＝0的距离相等，则a的值为
________．
解析：由点到直线的距离公式可得＝，解得a＝或a＝－4.
答案：或－47．过点P(0，1)作直线l使它被直线l ：2x＋y－8＝0和l ：x－3y＋10＝0截得
1 2
的线段被点P平分，则直线l的方程为________________．
解析：设l 与l的交点为A(a，8－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点
1
B(－a，2a－6)在l 上，代入l 的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，
2 2
解得a＝4，即点A(4，0)在直线l上，
所以直线l的方程为x＋4y－4＝0.
答案：x＋4y－4＝0
8．已知点A(－1，2)，B(3，4)．P是x轴上一点，且|PA|＝|PB|，则△PAB的面积
为________．
解析：设AB的中点坐标为M(1，3)，
k ＝＝，
AB
所以AB的中垂线方程为y－3＝－2(x－1)．
即2x＋y－5＝0.
令y＝0，则x＝，
即P点的坐标为(，0)，
|AB|＝＝2.
点P到AB的距离为|PM|＝＝.
所以S ＝|AB|·|PM|＝×2×＝.
△PAB
答案：
9．已知两直线l ：ax－by＋4＝0和l ：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的
1 2
a，b的值．
(1)l ⊥l ，且直线l 过点(－3，－1)；
1 2 1
(2)l ∥l ，且坐标原点到这两条直线的距离相等．
1 2
解：(1)因为l ⊥l ，所以a(a－1)－b＝0.
1 2
又因为直线l 过点(－3，－1)，
1
所以－3a＋b＋4＝0.
故a＝2，b＝2.
(2)因为直线l 的斜率存在，l ∥l ，
2 1 2
所以直线l 的斜率存在．所以＝1－a.①
1
又因为坐标原点到这两条直线的距离相等，
所以l ，l 在y轴上的截距互为相反数，即＝b.②
1 2
联立①②可得a＝2，b＝－2或a＝，b＝2.10．已知△ABC的顶点A(5，1)，AB边上的中线CM所在直线方程为2x－y－5
＝0，AC边上的高BH所在直线方程为x－2y－5＝0，求直线BC的方程．
解：依题意知：k ＝－2，A(5，1)，
AC
所以直线l 的方程为2x＋y－11＝0，
AC
联立直线l 和直线l 的方程，得
AC CM
所以C(4，3)．
设B(x ，y )，则AB的中点M，
0 0
代入2x－y－5＝0，得2x －y －1＝0，
0 0
联立所以B(－1，－3)，所以k ＝，所以直线l 的方程为y－3＝(x－4)，即6x
BC BC
－5y－9＝0.
[B级 综合练]
11．(2020·山西期中)光线自点(2，4)射入，经倾斜角为135°的直线l：y＝kx＋1
反射后经过点(5，0)，则反射光线还经过点( )
A．(14，2) B．(14，1) C．(13，2) D．(13，1)
解析：选D.由题意，得k＝tan 135°＝－1.设点(2，4)关于直线l：y＝－x＋1的
对称点为点(m，n)，则解得所以反射光线所在的直线方程为y＝·(x－5)＝(x－5)．
当x＝13时，y＝1；当x＝14时，y＝.所以反射光线还经过点(13，1)和点.故选D.
12．设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋
3＝0交于点P(x，y)，则|PA|·|PB|的最大值是________．
解析：易知定点A(0，0)，B(1，3)，且无论m取何值，两直线垂
直．
所以无论P与A，B重合与否，均有|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝10(P
在以AB为直径的圆上)．
所以|PA|·|PB|≤(|PA|2＋|PB|2)＝5.
当且仅当|PA|＝|PB|＝时等号成立．
答案：5
13．已知直线l：x－y＋3＝0.
(1)求点A(2，1)关于直线l：x－y＋3＝0的对称点A′；
(2)求直线l ：x－2y－6＝0关于直线l的对称直线l 的方程．
1 2
解：(1)设点A′(x′，y′)，
由题知解得
所以A′(－2，5)．(2)在直线l 上取一点，如M(6，0)，则M(6，0)关于直线l的对称点M′必在l 上．
1 2
设对称点为M′(a，b)，则解得M′(－3，9)．设l 与l的交点为N，则由得N(－12，－
1
9)．又因为l 经过点N(－12，－9)，所以直线l 的方程为
2 2
y－9＝(x＋3)，即2x－y＋15＝0.
14．已知方程(2＋λ)x－(1＋λ)y－2(3＋2λ)＝0与点P(－2，2)．
(1)证明：对任意的实数λ，该方程都表示直线，且这些直线都经过同一定点，
并求出这一定点的坐标；
(2)证明：该方程表示的直线与点P的距离d小于4.
解：(1)显然2＋λ与－(1＋λ)不可能同时为零，故对任意的实数λ，该方程都表
示直线．
因为方程可变形为2x－y－6＋λ(x－y－4)＝0，
所以解得
故直线经过的定点为M(2，－2)．
(2)证明：过点P作直线的垂线段PQ，由垂线段小于斜线段知|PQ|≤|PM|，当
且仅当Q与M重合时，|PQ|＝|PM|，
此时对应的直线方程是y＋2＝x－2，即x－y－4＝0.
但直线系方程唯独不能表示直线x－y－4＝0，
所以M与Q不可能重合，即|PM|＝4，
所以|PQ|<4，故所证成立．
[C级 创新练]
15．(多选)定义点P(x ，y )到直线l：ax＋by＋c＝0(a2＋b2≠0)的有向距离为d
0 0
＝.已知点P ，P 到直线l的有向距离分别是d ，d .则以下命题不正确的是( )
1 2 1 2
A．若d ＝d ＝1，则直线P P 与直线l平行
1 2 1 2
B．若d ＝1，d ＝－1，则直线P P 与直线l垂直
1 2 1 2
C．若d ＋d ＝0，则直线P P 与直线l垂直
1 2 1 2
D．若d ·d ≤0，则直线P P 与直线l相交
1 2 1 2
解析：选BCD.对于A，若d ＝d ＝1，则ax ＋by ＋c＝ax ＋by ＋c＝，直线
1 2 1 1 2 2
P P 与直线l平行，正确；
1 2
对于B，点P ，P 在直线l的两侧且到直线l的距离相等，P P 未必与l垂直，
1 2 1 2
错误；
对于C，若d ＝d ＝0，即ax ＋by ＋c＝ax ＋by ＋c＝0，则点P ，P 都在直线l
1 2 1 1 2 2 1 2
上，所以此时直线P P 与直线l重合，错误；
1 2对于D，若d ·d ≤0，即(ax ＋by ＋c)(ax ＋by ＋c)≤0，所以点P ，P 分别位
1 2 1 1 2 2 1 2
于直线l的两侧或在直线l上，所以直线P P 与直线l相交或重合，错误．
1 2
16．如图，在平面直角坐标系中，分别在x轴与直线y＝(x＋1)上从左向右依次
取点A ，B (k＝1，2，…，其中A 是坐标原点)，使△A B A 是等边三角形，则
k k 1 k k k＋1
△A B A 的边长是________．
10 10 11
解析：直线y＝(x＋1)的倾斜角为30°，与x轴的交点为P(－1，0)．又△A B A
1 1 2
是等边三角形，所以∠PB A ＝90°，所以等边△A B A 的边长为 1，且
1 2 1 1 2
A B ∥A B ∥…∥A B ，A B 与直线 y＝(x＋1)垂直，故△A B B ，△A B B ，
2 1 3 2 10 9 2 1 2 1 2 3 2 3
△A B B ，…，△A B B 均为直角三角形，且依次得到A B ＝2，A B ＝4，A B ＝
4 3 4 10 9 10 2 2 3 3 4 4
8，A B ＝16，A B ＝32，A B ＝64，A B ＝128，A B ＝256，A B ＝512，故
5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 10
△A B A 的边长是512.
10 10 11
答案：512
